苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.23 二次函数与一次函数综合专题（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题5.23 二次函数与一次函数综合专题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（　　）A． B．C． D．2．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与直线y＝2x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），如果n＝x1+x2+x3，那么m和n的关系是（　　）A．m＝2n﹣3 B．m＝n2﹣3 C．m＝2n﹣5 D．m＝n2﹣53．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1 cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为S cm2，则能反映S与t的函数关系的图象是（     ）A． B． C． D．4．如图，直线y＝kx＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x＝1， 且OA＝OD，直线y＝kx＋c与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列结论① abc>0；②2a＋b＝0；③－1 y2．23．已知二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象经过点（﹣1，0）（3，0）．（1）求a，b的值；（2）求当﹣3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（m﹣2）x+m﹣2的图象与二次函数y＝ax2﹣bx﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1﹣y2的最大值．24．已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中．（1）若两函数图象都经过点，求，的函数表达式；（2）若两函数图象都经过x轴上同一点．①求的值；②当，比较，的大小．25．如图，直线：与抛物线：相交于点，两点．(1)求A，两点的坐标．(2)将直线向上移个单位长度后，直线与抛物线仍有公共点，求的取值范围．(3)点为抛物线上位于直线上方的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点．当时，求点的坐标．26．在平面直角坐标系中，已知点，，，抛物线经过，，三点中的两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为（1）中所求抛物线上一点，且，求的取值范围；(3)一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，请直接写出的取值范围．27．如图，平面直角坐标系中，A(5，0)，B(2，3)，连结OB和AB，抛物线y=-x2+bx经过点A．（1）求b的值和直线AB的解析式；（2）若P为抛物线上位于第一象限的一个动点，过P作x轴的垂线，交折线段OBA于Q．当点Q在线段AB上时，求PQ的最大值．28．如图，若m是正数，直线l：y＝－m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝ x2+mx的顶点为C，且L与x轴左交点为D．（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点Ｐ使得△的周长最小，求点Ｐ坐标； （2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．参考答案1．D【分析】本题可先由二次函数图象判断字母系数a的正负，再与一次函数的图象比较看是否一致．解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；B、由抛物线可知，，由直线可知，错误；C、由抛物线可知，，由直线可知，，，错误；D、由抛物线可知，，过点，由直线可知，过点，正确．故选D．【点拨】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．2．C【分析】假设A、B两点在二次函数图象上，C点在直线上，然后根据题意及根与系数的关系得到n＝3+x3即x3＝n﹣3，进而代入直线解析式求解即可．解：∵y＝ax2﹣3ax+c，∴对称轴为直线x＝﹣，如图，在抛物线上的两点A和B，关于直线x＝对称，则C点在直线y＝2x+1上，∴x1+x2＝3，∵n＝x1+x2+x3，∴n＝3+x3，∴x3＝n﹣3，∴m＝2（n﹣3）+1，∴m＝2n﹣5，故C正确．故选：C．【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，根据解题及函数相关知识点得出x3的关系式是解题的关键．3．B【分析】分当时，当时，当时三个阶段，分别求出三个阶段的函数关系式即可得到答案．解：由题意得AH=CH=BH=4cm，FE=FG=GH=EH=2cm，当时，如图1所示，设EF与CH交于K，则；当时，如图2所示，设EF与BC交于M，则；当时，如图3所示，设GF与BC交于L，则；故选B．【点拨】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够根据题意得到三个阶段的函数表达式．4．D【分析】由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；由抛物线与轴的交点判断的符号；由抛物线和直线图象上点的坐标判断有关代数式的符号．解：抛物线开口向上，．抛物线对称轴是直线，且．抛物线与轴交于正半轴，．①错误；②正确；直线经过一、二、四象限，．，点的坐标为．直线当时，，可得．③正确；直线与抛物线的图象有两个交点，得，由图象知，④正确；故选：D．