苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.51 《二次函数》挑战综合（压轴）题分类专题（二）（专项练习）（附答案）

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专题5.51 《二次函数》挑战综合（压轴）题分类专题（二）（专项练习）【类型一】二次函数★★一元二次方程【类型①】二次函数★★一元二次方程➼➻交点坐标★★取值范围1．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1) 当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；(2) 点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．2．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点A（0，）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．【类型②】二次函数★★一元二次方程一次函数➼➻交点坐标★★取值范围3．如图，二次函数y=(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B．(1) 求二次函数与一次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b≥(x﹣2)2+m的x的取值范围．4．如图，直线与x轴交于点B．抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．(1) 求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．(2) 求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围．【类型③】二次函数★★★一元二次方程➼➻交点坐标★★截距5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x-2ax+a-2与x轴交点为A、B，(1) 判断点（，-）是否在抛物线y=x-2ax+a-2上，并说明理由；(2) 当线段AB长度为4时，求a的值；(3) 若w= AB，w是否存在最值，若存在，请求出最值，若不存在，请说明由；6．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是　．【类型④】二次函数★★★一元二次方程➼➻交点坐标★★对称性7．如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，点A的坐标为（–1，0）．(1) 求这个二次函数图象的顶点坐标；(2) 已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系；(3) 在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点的坐标．8．如图，已知二次函数的图象经过点，交轴于点．(1) 求的值．(2) 延长至点，使得．若将该抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后的抛物线恰好经过A，C两点，已知，，求，的值．【类型二】二次函数★★一元二次不等式【类型①】二次函数★★一元二次不等式➼➻交点坐标★★解集9．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且．(1) 求该抛物线的解析式．(2) 关于x的不等式的解集为______．(3) 点，点是该抛物线上的两点，若，试比较和的大小．10．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．(1) 求m的值和抛物线的解析式；(2) 求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）【类型②】二次函数★★一元二次不等式➼➻几何图形11．如图，已知二次函数的图像经过，两点．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当为何值时，？（3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 根据图象写出不等式ax2+（b-1）x+c＞2的解集；(3) 点P是抛物线上直线AB上方的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=时，求P点的坐标．【类型三】二次函数★★一元二次方程★★一元二次不等式【类型①】二次函数★★一元二次方程★★一元二次不等式➼➻拓展探究13．问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．(1) 问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．(2) 问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．(3) 请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．(4) 问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．14．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：其中，______．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程有______个实数根；②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．【类型②】二次函数★★一元二次方程★★一元二次不等式➼➻定义感知15．我们约定[a，b，c]为二次函数的“相关数”．【特例感知】“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为，“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为；“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为；（1）下列结论正确的是____________（填序号）．①抛物线，，都经过点；②抛物线，，与直线都有两个交点；③抛物线，，有两个交点．【形成概念】把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与轴的交点为，．【探究问题】（2）①“—簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．②拋物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．③当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．16．定义：表示不超过实数x的最大整数，如：．函数、的图象如图所示．