初中数学人教版（2024）七年级上册1.2.2 数轴练习

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册1.2.2 数轴练习，共31页。
（1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为______．
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以3个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点P所对应的数是多少?
2．如图，在数轴上有A、B、C这三个点，
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
（2）A、B两点间的距离是多少？A、C两点间的距离是多少？
（3）若将点A向右移动5个单位后，则A、B、C这三个点所表示的数谁最大？最大的数比最小的数大多少？
3．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，此时点是点，的“倍分点”．
（1）当点表示数，点表示数时，下列各数，，是点，的“倍分点”的是____；
（2）当点表示数，点表示数时，为数轴上一个动点．
①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数；
②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点表示的数．
4．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．(注：结果保留 )
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”）， 这个数是 ；（注：滚动是指没有滑动的转动）
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，求A点运动的路程和此时点A所表示的数．
5．已知有理数满足（a+20）2+（b-30）2=0，且在数轴上对应的点分别是A和B两点（如图）我们把数轴上A、B两点之间的距离用 表示．
（1）求AB的值
（2）若数轴上有一点C，满足2AC=3BC，求C点表示的数．
（3）若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位/s和4单位/s的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时PQ=30？
6．已知数轴上有、、三个点对应的数分别是，，，且；动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
（1）求，，的值；
（2）以为长，为宽，作出长方形，其中与重合，与重合（如图所示），将这个长方形总绕着右边的端点不断滚动（无滑动），求点第3次落在数轴上对应的数字；
（3）将（2）中的长方形，与重合，与重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动．当点与点重合时，立即返回向左移动，当点与点重合时，立即返回向右移动，点再次到达点时停止，整个过程中速度保持不变，点从点出发，向左移动，速度为1个单位长度/秒，当P点与点相遇所花的时间为，求的值．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝15．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+5|+|x﹣7|是否有最小值？如果有，写出求最小值的过程；如果没有，说明理由．
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足．
（1）求a和b的值；
（2）点P，Q分别从A，B两点同时向右运动，点P的运动速度为每秒5个单位长度，点Q的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t（秒）．
①在P，Q的运动过程中，共有多长时间P，Q两点间的距离不超过4个单位长度？
②当t >15时，在点P，Q的运动过程中，等式AP+mPQ＝75（m为常数）始终成立，求m的值．
9．我们把数轴上表示数的点称为离心点，记作点，对于两个不同的点M和N，若点M、N到离心点的距离相等，则称点M、N互为离心变换点．例如：图1中，因为表示数的点M和表示数1的点N，它们与离心点的距离都是2个单位长度，所以点M、N互为离心变换点．
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，且点A、B互为离心变换点．
①若，则 ；若，则a= ．
②用含a的式子表示b，则b= ．
③若把点A表示的数乘以3，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度恰好到点B，则点A表示的数的相反数是什么？
（2）若数轴上的点P表示数m，Q表示数m+6．对P点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k＞0）个单位长度得到P1，P2为P1的离心变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到P3，P4为P3的离心变换点…，依此顺序不断地重复，得到P5，P6，…，Pn．
①已知P2019表示的数是，求的值；
②对Q点做如下操作：Q1为Q的离心变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，Q3为Q2的离心变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4，…，依此顺序不断地重复，得到Q5，Q6，…，Qn，若无论k为何值，Pn与Qn两点间的距离都是26，求n的值．
10．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问：
（1）动点从点运动至点所需要的时间是____________秒；
（2）用含的代数式分别表示：点在线段上运动时，所表示数是___________，在线段上运动时，所表示数是___________；
（3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．
11．如图，在数轴上点表示数，点表示数，，满足．
（1）求，的值；
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数；
（3）如图，一小球甲从点处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒）．
①分别表示出（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含的代数式表示）；
②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．
12．如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图1，点以每秒个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）如图2，若点对应的数是，现有点从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．
图1
图2
13．如图，数轴上的点所表示的数分别为
（1）的长为
（2）若点为的中点，则点表示的数为___：
（3）将一枚棋子放置在点处，让这枚棋子沿数轴在线段上往复运动（即棋子从点出发沿数轴向右运动，当运动到点处，随即沿数轴向左运动，当运动到点处，随即沿数轴向右运动，如此反复…），并且规定棋子按照如下的步骤运动：第步，从点开始运动个单位长度至点处：第步，从点继续运动t 个单位长度至点处；第步，从点继续运动个单位长度至点处…．
例如：当时，点，的位置如图所示．
解决如下问题：
①如果，那么表示的数为 ；表示的数为 ；线段=
②如果，且点表示的数为，那么
③如果，且线段，那么请你求出的值 ；
14．，两点在数轴上的位置如图所示，其中为原点，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且满足
（1）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒（）．
①当时，的长为______，点表示的有理数为______；
②当时，求的值；
（2）在（1）的条件下，同时动点以每秒3个单位长度的速度从点向左运动，那么当动点，相距2个单位长度时，试求的长．
15．已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足|a＋3|＋(b-9）2＝0
（1）求a、b的值；
（2）点C是数轴上A、B之间的一个点，使得AC＋OC＝BC，求出点C所对应的数；
（3）在（2）的条件下，点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以1个单位长度每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动，点P运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．设它们的运动时间为t秒，当OP＋BQ＝3PQ时，求t的值．
16．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB=BC=20．
（1）点A对应的数是．点B对应的数是．
（2）若数轴上有一点D，且BD=4，则点D表示的数是什么?
