2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区七年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区七年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中最小的数是（ ）
A．B．﹣3C．0D．5
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的经济总产出达10.6万亿元．数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104B．1.06×1013C．10.6×1013D．1.06×108
3．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．±1B．1C．2D．﹣1
4．（3分）下列各组数值相等的是（ ）
A．（﹣3）2和﹣32B．和
C．|﹣32|和﹣（﹣32）D．﹣（﹣2）3和﹣23
5．（3分）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b
B．若，则a＝b
C．若a＝b，则
D．若ac＝bc，则a＝b
6．（3分）“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是（ ）
A．3x+1＝4x﹣2B．3x﹣1＝4x+2C．D．
7．（3分）小明解方程去分母时，方程右边的﹣1忘乘6，因而求出的解为x＝﹣2，那么a的值为（ ）
A．B．a＝﹣3C．a＝﹣5D．a＝﹣1
8．（3分）表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．63B．84C．96D．105
9．（3分）下列说法正确的个数是（ ）
①2x﹣5y+1＝0是方程；
②25与x5是同类项；
③单项式πx3y的系数是π，次数是4；
④一个有理数不是整数就是分数；
⑤关于x的方程kx+2＝k是一元一次方程，则k为任意实数．
A．4个B．2个C．3个D．1个
10．（3分）文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖120元，以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏本20%，则本次出售中，商场（ ）
A．不赚不赔B．赔5元C．赚10元D．赔10元
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）若关于x的方程2x﹣3＝1与x+k＝1的解相同，k＝
12．（3分）“比b的一半小7的数是a”，用方程可以表示为 ．
13．（3分）现在定义一种新的运算“☆”，即对于任意有理数a、b，规定：a☆b＝ab﹣a，例如：2☆3＝2×3﹣2＝4，则（﹣2）☆（1☆3）的值是 ．
14．（3分）如图，小李在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“+”，少于目标数的步数记为“﹣”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为 ．
15．（3分）在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级一班共有学生50人，每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，那么安排 人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
16．（3分）如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），按这种方法继续，第100个图形有 个三角形．
三、解答题（本大题共8题，共72分.解答时要写出必要文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（13分）（1）计算：﹣12﹣6÷（﹣2）×|﹣|；
（2）解方程：；
（3）先化简，再求值：x﹣5（x﹣2y2）+3（x﹣4y2），其中（x+2）2+|y﹣1|＝0．
18．（6分）已知多项式A，B，其中B＝5x2+3x﹣4，马小虎同学在计算“A+B”时，误将“A+B”看成了“A﹣B”，求得的结果为12x2﹣6x+7．
（1）求多项式A；
（2）当x＝﹣1时，求A+B的值．
19．（7分）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．如表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按9元/千克进行柚子销售，平均运费为4元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
20．（7分）如图，某公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地，现将三面留出宽都是x米的小路，余下的部分设计成花圃种植名贵花草，并用篱笆把四周围起来．
（1）用含a、x的代数式表示所用篱笆的总长度；
（2）当a＝11，x＝0.8时，求所用篱笆的总长度．
21．（6分）阅读材料：
“整体思想”是中学数学中重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把（a+b）看成一个整体，4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并7（a﹣b）2﹣9（a﹣b）2+3（a﹣b）2的结果是 ．
（2）已知x2﹣2y＝2，则4x2﹣8y﹣2023的值＝ ．
拓广探索：
（3）若m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为 ．
（4）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝6，求（a﹣c）﹣（2b﹣d）的值＝ ．
22．（10分）甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同．
（1）正常情况下，甲乙两人合作能否履行该合同？为什么？
