还剩20页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题07某点恰好为中点(原卷版+解析)
展开
这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题07某点恰好为中点(原卷版+解析)，共23页。
类型一 一动两定成中点
1．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答：
（1）点A、B、C分别表示的数是______________________．
（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________．
（3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向．
2．如图，在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，当点P运动到原点O时，点P、Q同时停止，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求MQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．
3．动点从原点出发，向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发，向数轴正方向运动．后，两点相距（1个单位长度为）．已知动点、的速度比是（速度单位：）．
（1）直接写出，运动后、两点在数轴上对应的数分别为______；
（2）若、两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？
类型二 两动一定成中点
4．如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）当时，线段________；
（2）当时，求的值；
（3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出的值．
5．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ．设运动的时间为t秒．
(1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值；
(2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？
6．在数轴上，若点M、点N表示的数分别是m、n，则M、N两点间的距离可以表示为MN=|m-n|．例如，在数轴上，表示数-7和数1的两点间的距离是|-7-1|=8，表示数3和数8的两点间的距离是|8-3|=5．利用上述结论，解决问题：
（1）若|x-3|=7，则x=________；
（2）若有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周，点P到达点Q的位置，则点Q表示的数为________（用含有r的代数式表示）；
（3）A，B为数轴上的两个动点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a-b|=6（b>a），点C表示的数为-2，若点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求a、b的值．
类型三 三动成中点一解
7．已知数轴上、两点对应的数分别为、．
（1）如果、两点的中点对应的数为，求的值；
（2）设点P以每秒钟个单位长度的速度从数轴上原点O出发，点、分别以每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度的速度出发，且三点同时向右运动，那么经过多少秒钟时，点P是、两点的中点？
8．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．
（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间点P为AB的中点？
类型四 三动成中点三解
9．现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．
10．定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为.
（1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______.
（2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动.
①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空
______；______.
②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？
11．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm，点P、点Q分别由A、B点同时出发向点C运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为lcm/s．
（1）如果点D是线段AC的中点，那么线段BD的长是 cm；
（2）①求点P出发多少秒后追上点Q；
②直接写出点P出发 秒后与点Q的距离是20cm；
（3）若点E是线段AP中点，点F是线段BQ中点，则当点P出发 秒时，点B，点E，点F，三点中的一个点是另外两个点所在线段的中点．
12．[知识背景]：
数轴上，点，表示的数为，，则，两点的距离，，的中点表示的数为，
[知识运用]：
若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点．已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为．
（1）______，______；
（2）若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段的中点时则点对应的数为______
（3）若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点追上点？（列一元一次方程解应用题）；此时点表示的数是______
（4）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）
类型五 三动成中点多解
13．数轴上A点对应的数为－10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位／秒、1个单位／秒的速度向左运动，丙在A以3个单位／秒的速度向右运动．
（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；
（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．
专题07 某点恰好为中点
类型一 一动两定成中点
1．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答：
（1）点A、B、C分别表示的数是______________________．
（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________．
（3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向．
【答案】（1）﹣4，﹣2，3；
（2）1；
（3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度.
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B、C在数轴上的位置写出即可；
（2）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，则点D表示的数为-2+3=1；
