
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
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人教版七年级数学上册常考点提分精练期中难点特训(二)数轴上的动点与整式加减相结合的压轴题(原卷版+解析)
展开这是一份人教版七年级数学上册常考点提分精练期中难点特训(二)数轴上的动点与整式加减相结合的压轴题(原卷版+解析),共29页。试卷主要包含了已知,探究与发现,新规定等内容,欢迎下载使用。
1.已知:b是最小的正整数,且a、b、c满足(c﹣5)2+|a+b|=0,请回答问题:
(1)请直接写出a、b、c的值.a=_____ ,b= ______ ,c= ______
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为一动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时),请化简式子:|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|(请写出化简过程)
(3)在(1)(2)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值
2.已知:b是最小的正整数,且a、b满足(c-5)2+|a+b|=0,请回答问题:
(Ⅰ)请直接写出a、b、c的值:a=_______;b=______;c=_______.
(Ⅱ)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值(或用这两点所表示数中较大的数减去较小的数),若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB,试计算此时BC-AB的值.
(Ⅲ)在(Ⅰ)(Ⅱ)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动,则经过t秒钟时,请问:BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请直接写出它的值.
3.探究与发现:|a﹣b|表示 a 与 b 之差的绝对值,实际上也可理解为 a 与 b 两数 在数轴上所对应的两点之间的距离.如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数 3 的点之间的距离.
(1)如图,已知数轴上点 A 表示的数为 8,B 是数轴上位于点 A 左侧一点,且 AB=20,
则数轴上点 B 表示的数 ;
(2)若|x﹣8|=2,则 x= .
拓展与延伸:在(1)的基础上,解决下列问题:
(3)动点 P 从 O 点出发,以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时 间为 t(t>0)秒.求当 t 为多少秒时?A,P 两点之间的距离为 2;
(4)数轴上还有一点 C 所对应的数为 30,动点 P 和 Q 同时从点 O 和点 B 出发分别以每 秒 5 个单位长度和每秒 10 个单位长度的速度向 C 点运动,点 Q 到达 C 点后,再立即以 同样的速度返回,点 P 到达点 C 后,运动停止.设运动时间为 t(t>0)秒.问当 t 为多 少秒时?P,Q 之间的距离为 4.
4.如图:在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,且a,c满足|a+3|+(c﹣9)2=0,b=1.
(1)a= ,c= ;
(2)若将数轴折叠,使得A点与点C重合,则点B与数 表示的点重合.
(3)在(1)的条件下,若点P为数轴上一动点,其对应的数为x,求当x取何值时代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|取得最大值,并求此最大值.
(4)点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动,在点Q到达点B后,以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒),求第几秒时,点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍?
5.已知代数式M=(a﹣16)x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式,且二次项系数为b.如图,在数轴上有A、B、C三个点,且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c,已知AC=6AB.
(1)直接依次写出a、b、c的值: , , ;
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发,向右运动,且点Q不超过点A.在运动过程中,E为线段AP的中点,F为线段BQ的中点,若动点P的速度为每秒2个单位长度,动点Q的速度为每秒3个单位长度,则的值是 ;
(3)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发,都以每秒2个单位长度的速度向左运动,动点M从点C出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t秒,若动点P、Q分别从C、O两点同时出发,3<t时,数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度,且点N在点M的左侧,T为线段MN上的一点(点T不与M、N重合),在运动的过程中,若满足MQ﹣NT=3PT(点T不与点P重合),求出此时线段PT的长度.
6.新规定:点C为线段AB上一点,当CA=3CB或CB=3CA时,我们就规定C为线段AB的“三倍距点”.如图,在数轴上,点A所表示的数为﹣3,点B所表示的数为5.
(1)确定点C所表示的数为 ;
(2)若动点P从点B出发,沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动,设运动时间为t秒.
①当点P与点A重合时,则t的值为 ;
②求AP的长度(用含t的代数式表示);
③当点A为线段BP的“三倍距点”时,直接写出t的值.
7.【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b,则A,B两点之间的距离AB=|a﹣b|,若a>b,则可简化为AB=a﹣b:线段AB的中点M表示的数为.
【问题情境】已知数轴上有A、B两点,分别表示的数为﹣10,8,点P,Q分别从A,B同时出发,点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒(t>0).
【综合运用】(1)A、B两点的距离为 ,线段AB的中点C所表示的数 ;
(2)点P所在的位置的点表示的数为 ,点Q所在位置的点表示的数为 (用含t的代数式表示);
(3)P、Q两点经过多少秒会相遇?
8.如图,以O为原点的数轴上有A,B两点,它们对应的数分别为a,b,且(a﹣10)2+(2b+8)2=0.
(1)直接写出结果:a= ,b= .
(2)设点P,Q分别从点A,B同时出发,在数轴上相向运动,且在原点O处相遇.设它们运动的时间为t秒,点P运动的速度为每秒2.5个单位长度.
