苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.50 《二次函数》挑战综合（压轴）题分类专题（一）（专项练习）（附答案）

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专题5.50 《二次函数》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）【类型一】二次函数的图象和性质➼➻最值★★面积【类型①】二次函数的图象和性质➼➻平移★✭最值1．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．2．（2022·河北·中考真题）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．(1) 写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2) 坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．【类型②】二次函数的图象和性质➼➻面积★✭最值★✭坐标3．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．4．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 　 　．注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（） 【类型③】二次函数的图象和性质➼➻周长★✭最值5．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．6．（2022·天津河西·二模）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d，求证：；(3)已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点Q，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点Q的坐标．【类型④】二次函数的图象和性质➼➻存在性问题➼➸面积★✭最值7．（2022·黑龙江·中考真题）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1) 求抛物线的解析式；(2) 抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．8．（2022·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1) 当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2) 证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3) 在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．【类型⑤】二次函数的图象和性质➼➻动点➼➻存在性问题➼➸面积★✭最值9．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．(1) 求此抛物线的函数解析式．(2 )点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．10．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，．(1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围；②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标．【类型二】二次函数的图象和性质➼➻几何图形➼➻角度★★三角形★★特殊四边形【类型①】二次函数的图象和性质➼➻角度问题➼➻坐标★★面积11．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．12．（2020·黑龙江黑龙江·中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．【类型②】二次函数的图象和性质➼➻线段问题➼➻坐标★★面积13．（2022·河北石家庄·九年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为，将抛物线平移后得到抛物线，若抛物线经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数．(1) 求抛物线的解析式；(2) 若将抛物线沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线，设抛物线的顶点为B，直线OB与抛物线的另一个交点为C．当OB＝OC时，求点C的坐标．14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．(1) 若OB＝OC，求抛物线的表达式；(2) P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．【类型③】二次函数的图象和性质➼➻三角形➼➻等腰（直角）三角形★★面积15．（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．16．（2022·湖南·株洲景炎学校一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1) 求抛物线和直线AC的解析式；(2) 在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．(3) 设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），求|x1﹣x2|的最小值．【类型④】二次函数的图象和性质➼➻特殊四边形➼➻平行四边形17．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．（1）求的值；（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值．18．（2011·广东清远·中考真题）如图，二次函数的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（﹣1，m），B（n，n）（1）求A、B的坐标；（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形．①这样的点C有几个？②能否将抛物线平移后经过A、C两点，若能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．【类型⑤】二次函数的图象和性质➼➻特殊四边形➼➻菱形19．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【类型⑥】二次函数的图象和性质➼➻特殊四边形➼➻矩形21．（2011·湖南永州·中考真题）如图，已知二次函数的图像经过，两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当为何值时，？（3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标．22．（2011·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【类型⑦】二次函数的图象和性质➼➻特殊四边形➼➻正方形23．（2022·江苏苏州·一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．(1) 证明：△BOC是等腰直角三角形；(2) 抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．24．（2021·贵州贵阳·一模）二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为．（1）求二次函数的表达式；（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过两点可以画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式；（3）点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的横坐标为1，点是坐标平面上一点，点在轴上，是否存在以四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【类型三】二次函数的图象和性质➼➻综合探究★★问题背景★★理解提升【类型①】二次函数的图象和性质➼➻综合探究➼➻阅读理解25．