（3）分类讨论：当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点；当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，然后根据中点的定义分别求出对应的A点表示的数，从而得到移动的距离．
【详解】
解：（1）点A、B、C分别表示的数分别是﹣4，﹣2，3；
（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是1；
（3）当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点，
∵线段BC=3-（-2）=5，
∴点A距离点B有5个单位，
∴点A要向左移动3个单位长度；
当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点，
∴A点在B点右侧，距离B点2.5个单位，
∴点A要向右移动4.5 单位长度；
当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，
∴点A要向右移动12个单位长度．
故答案为（1）﹣4，﹣2，3；（2）1；（3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度．
【点睛】
本题考查数轴：数轴三要素（原点、正方向和单位长度）；数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了平移的性质，注意数形结合的运用．
2．如图，在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，当点P运动到原点O时，点P、Q同时停止，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求MQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．
【答案】（1）MQ=16-6t；（2）t=
【解析】
【分析】
（1）利用图形得出AO，CO的长，根据M为AP的中点，进而得出AM=3t，再利用QC=3t，即可得出MQ的长；
（2）根据O恰为线段PQ的中点，得出PO=AO-AP=10-6t，QO=CO-QC=6-3t，进而列方程求解．
【详解】
解：（1）∵在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，
∴AO=10，CO=6，
∵点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，
∴AP=6t，QC=3t，则AM=3t，
∴MQ=10+6-3t-3t=16-6t；
（2）当O恰为线段PQ的中点，
则PO=QO，
即PO=AO-AP=10-6t，QO=CO-QC=6-3t，
∴10-6t=6-3t，
解得：t=，
故当t为秒时，原点O恰为线段PQ的中点．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用以及线段的计算，根据数形结合得出是解题关键．
3．动点从原点出发，向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发，向数轴正方向运动．后，两点相距（1个单位长度为）．已知动点、的速度比是（速度单位：）．
（1）直接写出，运动后、两点在数轴上对应的数分别为______；
（2）若、两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？
【答案】（1），12；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设动点A的速度是x个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，根据题意列方程再解方程可得答案；
（2）设运动时间为，再分别表示对应的数，求解 利用原点恰好处在两个动点的正中间，列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）设动点A的速度是x个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，
根据题意得：
∴ 解得：
则
所以动点A对应的数为动点B对应的数为；
故答案为：
（2）如图，由题意可得：设运动时间为，
则运动后对应的数为： 对应的数为：
原点恰好处在两个动点的正中间，
所以经过秒，原点恰好处在两个动点的正中间．
【点睛】
本题考查的是数轴及数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
类型二 两动一定成中点
4．如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）当时，线段________；
（2）当时，求的值；
（3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出的值．
【答案】（1）7；（2）当点在上时，；当点在上且在点右侧时，；当点在上且在点左侧时，；（3）或．
【解析】
【详解】
解：（1）当t=1时，点P在OA上，点Q在OB上，此时OP+OQ=2+5=7，
故答案为：7；
（2）当点在上时时，，解得；
当点在上且在点右侧时，，解得；
当点在上且在点左侧时，，解得，
（3）当Q在射线OA上时，点P、Q对应的数分别是-2t，20-5t，
分两种情况：
如图：当Q为A、P的中点时，
由AQ=PQ得：20-5t+20=-2t -20+5t，
解得；
如图：当A为Q、P的中点时，
由AQ=AP得：-20-20+5t =-2t +20，
解得；
故t的值为或．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离和数轴．解题时，需要采用“数形结合”的数学思想．
5．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ．设运动的时间为t秒．
(1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值；
(2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？
【答案】(1)4.8
(2)当t值为2或4.8
【解析】
【分析】
（1）分别用带t的表达式表示出M和N表示的数，当它们相等时求出t值即可；
（2）分情况讨论分别求出t值即可．
(1)
解：∵O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO，
又∵从数轴上知A、B点在O点左侧，C点在O点右侧，
∴B表示的点是-3，A表示的点是-9，C表示的点是15，
∵点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，M为线段AP的中点，
∴AM＝2t÷2＝t，
∴点M表示的数是t-9，
∵点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，
则CN＝×6t＝4t，
∴点N表示的数为15-4t，
当点M、N在数轴上相遇时，t-9＝15-4t，
解得t＝4.8，
∴当点M、N在数轴上相遇时，t的值为4.8；
(2)
解：①当M、N在原点两侧时，
-（t-9）＝15-4t，
解得t＝2，
②当M、N重合时，
t-9＝15-4t，
解得t＝4.8，
综上当t值为2或4.8时M、N两点到原点O的距离相等．
【点睛】
本题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，根据已知条件熟练列出方程是解题的关键．
6．在数轴上，若点M、点N表示的数分别是m、n，则M、N两点间的距离可以表示为MN=|m-n|．例如，在数轴上，表示数-7和数1的两点间的距离是|-7-1|=8，表示数3和数8的两点间的距离是|8-3|=5．利用上述结论，解决问题：