①用含t的式子表示:t秒后,点P,Q在数轴上所对应的数(直接写出结果),点P对应的数是 ,点Q对应的数是 .
②当P,Q两点间的距离恰好等于A,B两点间距离的一半时,求t的值.
9.数轴上,把点A表示的数记为a,点B表示的数记为b.在学习绝对值时,我们知道了绝对值的几何含义:数轴上点A,B之间的距离记作|AB|.例如:当a=1,b=3时,点A,B之间的距离|AB|=|1﹣3|=2;当a=﹣1,b=﹣3时,点A,B之间的距离|AB|=|﹣1﹣(﹣3)|=2;当a=﹣1,b=3时,点A,B之间的距离|AB|=|﹣1﹣3|=4;由此我们知道,一般情况下,点A,B之间的距离|AB|=|a﹣b|.已知a=﹣6,b=2.
(1)直接写出|AB|的值为 ;
(2)若点M从点A出发,以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动,同时点N从点B出发,以2个单位/秒的速度向右移动,设移动时间为t秒.
①移动过程中点M表示的数为 ,点N表示的数为 ,点M,N之间的距离|MN|为 (用含t的式子表示);
②在移动过程中,若点M,N之间相距3个单位长度,求t的值;
(3)在的(2)条件下,在点M,N移动的同时点P从点O出发,以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动,在三个点移动的过程中,|MN|+2|PN|或|MN|﹣2|PN|在某种条件下是否会为定值,请分析并说明理由.
10.已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b,且|a+1|+|b﹣3|=0
(1)求点A、B两点对应的有理数是 、 ;A、B两点之间的距离是 .
(2)若点C到点A的距离刚好是6,求点C所表示的数应该是多少?
(3)若点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发,以2个单位每秒的速度向左运动,经过多少秒时,P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍?
(4)若点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发,以2个单位每秒的速度向右运动,若运动的时间为t秒,2PA﹣mPB的值不随时间t的变化而改变,求m的值.
11.如图,数轴上有两条可以左右移动的线段OB和CD.已知OB=m,CD=n,且m,n满足|m﹣4|+(n﹣8)2=0.
(1)m= ,n= ;
(2)如图1,线段OB的中点为M,线段CD中点为N,线段OB以每秒4个单位长度向右运动,同时线段CD以每秒1个单位长度也向右运动,若运动6秒后,MN=8,求线段CD在向右运动前,点C在数轴上所对应的数;
(3)如图2,已知BC=24,线段CD固定不动,M,N分别为OB,CD中点,线段OB以每秒4个单位长度向右运动t秒,若始终有MN+OD为定值.求出这个定值,并直接写出对应t的取值范围.
12.在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足,其中O为原点,如图:
(1)直接写出:_____,______,A,B两点之间的距离为______.
(2)在数轴上有一动点M,若点M到点A的距离是点M到点B的距离的2倍,求点M对应的数.
(3)在数轴上有一动点P,动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度;然后在此位置进行第二次运动,向右运动2个单位长度;然后在此位置进行第三次运动,向左运动3个单位长度……;按照如此规律不断地进行左右运动,当运动到2021次时,求此时点P所对应的有理数.
13.点A对应数,点B对应数b,点C对应数c.
(1)已知与的和是,那么 , , ;
(2)点P为数轴上一点,且满足,请求出点P所表示的数;
(3)点M为数轴上点A右侧一点,甲、乙两点分别从A、M出发,相向而行,2分钟后在途中相遇,相遇后,两点的速度都提高了l单位长度/分,当甲到达M点后立刻按原路向A返行,当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行.甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇,则A、M两点的距离是 单位长度.
(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发,向右运动,乙同时从点C出发,以6单位长度/分的速度向左运动,当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时,甲立即掉头返行,请问甲、乙还能碰面吗?若能,求出碰面的地点对应的数;若不能,请说明理由.
14.如图,点A和点B在数轴上分别对应数a和b,其中a和b满足(a+4)2=﹣|8﹣b|,原点记作O.
(1)求a和b;
(2)数轴有一对动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动,速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒.
①经过多少秒后满足AB1=3A1B?
②另有一动点O1从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动,始终保持在与之间,且满足,运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式:AO1+BO1=m,请直接写出符合条件m的取值范围.
期中难点特训(二)数轴上的动点与整式加减相结合的压轴题
1.已知:b是最小的正整数,且a、b、c满足(c﹣5)2+|a+b|=0,请回答问题:
(1)请直接写出a、b、c的值.a=_____ ,b= ______ ,c= ______
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为一动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时(即0≤x≤2时),请化简式子:|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|(请写出化简过程)
(3)在(1)(2)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问:BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值
【答案】(1) -1;1;5;(2) 4x+10或2x+12;(3)不变, BC-AB=2
【分析】(1)根据b是最小的正整数,即可确定b的值,然后根据非负数的性质,几个非负数的和是0,则每个数都是0,即可求得a,b,c的值;
(2)根据x的范围,确定x+1,x-1,x+5的符号,然后根据绝对值的意义即可化简;
(3)先求出BC=3t+4,AB=3t+2,从而得出BC-AB=2.