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）． 求抛物线的解析式；点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．26．（2022·四川成都·二模）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记，则称是直线l与抛物线C的“截积”．【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为．若抛物线C的函数表达式为，分别求出点M，N的坐标及的值；在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线上，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；设抛物线C的函数表达式为，若，，且点P在点Q的下方，求a的值．【类型②】二次函数的图象和性质➼➻概念感知➼➻定义约定27．（2022·江苏南京·模拟预测）【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为．【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________．【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号）①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③的“友好对称二次函数”为．④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，．①若，且四边形为正方形，求m的值；②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值．28．（2016·湖北荆州·中考真题） 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？参考答案1．（1）；（2）【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式．解：（1）．∵图象的对称轴为直线，∴，∴．（2）∵，∴二次函数的表达式为，∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．2．(1)对称轴为直线，的最大值为4，(2)5【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值；（2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程．解：（1），∴对称轴为直线，∵，∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，把代入中得：，解得：或，∵点在C的对称轴右侧，∴；（2）∵，∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，平移距离为，∴移动的最短路程为5．【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．3．（1）a=4；（2）①6；②（﹣1，）解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：，解得：a=4．（2）①由（1）抛物线解析式，当y=0时，得：，解得：．∵点B在点C的左侧，∴B（﹣4，0），C（2，0）．当x=0时，得：y=﹣2，∴E（0，﹣2）．∴S△BCE=×6×2=6．②∵，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．连接BE，与对称轴交于点H，即为所求．设直线BE解析式为y=kx+b，将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，解得：．∴直线BE解析式为．将x=﹣1代入得：，∴H（﹣1，）．4．（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题；（2）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数表达式，设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得AE=2CE或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2或2(x+3)2=8，得出点E的坐标，再求出直线DE的解析式即可得出点Q的坐标．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），∴，解得：；∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， ∴顶点D（-1，4）．（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：；解得：，∴直线AC的函数表达式为y=x+3．设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），∵直线AC将△ADC的面积分成1：2的两部分，且△ADE和△CDE等高，∴AE=2CE或CE=2AE，∵∴或∴2(x+3)2=2或2(x+3)2=8∴x=-2或-4或-1或-5∵-3＜x＜0∴x=-2或-1∴点E的坐标为（-2，1）或（-1，2）当点E的坐标为（-2，1）时设直线DE的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将E（-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，得：；解得：，∴直线AC的函数表达式为y=3x+7．当y=0时，∴点Q的坐标为（，0）当点E的坐标为（-1，2）时，∵D（-1，4），∴直线DE//y轴，点Q的坐标为（-1，0）∴点Q的坐标为（-1，0）或【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由直线AC将△ADE的面积分成1：2的两部分，找出关于x的一元二次方程．5．（1）；（2）见分析；（3），【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．解：（1）设抛物线的函数解析式为由题意,抛物线的顶点为又抛物线与轴交于点抛物线的函数解析式为（2）证明：∵P（m，n），∴，∴P（m，），∴，∵F（2，1），∴，∵，，∴d2=PF2，∴PF=d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF=QH，∴DQ+DF=DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）．【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．6．(1)(2)见分析(3)的周长的最小值为，此时【分析】（1）由题意抛物线的顶点，可以假设抛物线的解析式为，把点B坐标代入求出a即可；（2）过点P作于J，根据得到，进而求出PF，得到， （用m表示）即可解决问题；（3）过点Q作直线于H，过点D作直线l于N，利用的周长，是定值，推出的值最小时，的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．(1)解：由题意抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，∵抛物线经过，，，∴抛物线的解析式为；(2)证明：过点P作于J．，，，．，，，，，；(3)解：如上图，过点Q作直线于H，过点D作直线l于N．的周长，是定值，的值最小时，的周长最小，，，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段上，的最小值为6，的周长的最小值为，此时．【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．7．(1)(2)存在，，【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．