（1）若|x-3|=7，则x=________；
（2）若有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周，点P到达点Q的位置，则点Q表示的数为________（用含有r的代数式表示）；
（3）A，B为数轴上的两个动点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a-b|=6（b>a），点C表示的数为-2，若点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求a、b的值．
【答案】（1）10或-4；（2）（3）或或．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可分当圆向数轴正方向滚动和向负方向滚动进行分类求解即可；
（3）根据题意可进行分类求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴或，
解得：或；
故答案为10或-4；
（2）由有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周可得：圆的周长为，
∴①当圆向数轴正方向滚动时，则点Q表示的数为：；
②当圆向负方向滚动时，则点Q表示的数为：；
故答案为；
（3）∵，
∴点B在点A的右侧，且A、B两点的距离为6，
∴①当点C为线段AB的中点时，如图所示：
∴，
∵点C表示的数为-2，
∴；
②当点A为线段BC的中点时，如图所示：
∴AC=AB=6，
∵点C表示的数为-2，
∴；
③当点B为线段AC的中点时，如图所示：
∴BC=AB=6，
∵点C表示的数为-2，
∴；
综上所述：当或或时，点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等．
【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题及线段中点，熟练掌握数轴上的动点问题及线段中点是解题的关键．
类型三 三动成中点一解
7．已知数轴上、两点对应的数分别为、．
（1）如果、两点的中点对应的数为，求的值；
（2）设点P以每秒钟个单位长度的速度从数轴上原点O出发，点、分别以每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度的速度出发，且三点同时向右运动，那么经过多少秒钟时，点P是、两点的中点？
【答案】（1）；（2）秒
【解析】
【分析】
（1）根据“、两点的中点对应的数为，”可列出关于 的方程，解出即可求解；
（2）设经过秒时，点P是、两点的中点，可得，可列出关于 的方程，解出即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得，
∴ ；
（2）根据三点的运动速度可知，只有一个时刻点P是、两点的中点，
此时点在点P的左侧，点在点P的右侧，
设经过秒时，点P是、两点的中点，则三点、、P表示的数分别是、、，
∵点P是、两点的中点，
∴，
即，
解得：，
答：经过秒钟时点P是、两点的中点．
【点睛】
本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，明确题意，利用数形结合的思想，得到等量关系是解题的关键．
8．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．
（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间点P为AB的中点？
【答案】点P对应的数为0或2；（2）存在；（3）经过2分钟点P为AB的中点．
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合图形即可解决问题；
（2）因为AB=6，所以分点P在线段AB的左边或右边两种情况来解答，列出方程即可解决问题．
（3）根据三点的运动速度，准确表示出某一时刻三点对应的数，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵P为线段AB的三等分点，且点A、B的对应的数分别为﹣2，4，
∴点P对应的数为0或2．
（2）存在．
设点P对应的数为x，
∵P点到A点、B点距离之和为10，AB=6，
∴﹣2﹣x+4﹣x＝10或x+2+x﹣4＝10，
解得：x＝﹣4或x＝6．
（3）设经过t 分点P为AB的中点，
由题意得：（﹣t﹣2）+（﹣2t+4）＝2（﹣t），
解得：t＝2，
即经过2分钟点P为AB的中点．
【点睛】
本题考查了数轴与一元一次方程的综合应用问题，解答的关键是理解题意，明确数量间的关系，从而正确列出方程解决问题．
类型四 三动成中点三解
9．现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．
【答案】（1），见解析；（2）1秒或4秒或16秒
【解析】
【分析】
（1）用表示出点，然后求解即可；
（2）分三种情况讨论求解即可，当点B是线段AC的中点、点C是线段AB的中点、点A是线段BC的中点时，分别求解即可．
【详解】
（1）；理由：H点：b＝c＋m，G点：a＝c－m，
，即．
（2）运动t秒后A、B、C三点表示的数分别为A：－3－2t，B：1－t，C：9－4t
①当点B是线段AC的中点时：
②当点C是线段AB的中点时：
③当点A是线段BC的中点时：
综上所述，t的值为1秒或4秒或16秒．
【点睛】
此题考查了数轴的有关应用，涉及了用数轴表示数，数轴上的动点问题，中点公式，解题的关键是掌握数轴的有关性质，正确求解．
10．定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为.
（1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______.
（2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动.
①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空
______；______.
②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？
【答案】（1）1 ，10；（2）①或（或者写），或（或者写），②或或
【解析】
【分析】
(1)根据线段中点的定义得出规律,再利用规律解答即可.
(2)①根据题意得出A、B、P表示的数,从而得出结论;
②分三种情况讨论:若P为AB的中点,若A为BP的中点,若B为AP的中点,根据(1)所得结论列方程求解即可.
【详解】
(1)∵P为线段AB的中点,∴AP=PB,
∴x-a=b-x,2x=a+b,
∴x=;
若B为线段AP的中点,则2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10.
故答案为:1,10.
(2)由题意得:A表示的数为-2-t,B表示的数为:4-t,P表示的数为:-16+2t.
①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=|14-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=|20-3t|,∴AP=-3t+14或14-3t;
BP=20-3t或3t-20.
故答案为:-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20.
②分三种情况讨论:
若P为AB的中点,则:2(-16+2t)=(-2-t)+(4-t),解得:t=;
若A为BP的中点,则:2(-2-t)=(-16+2t)+(4-t),解得:t=;
若B为AP的中点,则:2(4-t)=(-2-t)+(-16+2t),解得:t=.
综上所述:t的值为: 或或时, 点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点.【点睛】
本题考查了非负数的性质,数轴,两点间的距离,一元一次方程的应用,运用方程思想、分类讨论思想结合是解题关键.