（3）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．
第一次月考难点特训（一）和数轴上的动点有关的压轴题
1．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，点P为数轴上一动点，且点P对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为______．
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10?若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以3个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点P所对应的数是多少?
【答案】（1）1；（2）-4或6；（3）-18或-30．
【解析】
【分析】
（1）根据PA=PB，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值；
（2）分x＜-3，-3≤x≤5和x＞5三种情况，根据PA+PB=10，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当运动时间为t秒时，点A对应的数为2t-3，点B对应的数为t+5，点P对应的数为-3t，根据AB=2，即可得出关于x的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入-3t中即可求出结论．
【详解】
解：（1）依题意，得：5-x=x-（-3），
解得：x=1．
故答案为：1．
（2）当x＜-3时，-3-x+5-x=10，
解得：x=-4；
当-3≤x≤5时，x-（-3）+5-x=8≠10，不符合题意，舍去；
当x＞5时，x-5+x-（-3）=10，
解得：x=6．
答：数轴上存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10，x的值为-4或6．
（3）当运动时间为t秒时，点A对应的数为2t-3，点B对应的数为t+5，点P对应的数为-3t，
依题意，得：|2t-3-（t+5）|=2，
即t-8=-2或t-8=2，
解得：t=6或t=10．
当t=6时，-3t=-18；
当t=10时，-3t=-30．
答：当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，点P所对应的数是-18或-30．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．如图，在数轴上有A、B、C这三个点，
回答：
（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？
（2）A、B两点间的距离是多少？A、C两点间的距离是多少？
（3）若将点A向右移动5个单位后，则A、B、C这三个点所表示的数谁最大？最大的数比最小的数大多少？
【答案】（1）-6、1、4；（2）7，10；（3）C点表示的数最大，比最小的数大5
【解析】
【分析】
（1）直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数；
（2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答．
（3）根据移动的方向，得A所表示的数是-6+5=-1．比较负数的时候，绝对值大的反而小．
【详解】
解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是-6、1、4；
（2）根据图示知AB=|-6|+|1|=7；AC=|-6|+|4|=10；
（3）将点A向右移动5个单位后，A点表示的数是-1（如图所示），则 A、B、C这三个点所表示的数C点最大；根据图示知最大的数是4，最小的数是-1，
则最大的数比最小的数大4-（-1）=5．
【点睛】
本题考查了是数轴．注意：数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加．
3．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，此时点是点，的“倍分点”．
（1）当点表示数，点表示数时，下列各数，，是点，的“倍分点”的是____；
（2）当点表示数，点表示数时，为数轴上一个动点．
①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数；
②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点表示的数．
【答案】（1），；（2）①，，，；②，，，，，，，，，，，
【解析】
【分析】
（1）根据题意求得CA与BC，AB与AC的关系，得到答案；
（2）①根据点D与点B的位置关系列方程求解；②分类讨论点P位置求解．
【详解】
解：（1）∵点表示数，点表示数
∴AB=2-(-2)=4
如图，当C表示的数是时，此时点C不是点，B的“倍分点”．
如图，当点C表示的数是1时，此时点C是点，B的“倍分点”．
如图，当点C表示的数是4时，此时点C是点，B的“倍分点”．
故答案为：1，
（2）设点对应的数为．
①当点在之间时，因为，所以时，，
即；
当时，，即．
当点在点右侧，，即，解得；
当点在点左侧，，即，解得．
综上，点表示的数可为，，，．
②由①得点是倍分点时，点表示的数可为，，，．
当点为倍分点，点在之间时，，即，解得；
点在点左侧时，，即，解得；
