中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)安徽省中考数学预测卷特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)安徽省中考数学预测卷特训(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．已知实数xy满足+（y+1）2＝0，则xy等于（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.28×1013B．2.8×1011C．2.8×1012D．28×1011
3．某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．﹣（a+b）＝﹣a﹣b
C．a2+a2＝a4D．a8÷a4＝a2
5．某星期日上午10：00，小外从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小外离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小外在咖啡店看书的时间是70分钟
B．小外家与咖啡店的距离为4千米
C．小外的步行速度是8千米/小时
D．小外回到家的时刻是上午11：25
6．如图所示，在长方形ABCD中，点E在AD边上，在边BC上依此取点F，G，分别记长方形ABCD，四边形ABFE，GCDE的面积为S，S1，S2．若S1+S2＝S，则值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．不等式1+x＞6﹣4x的解集为 ．
12．若方程|x2﹣4x+3|+k＝0有3个不相等的根，则k＝ ．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
14．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 ．
（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（）0﹣+（﹣2）2．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点式网格线的交点）．A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）先将△ABC竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕A点逆时针旋转90°，得到△AB2C2，请画出△AB2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．学校为了提高教学效率，计划向某厂家购买A、B两种电子教辅设备．
（1）若原价购买一件A设备和一件B设备需390元，一件A设备的价格比一件B设备价格的5倍还贵30元，求一件B设备的原价；
（2）由于采购量大，厂家推出两种优惠套餐．套餐一：一次性购买15件A设备和120件B设备；套餐二：一次性购买25件A设备和110件B设备．设优惠后每件A设备a元，每件B设备b元，已知a＞b＞0，你知道哪个套餐总价更低吗？请通过运算加以说明．
18．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…
（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ；
（2）请你找出规律，写出第n个式子 ．
利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2015+2017．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，经过点C的⊙O与边AB相切于点E，与边AC、BC分别交于点D、点F，连接OA，＝2．
（1）求证：CF＝CD；
（2）若CD＝2，求OA的长度．
20．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向．（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈2.45．）
（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）
（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）
六、（本题满分12分）
21．某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？
（3）如果上述样本的平均数为157cm，方差为0.8；该校八年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么 （填“七年级”或“八年级”）学生的身高比较整齐．
七、（本题满分12分）
22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
八、（本题满分14分）
23．如图，二次函数y＝+bx+c的图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，﹣3）．已知C，D为该图象上两动点（点C在点D的右侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）是否存在其它位置的点C，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
2023安徽省中考数学预测卷
总分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．已知实数xy满足+（y+1）2＝0，则xy等于（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【分析】根据非负数的性质列出等式，然后计算．
【解答】解：根据题意，得x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
∴xy＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，掌握非负数的性质的应用是解题关键．
2．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.28×1013B．2.8×1011C．2.8×1012D．28×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别找出每个图形从三个方向看所得到的图形即可得到答案．
【解答】解：A．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
B．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C．正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；
D．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．﹣（a+b）＝﹣a﹣b
C．a2+a2＝a4D．a8÷a4＝a2
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、去括号法则分别判断得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
B．﹣（a+b）＝﹣a﹣b，故此选项符合题意；
C．a2+a2＝2a2，故此选项不合题意；
D．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、去括号，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．某星期日上午10：00，小外从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小外离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小外在咖啡店看书的时间是70分钟
B．小外家与咖啡店的距离为4千米
C．小外的步行速度是8千米/小时
D．小外回到家的时刻是上午11：25