11．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm，点P、点Q分别由A、B点同时出发向点C运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为lcm/s．
（1）如果点D是线段AC的中点，那么线段BD的长是 cm；
（2）①求点P出发多少秒后追上点Q；
②直接写出点P出发 秒后与点Q的距离是20cm；
（3）若点E是线段AP中点，点F是线段BQ中点，则当点P出发 秒时，点B，点E，点F，三点中的一个点是另外两个点所在线段的中点．
【答案】（1）120；（2）①20s后点P追上点Q；②10或30；（3）20或32或80．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求出AC与AD的长度，利用BD＝AD﹣AB即可求出答案．
（2）①设ts后P点追上Q点，列出方程即可求出答案．
②分两种情况求解：当P在Q的左侧时，当P在Q的右侧时；
（3）设点A对应数轴上的数为0，点B对应数轴上的数为40，则ts后，点P对应的数为3t，点Q对应的数为40+t，根据中点公式即可列出方程求出答案．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB+BC＝AC，
∴AC＝320cm，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝160cm，
∴BD＝AD﹣AB＝120cm；
（2）①设ts后P点追上Q点，
根据题意列出方程可知：3t＝t+40，
∴t＝20，
答：20s后点P追上点Q；
②当P在Q的左侧时，
此时3t+20＝40+t，
解得：t＝10，
当P在Q的右侧时，
此时3t＝40+t+20，
解得：t＝30，
答：当t＝10或30s时，此时P、Q相距20cm；
（3）设点A对应数轴上的数为0，
点B对应数轴上的数为40，
则ts后，点P对应的数为3t，点Q对应的数为40+t，
∵点E是线段AP中点，
∴点E表示的数为＝t，
∵点F是线段BQ中点，
∴点F表示的数为＝40+，
当B是EF的中点时，
∴＝40，
解得：t＝20，
当E是BF的中点时，
∴＝，
∴t＝32，
当F是BE的中点时，
∴＝40+，
∴t＝80，
综上所述，t＝20或32或80．
故答案为：（1）120；（2）10或30；（3）20或32或80
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题，以及一元一次方程的应用，解题点的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
12．[知识背景]：
数轴上，点，表示的数为，，则，两点的距离，，的中点表示的数为，
[知识运用]：
若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点．已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为．
（1）______，______；
（2）若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段的中点时则点对应的数为______
（3）若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点追上点？（列一元一次方程解应用题）；此时点表示的数是______
（4）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）
【答案】（1）﹣2、4；（2）1、10；（3）经过3秒点追上点．此时点表示的数是－5；（4）、、
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质解即可；
（2）利用线段中点定义，和数轴求两点距离的方法列出方程，解方程即可；
（3）利用点A的行程+AB间距离=B行程，列出方程t+6=3t求出t，点B表示的数用4减B点行程即可；
（4）设运动的时间为tS，先用“t”表示A、B、P表示的数分三种情况考虑，①点A为点P与点B的中点，PA=AB，列方程4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，列方程-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)③点B为点A与点P中点，即AB=BP列方程-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)解方程即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：﹣2；4；
（2）∵点为线段的中点，点对应的数为，
∴4-x=x-(-2)，
∴x=1，
∵为线段的中点时则点对应的数，
∴x-4=4-(-2)，
∴x=10，
故答案为：1、10；
（3）解：设经过秒点追上点．
t+6=3t，
，
，
B表示的数为：4-3×3=-5，
∴经过3秒点追上点．此时点表示的数是－5，
答案为：经过3秒点追上点；－5；
（4）设运动的时间为tS，
点P表示-16+2t,点A表示-2-t，点B表示4-t，
①点A为点P与点B的中点，PA=AB，
4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，
3t=8，
t=，
②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，
-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)，
6t=34，
t=，
③点B为点A与点P中点，即AB=BP，
-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)，
3t=26，
t=，
故答案为：、、．
【点睛】
本题考查非负数的性质，数轴上动点，中点定义，两点间距离，一元一次方程及其解法，掌握非负数的性质，中点定义，两点间距离，一元一次方程及其解法，关键是利用分类思想解题可以达到思维清晰，思考问题周密，不遗漏，不重复．
类型五 三动成中点多解
13．数轴上A点对应的数为－10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位／秒、1个单位／秒的速度向左运动，丙在A以3个单位／秒的速度向右运动．
（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；
（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．
【答案】（1）10；（2）存在，t=4或5或或或
【解析】
【分析】
（1）设点B所表示的数为x，根据运动速度和运动方向分别表示出5秒时乙、丙所表示的数，然后根据题意列方程求解；
（2）根据运动速度和运动方向分别表示出甲乙丙所表示的数，然后分情况讨论，结合两点间距离公式列方程求解．
【详解】
解：（1）设点B所表示的数为x
由题意可得，5秒时，丙所表示的数为-10+3×5=5，乙所表示的数为x-5
∵经过5秒丙和乙相遇，
∴x-5=5，解得：x=10
∴B点表示的数为10；
（2）由题意，t秒时，甲所表示的数为10-2t，乙所表示的数为10-t，丙所表示的数为-10+3t
∴当甲所表示的点到乙和丙的距离相等时，
解得：，
当乙所表示的点到甲和丙的距离相等时，
解得：，
当丙所表示的点到甲和乙的距离相等时，
解得：
综上，存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等，t=4或5或或或．
【点睛】
此题考查一元一次方程的运用及数轴上两点间的距离，准确理解题意利用数形结合思想解题是解题关键．
类型一 一动两定成中点
1．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答：
（1）点A、B、C分别表示的数是______________________．
（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________．
（3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向．
2．如图，在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，当点P运动到原点O时，点P、Q同时停止，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求MQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．
3．动点从原点出发，向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发，向数轴正方向运动．后，两点相距（1个单位长度为）．已知动点、的速度比是（速度单位：）．
（1）直接写出，运动后、两点在数轴上对应的数分别为______；
（2）若、两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？
类型二 两动一定成中点
4．如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）当时，线段________；
（2）当时，求的值；
（3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出的值．
5．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ．设运动的时间为t秒．
(1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值；
(2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？
6．在数轴上，若点M、点N表示的数分别是m、n，则M、N两点间的距离可以表示为MN=|m-n|．例如，在数轴上，表示数-7和数1的两点间的距离是|-7-1|=8，表示数3和数8的两点间的距离是|8-3|=5．利用上述结论，解决问题：
（1）若|x-3|=7，则x=________；
（2）若有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周，点P到达点Q的位置，则点Q表示的数为________（用含有r的代数式表示）；
（3）A，B为数轴上的两个动点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a-b|=6（b>a），点C表示的数为-2，若点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求a、b的值．
类型三 三动成中点一解
7．已知数轴上、两点对应的数分别为、．
（1）如果、两点的中点对应的数为，求的值；
（2）设点P以每秒钟个单位长度的速度从数轴上原点O出发，点、分别以每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度的速度出发，且三点同时向右运动，那么经过多少秒钟时，点P是、两点的中点？
8．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．
（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间点P为AB的中点？
类型四 三动成中点三解
9．现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．
10．定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为.