【详解】(1)∵b是最小的正整数,∴b=1.
根据题意得:c-5=0且a+b=0,
∴a=-1,b=1,c=5.
故答案是:-1;1;5;
(2)当0≤x≤1时,x+1>0,x-1≤0,x+5>0,
则:|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-(1-x)+2(x+5)
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10;
当1<x≤2时,x+1>0,x-1>0,x+5>0.
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-(x-1)+2(x+5)
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12.
(3)不变.理由如下:
t秒时,点A对应的数为-1-t,点B对应的数为2t+1,点C对应的数为5t+5.
∴BC=(5t+5)-(2t+1)=3t+4,AB=(2t+1)-(-1-t)=3t+2,
∴BC-AB=(3t+4)-(3t+2)=2,
即BC-AB的值不随着时间t的变化而改变,BC-AB=2.
【点睛】本题考查了数轴与绝对值,整式的加减,通过数轴把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.
2.已知:b是最小的正整数,且a、b满足(c-5)2+|a+b|=0,请回答问题:
(Ⅰ)请直接写出a、b、c的值:a=_______;b=______;c=_______.
(Ⅱ)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值(或用这两点所表示数中较大的数减去较小的数),若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB,试计算此时BC-AB的值.
(Ⅲ)在(Ⅰ)(Ⅱ)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动,则经过t秒钟时,请问:BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请直接写出它的值.
【答案】(Ⅰ),1,5;(Ⅱ)2;(Ⅲ)不变,值为2
【分析】(Ⅰ)根据a是最大的负整数,即可确定a的值,然后根据非负数的性质,几个非负数的和是0,则每个数是0,即可求得b,c的值;
(Ⅱ)根据两点间的距离公式可求BC、AB的值,进一步得到的值;
(Ⅲ)先求出BC、AB的值,从而得出,从而求解.
【详解】解:(Ⅰ)b是最小的正整数,则
∵
∴,
∴,
∴;
故答案为,,;
(Ⅱ),
;
故答案为
(Ⅲ)经过秒后,三点分别表示的数为,,
,
答:不变,值为2.
【点睛】此题考查了有理数及整式的混合运算,以及数轴,正确理解AB,BC的变化情况是关键.
3.探究与发现:|a﹣b|表示 a 与 b 之差的绝对值,实际上也可理解为 a 与 b 两数 在数轴上所对应的两点之间的距离.如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数 3 的点之间的距离.
(1)如图,已知数轴上点 A 表示的数为 8,B 是数轴上位于点 A 左侧一点,且 AB=20,
则数轴上点 B 表示的数 ;
(2)若|x﹣8|=2,则 x= .
拓展与延伸:在(1)的基础上,解决下列问题:
(3)动点 P 从 O 点出发,以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时 间为 t(t>0)秒.求当 t 为多少秒时?A,P 两点之间的距离为 2;
(4)数轴上还有一点 C 所对应的数为 30,动点 P 和 Q 同时从点 O 和点 B 出发分别以每 秒 5 个单位长度和每秒 10 个单位长度的速度向 C 点运动,点 Q 到达 C 点后,再立即以 同样的速度返回,点 P 到达点 C 后,运动停止.设运动时间为 t(t>0)秒.问当 t 为多 少秒时?P,Q 之间的距离为 4.
【答案】(1)-12
(2)6或10
(3)当 t 为秒时,A,P 两点之间的距离为 2
(4)当 t 为或或或秒时,P,Q 之间的距离为 4.
【解析】(1)
(1)数轴上点B表示的数=8-20=-12.
故答案为:-12.
(2)
∵|x-8|=2,
∴x-8=-2或x-8=2,
∴x=6或x=10.
故答案为:6或10.
(3)
当运动时间为t秒时,点P表示的数为5t,
依题意得:|5t-8|=2,
即5t-8=-2或5t-8=2,
解得:t=或t=2.
答:当t为秒或2秒时,A,P两点之间的距离为2.
(4)
P到达C点时间:(30-0)÷5=6(秒),
Q到达C点时间:|-12-30|÷10=(秒).
当0<t<时,P、Q都没有到达C点
点P表示的数为5t,点Q表示的数为10t-12,
依题意得:|5t-(10t-12)|=4,
即12-5t=4或5t-12=4,
解得:t=或t=;
当≤t<6时,Q已经到达C点,P没有到达C点
点P表示的数为5t,点Q表示的数为-10(t-)+30=-10t+72,
依题意得:|5t-(-10t+72)|=4,
即72-15t=4或15t-72=4,
解得:t=或t=;
当t≥6时,P、Q都已经到达C点
点P表示的数为30,点Q表示的数为-10(t-)+30=-10t+72,
依题意得:30-(-10t+72)=4,
解得:t=(不合题意,舍去).
