河北省沧州市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程直接确定倾斜角.
【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为.
故选：B.
2. 已知，，，若，则（ ）
A. 5B. 4C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解.
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以，解得，
所以.
故选：A.
3. 如果且，那么直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C
4. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量线性运算，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，.
故选：A
5. 已知直线，䒴，，则（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.
【详解】已知直线，
由，得，且，解得，
由，得，故.
故选：B.
6. 已知，，，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法即可得.
【详解】易知，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
故选：C．
7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案.
【详解】解：将直线方程变形为，
由，解得，
由此可得直线恒过点，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于
到直线的最短距离为0，此时直线经过点．
又，
所以到直线的距离的取值范围是．
故选：B．
8. 在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.
【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，
连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，且，
所以，于是令，
所以，，
又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段长度的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，，直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，则直线的斜率的取值可能为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】利用已知可求得，，结合图形可求得与线段的延长线（不含点）有公共点的直线的斜率的范围.
【详解】因为，，，
所以直线，，
又过斜率为0的直线与线段的延长线相交，
由图形可得直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，
则直线的斜率的取值范围为.

故选：BC.
10. 在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.
【详解】由题意得：如下图所示：

对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；
对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；
对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；
对于D项：，
所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选：AC.
11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）

A. ，，，四点共面
B. 与所成角的大小为
C. 在线段上存在点，使得平面
D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.
【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，

则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥体积为定值，故D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
则直线的方程为，
又因为直线过点，所以，
解得：，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或，
故答案为：y=2x或．
13. 在四面体中，，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故答案为：30°
14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.
【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.
如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.
设，则
解得即，
关于轴的对称点为，
故周长的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在梯形中，，，已知，，．
（1）求点的坐标；
（2）求梯形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线的位置关系及斜率公式计算即可；
（2）法一、计算对角线长结合三角形面积公式求梯形面积即可；法二、利用两点距离公式先计算梯形上下底长，再求一底边所在直线，根据点到直线的距离公式计算梯形的高，利用梯形面积公式计算即可.
【小问1详解】
设，由，得，即，
由，得，即，
所以，，即点的坐标为．
【小问2详解】
方法一：，，
设，又，
所以梯形的面积
；
方法二：，
，
由，，得直线的方程为，
点到直线的距离．
所以梯形的面积．
16. 空间直角坐标系中，已知点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求得与的坐标，再根据与互相垂直求解；
（2）由求解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以，．
又与互相垂直，
所以，解得．
小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以点到直线的距离．
17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线夹角及面面夹角即可.
【小问1详解】

取的中点，连接，显然，
由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，
又底面，所以，
因为是中点，易得，
所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
，
故异面直线的夹角余弦值为；
【小问2详解】
由上可知，
设面的一个法向量为，
则，
取，即，
易知面的一个法向量为，
由图象可知二面角为钝角，设其为，
所以，
则.
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明平面平面；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
证明：在中，，，由余弦定理，得
，所以，即．
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
设，的中点分别为，，连接，，
因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．
因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，B1,0,0，，，，
设，则，所以．
，，设m=x,y,z是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，又，
则，
即，解得．
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
19. 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球的半径为，，，为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；
（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式可求正弦值的最小值.
【小问1详解】
若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角面积为；
【小问2详解】
①由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由是球的直径，则，
且，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线直线，与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由，
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，
则，
可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，则，
可得，
当且仅当取等号．
则取最大值，为最小值.