，，解得．
点在点右侧，，即，解得．
当点为倍分点时，同理可求，，，．
综上，点表示的数可为：，，，，，，，，，，，．
【点睛】
本题考查数轴相关知识点，解题关键是根据题意分类讨论符合题干的情况．
4．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．(注：结果保留 )
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”）， 这个数是 ；（注：滚动是指没有滑动的转动）
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，求A点运动的路程和此时点A所表示的数．
【答案】（1）无理，π；（2）4π或4π；（3）①5，3；②A点运动的路程为28π；点A所表示的数为0．
【解析】
【分析】
（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化；
②利用绝对值的性质以及有理数的加减运算得出移动距离和A表示的数即可．
【详解】
解：（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，
∴；
∴点C表示的数是无理数，这个数是π；
故答案为：无理，π；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，
当向右滚动时，有
；
此时点D表示额数为；
当向左滚动时，有
；
此时点D表示的数为；
∴点D表示的数是4π或-4π；
故答案为：4π或4π；
（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．
∴，，
∴第5次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远，
故答案为：5，3；
②∵，
∴14×2π×1=28π，
∴A点运动的路程共有28π；
∵（+2）+（1）+（+5）+（3）+（3）=0，
∴0×2π=0，
∴此时点A所表示的数是：0，
综合上述，点A所表示的数是：．
【点睛】
此题主要考查了数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
5．已知有理数满足（a+20）2+（b-30）2=0，且在数轴上对应的点分别是A和B两点（如图）我们把数轴上A、B两点之间的距离用 表示．
（1）求AB的值
（2）若数轴上有一点C，满足2AC=3BC，求C点表示的数．
（3）若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位/s和4单位/s的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时PQ=30？
【答案】（1）50；（2）10或130；（3）或或-40或-100
【解析】
【分析】
（1）利用偶次方的非负性求出a和b，再计算AB；
（2）分点C在点A右侧，点C在点A左侧，两种情况，结合2AC=3BC列出方程，解之即可；
（3）分若点P向左运动，若点P向右运动，两种情况，分别再分当点P在点Q左侧，当点P在点Q右侧，一共四种情况，利用PQ=30列出方程，解之即可．
【详解】
解：（1）∵（a+20）2+（b-30）2=0，
∴a+20=0，b-30=0，
∴a=-20，b=30，
∴AB的值为30-（-20）=50；
（2）设点C表示的数为m，
∵2AC=3BC，
∴点C在点A右侧，
当点C在点B左侧时，
则2（m+20）=3（30-m）
解得：m=10；
当点C在点B右侧时，
则2（m+20）=3（m-30）
解得：m=130；
综上：C点表示的数为10或130；
（3）设运动时间为t秒，
若点P向左运动，
当点P在点Q左侧，
30-4t-（-20+2t）=30，
解得：t=，
此时点P表示的数为；
当点P在点Q右侧，
-20+2t-（30-4t）=30，
解得：t=，
此时点P表示的数为；
若点P向右运动，
当点P在点Q左侧，
30-4t-（-20-2t）=30，
解得：t=10，
此时点P表示的数为-40；
当点P在点Q右侧，
-20-2t-（30-4t）=30，
解得：t=40，
此时点P表示的数为-100，
综上：当点P分别运动到或或-40或-100处时，PQ=30．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
6．已知数轴上有、、三个点对应的数分别是，，，且；动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
（1）求，，的值；
（2）以为长，为宽，作出长方形，其中与重合，与重合（如图所示），将这个长方形总绕着右边的端点不断滚动（无滑动），求点第3次落在数轴上对应的数字；
（3）将（2）中的长方形，与重合，与重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动．当点与点重合时，立即返回向左移动，当点与点重合时，立即返回向右移动，点再次到达点时停止，整个过程中速度保持不变，点从点出发，向左移动，速度为1个单位长度/秒，当P点与点相遇所花的时间为，求的值．
【答案】（1）a=-24，b=-10，c=10，（2）96，（3）秒
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质列方程求解；
（2）根据题意可知，GH=14，HE=10，E点第一次落在数轴上对应的数是0，以后每次落到数轴上，都增加长方形的周长，可以求解；
（3）根据G点的运动方向进行分类讨论，然后利用速度列方程即可．