答:当 t 为或或或秒时,P,Q 之间的距离为 4.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值,解题的关键是:(1)利用数轴上两点间的距离公式,找出点B表示的数;(2)利用绝对值的定义,去掉绝对值符号;(3)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(4)分0<t<,≤t<6或t≥6三种情况,找出关于t的一元一次方程.
4.如图:在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,且a,c满足|a+3|+(c﹣9)2=0,b=1.
(1)a= ,c= ;
(2)若将数轴折叠,使得A点与点C重合,则点B与数 表示的点重合.
(3)在(1)的条件下,若点P为数轴上一动点,其对应的数为x,求当x取何值时代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|取得最大值,并求此最大值.
(4)点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动,在点Q到达点B后,以原来的速度向相反的方向运动,设运动的时间为t(秒),求第几秒时,点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍?
【答案】(1)-3,9;(2)5;(3)当x≥9时,|x-a|﹣|x﹣c|取得最大值为12;(4)第秒,第秒,第28秒时,点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍.
【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负性求解即可.
(2)根据折叠点为点A与点C的中点,列式求解即可.
(3)将(1)中所得的a与c的值代入代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|,再根据数轴上两点之间的距离与绝对值的关系可得出答案.
(4)先求得线段BC的长,再求得其一半的长,然后分类计算即可:当0<t≤4时,点P表示的数为﹣3﹣t,点Q表示的数为9﹣2t;当t>4时,点P表示的数为﹣3﹣t,点Q表示的数为1+2(t﹣4).
【详解】解:(1)∵|a+3|+(c﹣9)2=0,
又∵|a+3|≥0,(c﹣9)2≥0,
∴a+3=0,c﹣9=0,
∴a=﹣3,c=9.
故答案为:﹣3,9.
(2)∵将数轴折叠,使得点A与点C重合,
∴折叠点表示的数为:=3,
∴2×3﹣1=5,
∴点B与数5表示的点重合.
故答案为:5.
(3)∵a=﹣3,c=9.
∴|x﹣a|﹣|x﹣c|=|x+3|﹣|x﹣9|,
∵代数式|x+3|﹣|x﹣9|表示点P到点A的距离减去点P到点C的距离,
∴当x≥9时,|x+3|﹣|x﹣9|取得最大值为9﹣(﹣3)=12.
(4)∵BC=9﹣1=8,
∴8÷2=4,
当0<t≤4时,点P表示的数为﹣3﹣t,点Q表示的数为9﹣2t,
∴PQ=9﹣2t﹣(﹣3﹣t)
=9﹣2t+3+t
=12﹣t,
CQ=2t,
∵PQ=2CQ,
∴12﹣t=2×2t,
∴5t=12,
∴t=.
当t>4时,点P表示的数为﹣3﹣t,点Q表示的数为1+2(t﹣4),
∴CQ=|9﹣[1+2(t﹣4)]|,
PQ=1+2(t﹣4)﹣(﹣3﹣t)
=1+2t﹣8+3+t
=3t﹣4,
∵PQ=2CQ,
∴3t﹣4=2|9﹣[1+2(t﹣4)]|=2|16﹣2t|,
∴当3t﹣4=2(16﹣2t)时,
3t﹣4=32﹣4t,
∴7t=36,
∴t=;
当3t﹣4=2(2t﹣16)时,
3t﹣4=4t﹣32,
∴t=28.
∴第秒,第秒,第28秒时,点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍.
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用,熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键.
5.已知代数式M=(a﹣16)x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式,且二次项系数为b.如图,在数轴上有A、B、C三个点,且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c,已知AC=6AB.
(1)直接依次写出a、b、c的值: , , ;
(2)若动点P、Q分别从C、O两点同时出发,向右运动,且点Q不超过点A.在运动过程中,E为线段AP的中点,F为线段BQ的中点,若动点P的速度为每秒2个单位长度,动点Q的速度为每秒3个单位长度,则的值是 ;
(3)若动点P、Q分别从A、B两点同时出发,都以每秒2个单位长度的速度向左运动,动点M从点C出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t秒,若动点P、Q分别从C、O两点同时出发,3<t时,数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度,且点N在点M的左侧,T为线段MN上的一点(点T不与M、N重合),在运动的过程中,若满足MQ﹣NT=3PT(点T不与点P重合),求出此时线段PT的长度.