(1)探究填空：点是否在函数的图象上__________；是否在函数的图象上__________；（填“在”或“不在”）(2)判断：是否是方程的解，并说明原因；(3)观察函数、的图象，请你求出方程的所有的解．(4)拓展：对于方程：，请你结合方程、函数及图象的知识继续探究：①当c为何值时，方程只有一个解，并求出方程的解；②若方程有两个解，请直接写出c的取值范围__________．【类型四】二次函数与实际应用【类型①】二次函数应用➼➻增长率★★销售问题17．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？18．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：(1) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2) 求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大(3) 该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【类型②】二次函数应用➼➻图形与图形运动问题19．如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.(1) 求养殖房的最大面积.(2) 该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？20．已知二次函数．（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．【类型③】二次函数应用➼➻拱桥★★掷球★★喷水问题21．甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．22．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．(1)若，；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．【类型五】二次函数的综合探索与提升【类型①】二次函数的综合探索与提升➼➻二次函数与四边形23．如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1) 求抛物线的表达式；(2) 点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．24．如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【类型②】二次函数的综合探索与提升➼➻折叠与运动问题25．如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．26．如图1，已知二次函数(为常数，)的图象过点和点，函数图象最低点的纵坐标为．直线的解析式为求二次函数的解析式；直线沿轴向右平移，得直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点，把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上点时(图求直线的解析式；在的条件下，与轴交于点，把绕点逆时针旋转得到，P为上的动点，当为等腰三角形时，求符合条件的点的坐标．【类型③】二次函数的综合探索与提升➼➻探究与运动问题27．抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求m的值及顶点D的坐标；(2)如图1，若点E是抛物线上对称轴右侧一点，设点E到直线AC的距离为，到抛物线的对称轴的距离为,当时，请求出点E的坐标．(3)如图2，直线交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，试探究线段OP，OQ之间的数量关系．28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．①用m的代数式表示直线的截距；②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．参考答案1．(1)（0，2）；2(2)的取值范围为，的取值范围为【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．（1）解：当时，，∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵，∴点关于对称轴对称，∴；（2）解：当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，∵1＜3，∴2t＞3，即（不合题意，舍去），当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，解得：，∵1＜3，∴2t＞3，即，∴，∵，，对称轴为，∴， ∴，解得：，∴的取值范围为，的取值范围为．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入抛物线的解析式，解方程求解即可； （2）联立两个函数的解析式，消去 得：再利用根与系数的关系与可得关于的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜＜ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.解：（1）把代入中， 抛物线的解析式为： （2）联立一次函数与抛物线的解析式得： 整理得： ∵x1+x2=4-3k，x1•x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得： ∴ （3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m＜2时，当x=m时，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，当m≥2时，当x=2时，y有最大值，∴=3，∴m=，综上所述，m的值为-或．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.3．(1)二次函数解析式为y=(x﹣2)2﹣1；一次函数解析式为y=x﹣1．(2)1≤x≤4．【分析】(1)将点A(1，0)代入y=(x-2)2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式．(2)根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围．解：(1)将点A(1，0)代入y=(x﹣2)2+m得，(1﹣2)2+m=0，解得m=﹣1．∴二次函数解析式为y=(x﹣2)2﹣1．当x=0时，y=4﹣1=3，∴C点坐标为(0，3)．∵二次函数y=(x﹣2)2﹣1的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称，∴B点坐标为(4，3)．将A(1，0)、B(4，3)代入y=kx+b得，，解得．∴一次函数解析式为y=x﹣1．(2)∵A、B坐标为(1，0)，(4，3)，∴当kx+b≥(x﹣2)2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=(x﹣2)2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤4．