苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题5.12 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象与性质（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题5.12 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（    ）A．2 B． C．4 D．3．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　）A．＞＞ B． ＞＞ C．＞＞ D． ＞＞ 4．若抛物线与轴有唯一公共点，且过点，，则（    ）．A．8 B．6 C．4 D．25．已知抛物线过，，且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（    ）A．4 B． C．6 D．166．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（    ）A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或37．在正比例函数中，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（    ）A．B．C． D．8．关于二次函数，下列说法正确的是（    ）A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线C．其图象的顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小9．二次函数的图象如图，则下列正确的是（    ）A．，B．，C．，D．，10．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）A． B． C． D．二、填空题11．已知二次函数，如果，那么随的增大而__________．12．如图所示是二次函数的图像，那么______.13．抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为______．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为_____．15．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象不经过第三、四象限；乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；丙：函数有最小值；丁：当x≠1时，y＞0．已知这四位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____．16．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有_____．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝a（x﹣2）2的图象交于点B，抛物线y＝a（x﹣2）2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C、D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连结AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为_____．18．如图，点、、、...、在抛物线图象上，点、、、...、在抛物线的对称轴上，若、、...、都为等边三角形（点是抛物线的顶点）且，则的坐标为______．三、解答题19．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.20．抛物线的对称轴为直线，求的值及抛物线的顶点坐标．21．已知抛物线y=a(x-h)2，当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．22．对于二次函数．它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？23．如图，已知点，点，抛物线(h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且，求k的值．24．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．若抛物线的对称轴为，①m的值为_ ﹔②当时，有 （填“”，“”或“”） ．当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．参考答案1．C【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m-1＜0．解：因为抛物线y=（m-1）x2的图象开口向下，所以m-1＜0，即m＜1．故选：C．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下．2．D【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-2，进而可得h的值，从而可得函数解析式，再把x=0代入函数解析式可得y的值．解：由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-2，∴h=2∴函数解析式，∴当时，故选D.【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴为x=h.3．D【分析】根据二次函数的解析式可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而解答本题．解：∵y＝﹣2（x﹣1）2， ∴当x=-1时，y1=-8，当x=1时，y2=0，当x=2时，y3=-2，∴y2＞y3＞y1，故选D．【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．C【分析】先根据二次函数图像上纵坐标相同的两个相异的点可得对称轴，再根据抛物线与轴只有一个公共点得该抛物线的解析式为，最后将点A的坐标代入解析式即得．解：∵抛物线过点，∴该抛物线的对称轴为 ∵抛物线与轴只有一个公共点∴该抛物线的解析式为即∵点是上一点∴故选：．【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟知二次函数图像上纵坐标相同的两个相异的点关于对称轴对称．5．A【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x=m-2．根据抛物线与x轴只有一个公共点可设抛物线解析式为y=（x-m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A（m，n）、B（m-4，n），∴对称轴是x=m-2．又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m-2，0），∴设抛物线解析式为y=（x-m+2）2把A（m，n）代入，得n=（m-m+2）2=4，即n=4．故选：A．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．6．B【分析】根据函数的对称轴为：x=h和的位置关系，分三种情况讨论即可求解．解：函数的对称轴为：x=h，①当时，x=3时，函数取得最小值1，即，解得h=4或h=2（舍去）；②当时，x=1时，函数取得最小值1，即，解得h=0或h=2（舍去）；③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，综上，h=4或h=0，故选：B．【点拨】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．7．B【分析】利用正比例函数中，随的增大而减小，可知；利用抛物线顶点式，对称轴为x=h，可知二次函数的对称轴为，结合图象，即可解答.解：∵在正比例函数中，随的增大而减小∴ ∴二次函数，开口向下，对称轴为故选B【点拨】本题考点涉及正比例函数增减性与k的关系、抛物线开口方向、利用抛物线顶点式求对称轴等知识点，熟练掌握各个知识点是解题关键.8．D【分析】根据抛物线的顶点式分别求出二次项系数、对称轴、顶点坐标，即可判定选项A、B、C的正误，根据二次函数图像可以理解函数的增减性，判断D的正误．解：，，抛物线开口向下，故A错误；，抛物线的对称轴是，故B错误；，抛物线的顶点坐标是，故C错误；，当时，随的增大而减小，故D正确．故选：D．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．D【分析】利用图象，抛物线开口向下，得；利用对称轴在y轴左侧，得，即可解答.解：由图象可知，抛物线开口向下，；对称轴在y轴左侧，；故选D【点拨】本题考查根据二次函数图象分析a和对称轴，属于基础题，难度低，熟练掌握二次函数相关知识点是解题关键.10．B【分析】根据函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则有y＝（x﹣h）2＝a，求出A、B坐标即可求解．