（2）现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人调走谁可以不违约？说明理由．
23．（11分）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．
（1）现有两种购买方案：
①分两次购买，第一次购买200件，第二次购买500件；
②一次性购买700件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．
（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件．
24．（12分）如图：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣3，﹣1，5．
（1）A、C两点的距离是 ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合；
（3）点M，N在数轴上运动，若点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒3个单位长度的速度从点C出发向左运动，经过多少秒M、N重合？此时它们距离原点多远？
（4）M、N重合后继续按原来方向运动，几秒后它们和点B的距离相等？请直接写出结果．
2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中最小的数是（ ）
A．B．﹣3C．0D．5
【考点】有理数大小比较．
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可．
【解答】解：∵﹣＜﹣3＜0＜5，
∴四个数中最小的数是﹣；
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数＜0＜正数，两个负数，绝对值大的反而小，是一道基础题．
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的经济总产出达10.6万亿元．数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104B．1.06×1013C．10.6×1013D．1.06×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10.6万亿＝10600000000000＝1.06×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，则m的值是（ ）
A．±1B．1C．2D．﹣1
【考点】一元一次方程的定义；绝对值．
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣3＝0是一元一次方程，
∴，
解得m＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
4．（3分）下列各组数值相等的是（ ）
A．（﹣3）2和﹣32B．和
C．|﹣32|和﹣（﹣32）D．﹣（﹣2）3和﹣23
【考点】有理数的乘方；相反数．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方和相反数计算各选项的值，即可得出答案．
【解答】解：A选项，9≠﹣9，故该选项不符合题意；
B选项，≠，故该选项不符合题意；
C选项，9＝9，故该选项符合题意；
D选项，8≠﹣8，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．
5．（3分）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b
B．若，则a＝b
C．若a＝b，则
D．若ac＝bc，则a＝b
【考点】等式的性质．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质判断即可．
【解答】解：A选项，等式两边都加3，故该选项不符合题意；
B选项，∵c≠0，
∴等式两边都乘c，故该选项不符合题意；
C选项，∵c2+1＞0，
∴等式两边都除以（c2+1），故该选项不符合题意；
D选项，题中没有说c≠0，等式两边不能都除以c，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：等式两边加（或减去）同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
6．（3分）“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是（ ）
A．3x+1＝4x﹣2B．3x﹣1＝4x+2C．D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】C
【分析】根据苹果总个数不变，结合每个小朋友分3个则剩1个；每个小朋友分4个则少2个，分别表示苹果数量进而得出等式即可．
【解答】解：∵设共有x个苹果，
∴每个小朋友分3个则剩1个时，小朋友的人数是：，
若每个小朋友分4个则少2个时，小朋友的人数是：，
∴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，此题从分体现了数学与实际生活的密切联系．
7．（3分）小明解方程去分母时，方程右边的﹣1忘乘6，因而求出的解为x＝﹣2，那么a的值为（ ）
A．B．a＝﹣3C．a＝﹣5D．a＝﹣1
【考点】一元一次方程的解．
【答案】D
【分析】根据小明的解法原方程去分母后为2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1，然后解得x＝3a+1，从而代入求解．
【解答】解：按照小明的错解方法如下所示：
，
去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1，
去括号得：4x﹣2＝3x+3a﹣1，
移项得：4x﹣3x＝3a﹣1+2，
合并同类项，系数化为1得：x＝3a+1，
∵错解的结果为x＝﹣2，
∴3a+1＝﹣2，
解得a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，正确根据小明的错解方法求出a的值是解题的关键．