【点拨】本题考查的是二次函数图象与系数的关系和一次函数的性质以及抛物线与直线的交点的求法，解题的关键是掌握一、二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5．C【分析】由二次函数的图像可得a0，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案．解：∵二次函数图像开口向下，与y轴交于正半轴，∴a0，∴y=ax+b的图像经过一、二、四象限，与y轴交于正半轴，∴选项C符合题意，故选：C．【点拨】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键．6．C【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．解：由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；D．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误．故选：C．【点拨】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键．7．D【分析】根据二次函数与一次函数的图象与性质进行判断即可．解：当a>0，b>0时，y=ax2+bx的开口上，与x轴的一个交点在x轴的负半轴，y=ax+b经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x的负半轴，无选项符合； 当a>0，b0或．故答案为：a>0或．【点拨】本题考查了一次函数和二次函数图象及其性质，由一次函数和二次函数的图象及其性质，得出只要右侧的点的值大于0即可，故对a进行分类讨论是解题的关键．14．．【分析】由于不知道a的范围，要讨论a的正负零三种情况，当a＝0时，是一次函数，当a≠0时是二次函数，当a当a＞0时，P， Q两点在对称轴的左边，当a＜0时，P， Q两点在对称轴的右边，把P，Q代入函数表达式从而可以得到a,b的关系式，从而可以得到两个不等式，求出a的范围．解：当a＝0时，b＜0时，y随x的增大而减小，把P（1，0），Q（5，﹣4）代入解析式得，，两式相减得，b＝﹣1﹣6a，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝+3，当a＞0时，+3≥5，y随x的增大而减小，即0＜a≤，当a＜0时，+3≤1，y随x的增大而减小，即﹣≤a＜0，故答案为：﹣．【点拨】本题主要考察了一次函数，二次函数图像的性质，准确讨论出a的三种情况和a与b的关系式是解题关键．15．②③【分析】首先求得抛物线与直线的交点的横坐标，可知x=0或x=2时，y1=y2，利用图象可得当x＞2时，y1＜y2，当x＜0时，y1＜y2；当0＜x＜2时，y1＞y2；根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；对各说法逐一判断即可求得答案．解：当y1=y2时，-x2+4x=2x，解得：x=0或x=2，∴抛物线与直线的交点的横坐标为0和2，∴由图象可知当x＞2时，y1＜y2，当x＜0时，y1＜y2；当0＜x＜2时，y1＞y2；∵若，取中的较小值记为；若，记．∴x＞2时，M=y1，故①错误，当x＜0时，M=y1=-x2+4x=-(x-2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=2，最大值为4，∵-1＜0，∴当x＜2时y随x的增大而增大，∴当时，值越大，值越大；故②正确；∵抛物线的最大值为4，∴使得大于4的值不存在；故③正确；当M=y2=2x=2时，x=1，当M=y1=-x2+4x=2时，解得：x=2+或x=2-，∵0＜2-＜2∴x=2-时，y1＞y2，∴M=y1=-x2+4x=2时，x=2+，∴M=2时，x=1或x=2+，故④错误；综上所述：正确的说法有②③，故答案为：②③【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．16．或【分析】易知函数，其图象关于直线对称，且与轴交于点；函数的图象开口向下，且与轴交于点，．当点在点和点之间时，两函数的图象有2个交点．列不等式求解即可解答．解：函数，其图象关于直线对称，且与轴交于点；函数的图象开口向下，且与轴交于点，．当时，，解得；当时，，解得．综上所述，的取值范围是或．故答案为：或．【点拨】本题考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握函数图象，明确二次函数函数图象与直线有两个交点时的所有情况是解题的关键．17．或【分析】由题意可求点，点，分，两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．解：直线经过点和点，，，抛物线与线段MN有两个不同的交点，，，，当时，，解得：，，当时，，解得：，，综上所述：或.故答案为或.【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．②③解：分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误．此题得解．解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＜0时，M=y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，解得：x1=2-（舍去），x2=2+；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为②③．【点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．19．－11≤c≤解：抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点坐标为(0，c)．如解图，抛物线的对称轴为直线x＝1，易求得直线AB的函数表达式为y＝x－1.当直线AB与抛物线y＝x2－2x＋c只有一个公共点，即方程x2－2x＋c＝x－1的Δ＝0时，抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点最高，即c的值最大，此时9－4(c＋1)＝0，解得c＝.