4．(1)点A的坐标（－1，），y2＝－(2)x≤－2或x=4【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的坐标，再根据抛物线过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点A的坐标；（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可以写出当时，x的取值范围．解：（1）由直线＝－与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）．把点B（4，0）与点D（0，4）代入＝－得解得，∴＝－， ∵点A为直线与抛物线的交点，∴解方程－＝－得x=－1，∴点A的坐标（－1，）；（2）当=0时，－=0，解得，∴点E的坐标为（-2，0），结合图像，当时，x的取值范围是x≤－2或x=4．【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．5．(1)在，理由见分析(2)-1或2(3)存在，最小值为7【分析】（1）将x= 代入y=x-2ax+a-2判断y是否等于-即可；（2）配方求出A、B交点坐标，利用两点间距离公式即可求出；（3）由（2）确定解析式，然后利用配方法求出最小值．解：(1)在；理由如下将点（，-）代入抛物线y=x-2ax+a-2上，可得y=（）-2×a×+a-2=-所以，点（，-）在抛物线y=x-2ax+a-2上；(2)令y=0，即y=x-2ax+a-2=0，即（x-a）=a-a+2，∴x=a±，∵AB=4，即2=4，∴a-a-2=0，解得a=-1或a=2；(3)w存在最值，理由如下若w= AB，由（2）可得w=[2]=4（a-a+2）=4（x-）+7，∵4＞0，∴w有最小值，当x=，最小值为7．【点拨】本题考查了二次函数的性质和图象，两点间距离公式，配方法等，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为3；（3或．【分析】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；（2）把点D的y坐标代入y=-x2+2x+3，即可求解；（3）直线EF下侧的图象符合要求．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解得：a＝﹣1，b＝2，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝-或，则EF长；（3）由题意得：当y≤时，直接写出x的取值范围是：或，故答案为或．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．7．(1)(，)(2)轴(3)（0，1）【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式即可求解；（2）把点D（m，m＋1）的坐标代入求得的值，令求得点C的坐标，由此可判断CD与x轴的位置关系；（3）先确定点D关于直线BC的对称点的位置在轴，然后利用对称性即可求解．解：(1)∵,∴二次函数图象的顶点坐标为(，)；(2)∵第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，∴，解得，（不合题意，舍去），∴D（3，4）；当时，代入得，∴C（0，4），∴轴；(3)对于，令，则，解得，，∴A（－1，0），B（－4，0）；又∵C（0，4），∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴轴，∴，∵点D关于直线BC的对称点为，∴在轴上，如图所示，则∴ ，∴的坐标为（0，1）．【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质以及点关于直线的对称性，理解题意是解题的关键．8．(1)2(2)，【分析】（1）先确定点B的坐标，根据二次函数图象的对称性找到该抛物线的对称轴，再根据对称轴公式代入计算即可；（2）根据点A、B坐标可确定且轴，再由可计算出，，进而确定点C的坐标为（3，）；当平移后的抛物线恰好经过A、C两点时，可确定新的对称轴，计算n的值，然后设平移后的抛物线表达式为，将点C坐标代入计算m值即可．(1)解：由知，当时，，故点B坐标为（0，），∵A（2，），∴对称轴为直线x==，∴；(2)∵A（2，），B（0，），∴且轴，∵，∴，∴C（3，）．根据A（2，）和C（3，）确定线段AC的中点坐标为（，），∴根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴直线x=，∴，设平移后的抛物线表达式为，把C（3，）代入，解得：．【点拨】本题主要考查了根据抛物线上对称两点求对称轴以及函数图像平移的知识，解题关键熟练运用数形结合的思想分析问题．9．(1)；(2)x3；(3)当x1=1时y1=y2；当x1y2；当x1>1时y2>y1【分析】（1）先求出对称轴，由AB=2求出点A、B的坐标，将点A的坐标代入计算即可；（2）利用抛物线与x轴交于A（1，0）、B(3,0)两点，且抛物线开口向上，即可得到不等式的解集；（3）根据抛物线的对称性得到x1+x2=4，利用求出x1=1，x2=3，进而判断y1与y2．(1)解：∵，∴对称轴为直线x=，∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且，∴A（1，0），B（3，0），将点A坐标代入，∴a-4a+3=0，解得a=1，∴；(2)∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B(3,0)两点，且抛物线开口向上，∴不等式的解集为x3；故答案为：x3；(3)∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴当点M、N关于直线x=2对称时，x1+x2=4，∵，∴x1=1，x2=3，此时y1=y2；当x1y2；当x1>1时，y2>y1，综上，当x1=1时y1=y2；当x1y2；当x1>1时y2>y1．【点拨】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、对称性、二次函数与不等式的关系、判断函数值的大小，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．10．(1)m=﹣1；y=x2﹣3x+2(2)x＜1或x＞3【分析】（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c求解即可；（2）根据图象即可得出答案．解：(1)把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得： 0=1+m， ，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以抛物线的解析式为：y=x2﹣3x+2；(2)由图可知，当x2﹣3x+2＞x﹣1时，x＜1或x＞3．【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式及图象法解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为：解：（1）二次函数的图像经过，两点．