8．（3分）表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．63B．84C．96D．105
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】C
【分析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．
【解答】解：设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，
这7个数之和为：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+x+6+x+8＝7x．
由题意得
A．7x＝63，解得：x＝9，能求得这7个数，不符合题意；
B．7x＝84，解得：x＝12，能求得这7个数，不符合题意；
C．7x＝96，解得：x＝，不能求得这7个数，符合题意；
D．7x＝105，解得：x＝15，能求得这7个数，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“H”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．
9．（3分）下列说法正确的个数是（ ）
①2x﹣5y+1＝0是方程；
②25与x5是同类项；
③单项式πx3y的系数是π，次数是4；
④一个有理数不是整数就是分数；
⑤关于x的方程kx+2＝k是一元一次方程，则k为任意实数．
A．4个B．2个C．3个D．1个
【考点】实数；同类项；单项式；一元一次方程的定义；有理数的乘方．
【答案】C
【分析】根据方程的定义、同类项的定义、单项式的相关概念，有理数的分类、一元一次方程的定义进行判断即可．
【解答】解：①2x﹣5y+1＝0是方程，原说法正确；
②25与x5不是同类项，原说法错误；
③单项式的系数是，次数是4，原说法正确；
④一个有理数不是整数就是分数，原说法正确；
⑤关于x的方程kx+2＝k是一元一次方程，则k≠0，原说法错误；
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的定义、同类项的定义、单项式的相关概念，有理数的分类、一元一次方程的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键．
10．（3分）文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖120元，以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏本20%，则本次出售中，商场（ ）
A．不赚不赔B．赔5元C．赚10元D．赔10元
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】D
【分析】设盈利的那台电子琴成本为x元，则有（1+20%）x＝120，求解可知盈利的那台电子琴成本为100元；设亏本的那台电子琴的成本为y元，可得（1﹣20%）y＝120，求解可知亏本的那台电子琴成本为150元．分别计算两台电子琴的成本和销售所得，即可获得答案．
【解答】解：设盈利的那台电子琴成本为x元，
由题意可得（1+20%）x＝120，
解得x＝100，
设亏本的那台电子琴成本为y元，
由题意可得（1﹣20%）y＝120，
解得y＝150，
∴这两台电子琴的成本共为100+150＝250（元），
而两台电子琴共卖了2×120＝240，
∵240＜250，
∴商场赔了：250﹣240＝10（元）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解盈利与亏本的含义是解题关键．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）若关于x的方程2x﹣3＝1与x+k＝1的解相同，k＝ ﹣1
【考点】同解方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解出方程2x﹣3＝1的根，然后代入方程x+k＝1解答即可．
【解答】解：解方程2x﹣3＝1，可得：x＝2，
把x＝2代入x+k＝1，可得：2+k＝1，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查同解方程问题，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．
12．（3分）“比b的一半小7的数是a”，用方程可以表示为 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】．
【分析】根据“比b的一半小7的数等于a”列方程．
【解答】解：由题意可得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了列方程，理解题意找准等量关系是关键．
13．（3分）现在定义一种新的运算“☆”，即对于任意有理数a、b，规定：a☆b＝ab﹣a，例如：2☆3＝2×3﹣2＝4，则（﹣2）☆（1☆3）的值是 ﹣2 ．
【考点】有理数的混合运算．
【答案】﹣2．
【分析】根据a☆b＝ab﹣a列式计算即可．
【解答】解：（﹣2）☆（1☆3）
＝（﹣2）☆（1×3﹣1）
＝（﹣2）☆2
＝（﹣2）×2﹣（﹣2）
＝﹣4+2
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
14．（3分）如图，小李在某运动APP中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“+”，少于目标数的步数记为“﹣”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为 8260 ．
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
【答案】8260．
【分析】算出四天的步数之和，再算平均数，即可求出结论．
【解答】解：从2日到5日这四天小李平均每天走（步），
故答案为：8260．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，理解“正为超过，负为少于”是解题的关键．