【答案】(1)16,20,﹣8;(2)2;(3)PT=1或PT
【分析】(1)根据是关于的二次多项式,二次项的系数为,可计算得、以及的值;结合,通过计算即可得到答案;
(2)设点P的出发时间为t秒,根据点E为线段的中点,点F为线段的中点,若动点P的速度为每秒2个单位长度,动点Q的速度为每秒3个单位长度,分别得、、,通过计算即可得到答案;
(3)设点P的出发时间为t秒,P点表示的数为,Q点表示的数为,M点表示的数为,N点表示的数为,T点表示的数为x,得,,;结合,通过求解方程即可完成求解.
【详解】解:(1)∵是关于x的二次多项式,二次项的系数为
∴a=16,=20,
∴AB=4,
∵AC=6AB,
∴AC=24,
∴,
∴,
故答案为:,,
(2)设点P的出发时间为t秒,由题意得:
①当t时,
EF=AE﹣AF
APBQ+AB
(24﹣2t)(20﹣3t)+4
=6,
∴BP﹣AQ=(28﹣2t)﹣(16﹣3t)=12+t,
∴2;
②当时,此时点与点重合,
即AQ=0,点F对应的数值为(16+20)=18;
此时点P在点O的右侧,即OP=2t﹣8,
而PB=|2t﹣8﹣20|=|28﹣2t|,
则点E对应的值为(2t﹣8+16)=t+4,
则EF=|18﹣(t+4)|=|14﹣t|,
而BP﹣AQ=PB=|28﹣2t|,
故2;
故答案为:
(3)设点P的出发时间为t秒,P点表示的数为16﹣2t,Q点表示的数为20﹣2t,M点表示的数为6t﹣8,N点表示的数为6t﹣10,T点表示的数为x,
∴MQ=28﹣8t,NT=x﹣6t+10,PT=|16﹣2t﹣x|,
∵MQ﹣NT=3PT,
∴28﹣8t﹣(x+10﹣6t)=3|16﹣2t﹣x|,
∴x=15﹣2t或x2t,
∴PT=1或PT.
【点睛】本题考查了数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的性质,从而完成求解.
6.新规定:点C为线段AB上一点,当CA=3CB或CB=3CA时,我们就规定C为线段AB的“三倍距点”.如图,在数轴上,点A所表示的数为﹣3,点B所表示的数为5.
(1)确定点C所表示的数为 ;
(2)若动点P从点B出发,沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动,设运动时间为t秒.
①当点P与点A重合时,则t的值为 ;
②求AP的长度(用含t的代数式表示);
③当点A为线段BP的“三倍距点”时,直接写出t的值.
【答案】(1)-1或3;(2)①4秒;②AP=|2t-8|;③t=或16.
【分析】(1)设点C所表示的数为c,根据定义即可求出答案;
(2)①根据路程、时间、速度之间的关系即可求出答案;
②根据点P的位置即可求出AP的表达式;
③根据定义列出方程求出答案即可.
【详解】解:(1)设点C所表示的数为c,
当CA=3CB时,
∴c+3=3(5-c),
解得:c=3,
当CB=3CA时,
∴5-c=3(c+3),
解得:c=-1,
故答案为:-1或3;
(2)①设AB=8,
t=8÷2=4s,
答:当点P与点A重合时,t的值为4秒;
故答案为:4秒;
②由题意可知:BP=2t,
设点P所表示的数为p,
∴5-p=2t,
∴p=5-2t,
∴AP=|-3-5+2t|=|2t-8|;
③设点P所表示的数为p,
由题意可知:p<-3,
∴t>4,
当PA=3AB时,
此时-3-p=3×8,
解得:p=-27,
∴BP=5+27=32,
∴t==16,
当AB=3PA时,
∴8=3(-3-p),
解得:p=-,
∴BP=5+=,
∴t=÷2=,
∴综上所述,t=或16.
【点睛】本题考查了一元一次方程,解题的关键是正确找出等量关系.
7.【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b,则A,B两点之间的距离AB=|a﹣b|,若a>b,则可简化为AB=a﹣b:线段AB的中点M表示的数为.
【问题情境】已知数轴上有A、B两点,分别表示的数为﹣10,8,点P,Q分别从A,B同时出发,点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒(t>0).
【综合运用】(1)A、B两点的距离为 ,线段AB的中点C所表示的数 ;
(2)点P所在的位置的点表示的数为 ,点Q所在位置的点表示的数为 (用含t的代数式表示);
(3)P、Q两点经过多少秒会相遇?
【答案】(1)18,-1;(2)-10+5t,8-3t;(3)P、Q两点经过秒会相遇.
【分析】(1)根据两点间的距离公式和中点坐标公式即可求解;
(2)根据左减右加即可求解;
(3)根据路程和=速度和×时间列方程求解可得.
【详解】解:(1)A、B两点的距离为8-(-10)=18,
线段AB的中点C所表示的数[8+(-10)]÷2=-1,
故答案为:18,-1;
(2)点P所在的位置的点表示的数为-10+5t,
点Q所在位置的点表示的数为8-3t,
故答案为:-10+5t,8-3t;
(3)依题意有:5t+3t=18,
解得t=.