解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，∴函数顶点坐标M为（h，0），设点M到直线l的距离为a，则y＝（x﹣h）2＝a，解得：x＝h，即A（h﹣，0），B（h+，0），∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝，故选B．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．．11．增大【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．解：∵y=2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x=-2，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x＞-2时，y随x的增大而增大，故答案为：增大．【解答】解：【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．12．1【分析】根据图像可知抛物线经过原点，所以讲（0,0）代入求值，然后根据二次函数的开口方向，从而确定a的值.解：如图，抛物线经过原点所以将（0,0）代入解析式：解得：又因为二次函数开口向上所以a＞0∴a=1故答案为：1【点拨】本题考查二次函数的性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.13．解：写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．解：抛物线y＝−（x＋2）2顶点坐标为（−2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，∴抛物线y＝−（x＋2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝−（x−2）2．故答案为：y＝−（x−2）2．【点拨】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法．类似于点关于坐标轴对称的坐标求法，关于x轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于y轴对称，点横坐标变为相反数，纵坐标不变．14．．【分析】由韦达定理得出a，b与m的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m的取值范围，再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b和ab整体代入化简，然后再配方，结合m的取值范围可得出答案．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，∴a+b＝2m+1，ab＝m2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m+1)]2﹣4×1×(m2﹣1)＝4m2+4m+1﹣4m2+4＝4m+5≥0，∴m≥．∴a2﹣ab+b2＝(a+b)2﹣3ab＝(2m+1)2﹣3(m2﹣1)＝4m2+4m+1﹣3m2+3＝m2+4m+4＝(m+2)2，∴a2﹣ab+b2的最小值为：．故答案为：．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．15．y＝（x﹣1）2（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质，由甲、丙的描述可知a＞0，乙的描述可知对称轴直线在x=1处或其右侧，由丁的描述可知抛物线的顶点坐标为（1，0），然后a取一个正数可得到一个满足条件的二次函数解析式．解：∵函数图象不经过第三、四象限，函数有最小值，∴a＞0， ∵当x≠1时，y＞0，∴抛物线的顶点坐标为（1，0），∴当a取1时，对应的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2（答案不唯一）．故答案为：y＝（x﹣1）2（答案不唯一）．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握基本性质是解题的关键．16．①【分析】根据二次函数图像的特点得出答案解：①因为y=3（x﹣1）2的二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.【点拨】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.17．8a【分析】根据题意得出BD＝BC＝2，即可求得DC＝4，然后求得E的坐标，根据三角形的面积公式即可求得四边形ACED的面积．解：∵抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝a（x﹣2）2的图象交于点B，∴BD＝BC＝2，∴DC＝4，∵y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，∴E（0，4a），∴S四边形ACED＝S△ACD+S△CDE＝×DC•OE＝＝8a，故答案为：8a．【点拨】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得DC的出和E的坐标是解题的关键．18．##【分析】根据二次函数的性质求得的坐标，进而根据，以及等边三角形的性质求得，找到规律，进而求得的坐标．解：如图，过点作点、、、...、在抛物线的对称轴上，对称轴为则点、、、...、的横坐标为，，，在抛物线上，解得抛物线解析式为：设，，则的纵坐标为，的横坐标为解得（舍去）或的纵坐标为，的横坐标为，即点、、、...、在抛物线上，且在第一象限，纵坐标为同理可得的纵坐标为，横坐标为 ……的纵坐标为，横坐标为故答案为：【点拨】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标系中点的规律问题，找到规律是解题的关键．19．图形见分析，抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0).解：利用描点法可画出这三个函数的图象，分别由图象可得出对称轴及顶点坐标．解：函数图象如图所示：抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).20．，抛物线的顶点坐标是(2，－15)．【分析】根据的对称轴为直线，可以求得m的值，然后代入原来的解析中，将解析式化为顶点式即可解答本题．解：∵的对称轴为直线，∴，解得，∴，∴此抛物线的顶点坐标为(2，－15)，∴m的值是－2，抛物线的顶点坐标是(2，－15)．【点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是知道抛物线的对称轴是直线，由二次函数的顶点式可以写出它的顶点坐标．21．当x＞2时，y随x的增大而减小【分析】由于已知抛物线当时，函数有最大值，得出，可设抛物线为，然后把代入求出即可；进一步根据二次函数的性质求解．解：二次函数，当时，函数有最大值，，即二次函数解析式为，二次函数图象过点，，解得．二次函数解析式为；抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，函数值随增大而减小．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．22．(1)见分析；（2）见分析.【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．解：将的图象向左平移个单位可以得到的图象，∵，∴抛物线开口向下，它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；∵，抛物线开口向下，∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．23．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB=4，∵抛物线y=-（x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=AB=2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h==c+1，∴2=-[c-（c+1）]2+k，解得，k=．【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．（1）1；②=；（2）【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得，由对称轴公式，得；②把分别代入和，即可比较与大小；（2）联立、的解析式得方程，△，题中，即抛物线与直线相交，有2个交点，当时和时代入方程，即得的值，可求出的范围．解：（1）①由，则对称轴，，②把分别代入与得，，，；（2）联立、的解析式可得，，整理得，，则△，，，即就是没有直线与抛物线相切的情况．当时，代入方程，得，（负值舍去），，当时，代入方程，得，，又，的取值为：．【点拨】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求值、一元二次方程的判别式等．