15．（3分）在手工制作课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级一班共有学生50人，每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，那么安排 30 人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【答案】30．
【分析】设x人剪筒身，则（50﹣x）人剪筒底，根据一个筒身配两个筒底列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：设x人剪筒身，则（50﹣x）人剪筒底，
根据题意得，2×40x＝120（50﹣x），
解得：x＝30，
∴30人剪筒身，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套，
故答案为：30．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根据题中的等量关系，列出方程是解题的关键．
16．（3分）如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），按这种方法继续，第100个图形有 397 个三角形．
【考点】规律型：图形的变化类．
【答案】397．
【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中三角形的个数为：1＝1×4﹣3；
第2个图形中三角形的个数为：5＝2×4﹣3；
第3个图形中三角形的个数为：9＝3×4﹣3；
…，
所以第n个图形中三角形的个数为（4n﹣3）个，
当n＝100时，
4n﹣3＝397（个），
即第100个图形中三角形的个数为397个．
故答案为：397．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键．
三、解答题（本大题共8题，共72分.解答时要写出必要文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（13分）（1）计算：﹣12﹣6÷（﹣2）×|﹣|；
（2）解方程：；
（3）先化简，再求值：x﹣5（x﹣2y2）+3（x﹣4y2），其中（x+2）2+|y﹣1|＝0．
【考点】整式的加减—化简求值；解一元一次方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；有理数的混合运算．
【答案】（1）0；
（2）y＝﹣1；
（3）﹣x﹣2y2，0．
【分析】（1）先算乘方，化简绝对值，然后算乘除，最后算减法；
（2）按照解一元一次方程的步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1）解答即可；
（3）先去括号，合并同类项进行化简，然后根据非负数的性质求得x，y的值，代入求值．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣1+1
＝0；
（2）
3（3y﹣1）﹣2（5y﹣7）＝12
9y﹣3﹣10y+14＝12
9y﹣10y＝12+3﹣14
﹣y＝1
y＝﹣1；
（3）x﹣5（x﹣2y2）+3（x﹣4y2）
＝x﹣5x+10y2+3x﹣12y2
＝﹣x﹣2y2，
∵（x+2）2+|y﹣1|＝0
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣2，y＝1，
原式＝﹣（﹣2）﹣2×12＝2﹣2＝0．
【点评】本题考查了有理数的运算，解一元一次方程，整式的化简求值，掌握有理数和整式的运算法则，解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18．（6分）已知多项式A，B，其中B＝5x2+3x﹣4，马小虎同学在计算“A+B”时，误将“A+B”看成了“A﹣B”，求得的结果为12x2﹣6x+7．
（1）求多项式A；
（2）当x＝﹣1时，求A+B的值．
【考点】整式的加减．
【答案】（1）17x2﹣3x+3；
（2）22x2﹣1，21．
【分析】（1）先根据题意列出算式（12x2﹣6x+7）+（5x2+3x﹣4），再去括号，合并同类项即可；
（2）根据题意和（1）中结果列出算式（17x2﹣3x+3）+（5x2+3x﹣4），再去括号、合并同类项化简原式，继而将x＝﹣1代入计算即可．
【解答】解：（1）根据题意知，A＝（12x2﹣6x+7）+（5x2+3x﹣4）
＝12x2﹣6x+7+5x2+3x﹣4
＝17x2﹣3x+3；
（2）A+B
＝（17x2﹣3x+3）+（5x2+3x﹣4）
＝17x2﹣3x+3+5x2+3x﹣4
＝22x2﹣1，
当x＝﹣1时，
原式＝22×（﹣1）2﹣1
＝22×1﹣1
＝22﹣1
＝21．
【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
19．（7分）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．如表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按9元/千克进行柚子销售，平均运费为4元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
【考点】正数和负数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据表格中“销售量超过或不足计划量的情况”进行计算即可；
（2）求出这7天销售量的和即可；
（3）根据销售量计算总销售额与总运费的差即可．
【解答】解：（1）周六销售柚子最多，销售量为100+13＝113（千克），最少的是周五，销售量为100﹣7＝93（千克），
所以最多的一天比最少的一天多销售113﹣93＝20（千克），
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）100×7+3﹣6﹣2+11﹣7+13+5＝717（千克），
答：小王第一周实际销售柚子的总量是717千克；
（3）（9﹣4）×717＝3585（元），
答：小王第一周销售柚子一共收入3585元．
【点评】本题考查正数与负数，理解正数与负数的意义是正确解答的前提．
20．（7分）如图，某公园有一块长为（2a﹣1）米，宽为a米的长方形土地，现将三面留出宽都是x米的小路，余下的部分设计成花圃种植名贵花草，并用篱笆把四周围起来．