（1）解：∵抛物线过点，点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：．（2）解：存在．∵，∴，将代入得，，∴，又∵B（2，-3），∴BC//x轴，∴到线段的距离为1，，∴，∴，设，由题意可知点P在直线BC上方，则，整理得，，解得，或，∴，，∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．8．(1)y=-x2+2x+3；(2)证明见分析，；(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见分析【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；（3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，∵，当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．9．(1)(2)（-2，-4）(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为：．（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，∵时，，，∴A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直线AB关系式为：，设直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，∴，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，，∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；（3）①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直线解析式为：，∵抛物线对称轴为：x=-1，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，∴PA所在直线解析式为：，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，，∴P点坐标为：，综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．【点拨】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．10．(1)(2)①k≥2②P的坐标为（2，3）或（-2，3）【分析】（1）把，代入，求解即可；（2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围；②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标．（1）解：把，代入，得，解得：，∴函数解析式为：；（2）解：①∵，∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．∴抛物线向右平移了m个单位，∴，∴m=2，∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，∵在的右侧，两抛物线都上升，又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，∴k≥2，②把P（m，n）代入，得n=，∴P（m， ）根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，∴Q(0，m2-3)，∵B（0，-3），∴BQ=m2，BP2=，PQ2=，∴BP=PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，∵BP=PQ，PC⊥BQ，∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，∴tan∠BPC= tan 60°=，解得：m=±2，∴n==3，故P的坐标为（2，3）或（-2，3）【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般．11．（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；解：（1）将代入，化简得，则（舍）或，∴，得：，则．设直线对应的函数表达式为，将、代入可得，解得，则直线对应的函数表达式为．（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，由（1）得直线BC的解析式为，，∴直线AG的表达式为，联立，解得：（舍），或，∴，由直线AG的表达式可得，∴，，∴直线的表达式为，联立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如图，取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，则，．设，∵，，∴．由，则，即，解之得，．所以，又，可得直线对应的表达式为，设，代入，得，，，又，则．所以．【点拨】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．12．（1）；（2）存在，，【分析】（1）把点AB的坐标代入即可求解；（2）分点P在轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．解：（1）∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）存在，理由如下：当点P在轴下方时，如图，设AP与轴相交于E，令，则，∴点C的坐标为(0，3)，∵A(-1，0)，B(3，0)，∴OB=OC=3，OA=1，∴∠ABC=45，∵∠PAB=∠ABC=45，∴△OAE是等腰直角三角形，∴OA=OE=1，∴点E的坐标为(0，-1)，设直线AE的解析式为，把A(-1，0)代入得：，∴直线AE的解析式为，解方程组，得：(舍去)或，∴点P的坐标为(4，)；当点P在轴上方时，如图，设AP与轴相交于D，同理，求得点D的坐标为(0，1)，同理，求得直线AD的解析式为，解方程组，得：(舍去)或，∴点P的坐标为(2，)；综上，点P的坐标为(2，)或(4，)【点拨】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组，分类讨论是解本题的关键．13．(1)(2)（﹣1，﹣2）．【分析】（1）根据抛物线经过点（0，2），即可求出c的值，再利用其顶点A的横坐标为最小正整数，求出b的值即可；（2）利用OB＝OC，且B、O、C三点在同一条直线上，点B与点C关于原点对称，进而得出点C的坐标为（﹣1，﹣m）代入抛物线的解析式，求出即可．（1）解：设抛物线的解析式为．∵抛物线l2经过点（0，2），代入得，．∴，∵其顶点A的横坐标为最小正整数．∴抛物线的顶点的横坐标为1，则x＝，∴b＝2．∴l2的解析式为．（2）设顶点B的坐标为（1，m），则抛物线的解析式为．∵OB＝OC，且B、O、C三点在同一条直线上，∴点B与点C关于原点对称．∴点C的坐标为（﹣1，﹣m）．∵点C在抛物线上，∴﹣m＝﹣（﹣1﹣1）2+m．∴m＝2．∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）．【点拨】此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象的平移和点的坐标性质，根据已知得出点B与点C关于原点对称，得到点C的坐标为（﹣1，﹣m）是解题关键．14．(1)(2)【分析】（1）由OB＝OC得出C的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；（2）先根据BE＝EC求出点E的坐标，再求出BE的长度，把P的坐标用含a的式子表示出来，根据EB＝EP即可得出答案．（1）解：∵OB＝OC，∴C（0，﹣3），把A，B，C代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，连接BC，∵EB＝EC，∴E是BC的中点，∴E的坐标为（，），∴P的横坐标为，把A，B代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，把x＝代入，得y＝，∴P（，），∴EP＝＝，解得a＝，∴a的值为．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，牢记勾股定理的公式．15．