（1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______.
（2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动.
①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空
______；______.
②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？
11．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm，点P、点Q分别由A、B点同时出发向点C运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为lcm/s．
（1）如果点D是线段AC的中点，那么线段BD的长是 cm；
（2）①求点P出发多少秒后追上点Q；
②直接写出点P出发 秒后与点Q的距离是20cm；
（3）若点E是线段AP中点，点F是线段BQ中点，则当点P出发 秒时，点B，点E，点F，三点中的一个点是另外两个点所在线段的中点．
12．[知识背景]：
数轴上，点，表示的数为，，则，两点的距离，，的中点表示的数为，
[知识运用]：
若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点．已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为．
（1）______，______；
（2）若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段的中点时则点对应的数为______
（3）若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点追上点？（列一元一次方程解应用题）；此时点表示的数是______
（4）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）
类型五 三动成中点多解
13．数轴上A点对应的数为－10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位／秒、1个单位／秒的速度向左运动，丙在A以3个单位／秒的速度向右运动．
（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；
（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．
专题07 某点恰好为中点
类型一 一动两定成中点
1．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答：
（1）点A、B、C分别表示的数是______________________．
（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是_____________．
（3）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请直接写出所有点A 移动的距离和方向．
【答案】（1）﹣4，﹣2，3；
（2）1；
（3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度.
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B、C在数轴上的位置写出即可；
（2）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，则点D表示的数为-2+3=1；
（3）分类讨论：当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点；当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，然后根据中点的定义分别求出对应的A点表示的数，从而得到移动的距离．
【详解】
解：（1）点A、B、C分别表示的数分别是﹣4，﹣2，3；
（2）将点B 向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是1；
（3）当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点，
∵线段BC=3-（-2）=5，
∴点A距离点B有5个单位，
∴点A要向左移动3个单位长度；
当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点，
∴A点在B点右侧，距离B点2.5个单位，
∴点A要向右移动4.5 单位长度；
当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，
∴点A要向右移动12个单位长度．
故答案为（1）﹣4，﹣2，3；（2）1；（3）点A向右移动4.5个单位长度或12个单位长度，点A向左移动3个单位长度．
【点睛】
本题考查数轴：数轴三要素（原点、正方向和单位长度）；数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了平移的性质，注意数形结合的运用．
2．如图，在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，当点P运动到原点O时，点P、Q同时停止，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求MQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．
【答案】（1）MQ=16-6t；（2）t=
【解析】
【分析】
（1）利用图形得出AO，CO的长，根据M为AP的中点，进而得出AM=3t，再利用QC=3t，即可得出MQ的长；
（2）根据O恰为线段PQ的中点，得出PO=AO-AP=10-6t，QO=CO-QC=6-3t，进而列方程求解．
【详解】
解：（1）∵在数轴上，点C表示的数为6，点A表示的数是-10，
∴AO=10，CO=6，
∵点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，
∴AP=6t，QC=3t，则AM=3t，
∴MQ=10+6-3t-3t=16-6t；
（2）当O恰为线段PQ的中点，
则PO=QO，
即PO=AO-AP=10-6t，QO=CO-QC=6-3t，
∴10-6t=6-3t，
解得：t=，