（1）用含a、x的代数式表示所用篱笆的总长度；
（2）当a＝11，x＝0.8时，求所用篱笆的总长度．
【考点】整式的加减；列代数式；代数式求值．
【答案】（1）（6a﹣6x﹣2）米；
（2）59.2米．
【分析】（1）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度；
（2）直接将a和x代入第（1）问所求的面积式子中，得出结果．
【解答】解：（1）由图可得：花圃的长为（2a﹣1﹣2x）米，宽为（a﹣x）米；
所以篱笆的总长度为
2（2a﹣1﹣2x）+2（a﹣x）
＝4a﹣2﹣4x+2a﹣2x
＝（6a﹣6x﹣2）米；
（2）当a＝11，x＝0.8时，
6a﹣6x﹣2
＝6×11﹣6×0.8﹣2
＝59.2（米），
答：篱笆的总长度是59.2米．
【点评】本题主要考查整式的加减的实际应用，从生活实际中出发，以数学知识解决生活实际中的问题，同时也考查了长方形周长的计算．
21．（6分）阅读材料：
“整体思想”是中学数学中重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把（a+b）看成一个整体，4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并7（a﹣b）2﹣9（a﹣b）2+3（a﹣b）2的结果是 （a﹣b）2 ．
（2）已知x2﹣2y＝2，则4x2﹣8y﹣2023的值＝ ﹣2015 ．
拓广探索：
（3）若m﹣n＝2，mn＝﹣5，则3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）的值为 ﹣4 ．
（4）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝6，求（a﹣c）﹣（2b﹣d）的值＝ ﹣3 ．
【考点】整式的加减—化简求值．
【答案】（1）（a﹣b）2；
（2）﹣2015；
（3）﹣4；
（4）﹣3．
【分析】（1）将各项系数加减即可求解；
（2）4x2﹣8y﹣2023＝4（x2﹣2y）﹣2023，据此即可求解；
（3）3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）＝2mn+3（m﹣n），然后整体代入求值；
（4）（a﹣c）﹣（2b﹣d）＝（a﹣2b）﹣（c﹣d），据此即可求解．
【解答】解：（1）7（a﹣b）2﹣9（a﹣b）2+3（a﹣b）2
＝（7﹣9+3）（a﹣b）2
＝（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2；
（2）因为x2﹣2y＝2，
所以4x2﹣8y﹣2023
＝4（x2﹣2y）﹣2023
＝4×2﹣2023
＝8﹣2023
＝﹣2015，
故答案为：﹣2015；
（3）3（mn﹣n）﹣（mn﹣3m）
＝3mn﹣3n﹣mn+3m
＝2mn+3（m﹣n），
当m﹣n＝2，mn＝﹣5时，
原式＝2×（﹣5）+3×2＝﹣10+6＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（4）当a﹣2b＝3，c﹣d＝6时，
（a﹣c）﹣（2b﹣d）
＝a﹣c﹣2b+d
＝（a﹣2b）﹣（c﹣d）
＝3﹣6
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了利用整体思想求代数式的值，将代数式进行适当变形是解题关键．
22．（10分）甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同．
（1）正常情况下，甲乙两人合作能否履行该合同？为什么？
（2）现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人调走谁可以不违约？说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【答案】（1）能履行该合同，见解析；
（2）调走甲，不违约，见解析．
【分析】（1）设甲、乙两人合作需要x天完成，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
（2）先求合作9天完成的工作量，然后再计算剩下的工作量甲乙各自还需要的时间，将前后两个时间和加起来与15比较，可以求出结论．
【解答】解：（1）能履行该合同，理由如下：
设甲、乙两人合作需要x天完成，根据题意，
解得x＝12，
因为12＜15，所以甲、乙两人能履行该合同；
（2）调走甲，不违约，理由如下：
设两人合作了9天后，甲继续完成此项工程还需a天，则：，
解得：a＝7.5，
此时，9+7.5＝16.5＞15，违约；
设两人合作了9天后，乙继续完成此项工程还需b天，则：，
解得：b＝5，
此时，9+5＝14＜15，不违约．
综上所述：若调走甲，不违约；若调走乙，违约．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法的运用，在解答时根据工程问题的数量关系建立方程是关键．分类讨论是解答本题的重点．
23．（11分）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．
（1）现有两种购买方案：
①分两次购买，第一次购买200件，第二次购买500件；
②一次性购买700件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．
（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】（1）购买方案②费用较省；
（2）第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，分别求出选择方案①②所需费用，比较做差后可得出购买方案②费用较省；
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件，分0＜x＜200，200≤x≤300二种情况考虑，利用总价＝单价×数量，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）购买方案②费用较省，理由如下：
购买方案①所需费用为3×200+2.5×500＝1850（元），
购买方案②所需费用为2×700＝1400（元）．
∵1850＞1400，