【详解】
解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0，
∴a+24=0，b+10=0，c-10=0，
∴a=-24，b=-10，c=10．
（2）∵a=-24，b=-10，
∴AB=-10-（-24）=14，OB=10，
E点第一次落在数轴上对应的数是：-10+10=0，
第二次落在数轴上对应的数是：0+（14+10）×2=48，
第三次落在数轴上对应的数是：48+（14+10）×2=96；
（3）①当G点第一次向右运动时（0≤t≤10），PG=34，根据题意列方程得，
2t+t=34，
解得，，，舍去；
②当H点到达C点时，运动时间为：，
此时，P点对应的数是0，G点对应的数是-4，P、G两点同时向左运动时（10＜t≤20），G点速度大于P点速度，故G点与P点不能相遇；
③当G点回到A点时，运动时间为：，
此时，P点对应的数是-10，G点对应的数是-24，G点第二次向右运动时（20＜t≤30），PQ=14，根据题意列方程得，
2(t-20)+t-20=14，
解得，，
综上所述，当t为秒时，P点与点相遇．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，体现了分类讨论思想，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝15．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+5|+|x﹣7|是否有最小值？如果有，写出求最小值的过程；如果没有，说明理由．
【答案】（1）点B表示的数是﹣7，点P表示的数是8﹣6t；（2）点P运动5秒时追上点Q；（3）当﹣5≤x≤7时，|x+5|+|x﹣7|存在最小值12．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴表示数的方法得到B表示的数为8-15，P表示的数为8-6t；
（2）点P运动t秒时追上点Q，根据P的路程-Q的路程=15，列出方程求解即可；
（3）分类讨论：①当点D运动到点B的左侧时，②当点D在点A、B两点之间运动时，③当点D在点A的右侧时，化简绝对值，然后解不等式即可．
【详解】
（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝15，
∴点B表示的数是8﹣15＝﹣7，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣6t．
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝6x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴6x﹣3x＝15，
解得：x＝5，
∴点P运动5秒时追上点Q．
（3）若点D是数轴上一点可分为三种情况：
①当点D在点B的左侧或与点B重合时x≤﹣5，
则有BD＝|x+5|＝﹣（x+5）＝﹣x﹣5，AD＝|x﹣7|＝﹣（x﹣7）＝7﹣x，
∵|x+6|+|x﹣8|≥0，
∴﹣x﹣5+7﹣x≥0，
∴x≤1，
∴当x＝﹣5时|x+5|+|x﹣7|存在最小值12，
②当点D在AB之间时﹣5＜x＜7，BD＝|x+5|＝x+5，AD＝|x﹣7|＝﹣（x﹣7）＝7﹣x，
∵|x+5|+|x﹣7|＝x+5+7﹣x＝12，
∴式子|x+5|+|x﹣7|＝12．
③当点D在点A的右侧时x≥7，则BD＝|x+5|＝x+6，AD＝|x﹣7|＝x﹣7，
∵|x+5|+|x﹣7|＝x+5+x﹣7＝2x﹣2≥0，
∴x≥1，
∴当x＝7时，|x+5|+|x﹣7|＝12为最小值，
综上所述当﹣5≤x≤7时，|x+5|+|x﹣7|存在最小值12．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的中点，解不等式等知识点，以及分类讨论的数学思想．
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足．
（1）求a和b的值；
（2）点P，Q分别从A，B两点同时向右运动，点P的运动速度为每秒5个单位长度，点Q的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t（秒）．
①在P，Q的运动过程中，共有多长时间P，Q两点间的距离不超过4个单位长度？
②当t >15时，在点P，Q的运动过程中，等式AP+mPQ＝75（m为常数）始终成立，求m的值．
【答案】（1）−5，10；（2）①8秒；②当m＝-5．
【解析】
【分析】
（1）由非负性可求解；
（2）①由两点距离可求解；由P，Q两点间的距离不超过4个单位长度，列出不等式即可求解；②等式AP＋mPQ＝75（m为常数）始终成立，由列出方程，即可求解．
【详解】
（1）∵a、b满足：|a＋5|＋（b−10）2＝0，
∵|a＋5|≥0，（b−10）2≥0，
∴：|a＋5|＝0，（b−10）2＝0，
∴a＝−5，b＝10，
故答案为：−5，10；
（2）①当PQ为4个单位长度时，|−5＋5t−（10＋4t）|=4，
∴t=11或t=19
∴19-11=8s
∴共有8秒时间PQ两点的距离不超过4个单位
②由题意可得：5t＋m（-5+5t-10-4t）＝75，
∴5t+mt-15m＝75，
∴当m＝-5时，等式AP＋mPQ＝75（m为常数）始终成立．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质、数轴、两点间距离等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
