苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.35 用二次函数解决问题解题方法专题（例题讲解）（专项练习）（附答案）

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专题5.35 用二次函数解决问题解题方法专题（例题讲解）（专项练习）二次函数的应用解题方法：【基本思想】一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题:（1）费用最低；（2）利润最大；（3）储量最大等等。2、面积最优化问题:全面观察几何图形的结构特征,挖掘出相应的内在联系,列出函数和自变量内在等式,转化为函数解析式,求最值问题。二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图象模型:自主建立平面直角坐标系,构造二次函数关系式解决实际问题；2、方程模型和不等式模型:根据实际问题中的数量关系,列出方程或不等式转化为二次函数解决问题；3、根据实际问题情境抽象岀二次函数模型。三、运动思想由给出的已知条件及图像上的动点问题和几何图形的形状的确定；找出等量关系，建立函数关系式；【最值的确定方法】1、二次函数在没有范围条件下的最值:二次函数的一般式y=ax²+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a（x-h）²+k(a≠0)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).2、二次函数在有条件范围下的最值:如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围,内,则当,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性，从而确定最值。【典型例题】类型一、图形+图形运动问题1．（2022·山东威海·中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【答案】288m2【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据题意，得，∴当x=24时，y有最大值为288，∴鸡场面积的最大值为288m2．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．举一反三：【变式1】（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m(2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . （1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴当BC=m时，y最大=m2．【点拨】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．【变式2】（2020·江苏扬州·中考真题）如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．” （1）当时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．若小明的说法完全正确，求n的取值范围． 【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时， 有最大值；当时，有最小值；（2）；【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．解：（1）当时，点B为（5，1），①设直线AB为，则，解得：，∴；②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得，设点P为（x，），由点P在线段AB上则，∴；∵，∴当时，有最大值；当时，有最小值；∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．（2）∵、，设直线AB为，则，解得：，∴，设点P为（x，），由点P在线段AB上则，当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：；∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．即k在中，k随x的增大而增大；当时，有∴，解得：，∴不等式组的解集为：；当时，有∴，解得：，∴综合上述，n的取值范围为：．【点拨】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．类型二、拱桥+掷球+喷水问题2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．求这条抛物线所对应的函数关系式；如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)(2)在对称轴右边1m​处，桥洞离水面的高是m【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；（2）根据对称轴为：，得出对称轴右边1m处为：，代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为：，∵抛物线过点，∴，解得：，∴这条抛物线所对应的函数关系式为：．(2)解：对称轴为：，则对称轴右边1m处为：，将代入，可得：，解得：，答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m．【点拨】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．举一反三：【变式1】（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方4米处的点滑出，滑出后沿抛物线运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为4米时，距离水平线的高度恰好为8米．求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？【答案】(1)；(2)当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，高度为米；(3)当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．【分析】（1）将点，代入的解析式中，求出，的值即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，由此可得顶点坐标，由此求解；（3）由题可知，运动员与小山坡的竖直距离为，则是关于的二次函数，只需分析该函数的最大值即可．(1)解：抛物线经过点，，，解得．抛物线的解析式为：．(2)解：，当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，最大高度为米．(3)解：设运动员与小山坡的竖直距离为，则，当时，取得最大值，最大值为．当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点坐标是解题的关键．【变式2】（2021·浙江金华·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【答案】（1）；（2）22米；（3）不会【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．解：（1）由题意得，A点在图象上．当时，．（2）由题意得，D点在图象上．令，得．解得：（不合题意，舍去）．（3）当时，，，∴不会碰到水柱．【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．类型三、销售与利润问题3．（2022·湖北武汉·中考真题）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：根据表中的数据在下图中描点，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本），① 求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；② 超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求（元）时的销售单价．【答案】(1)图象见解析，y与x的函数关系式为：(2)①w关于x的函数关系式为：w=；当w取最大值，销售单价为34元；②（元）时的销售单价为30元【分析】（1）根据表格描点连线即可做出函数图像，然后利用待定系数法，将表格中数值代入进行求参数即可；（2）①由（1）中关系式可求得w=，结合函数的性质可知当w取最大值，销售单价为34元；②解方程，可知，，根据超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，可知符合题意．（1）解：作图如图所示， 由图可知，y与x是一次函数关系，设y与x的函数关系式为：，将x=20，y=30；x=40，y=10，代入得，，解得：，即y与x的函数关系式为：；（2）①由题意可知w关于x的函数关系式为：w==，∴当x=34时，w取最大值，最大值为：256元，即：当w取最大值，销售单价为34元；②当时，，解得：，，∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，∴，即（元）时的销售单价为30元．【点拨】本题主要考查的是一次函数及二次函数得应用，掌握函数及图象的性质，能够整合题中条件是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·四川泸州·一模）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)y＝﹣2x＋180(2)w＝﹣2x2＋260x﹣7200(3)55元，1050元【分析】（1）销售价x（元/箱）时，则每天减小2(x-50) 箱，根据平均每天销售量等于原平均每天销售数量减去每天减小的箱数，列出平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，（3）根据二次函数的性质求得最大利润．（1）解：由题意得：y＝80﹣2（x﹣50）化简得：y＝﹣2x＋180；（2）解：由题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋260x﹣7200；（3）解：w＝﹣2x2＋260x﹣7200=-2（x-65）2+1250∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下．当x＝65时，w有最大值．     又∵x＜65，w随x的增大而增大．∵40