故当t为秒时，原点O恰为线段PQ的中点．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用以及线段的计算，根据数形结合得出是解题关键．
3．动点从原点出发，向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发，向数轴正方向运动．后，两点相距（1个单位长度为）．已知动点、的速度比是（速度单位：）．
（1）直接写出，运动后、两点在数轴上对应的数分别为______；
（2）若、两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，经过几秒，原点恰好处在两个动点的正中间？
【答案】（1），12；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设动点A的速度是x个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，根据题意列方程再解方程可得答案；
（2）设运动时间为，再分别表示对应的数，求解 利用原点恰好处在两个动点的正中间，列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）设动点A的速度是x个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，
根据题意得：
∴ 解得：
则
所以动点A对应的数为动点B对应的数为；
故答案为：
（2）如图，由题意可得：设运动时间为，
则运动后对应的数为： 对应的数为：
原点恰好处在两个动点的正中间，
所以经过秒，原点恰好处在两个动点的正中间．
【点睛】
本题考查的是数轴及数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
类型二 两动一定成中点
4．如图，数轴上，两点对应的数分别是和10，，两点同时从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点到达点后立即返回，以相同的速度沿数轴向左运动．点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）当时，线段________；
（2）当时，求的值；
（3）在，两点运动的过程中，若点，点，点三点中的一个点是另外两个点为端点的线段的中点，直接写出的值．
【答案】（1）7；（2）当点在上时，；当点在上且在点右侧时，；当点在上且在点左侧时，；（3）或．
【解析】
【详解】
解：（1）当t=1时，点P在OA上，点Q在OB上，此时OP+OQ=2+5=7，
故答案为：7；
（2）当点在上时时，，解得；
当点在上且在点右侧时，，解得；
当点在上且在点左侧时，，解得，
（3）当Q在射线OA上时，点P、Q对应的数分别是-2t，20-5t，
分两种情况：
如图：当Q为A、P的中点时，
由AQ=PQ得：20-5t+20=-2t -20+5t，
解得；
如图：当A为Q、P的中点时，
由AQ=AP得：-20-20+5t =-2t +20，
解得；
故t的值为或．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离和数轴．解题时，需要采用“数形结合”的数学思想．
5．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO．点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ．设运动的时间为t秒．
(1)当点M、N在数轴上相遇时，求t的值；
(2)t为何值时，M、N两点到原点O的距离相等？
【答案】(1)4.8
(2)当t值为2或4.8
【解析】
【分析】
（1）分别用带t的表达式表示出M和N表示的数，当它们相等时求出t值即可；
（2）分情况讨论分别求出t值即可．
(1)
解：∵O是原点，BO＝3，AB＝2BO，5AO＝3CO，
又∵从数轴上知A、B点在O点左侧，C点在O点右侧，
∴B表示的点是-3，A表示的点是-9，C表示的点是15，
∵点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，M为线段AP的中点，
∴AM＝2t÷2＝t，
∴点M表示的数是t-9，
∵点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，
则CN＝×6t＝4t，
∴点N表示的数为15-4t，
当点M、N在数轴上相遇时，t-9＝15-4t，
解得t＝4.8，
∴当点M、N在数轴上相遇时，t的值为4.8；
(2)
解：①当M、N在原点两侧时，
-（t-9）＝15-4t，
解得t＝2，
②当M、N重合时，
t-9＝15-4t，
解得t＝4.8，
综上当t值为2或4.8时M、N两点到原点O的距离相等．
【点睛】
本题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，根据已知条件熟练列出方程是解题的关键．
6．在数轴上，若点M、点N表示的数分别是m、n，则M、N两点间的距离可以表示为MN=|m-n|．例如，在数轴上，表示数-7和数1的两点间的距离是|-7-1|=8，表示数3和数8的两点间的距离是|8-3|=5．利用上述结论，解决问题：
（1）若|x-3|=7，则x=________；
（2）若有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周，点P到达点Q的位置，则点Q表示的数为________（用含有r的代数式表示）；
（3）A，B为数轴上的两个动点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a-b|=6（b>a），点C表示的数为-2，若点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求a、b的值．
【答案】（1）10或-4；（2）（3）或或．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可分当圆向数轴正方向滚动和向负方向滚动进行分类求解即可；
（3）根据题意可进行分类求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴或，
解得：或；
故答案为10或-4；
（2）由有一个半径为r的圆上有一点P，与数轴上表示-1的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动1周可得：圆的周长为，
∴①当圆向数轴正方向滚动时，则点Q表示的数为：；
②当圆向负方向滚动时，则点Q表示的数为：；
故答案为；
（3）∵，
∴点B在点A的右侧，且A、B两点的距离为6，