（1）；（2）或；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；（3）根据S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；（3）∵E（m，0），可设点M（m，﹣m2＋2m＋3），设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，解得：，故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去负值），经检验m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．16．(1)抛物线的解析式为，直线AC的解析式为y=3x+3；(2)存在点，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形；(3)【分析】（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，可得抛物线解析式，再由A、C两点的坐标求出直线AC的解析式，即可求解；（2）设，根据勾股定理列出方程，即可求解；（3）先求出直线BC的解析式，得到点E（1，2），再直线MN的解析式为，可得直线MN的解析式为，然后与抛物线解析式联立，可得，再根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解．(1)解：把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，把y=0代入得：，解得：，∴A（-1，0），设直线AC的解析式为y=kx+b1（b1≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y=3x+3；(2)解：存在.设，∵点A（-1，0），C（0，3），∴，，，∵AP为斜边，∴，∴，解得：或m=0（舍去），∴存在点，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形；(3)解：设直线BC的解析式为y=nx+m（n≠0），把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=-x+3，∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴点E（1，2），设直线MN的解析式为，∴，∴，∴直线MN的解析式为，联立得：得：，∴，∵，∴当b2=2时，最小值为．【点拨】本题考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，抛物线与直线的交点问题、解一元二次方程、根与系数关系以及勾股定理等知识，求得二次函数的解析式是本题的关键．17．（1）；（2）或【分析】（1）根据直线与抛物线对称轴交于点可得对称轴为直线，由此即可求得b 的值；（2）先求得点B、C的坐标，可得，再根据四边形为平行四边形可得，即，最后根据，，可得或，由此分别与联立方程组求解即可．解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点，∴抛物线的对称轴为直线，即，∴．（2）由（1）得：抛物线的解析式为，把代入抛物线的解析式，得，解得或3，∴、两点的坐标为，，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，又∵，，，∴，∴，∴或，由，解得由解得∴、的值为或．【点拨】本题考查了二次函数的图像性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解决本题的关键．18．解：（1）∵y=的图象过点A（﹣1，m）∴即m=1同理：n=解之，得n=0（舍）或n=2∴A（﹣1，1），B（2，2）（2）①由题意可知：这样的C点有3个②能当平移后的抛物线经过A、C1两个点时，将B点向左平移3个单位再向下平移1个单位．使点B移到A点，这时A、C1两点的抛物线的解析式为y+1=即y=另两条平移后抛物线的解析式分别为：i）经过A、C2两点的抛物线的解析式为ii）设经过A、C3两点的抛物线的解析式为，OC3可看作线段AB向右平移1个单位再向下平移1个单位得到∴C3（3，1）依题意，得解得∴经过A、C3两点的抛物线的解析式为解：（1）把A（-1，m），B（n，n）两点代入y＝x2－x可得，m=+=1,n=+n,解得，n=2,所以A(－1，1)，B(2，2) (2)①3个 ②能 19．（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．【分析】（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．解：（1）对于：当x=0时，；当y=0时，，妥得，x=3∴A（3，0），B（0，）把A（3，0），B（0，）代入得： 解得， ∴抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为直线 故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ∴PQ⊥x轴∵点P在x=1上，∴点Q也在x=1上，当x=1时，∴Q（1，）；②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，∴BC//PQ，且BC=PQ∵BC//x轴，∴令，则有解得， ∴ ∴PQ=BC=2∵ ∴PB=BC=2∴迠P在x轴上，∴P(1,0)∴Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）【点拨】本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．20．（1）；（2）①，②存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．解：（1）把代入中，得 解得∴．（2）设直线的表达式为，把代入．得，解这个方程组，得∴．                     ∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．                      ∴．                      ∵，∴此函数有最大值．又∵点P在线段上运动，且∴当时，有最大值．                        ②∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．                      ∴（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）∴MC= ∴整理得， ∵，∴，解得，，∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ∵，∴，解得，，当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）综上所述，点Q的坐标为【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．21．（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为：解：（1）二次函数的图像经过，两点．，解得：，，，，，对称轴为：直线．（2）当，，，，，抛物线与轴交点坐标为：，，，，当时，；（3）当矩形为正方形时，假设点坐标为，点坐标为，，即：，，对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等，，解得：，（不合题意舍去），时，，点坐标为：．22．（1）抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；（2）边长为2﹣2或2+2；（3）存在．理由见分析；【分析】（1）根据|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，可得（m+5m）×5m=15，求出m的值，从而得到A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；（2）设出点E的坐标，即得戴南F的坐标，根据正方形的性质列出方程即可；（3）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据二次函数解析式设出函数图象上点的坐标，利用点到直线的距离公式列出关于n的方程，解答即可．