故P、Q两点经过秒会相遇.
【点睛】本题主要考查了两点间的距离及一元一次方程的实际应用能力,根据路程和=速度和×时间,列出方程是解题的关键.
8.如图,以O为原点的数轴上有A,B两点,它们对应的数分别为a,b,且(a﹣10)2+(2b+8)2=0.
(1)直接写出结果:a= ,b= .
(2)设点P,Q分别从点A,B同时出发,在数轴上相向运动,且在原点O处相遇.设它们运动的时间为t秒,点P运动的速度为每秒2.5个单位长度.
①用含t的式子表示:t秒后,点P,Q在数轴上所对应的数(直接写出结果),点P对应的数是 ,点Q对应的数是 .
②当P,Q两点间的距离恰好等于A,B两点间距离的一半时,求t的值.
【答案】(1)10,-4
(2)①10﹣2.5t,﹣4+t;②2或6
【分析】(1)根据绝对值与平方的非负性即可求出答案;
(2)①先根据点P和点Q相向运动,且在原点O处相遇,可求出点去点Q的速度,再结合点的运动即可得出结果;
②求出PQ用含t的式子表示,根据题意列出方程即可求出答案.
(1)
∵(a﹣10)2+(2b+8)2=0,(a﹣10)2≥0,(2b+8)2≥0,
∴(a﹣10)2=0,(2b+8)2=0,
∴a﹣10=0,2b+8=0,
∴a=10,b=﹣4.
故答案为:10,﹣4.
(2)
①根据题意可知,点P向左运动,点Q向右运动,
设点Q的运动速度为m,
∴点P所对应的数为10﹣2.5t,点Q所对应的数为﹣4+mt,
∴当点P和点Q相遇时,10﹣2.5t=0,且﹣4+mt=0,
∴t=4,m=1.
由点P和点Q的运动可知,点P所对应的数为10﹣2.5t,点Q所对应的数为﹣4+t,
故答案为:10﹣2.5t,﹣4+t.
②点P和点Q相遇前,点P在点Q的右边,
∴10﹣2.5t﹣(﹣4+t)=[10﹣(﹣4)],解得t=2,
点P和点Q相遇后,点P在点Q的左边,
∴﹣t+4﹣(10﹣2.5t)= [10﹣(﹣4)],解得t=6.
∴当P,Q两点间的距离恰好等于A,B两点间距离的一半时,t的值为2或6.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的意义、数轴.解本题的关键熟练掌握绝对值得意义,及理解题意.
9.数轴上,把点A表示的数记为a,点B表示的数记为b.在学习绝对值时,我们知道了绝对值的几何含义:数轴上点A,B之间的距离记作|AB|.例如:当a=1,b=3时,点A,B之间的距离|AB|=|1﹣3|=2;当a=﹣1,b=﹣3时,点A,B之间的距离|AB|=|﹣1﹣(﹣3)|=2;当a=﹣1,b=3时,点A,B之间的距离|AB|=|﹣1﹣3|=4;由此我们知道,一般情况下,点A,B之间的距离|AB|=|a﹣b|.已知a=﹣6,b=2.
(1)直接写出|AB|的值为 ;
(2)若点M从点A出发,以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动,同时点N从点B出发,以2个单位/秒的速度向右移动,设移动时间为t秒.
①移动过程中点M表示的数为 ,点N表示的数为 ,点M,N之间的距离|MN|为 (用含t的式子表示);
②在移动过程中,若点M,N之间相距3个单位长度,求t的值;
(3)在的(2)条件下,在点M,N移动的同时点P从点O出发,以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动,在三个点移动的过程中,|MN|+2|PN|或|MN|﹣2|PN|在某种条件下是否会为定值,请分析并说明理由.
【答案】(1); (2)①,,;②或;(3)当时,|MN|+2|PN|;当 MN|﹣2|PN|
【分析】(1)根据题意,点A,B之间的距离|AB|=|a﹣b|,据此即可求得|AB|的值;
(2)①根据题意,先表示出点在数轴上表示的数,进而根据两点距离求解即可;②根据①的结论,列出方程,解方程即可;
(3)根据(2)的结论,求得,根据绝对值的意义和整式的运算,求得当|MN|+2|PN|或|MN|﹣2|PN|为定值时,即含的系数为0,据此求解即可.
【详解】(1)根据题意
故答案为:;
(2)①点M从点A出发,以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动,同时点N从点B出发,以2个单位/秒的速度向右移动,设移动时间为t秒,
则表示的数为,点N表示的数为;
故答案为:,,
②根据题意
或
解得或
(3)点P从点O出发,以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动,
则点P表示的数为,,
|PN|
|MN|+2|PN|
当时,即时,|MN|+2|PN|
|MN|﹣2|PN|
当时,即时,|MN|﹣2|PN|
综上所述,当时,|MN|+2|PN|;当 MN|﹣2|PN|
【点睛】本题考查了数轴上两点距离,在数轴表示有理数,绝对值方程,数轴上的动点问题,整式的加减,化简绝对值,理解两点的距离是解题的关键.