当抛物线y＝x2－2x＋c过点B时，抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点最低，即c的值最小，把点B(5，4)的坐标代入y＝x2－2x＋c，得25－10＋c＝4，解得c＝－11.∴C的取值范围是－11≤c≤.20．(1)-7(2)对，理由见分析(3)见分析【分析】（1）把m=2，点A（8，n）代入解析式即可求解；（2）由抛物线解析式，得顶点是，把x＝2m代入，求出y值与3-m比较，若相等则即可判断小明说法正确，否则说法错误；（3）由点P（a+1，c），Q（4m-5+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x==a+2m-2，即可得出a+2m-2=2m，求得a=2，得到P（3，c），代入解析式即可得到 ＝＝，根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：当m＝2时，∵A（8，n）在函数图象上，∴(2)解：由题意得，顶点是当x＝2m时，∴顶点在直线上(3)证明：∵P（a+1,c），Q（4m-5+a，c）都在二次函数的图象上∴对称轴是直线∴a+2m-2＝2m ，∴a＝2，∴P（3，c），把P（3，c）代入抛物线解析式，得∴＝＝，∵-20，∴；(3)作轴于点，交于点， ∵点Ａ的坐标为，点的坐标为，∴，∴在Rt△POD中，，∴，，设点P的坐标为，点的坐标为，，即，解得，，∴点的坐标为或．【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质、根的判别式、勾股定理等是解题的关键．26．(1)(2)(3)【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线图象上点的坐标特征，即可求得；（3）根据一次函数和二次函数的性质即可求得．(1)解：由题意可知：抛物线经过，两点，．解得：，抛物线的表达式为：；(2)解：抛物线，顶点坐标为，当时，；当时，，当时，；(3)解：，抛物线开口向下，与轴的交点为，，一次函数，一次函数的图象经过点，一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，一次函数经过一、三、四象限，，．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数、二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质．27．（1）5，y=-x+5；（2）4【分析】（1）把代入抛物线抛物线中，即可解出可得的值，然后设直线的解析式为，可把，代入利用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）设点的坐标，并表示点的坐标，根据铅直高度表示的长，并配方可得的最大值．解：（1）把代入抛物线中得：解得设直线的解析式为把，代入得：解得∴直线的解析式为（2）设，则∴由可知，当时，有最大值为．【点拨】此题考查了二次函数和一次函数、用待定系数法求一次函数的解析式以及利用配方法求最值问题．解题的关键是表示线段的长度．28．（1）P（－3，3 ）；（2）点C与l距离的最大值为1；（3）m＝2020时“美点”的个数为4042个，m＝2020.5时“美点”的个数为1011个【分析】解：（1）求出A、B点坐标，分别为A（0，－m）、B（0，m），又AB＝8，而可得到m－（﹣m）＝12，即可求出m.又知Ｏ、Ｄ两点关于对称轴对称时，即OP=DP时，OB+OP+PB=OB+DP+PB当B、P、D三共线时△周长最短，求出P点坐标即可.（2）将二次函数转为顶点式，y＝（x+）2－，写出顶点坐标CC与l的距离≤1，据此可判断出最大距离.（3）分别求出当m＝2020时，与当m＝2020.5时，利用抛物线解析式与直线解析式求出交点坐标，求出两种情况下的的美点个数即可，注意分类讨论。解：（1）当x＝0时，y＝x+m＝m，∴B（0，m），∵AB＝8，而A（0，－m），∴m－（﹣m）＝12，∴m＝6．∴L：y＝x2+6x，∴L的对称轴x＝－3，又知Ｏ、Ｄ两点关于对称轴对称，则OP=DP∴OB+OP+PB=OB+DP+PB当B、P、D三共线时△周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x＝－3时，y＝x+6＝3，∴P（－3，3）（2）y＝（x+）2－，∴L的顶点C∵点C在l上方，∴C与l的距离≤1，∴点C与l距离的最大值为1（3）当m＝2020时，共有4042个美点，当m＝2020.5时，共有1011个美点。①当m＝2020时，抛物线解析式L：y＝x2+2020x直线解析式a：y＝x+2020联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣2020和1之间（包括﹣2020和1）共有2022个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2022个整数点∴总计4044个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4044﹣2＝4042（个）；②当m＝2020.5时，抛物线解析式L：y＝x2+2020.5x，直线解析式a：y＝x+2020.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，∴当x取整数时，在一次函数y＝x+2020.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y＝x2+2020.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣2020.5到1之间有1010个偶数，并且在﹣2020.5和1之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1011个．故m＝2020时“美点”的个数为4042个，m＝2020.5时“美点”的个数为1011个【点拨】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．