解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），即y=x2﹣4x﹣5；（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，解得m=1±或m=3±，∵m＞2，∴m=1+或m=3+，边长EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，联立，，解得或，∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．23．(1)见分析(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形；（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解．(1)证明：令x=0，则y=c，∴点C(0，c)，令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0，∴(2x-1)(x-c)=0，∴x1=，x2=c，∵点B在点A右侧，∴点B(c，0)，点A(，0)，∴OB=OC=c，∵∠COB=90°，∴△BOC是等腰直角三角形；(2)解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-，∴点D(，-)，设DM交x轴于点M，∵△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∵点A，B关于DE对称，∴EA=EB，∴∠EAB=∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵EM⊥AB，∴EM=AB，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，∵DM⊥AB，∴AB=2DM，∵点B(c，0)，点A(，0)，∴AB=c-，∵点D(，-)，∴DM=，∴c-=，整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，∴c1=，c2=，∵c>，∴c=，∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为．【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．24．（1）；（2）或；（3）(1，0)或(-2，0)【分析】（1）设二次函数，根据待定系数法，求出a的值，即可得到答案；（2）设二次函数解析式为：，先得出Q(2，2)或Q(2，-2)，进而即可求解；（3）先求出点G(1，3)，再分两种情况：①当GE为为正方形的对角线时，②当GE是正方形的边时，分别求解，即可．解：（1）∵二次函数的图象的顶点的坐标为，∴设二次函数，把(0，0)代入上式，得：，解得：a=-1，∴二次函数的表达式为：；（2）∵抛物线过两点，∴对称轴为：直线x=2，可设二次函数解析式为：，∴OM=2，又∵四边形OMQN是正方形，∴QM=OM=2，∴Q(2，2)或Q(2，-2)，∴或，解得：或，∴二次函数解析式为：或；（3）由（1）可知二次函数的解析式为：，∴当x=1时，y=3，即：G(1，3)，当GE为为正方形的对角线时，GR1=ER1=3，此时，R1(1，0) ，当GE是正方形的边时，GR2=GE=，∴R2E=×=6，∴R2(-2，0)，∴R的坐标为(1，0)或(-2，0)．【点拨】本题主要考查二次函数与平面几何综合，熟练掌握二次函数的待定系数法，正方形的性质，是解题的关键．25．(1)(2)（1，2）(3)(4)【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，解这个方程组得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，设直线AB的解析式为：，把点 A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得 ， 直线AB的解析式为： ，由（1）知抛物线的对称轴为， 点C为抛物线对称轴上一动点，， 当点C在AB上时，最小，把x=1代入，得y=2，点C的坐标为（1，2）；（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1设，则，则，当时，DE有最大值为，（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1， 直线与y轴的交点为D（0，1）， ， ，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，综上所述，点N的坐标为：【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．26．(1) (2)为定值，证明见分析(3)【分析】（1）联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组求解M，N的坐标，再求解Q的坐标，MN，PQ的长度，再进行计算即可；（2）如图， 先求解为：由在上，设 求解 设 则两点坐标为：的解，再利用根与系数的关系及勾股定理求解，再利用新定义进行计算即可；（3）先求解 如图，由点P在点Q的下方，则 由抛物线可得： 过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为： 求解 结合（2）的结论可得 利用 再列方程求解即可.(1)解：如图，由题意得： 解得：或 而抛物线的对称轴为： 代入一次函数解析式，此时 抛物线的顶点 (2)解：如图，抛物线的顶点P平移到，而 设为： 则 所以 所以为：由在上，设 平移后的抛物线为： 则 设 则两点坐标为：的解，整理方程组得： 又 为定值.(3)解： ，， 如图，由点P在点Q的下方，则 由抛物线可得： 过作的平行线与轴交于 同理可得的解析式为： 由（2）同理可得： 即 平移后的抛物线的顶点为 解析式为： 整理得： 解得：或 经检验舍去，综上：【点拨】本题考查的是一次函数与抛物线的交点坐标问题，新定义的理解，一元二次方程根与系数的关系，理解新定义，熟练的运用已经推导得到的结论进行解题是关键.27．（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值为；②a的值为－或或或【分析】（1）根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，据此求解即可；（2）根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；（3）①根据题意可得：二次函数L1：，二次函数L2：，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据四边形为正方形，得出方程求解即可；②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，则可得点，点的坐标，然后得出线段，的长，根据题意：四边形的邻边之比为1：2，得出或，求解即可得．解：（1）∵，∴函数的“友好对称二次函数”为； ，原函数的对称轴为：，∴，∴，，∴函数的“友好对称二次函数”为，,故答案为：；；（2）∵，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵，∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，的“友好对称二次函数”为，③正确；若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与x轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；（3）二次函数L1：的对称轴为直线，其“友好对称二次函数”L2：．①∵，∴二次函数L1：，二次函数L2：，∴点B的坐标为，点C的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为，∴，，∵四边形为正方形，∴，即，解得：，（不合题意，舍去），∴m的值为；②当时，点B的坐标为，点C的坐标为，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，，∵四边形的邻边之比为1：2，∴或，即或，解得：，，，，∴a的值为－或或或．【点拨】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．28．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为．（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．