10.已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b,且|a+1|+|b﹣3|=0
(1)求点A、B两点对应的有理数是 、 ;A、B两点之间的距离是 .
(2)若点C到点A的距离刚好是6,求点C所表示的数应该是多少?
(3)若点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发,以2个单位每秒的速度向左运动,经过多少秒时,P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍?
(4)若点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发,以2个单位每秒的速度向右运动,若运动的时间为t秒,2PA﹣mPB的值不随时间t的变化而改变,求m的值.
【答案】(1)-1,3,4;(2)5或-7;(3)秒或秒;(4)2
【分析】(1)根据非负数的性质求出a、b即可得到A、B表示的数,然后根据数轴上两点的距离公式进行求解即可;
(2)设点C所表示的数应该是x,由点C到点A的距离刚好是6,点A表示的数是-1,可得即,由此解方程即可;
(3)分P在AB之间和P在B点右侧两种情况讨论求解即可得到答案;
(4)先求出运动t秒后,,则,由此求解即可.
【详解】解:(1)∵,
∴,
∴,
∴点A、B两点对应的有理数是-1、3,
∴,
故答案为:-1,3,4;
(2)设点C所表示的数应该是x,
∵点C到点A的距离刚好是6,点A表示的数是-1,
∴即,
∴,
解得或,
∴点C所表示的数应该是5或-7;
(3)设P的运动时间为t秒,
∴t秒后点P表示的数为,
∵当P运动到A点左边时,,不符合题意,
∴只需要讨论P在AB之间和P在B点右侧,
当P在AB之间时,,,
∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍,
∴,
解得;
当当P在B右侧时,,,
∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍,
∴,
解得;
∴经过秒或秒时,P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍;
(4)由题意得:运动t秒后,点P表示的数为,
∴,,
∴,
∵2PA﹣mPB的值不随时间t的变化而改变,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离,数轴上的动点问题,非负数的性质,整式加减中的无关型问题,解题的关键在于能够熟练掌握数轴的相关知识.
11.如图,数轴上有两条可以左右移动的线段OB和CD.已知OB=m,CD=n,且m,n满足|m﹣4|+(n﹣8)2=0.
(1)m= ,n= ;
(2)如图1,线段OB的中点为M,线段CD中点为N,线段OB以每秒4个单位长度向右运动,同时线段CD以每秒1个单位长度也向右运动,若运动6秒后,MN=8,求线段CD在向右运动前,点C在数轴上所对应的数;
(3)如图2,已知BC=24,线段CD固定不动,M,N分别为OB,CD中点,线段OB以每秒4个单位长度向右运动t秒,若始终有MN+OD为定值.求出这个定值,并直接写出对应t的取值范围.
【答案】(1)4,8;(2)线段CD向右运动前,点C在数轴上所对应的数是24或8;(3),此时.
【分析】(1)由绝对值及平方的非负性即可得出结果;
(2)设线段CD在向右运动前,点C在数轴上所对应的数为x,根据运动方向和运动速度列方程即可,但是需注意分情况讨论;
(3)由题意可得,,根据题意分情况讨论即可得到定值及t的取值范围.
【详解】解:∵,
∴,,
∴,,
故答案为:4,8;
(2)设线段CD在向右运动前,点C在数轴上所对应的数为x,
∵线段OB的中点为M,线段CD的中点为N,且,,
∴,,
∴运动前,M在数轴上表示的数为2,N在数轴上表示的数为,
由题意可得:或,
解得:或,
∴线段CD向右运动前,点C在数轴上所对应的数是24或8;
(3)运动t秒后,,,
当时,
;
当时,
;
当时,
;
综上可得:当时,,此时.
【点睛】题目主要考查数轴上两点间的距离、绝对值及平方的非负性质,理解题意,列出相应的方程及找出各线段间的关系是解题关键.
12.在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足,其中O为原点,如图:
(1)直接写出:_____,______,A,B两点之间的距离为______.
(2)在数轴上有一动点M,若点M到点A的距离是点M到点B的距离的2倍,求点M对应的数.
(3)在数轴上有一动点P,动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度;然后在此位置进行第二次运动,向右运动2个单位长度;然后在此位置进行第三次运动,向左运动3个单位长度……;按照如此规律不断地进行左右运动,当运动到2021次时,求此时点P所对应的有理数.
【答案】(1)﹣5;7;12;(2)3或19;(3)
【分析】(1)根据非负数的性质即可求出a、b的值,根据点之间的距离公式求出A,B两点之间的距离;
(2)分点M在A点左侧,点M在AB之间,点M在点B的右侧三种情况讨论,分别表示出MA、MB,利用MA=2MB建立方程,求解即可;
(3)根据题意得到点P每一次运动后所在的位置,然后有理数的加法进行计算即可.