∴购买方案②费用较省．
（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件．
①当0＜x＜200时，3x+2（700﹣x）＝1860，
解得：x＝460（不合题意，舍去）；
②200≤x≤300时，3x+2.5（700﹣x）＝1860，
解得：x＝220，
∴700﹣x＝700﹣220＝480．
答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键：（1）利用总价＝单价×数量，分别求出选择方案①②所需费用；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（12分）如图：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣3，﹣1，5．
（1）A、C两点的距离是 8 ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 3 表示的点重合；
（3）点M，N在数轴上运动，若点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒3个单位长度的速度从点C出发向左运动，经过多少秒M、N重合？此时它们距离原点多远？
（4）M、N重合后继续按原来方向运动，几秒后它们和点B的距离相等？请直接写出结果．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【答案】（1）8；
（2）3；
（3）经过秒M、N重合，此时它们距离原点；
（4）4秒．
【分析】（1）将点A表示的数减去点C表示的数即可；
（2）先求出线段AC的中点表示的数，点B关于中点的对称点表示的数即为所求；
（3）设经过t秒点M、N重合，用t表示出点M，N表示的数，因为点M，N重合，所以它们表示的数相同，列方程即可求出t的值，再求出重合的点表示的数即可求出它们距离原点多远；
（4）设点M、N重合后继续按原来方向运动，经过m秒它们和点B的距离相等，用m表示出它们与点B的距离，再列方程解出即可．
【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，
故答案为：8；
（2）线段AC的中点表示的数为：＝1，
点B关于AC的中点的对称点表示的数为3，
故答案为：3；
（3）设经过t秒M、N重合，则点M表示的数为：﹣3+2t，点N表示的数为：5﹣3t，
根据题意，得﹣3+2t＝5﹣3t，
解得t＝，
此时点M，N表示的数为：﹣3+2×＝，
∴此时它们距离原点；
答：经过秒M、N重合，此时它们距离原点；
（4）4秒．
理由如下：设点M、N重合后继续按原来方向运动，经过m秒它们和点B的距离相等，
根据题意，得﹣3+2m﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣（5﹣3m），
解得m＝4，
答：4秒后点M、N和点B的距离相等．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，列代数式，能在动态问题中用代数式表示出点所表示的数是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
6．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
7．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
8．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
9．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
10．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
11．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
12．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
13．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
14．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
15．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
17．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
18．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
19．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
20．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
21．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
22．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
23．同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
24．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
25．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
26．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
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星期
一
二
三
四
五
六
日
柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克）
+3
﹣6
﹣2
+11
﹣7
+13
+5
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