9．我们把数轴上表示数的点称为离心点，记作点，对于两个不同的点M和N，若点M、N到离心点的距离相等，则称点M、N互为离心变换点．例如：图1中，因为表示数的点M和表示数1的点N，它们与离心点的距离都是2个单位长度，所以点M、N互为离心变换点．
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，且点A、B互为离心变换点．
①若，则 ；若，则a= ．
②用含a的式子表示b，则b= ．
③若把点A表示的数乘以3，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度恰好到点B，则点A表示的数的相反数是什么？
（2）若数轴上的点P表示数m，Q表示数m+6．对P点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k＞0）个单位长度得到P1，P2为P1的离心变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到P3，P4为P3的离心变换点…，依此顺序不断地重复，得到P5，P6，…，Pn．
①已知P2019表示的数是，求的值；
②对Q点做如下操作：Q1为Q的离心变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，Q3为Q2的离心变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4，…，依此顺序不断地重复，得到Q5，Q6，…，Qn，若无论k为何值，Pn与Qn两点间的距离都是26，求n的值．
【答案】（1）①2；2π；②2a；③；（2）①；②20．
【解析】
【分析】
（1）①根据互为离心变换点的定义可得出a+b=2，代入数据即可得出结论；
②根据a+b=2，变换后即可得出结论；
③设点A表示的数为x，根据点A的运动找出点B，结合互为离心变换点的定义即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据点Pn与点Qn的变化找出变化规律“P4n=m、Q4n=m+6+4n”，再根据两点间的距离公式即可得出关于n的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为离心变换点，
∵a+b=2．
当a=4时，b=2；
当b=π时，a=2π．
故答案为：2；2π．
②∵a+b=2，
∴b=2a．
故答案为：2a．
③设点A表示的数为x，
根据题意得：3x3+x=2，
解得：x=．
∴点A表示的数的相反数是；
故答案为：．
（2）①由题意可知：P1表示的数为m+k，P2表示的数为2（m+k），P3表示的数为2m，P4表示的数为m，P5表示的数为m+k，…，
可知P点的运动每4次一个循环，
∵2019=504×4+3，2020=505×4，
∴，
∴，
∵，
∴；
②设点P表示的数为m，则点Q表示的数为m+6，
由题意可知：P1表示的数为m+k，P2表示的数为2（m+k），P3表示的数为2m，P4表示的数为m，P5表示的数为m+k，…，
Q1表示的数为2m6，Q2表示的数为2+m+6，Q3表示的数为4m6，Q4表示的数为4+m+6，Q5表示的数为6m6，Q6表示的数为6+m+6，…，
∴P4n=m，Q4n=m+6+4n．
令|m（m+6+4n）|=26，
即|6+4n|=26，
解得：4n=20或4n=32（舍弃）．
∴n的值为20．
【点睛】
本题考查了规律型中图形的变化类、数轴以及解一元一次方程，根据互为基准变换点的定义找出a+b=2是解题的关键．
10．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问：
（1）动点从点运动至点所需要的时间是____________秒；
（2）用含的代数式分别表示：点在线段上运动时，所表示数是___________，在线段上运动时，所表示数是___________；
（3）求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】（1）19秒；（2）2t-10，2t-20；（3）2、6.5、11或17
【解析】
【分析】
（1）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为19秒；
（2）由路程=速度时间得出点P的运动路程，从而可求出点P与点O相距的距离即可得出答案；
（3）根据PO与BQ的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：（1）由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为，OB段时间为，BC段时间为
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒），
（2）点在线段上运动时，OP=2t，则点所表示数是2t-10
在线段上运动时，所表示数是10+2（t-5-10）=2t-20
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8-t=10-2t，解得：t=2．
②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8-t=（t-5）×1，解得：t=6.5．
③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t-8）=（t-5）×1，解得：t=11．