【分析】根据图象，由路程＝速度×时间之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：由图象可知，小外在咖啡店看书的时间是70﹣30＝40（分钟），故选项A不符合题意；
由图象可知小外家与咖啡店的距离为2千米，故B选项不符合题意；
小外的步行速度是＝4（千米/小时），故C选项不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的2倍，
∴从咖啡店回家用的时间为15分钟，
∴从出家门到回到家用了70+15＝85（分钟），
∴小外返回家的时刻是上午11：25，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，路程＝速度×时间之间的关系的运用，借助图象是解题关键．
6．如图所示，在长方形ABCD中，点E在AD边上，在边BC上依此取点F，G，分别记长方形ABCD，四边形ABFE，GCDE的面积为S，S1，S2．若S1+S2＝S，则值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意得S△EFG＝S，再由三角形面积和矩形面积得FG•AB＝BC•AB，则FG＝BC＝（BF+FG+CG），然后证3FG＝2（BF+CG），即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，S＝BC•AB，
∵S1+S2＝S，
∴S△EFG＝S，
即FG•AB＝BC•AB，
∴FG＝BC＝（BF+FG+CG），
∴FG＝（BF+CG），
∴3FG＝2（BF+CG），
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，证出3FG＝2（BF+CG）是解题的关键．
7．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DM＝CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x＝，
即ON＝，
∴OA2＝52+（）2＝，
∴S⊙O＝π×OA2＝π，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是解决问题的前提，求出半径是正确解答的关键．
8．学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，不妨设三辆车为A、B、C，然后即可画出相应的树状图，从而可以得到他俩搭乘同一辆车的概率．
【解答】解：设三辆车记为A、B、C，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有9种可能性，其中他俩搭乘同一辆车的可能性有3种，
∴他俩搭乘同一辆车的概率是，
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图．
9．直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【解答】解：A、直线l1：y＝kx+b中k＞0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＜0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l1：y＝kx+b中k＞0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＞0，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线l1：y＝kx+b中k＜0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＞0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线l1：y＝kx+b中k＜0，b＞0，直线l2：y＝bx﹣k中k＞0，b＜0，k、b的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10．如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接CN．首先证明∠MCN＝90°，设AC＝a，则BC＝4﹣a，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：连接CN，
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°，
∠DCE＝60°，
∵N是BE的中点，
∴CN⊥BE，∠ECN＝30°，
∴∠DCN＝90°，
设AC＝a，
∵AB＝4，
∴CM＝a，CN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴当a＝3时，MN的值最小为．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．不等式1+x＞6﹣4x的解集为 x＞1 ．
【分析】先移项、再合并同类项、化系数为1即可．
【解答】解：移项得，x+4x＞6﹣1，
合并同类项得，5x＞5，
化系数为1得，x＞1
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
12．若方程|x2﹣4x+3|+k＝0有3个不相等的根，则k＝ ﹣1 ．
【分析】若方程|x2﹣4x+3|+k＝0有3个根，则若函数y＝|x2﹣4x+3|与y＝﹣k有3个交点，作出函数图象即可得出答案．
【解答】解：作出函数图象如下：
∵方程|x2﹣4x+3|+k＝0有3个根
∴x2﹣4x+3＝﹣k或﹣x2+4x﹣3＝﹣k
如图所示，x轴及x轴以上部分为抛物线的图象
∵y＝﹣x2+4x﹣3的顶点为（2，1）
∴直线y＝1与抛物线有3个交点A，B，C，此时即k＝﹣1时
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与直线的交点个数与方程的根的关系，数形结合是解题的关键．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 4 ．
（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 ①③ （把你认为所有正确的都填上）．
【分析】（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，证明△ABE≌△ADG，得BE＝DG，AG＝AE，由∠EAF＝45°，证明△EAF≌△GAF，得EF＝GF，故△CEF的周长：EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝CD+BC，即可得答案；
（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，证明△AMN≌△AHN，可得MN＝HN，Rt△HDN中，有HN2＝DH2+DN2，即得MN2＝BM2+DN2，故①正确；
②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，设DF＝x，BE＝DG＝y，Rt△EFC中，（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，解得x＝y，即＝，设x＝3m，则y＝2m，Rt△ADG中，tanG＝＝＝3，即得tan∠AEF＝3，故②不正确；
③由∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，得△AMN∽△DFN，有＝，可得△ADN∽△MFN，从而∠MFN＝∠ADN＝45°，△AMF为等腰直角三角形，故③正确．
【解答】解：（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴BE＝DG，AG＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△CEF的周长：EF+EC+CF
＝GF+EC+CF
＝（DG+DF）+EC+CF
＝DG+（DF+EC）+CF
＝BE+CD+CF
＝CD+BC，
∵正方形的边长为2，
∴△CEF的周长为4；
故答案为：4；
（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠HAF＝45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，
又AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN，
而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，
Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，
∴MN2＝BM2+DN2，
故①正确；
②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
由（1）知：EF＝GF＝DF+DG＝DF+BE，∠AEF＝∠G，
设DF＝x，BE＝DG＝y，则CF＝x，CD＝BC＝AD＝2x，EF＝x+y，CE＝BC﹣BE＝2x﹣y，
Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，
∴（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，
解得x＝y，即＝，
设x＝3m，则y＝2m，
∴AD＝2x＝6m，DG＝2m，
Rt△ADG中，tanG＝＝＝3，
∴tan∠AEF＝3，
故②不正确；
③∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，
∴△AMN∽△DFN，
∴＝，即＝，
又∠AND＝∠FNM，
∴△ADN∽△MFN，
∴∠MFN＝∠ADN＝45°，
∴∠MAF＝∠MFA＝45°，
∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、旋转变换、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造全等三角形．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（）0﹣+（﹣2）2．
【分析】应用零指数幂，算术平方根，有理数的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣4+4＝1．
【点评】本题主要考查了零指数幂，算术平方根，有理数的乘方，熟练掌握零指数幂，算术平方根，有理数的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点式网格线的交点）．A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）先将△ABC竖直向下平移5个单位，再水平向右平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕A点逆时针旋转90°，得到△AB2C2，请画出△AB2C2．
【分析】（1）根据平移的性质，确定点A、B、C平移后的对应点即可；
（2）根据旋转的性质，确定点B、C旋转后的对应点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．学校为了提高教学效率，计划向某厂家购买A、B两种电子教辅设备．
（1）若原价购买一件A设备和一件B设备需390元，一件A设备的价格比一件B设备价格的5倍还贵30元，求一件B设备的原价；
（2）由于采购量大，厂家推出两种优惠套餐．套餐一：一次性购买15件A设备和120件B设备；套餐二：一次性购买25件A设备和110件B设备．设优惠后每件A设备a元，每件B设备b元，已知a＞b＞0，你知道哪个套餐总价更低吗？请通过运算加以说明．
【分析】（1）设一件A设备的原价为x元，一件B设备的原价为y元，由题意：原价购买一件A设备和一件B设备需390元，一件A设备的价格比一件B设备价格的5倍还贵30元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用总价＝单价×数量，可分别用含a、b的代数式表示出两种优惠套餐的总价，求差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设一件A设备的原价为x元，一件B设备的原价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：一件A设备的原价为330元，一件B设备的原价为60元；
（2）套餐一的总价更低，说明如下：
套餐一的总价为（15a+120b）元，套餐二的总价为（25a+110b）元，
（25a+110b）﹣（15a+120b）＝10a﹣10b＝10（a﹣b），
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b＞0，
∴10（a﹣b）＞0，
∴（25a+110b）﹣（15a+120b）＞0，
∴套餐一的总价更低．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及不等式的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，分别用含a，b的代数式表示出两种优惠套餐的总价．
18．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…
（1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： 52﹣42＝9 ；
（2）请你找出规律，写出第n个式子 （n+1）2﹣n2＝2n+1 ．
利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2015+2017．
【分析】（1）仔细观察前三个式子的规律，即可写出第④个式子；
（2）结合（1）找出规律，即可写出第n个式子；
利用（2）中发现的规律进行计算即可．
【解答】解：（1）观察下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…
可得第④个式子：52﹣42＝9；
故答案为：52﹣42＝9；
（2）第n个式子为：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1；
利用（2）中发现的规律计算：
1+3+5+7+…+2015+2017
＝1+22﹣12+32﹣22+42﹣32+…+10082﹣10072+10092﹣10082
＝10092．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，经过点C的⊙O与边AB相切于点E，与边AC、BC分别交于点D、点F，连接OA，＝2．
（1）求证：CF＝CD；
（2）若CD＝2，求OA的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出DF是直径，进而得出△CDF是含有30°角的直角三角形，得出CD与FC的关系即可；
（2）根据切线的性质，四边形的内角和以及（1）的结论可得出∠EOF是正三角形，在根据三角形的内角和以及直角三角形的边角关系可求出BF、BE、BC、AB、AE，再根据勾股定理求出OA即可．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，OE，EF，
∵∠C＝90°，
∴DF是⊙O的直径，即过点O，
∵＝2，
∴∠CDF＝2∠CFD，
又∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝60°，∠CFD＝30°，
在Rt△CDF中，
∵tan60°＝，
∴CF＝CD；
（2）解：∵AB是⊙O的切线，OE是半径，
∴OE⊥AB，
即∠OEB＝90°，
又∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴∠OFB＝180°﹣30°＝150°，
在四边形OEBF中，由内角和定理可得，
∠EOF＝360°﹣90°﹣60°﹣150°＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是正三角形，
∴OE＝OF＝EF＝CD＝2，
在Rt△BEF中，∠B＝60°，EF＝2，
∴BF＝EF＝，BE＝2BF＝，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝BF+FC＝+2＝，
∴AB＝2BC＝，
∴AE＝AB﹣BE＝﹣＝4，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