，解得：，，，，，对称轴为：直线．（2）当，，，，，抛物线与轴交点坐标为：，，，，当时，；（3）当矩形为正方形时，假设点坐标为，点坐标为，，即：，，对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等，，解得：，（不合题意舍去），时，，点坐标为：．12．(1)y=-x2-x+2(2)-2＜x＜0(3)（-1，2）【分析】（1）先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；（2）将不等式变形为,进而得到二次函数图象在一次函数图象上方即可求解；（3）先证明△PDQ为等腰直角三角形，利用勾股定理进而求出 ，表示PD的长度列方程求解即可．(1)解：当x=0，y=0+2=2，当y=0时，x+2=0，解得x=-2，∴A（-2，0），B（0，2），把A（-2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，得，解得，∴该抛物线的解析式为：y=-x2-x+2；(2)解：由不等式，得，由图象可知，二次函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得：不等式的解集为；(3)解：作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，在Rt△OAB中，∵OA=OB=2，∴∠OAB=45°，∴∠PDQ=∠ADE=45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°，∴PQ=DQ=，∴PD=，设点P（x，-x2-x+2），则点D（x，x+2），∴PD=-x2-x+2-（x+2）=-x2-2x，即-x2-2x=1，解得x=-1，∴此时P点的坐标为（-1，2），【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图象法解不等式、点坐标表示线段以及等腰直角三角形的性质等，求出解析式是解题的关键．13．(1)(2)见分析(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；(4)【分析】（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．(1)解：令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，故答案为：；(2)解：先在坐标轴上描出点，再连线即可，如下图：(3)解：如图：当时，与有一个交点，当时，与有两个交点，当时，与有一个交点，综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；(4)解：如下图：当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；当时，（其中，m为常数）与没有公共点；要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足且，解得：且，，故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．14．（1）0；（2）图见分析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．解：（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；故答案为：0； （）如图所示（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，所以有三个根，分别是、、；即答案为3；②∵关于的方程有四个根，∴函数的图象与y=a有四个交点，由函数图象知：的取值范围是．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．15．（1）①②③（2）①（0，3），（1，0）②n=1或n=5；理由见分析③；理由见分析【分析】（1）①令x=0，得到，，，推出抛物线，，都经过点；②根据直线y=3，可知抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2．5，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；推出抛物线，，与直线都有两个交点；③x=1时，得到，，，得到抛物线，，都经过点（1，0）；结合①问结论推出抛物线，，都经过点（1，0）和（0，3）两点；（2）①写出“一簇抛物线”解析式：，，，…，，；令x=0，，令x=1，，得到“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；②配方，得到顶点，设抛物线的对称轴交x轴于点D，得到，，根据对称性得到，，根据，得到，令，解得x=1或，得到，，推出，，得到，推出，求得n=1或n=5；③根据在点处，，解得x=1（舍去），或，得到，同理可得，得到；根据在点处，，解得x=0（舍去），或，得到，从而得到，推出，得到．解：（1）①当x=0时，=3，=3，=3，∴抛物线，，都经过点；故①正确；②∵直线y=3，∴当=3时，解得x=0或x=4，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；当=3时，解得x=0或x=2.5，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；当=3时，解得x=0或x=2，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②正确；③当x=1时，=0，=0，=0，∴抛物线，，都经过点（1，0）∵抛物线，，都经过点∴抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③正确；故答案为①②③；（2）①“一簇抛物线”解析式为：，，，…，，当x=0时，，当x=1时，，故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；故答案为：（0，3），（1，0）；②存在n=1或n=5，理由：∵，∴，设抛物线的对称轴交x轴于点D，则，，由抛物线的对称性知，，∴当为直角三角形时，，∴，令，则x=1或，∴，，∴，∵，∴∵，∴当n-3=0时，顶点在x轴上，，，三点重合，不能构成三角形，∴n-3≠0，n≠0，∴，∴n=1或n=5；③，理由：在点处，，则x=1（舍去），或，∴为与x轴的左交点，则，∴，在点处，，则x=0（舍去），或，∴，为与直线的一个交点，点不在轴上，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了新定义“相关数”和“一簇抛物线”，解决问题的关键是熟练掌握新定义，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，两点间的距离公式．16．(1)在，在(2)是，见分析(3)或或(4)①；②且【分析】（1）把x=1代入，求出y值与1比较即可判定；（2）把x=-2代入方程左右两边，求出值比较即可判定；（3）利用图象法求解即可（4）①当时，利用图象法求解， ②当1