∴①当点C为线段AB的中点时，如图所示：
∴，
∵点C表示的数为-2，
∴；
②当点A为线段BC的中点时，如图所示：
∴AC=AB=6，
∵点C表示的数为-2，
∴；
③当点B为线段AC的中点时，如图所示：
∴BC=AB=6，
∵点C表示的数为-2，
∴；
综上所述：当或或时，点A、B、C、三点中的某一点到另外两点的距离相等．
【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题及线段中点，熟练掌握数轴上的动点问题及线段中点是解题的关键．
类型三 三动成中点一解
7．已知数轴上、两点对应的数分别为、．
（1）如果、两点的中点对应的数为，求的值；
（2）设点P以每秒钟个单位长度的速度从数轴上原点O出发，点、分别以每秒钟个单位长度和每秒钟个单位长度的速度出发，且三点同时向右运动，那么经过多少秒钟时，点P是、两点的中点？
【答案】（1）；（2）秒
【解析】
【分析】
（1）根据“、两点的中点对应的数为，”可列出关于 的方程，解出即可求解；
（2）设经过秒时，点P是、两点的中点，可得，可列出关于 的方程，解出即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得，
∴ ；
（2）根据三点的运动速度可知，只有一个时刻点P是、两点的中点，
此时点在点P的左侧，点在点P的右侧，
设经过秒时，点P是、两点的中点，则三点、、P表示的数分别是、、，
∵点P是、两点的中点，
∴，
即，
解得：，
答：经过秒钟时点P是、两点的中点．
【点睛】
本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，明确题意，利用数形结合的思想，得到等量关系是解题的关键．
8．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．
（1）若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点A、点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间点P为AB的中点？
【答案】点P对应的数为0或2；（2）存在；（3）经过2分钟点P为AB的中点．
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合图形即可解决问题；
（2）因为AB=6，所以分点P在线段AB的左边或右边两种情况来解答，列出方程即可解决问题．
（3）根据三点的运动速度，准确表示出某一时刻三点对应的数，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵P为线段AB的三等分点，且点A、B的对应的数分别为﹣2，4，
∴点P对应的数为0或2．
（2）存在．
设点P对应的数为x，
∵P点到A点、B点距离之和为10，AB=6，
∴﹣2﹣x+4﹣x＝10或x+2+x﹣4＝10，
解得：x＝﹣4或x＝6．
（3）设经过t 分点P为AB的中点，
由题意得：（﹣t﹣2）+（﹣2t+4）＝2（﹣t），
解得：t＝2，
即经过2分钟点P为AB的中点．
【点睛】
本题考查了数轴与一元一次方程的综合应用问题，解答的关键是理解题意，明确数量间的关系，从而正确列出方程解决问题．
类型四 三动成中点三解
9．现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．
【答案】（1），见解析；（2）1秒或4秒或16秒
【解析】
【分析】
（1）用表示出点，然后求解即可；
（2）分三种情况讨论求解即可，当点B是线段AC的中点、点C是线段AB的中点、点A是线段BC的中点时，分别求解即可．
【详解】
（1）；理由：H点：b＝c＋m，G点：a＝c－m，
，即．
（2）运动t秒后A、B、C三点表示的数分别为A：－3－2t，B：1－t，C：9－4t
①当点B是线段AC的中点时：
②当点C是线段AB的中点时：
③当点A是线段BC的中点时：
综上所述，t的值为1秒或4秒或16秒．
【点睛】
此题考查了数轴的有关应用，涉及了用数轴表示数，数轴上的动点问题，中点公式，解题的关键是掌握数轴的有关性质，正确求解．
10．定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为.
（1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______.
（2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动.
①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空
______；______.
②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？
【答案】（1）1 ，10；（2）①或（或者写），或（或者写），②或或
【解析】
【分析】
(1)根据线段中点的定义得出规律,再利用规律解答即可.
(2)①根据题意得出A、B、P表示的数,从而得出结论;
②分三种情况讨论:若P为AB的中点,若A为BP的中点,若B为AP的中点,根据(1)所得结论列方程求解即可.
【详解】
(1)∵P为线段AB的中点,∴AP=PB,
∴x-a=b-x,2x=a+b,
∴x=;
若B为线段AP的中点,则2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10.
故答案为:1,10.
(2)由题意得:A表示的数为-2-t,B表示的数为:4-t,P表示的数为:-16+2t.
①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=|14-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=|20-3t|,∴AP=-3t+14或14-3t;
BP=20-3t或3t-20.
故答案为:-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20.
②分三种情况讨论:
若P为AB的中点,则:2(-16+2t)=(-2-t)+(4-t),解得:t=;
若A为BP的中点,则:2(-2-t)=(-16+2t)+(4-t),解得:t=;
若B为AP的中点,则:2(4-t)=(-2-t)+(-16+2t),解得:t=.
综上所述:t的值为: 或或时, 点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点.【点睛】
本题考查了非负数的性质,数轴,两点间的距离,一元一次方程的应用,运用方程思想、分类讨论思想结合是解题关键.
