苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.30 二次函数“将军饮马”问题（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题5.30 二次函数“将军饮马”问题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图,抛物线与直线交于两点,点为轴上点,当周长最短时;周长的值为（   ）A． B．C． D．二、填空题2．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______．3．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(m﹣4，0)和B(m，0)，与直线y＝﹣x+p相交于点A和C(2m﹣4，m﹣6)，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为_____．4．如图抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为______．5．如图，已知点B（3，3）、C（0，6）是抛物线 ()上两点，A是抛物线的顶点，P点是轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标是_____．6．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是____________．7．如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为_________．8．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点关于轴的对称点为．点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________．9．如图，抛物线y＝﹣4x+4与y轴交于点A，B是OA的中点，一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过物线对称轴上的点N，然后返回到点A，则点G走过的最短路程为____．10．如图，过抛物线上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣1，在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，连结BD，则线段BD的最小值为______.11．已知中，边的长与边上的高的和为，当面积最大时，则其周长的最小值为________（用含的代数式表示）．三、解答题12．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E．(1)求该二次函数的解析式；(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．15．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）中抛物线的对称轴是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．16．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．17．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标．18．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标．19．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若已知B点的坐标为B（6，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M为线段BC上方抛物线上一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；   20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，4），已知点A的坐标为（-2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在中的边的长已经确定，只需要求出的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C，此时就为的最小值，所以周长最短为的长，求出即可.解：根据题意联立方程得：，得出，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，即：,,已知在中的边的长已经确定，做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C,如图所示，此时就为的最小值,，,周长最小为：;故选B.【点拨】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.2．【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，∵二次函数，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得，即直线AC的解析式为，∵点P在二次函数的对称轴上的一动点，∴点P的横坐标为﹣1，∵点P在直线AC上，∴点P的纵坐标，∴点P的纵坐标与横坐标之和为：，故答案为：．．【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．3．(1，﹣2)【分析】把点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直线y=-x+p上得到方程组，求出方程组的解，得出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a，得出函数的解析式，找出P的位置，求出AN的解析式，把x=1代入即可．解：∵点A(m﹣4，0)和C(2m﹣4，m﹣6)在直线y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(2，﹣3)，设抛物线y＝ax2+bx+c＝a(x﹣3)(x+1)，∵C(2，﹣3)，代入得：﹣3＝a(2﹣3)(2+1)，∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，对称轴EF为x＝1，当x＝0时y＝﹣3，即D点的坐标为(0，﹣3)，作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，根据对称得N的坐标为(2，﹣3)，设直线AN的解析式为y＝kx+e，把A、N的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P点的坐标为(1，﹣2)，故答案为：(1，﹣2)．【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．4．．【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，C（0，﹣6），通过解方程得 A（﹣3，0），B（1，0），再根据三角形中位线性质得，，所以 ，连接AC交直线于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时PB+PC的值最小，其最小值为AC的长，从而得到DE+ DF的最小值．解：抛物线可化为：∴抛物线的对称轴为直线 ，当x＝0时，，则C（0，﹣6），当y＝0时，，解得， ，则A（﹣3，0），B（1，0），∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，∴DE和DF都为△PBC的中位线，∴，，∴，连接AC交直线于P，如图，∵PA＝PB，∴PB+PC＝PA+PC＝AC，∴此时PB+PC的值最小，其最小值为 ∴DE+DF的最小值为．故答案为．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．5．(2.4，0)【分析】根据点B（3，3）、C（0，6）是抛物线（a≠0）上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点A的坐标，然后即可得到点A关于x轴的对称点的坐标，则点A关于x轴的对称点的坐标与点B所连直线与x轴的交点即为所求的点P的坐标．解：∵点B(3，3)、C(0，6)是抛物线 (a≠0)上两点， ∴，得 ，∴抛物线解析式为，∴点A的坐标为(2,2)，点A关于x轴的对称点的坐标为(2,−2)，则点(2,−2)与点B(3,3)所连直线与x轴的交点即为所求的点P，此时PA+PB最小，设过点(2,−2)与点B(3,3)的直线解析式为y=kx+b， ，得 ，即过点(2，−2)与点B(3，3)的直线解析式为y=5x−12，当y=0时，0=5x−12，得x=2.4，∴点P的坐标为(2.4,0)，故答案为：(2.4，0)．【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征、对称轴最短路径问题，解本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．6．②③．【分析】（1）根据二次函数所过象限，判断出y的符号；（2）根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；（3）根据，由x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，由图象性质判断出y1＞y2；（4）作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接，DE和的和即为四边形EDFG周长的最小值，求出D、E、、的坐标即可解答．解：（1）当x＞0时，函数图象过一、四象限，当0b时，y