【详解】解:∵,
∴,,
∴,,
B两点之间的距离为:7-(﹣5)=12,
故答案为:﹣5;7;12.
(2)设点M表示的数为m,
当点M在A点左侧时,m<﹣5
,,
由题意得,即,
解得(舍去),
当点M在AB之间时,,
,,
∴,
解得:,
当点M在点B的右侧时,,
,,
∴,
解得:
综上所述:点M对应的数为3或19.
(3)根据题意,设点P对应的数为p,
,
,
,
故点P所对应的有理数为.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,非负数的性质,数轴,两点间的距离公式.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程再求解.
13.点A对应数,点B对应数b,点C对应数c.
(1)已知与的和是,那么 , , ;
(2)点P为数轴上一点,且满足,请求出点P所表示的数;
(3)点M为数轴上点A右侧一点,甲、乙两点分别从A、M出发,相向而行,2分钟后在途中相遇,相遇后,两点的速度都提高了l单位长度/分,当甲到达M点后立刻按原路向A返行,当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行.甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇,则A、M两点的距离是 单位长度.
(4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发,向右运动,乙同时从点C出发,以6单位长度/分的速度向左运动,当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时,甲立即掉头返行,请问甲、乙还能碰面吗?若能,求出碰面的地点对应的数;若不能,请说明理由.
【答案】(1),,;(2)或;(3);(4)甲、乙还能碰面,碰面地点对应的数为:
【分析】(1)根据题意可得、、为同类项,根据同类项的定义以及合并同类项法则进行解答即可;
(2)设点P所表示的数为,根据点A对应数,点B对应数b,分情况进行讨论,当点在点左边时,当点在之间时,当点在点右边时,将(1)中所求数值代入,解方程即可;
(3)由题意可知按原来速度分钟可走两个来回,都提高速度后分钟可走两个来回,列方程求解;
(4)设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时,对应的点为,然后分三种情况进行讨论:①当点位于之间时;②当点位于之间时;③当点位于点右边时;
分别根据甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度列出方程求解即可.
【详解】解:(1)∵与的和是,
∴,,,
∴,,,
故答案为:,,;
(2)设点P所表示的数为,根据点A对应数,点B对应数b,
当点在点左边时,,,
则:,解得:与题设不符,舍去;
当点在之间时,,,
则,解得:,符合题意;
当点在点右边时,,,
则,解得:,符合题意;
综上:点表示的数为:或;
(3)设甲的速度为单位长度/每分钟,乙的速度为长度/每分钟,
由题意可得:,
可得:,
∴A、M两点的距离=,
故答案为:;
(4)设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时,对应的点为,
当点位于之间时,
有:,
解得:,
则点到点的距离为:,
甲到达点的时间为:分,
则此时乙到达的位置为:,
然后两人同时向左运动,乙追上甲的时间为:分,
此时两人碰面的位置为:;
当点位于之间时,
有:,
解得:,
则点到点的距离为:,
甲到达点的时间为:分,
则此时乙到达的位置为:,
则两人同时向左运动,乙在甲的左边,乙的速度大于甲,
∴甲不能追上乙,甲、乙不能碰面;
当点位于点右边时,
有:,
解得:(与题设不符,舍去);
综上:甲、乙还能碰面,碰面地点对应的数为:.
【点睛】本题考查了同类项以及合并同类项法则,数轴上的动点问题,一元一次方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到正确的等量关系列出方程.
14.如图,点A和点B在数轴上分别对应数a和b,其中a和b满足(a+4)2=﹣|8﹣b|,原点记作O.
(1)求a和b;
(2)数轴有一对动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动,速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒.
①经过多少秒后满足AB1=3A1B?
②另有一动点O1从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动,始终保持在与之间,且满足,运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式:AO1+BO1=m,请直接写出符合条件m的取值范围.
【答案】(1);(2)①或;②
【分析】(1)先把条件化为:再利用非负数的性质可得:;
(2)①先表示对应的数分别为: 再求解再结合已知AB1=3A1B,列方程,再解方程即可;②设的速度为每秒个单位,则对应的数为 再表示 代入 可得: 再表示 再结合已知可得答案.
【详解】解:(1)
解得:
(2)①由(1)得:对应的数分别为
动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动,速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒,
对应的数分别为: 如图,
AB1=3A1B,
或
解得:或
②设的速度为每秒个单位,则对应的数为
解得: 经检验:符合题意;
当时,即时,
当时,即时,
运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式:AO1+BO1=m,
此时
即符合条件的m的取值范围为:
【点睛】本题考查的是非负数的性质,数轴上的动点问题,数轴上两点之间的距离,绝对值方程的应用,一元一次方程的应用,一元一次不等式的应用,熟练的应用以上知识解题是关键.