④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t-15）=t-13+10，解得：t=17．
综上所述：t的值为2、6.5、11或17．
11．如图，在数轴上点表示数，点表示数，，满足．
（1）求，的值；
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数；
（3）如图，一小球甲从点处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒）．
①分别表示出（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含的代数式表示）；
②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．
【答案】（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①根据两个小球的运动情况直接列式即可；
②根据甲、乙两小球在数轴上表示的数列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴a+2=0，b-6=0，
解得，a=-2，b=6，
故答案为：a=-2，b=6；
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有-2≤c≤6，
得c+2=2（6-c），解得；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，
得c+2=2（c-6），解得c=14．
故当AC=2BC时，c=或c=14；
（3）①∵甲球运动的路程为：2•t=2t，OA=2，
∴甲球在数轴上表示的数为-2t-2；
乙球运动的路程为：3•t=3t，OB=6，
乙球在数轴上表示的数为：6-3t；
②由题意得：，
解得：t=10或t=6，
∴甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6秒或10秒．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，一元一次方程，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
12．如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图1，点以每秒个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）如图2，若点对应的数是，现有点从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．
图1
图2
【答案】（1）或；（2）或；（3）有，或或或或．
【解析】
【分析】
（1）设B点表示的数为x，根据两点距离公式列出方程解答便可；
（2）先求出运动后两点表示的数，再根据距离公式求得结果；
（3）根据题意用t的代数式表示PB，BQ，PQ，再分三种情况（PB=BQ，PB=PQ，BQ=PQ）列出方程求解，若存在解，则有相等情况，若无解则不存在相等情况．
【详解】
（1）点在点左侧时，
为：
点在点右侧时，
为：，
综上所述，点对应的数为或．
（2）①当对应的数为时，
：个单位，（秒），
：，
；
②当对应的数为时，
：个单位，（秒），
：
综上所述，，两点之间的距离为或．
（3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候，
由题可知：点表示的数为，
点表示的数为
，
分三种情况：
①当时，
为中点或与重合，
若为中点，如图1
图1
则
即
解得，
若与重合，
如图2，
图2
则，
即，
解得．
②当时，
为中点或，重合，
若为中点，如图3，
图3
则，
即
解得
若，重合，则（不合题意）
③当时，
为中点或，重合
若为中点，如图4
图4
则，
即，
解得
若，重合，
则，
即
解得．
综上所述，当或或或或时，线段，，中存在两条线段相等．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程的应用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键．
13．如图，数轴上的点所表示的数分别为
（1）的长为
（2）若点为的中点，则点表示的数为___：
（3）将一枚棋子放置在点处，让这枚棋子沿数轴在线段上往复运动（即棋子从点出发沿数轴向右运动，当运动到点处，随即沿数轴向左运动，当运动到点处，随即沿数轴向右运动，如此反复…），并且规定棋子按照如下的步骤运动：第步，从点开始运动个单位长度至点处：第步，从点继续运动t 个单位长度至点处；第步，从点继续运动个单位长度至点处…．
例如：当时，点，的位置如图所示．
解决如下问题：
①如果，那么表示的数为 ；表示的数为 ；线段=
②如果，且点表示的数为，那么
③如果，且线段，那么请你求出的值 ；
【答案】（1）；（2）；（3）①；②或；③或2或
【解析】
【分析】
（1）由数轴上点对应数所表示的意义可以得到解答；
（2）由中点意义和数轴上点对应数所表示的意义可以得解；
(3)①由题意可以依次算得各空答案；
②分两种情况讨论；
③分三种情况讨论．
【详解】
解：（1）由12-0=12可知MN的长为12，
故答案为12；
（2）由题意得：MP=，所以点 P 表示的数为6，
故答案为6；
（3）①由0+4=4可得表示的数为4；由可得 表示的数为12；
由可知 表示的数为0，故
故答案为4；12；4；
②分两种情况：
a、，则t+2t+3t=3，解得：t=；
b、2