11．如图，在直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm，点P、点Q分别由A、B点同时出发向点C运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为lcm/s．
（1）如果点D是线段AC的中点，那么线段BD的长是 cm；
（2）①求点P出发多少秒后追上点Q；
②直接写出点P出发 秒后与点Q的距离是20cm；
（3）若点E是线段AP中点，点F是线段BQ中点，则当点P出发 秒时，点B，点E，点F，三点中的一个点是另外两个点所在线段的中点．
【答案】（1）120；（2）①20s后点P追上点Q；②10或30；（3）20或32或80．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求出AC与AD的长度，利用BD＝AD﹣AB即可求出答案．
（2）①设ts后P点追上Q点，列出方程即可求出答案．
②分两种情况求解：当P在Q的左侧时，当P在Q的右侧时；
（3）设点A对应数轴上的数为0，点B对应数轴上的数为40，则ts后，点P对应的数为3t，点Q对应的数为40+t，根据中点公式即可列出方程求出答案．
【详解】
解：（1）如图，
∵AB+BC＝AC，
∴AC＝320cm，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝160cm，
∴BD＝AD﹣AB＝120cm；
（2）①设ts后P点追上Q点，
根据题意列出方程可知：3t＝t+40，
∴t＝20，
答：20s后点P追上点Q；
②当P在Q的左侧时，
此时3t+20＝40+t，
解得：t＝10，
当P在Q的右侧时，
此时3t＝40+t+20，
解得：t＝30，
答：当t＝10或30s时，此时P、Q相距20cm；
（3）设点A对应数轴上的数为0，
点B对应数轴上的数为40，
则ts后，点P对应的数为3t，点Q对应的数为40+t，
∵点E是线段AP中点，
∴点E表示的数为＝t，
∵点F是线段BQ中点，
∴点F表示的数为＝40+，
当B是EF的中点时，
∴＝40，
解得：t＝20，
当E是BF的中点时，
∴＝，
∴t＝32，
当F是BE的中点时，
∴＝40+，
∴t＝80，
综上所述，t＝20或32或80．
故答案为：（1）120；（2）10或30；（3）20或32或80
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题，以及一元一次方程的应用，解题点的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．
12．[知识背景]：
数轴上，点，表示的数为，，则，两点的距离，，的中点表示的数为，
[知识运用]：
若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点．已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为．
（1）______，______；
（2）若点为线段的中点，则点对应的数为______．若为线段的中点时则点对应的数为______
（3）若点、点同时向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点追上点？（列一元一次方程解应用题）；此时点表示的数是______
（4）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）
【答案】（1）﹣2、4；（2）1、10；（3）经过3秒点追上点．此时点表示的数是－5；（4）、、
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质解即可；
（2）利用线段中点定义，和数轴求两点距离的方法列出方程，解方程即可；
（3）利用点A的行程+AB间距离=B行程，列出方程t+6=3t求出t，点B表示的数用4减B点行程即可；
（4）设运动的时间为tS，先用“t”表示A、B、P表示的数分三种情况考虑，①点A为点P与点B的中点，PA=AB，列方程4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，列方程-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)③点B为点A与点P中点，即AB=BP列方程-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)解方程即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，，
∴，，
故答案为：﹣2；4；
（2）∵点为线段的中点，点对应的数为，
∴4-x=x-(-2)，
∴x=1，
∵为线段的中点时则点对应的数，
∴x-4=4-(-2)，
∴x=10，
故答案为：1、10；
（3）解：设经过秒点追上点．
t+6=3t，
，
，
B表示的数为：4-3×3=-5，
∴经过3秒点追上点．此时点表示的数是－5，
答案为：经过3秒点追上点；－5；
（4）设运动的时间为tS，
点P表示-16+2t,点A表示-2-t，点B表示4-t，
①点A为点P与点B的中点，PA=AB，
4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，
3t=8，
t=，
②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，
-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)，
6t=34，
t=，
③点B为点A与点P中点，即AB=BP，
-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)，
3t=26，
t=，
故答案为：、、．
【点睛】
本题考查非负数的性质，数轴上动点，中点定义，两点间距离，一元一次方程及其解法，掌握非负数的性质，中点定义，两点间距离，一元一次方程及其解法，关键是利用分类思想解题可以达到思维清晰，思考问题周密，不遗漏，不重复．
类型五 三动成中点多解
13．数轴上A点对应的数为－10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位／秒、1个单位／秒的速度向左运动，丙在A以3个单位／秒的速度向右运动．
（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；
（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．
【答案】（1）10；（2）存在，t=4或5或或或
【解析】
【分析】
（1）设点B所表示的数为x，根据运动速度和运动方向分别表示出5秒时乙、丙所表示的数，然后根据题意列方程求解；
（2）根据运动速度和运动方向分别表示出甲乙丙所表示的数，然后分情况讨论，结合两点间距离公式列方程求解．
【详解】
解：（1）设点B所表示的数为x
由题意可得，5秒时，丙所表示的数为-10+3×5=5，乙所表示的数为x-5
∵经过5秒丙和乙相遇，
∴x-5=5，解得：x=10
∴B点表示的数为10；
（2）由题意，t秒时，甲所表示的数为10-2t，乙所表示的数为10-t，丙所表示的数为-10+3t
∴当甲所表示的点到乙和丙的距离相等时，
解得：，
当乙所表示的点到甲和丙的距离相等时，
解得：，
当丙所表示的点到甲和乙的距离相等时，
解得：
综上，存在t(t0)的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等，t=4或5或或或．
【点睛】
此题考查一元一次方程的运用及数轴上两点间的距离，准确理解题意利用数形结合思想解题是解题关键．
相关试卷
苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题22水速风速问题(原卷版+解析)： 这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题22水速风速问题(原卷版+解析)，共14页。
苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题21火车隧道问题(原卷版+解析)： 这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题21火车隧道问题(原卷版+解析)，共15页。
苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题19同解方程(原卷版+解析)： 这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题19同解方程(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了方程和的解相同，求的值，若关于的方程与方程的解相同，求，已知方程与的解相同，求的值等内容，欢迎下载使用。