OA＝＝＝2．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论，直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向．（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈2.45．）
（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）
（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于点G，证△BCG是等腰直角三角形，得CG＝BG，设CG＝BG＝x米，则BC＝x米，再由锐角三角函数定义得AG≈2CG＝2x米，则2x≈184+x，解得x≈184，即可解决问题；
（2）过点C作CH⊥BE于点H，根据题意得∠CBE＝60°，在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长即可．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，
在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BG，
设CG＝BG＝x米，则BC＝x米，
在Rt△ACG中，∠CAG＝27°，tan∠CAG＝＝tan27°≈0.50，
∴AG≈2CG＝2x米，
∵AG＝AB+BG＝（184+x）米，
∴2x≈184+x，
解得：x≈184，
∴BC＝x≈184（米），
答：博物馆C到B处的距离约为184米；
（2）如图2，过点C作CH⊥BE于点H，
由题意得：∠CBG＝45°，∠DBE＝15°，
∴∠CBE＝∠CBG+∠DBE＝60°，
由（1）可知，BC≈184米，
在Rt△CBH中，CH＝BC•sin60°≈184×＝92≈225（米），
答：博物馆C周围至少225米内不能铺设轨道．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？
（3）如果上述样本的平均数为157cm，方差为0.8；该校八年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么 八年级 （填“七年级”或“八年级”）学生的身高比较整齐．
【分析】（1）根据155﹣160的频数和百分比求总数．从而求出160﹣165的频数，根据数据正确补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的确定方法求解；
（3）利用方差的意义判断．
【解答】解：（1）总数为：32÷32%＝100，则160﹣165的频数为：100﹣6﹣12﹣18﹣32﹣10﹣4＝18或100×18%＝18．
根据数据正确补全频数分布直方图，如下图：
（2）第50和51个数的平均数在155～160cm的范围内，所以样本的中位数在155～160cm的范围内；
（3）方差越小，数据的离散程度越小，所以八年级学生的身高比较整齐．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用；考查了中位数和方差的意义．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
七、（本题满分12分）
22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
【分析】（1）先证△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．再证四边形DQFG是平行四边形，即可解决问题．
（2）过G作GM⊥AB于M．证明△ABE∽△GMF，即可解决问题．
（3）过P作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2）结论：＝k．理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝k；
（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴可以假设BE＝4t，BF＝3t，EF＝AF＝5t，
∵，FG＝2，
∴AE＝，
∴（4t）2+（8t）2＝（）2，
∴t＝或﹣（舍弃），
∴BE＝，AB＝，EF＝AF＝，BF＝2，
∵BC：AB＝3：4，
∴BC＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣＝，AD＝PE＝BC＝4，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FEB∽△EPM，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM﹣CE＝﹣＝，
∴CP＝＝＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
八、（本题满分14分）
23．如图，二次函数y＝+bx+c的图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，﹣3）．已知C，D为该图象上两动点（点C在点D的右侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）是否存在其它位置的点C，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数与y轴交于点B（0，﹣3），求得c＝﹣3，根据A（1，0），即二次函数对称轴为直线x＝1，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）通过证明△ADE∽△BAO，BO•DE＝OA•AE，然后结合点D的坐标特征列方程求得DE和AE的长度，从而求解；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，再利用几何图形的性质，结合方程思想求出对应点C的坐标即可．
【解答】解：（1）将点B（0，3）代入y＝x2+bx+c，
可得c＝﹣3，
∵二次函数y＝x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图，过点D作DE⊥对称轴轴于点E，过B点作BF⊥对称轴于点F，连接BD，
∵∠CAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵∠BFA＝∠DEA＝90°，
∴△ADE∽△BAF，
＝，所以BF•DE＝AE•AF．
设D点坐标为（t，t2﹣t﹣3），
∴BF＝1，DE＝1﹣t，AE＝t2﹣t﹣3，
∴1•（1﹣t）＝（t2﹣t﹣3）•3，
解得：t＝（舍去），t＝﹣2，
当t＝﹣2时，y＝x2﹣x﹣3＝•（﹣2）2﹣（﹣2）﹣3＝1，
∴AE＝1，DE＝3，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
在Rt△AOB中，AB＝＝，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝＝1；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠C′D′A＝1，
∵点D的坐标为（﹣2，1），
∴此时，点C′的坐标为（4，1），
当点C′、D关于对称轴对称时，此时AC′与AD长度相等，即tan∠C′D′A＝1，
②当点C在x轴下方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAE＝45°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设点C的坐标为（m，m2﹣m﹣3），
∴CE＝﹣（m2﹣m﹣3），AE＝m﹣1，
∴m2﹣m﹣3＝1﹣m，
解得m＝﹣2（舍去）或m＝2，
此时点C的坐标为（2，1﹣2）；
③当点C在x轴上方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAF＝45°，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF，
设点C的坐标为（m，m2﹣m﹣3），
∴CF＝m2﹣m﹣3，AF＝m﹣1，
∴m2﹣m﹣3＝m﹣1，
解得m＝﹣1（舍去）或m＝4，
此时点C的坐标为（4，1）这和第一种情况在位置上重合；
综上，点C的坐标为（4，1）或（2，1﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合、分类讨论及方程思想解题是关键．