中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)提分冲刺预测05关于中点的联想(4种类型)(模拟18题真题4题)特训(原卷版+解析)

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关于中点的联想（10年8考，常在几何题目中涉及考察）
类型1：多个中点——（联想）三角形的中位线
类型2：直角三角形+斜边中点——（联想）斜边中线
类型3：等腰三角形+底边中点——（联想）三线合一
类型4：一边中点——（联想）倍长中线构造“8”字全等
命题规律与备考策略
【安徽最新模拟练】
一．选择题（共3小题）
1．（2022•蚌埠二模）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别是线段BC，AB，BD，AD的中点，设四边形EFDG的面积为S，则△ABC的面积为（ ）
A．2SB．3SC．4SD．6S
2．（2023•包头一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2023•开原市一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB⊥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
二．填空题（共1小题）
4．（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 ．
三．解答题（共14小题）
5．（2020•道里区校级模拟）已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．
（1）如图1，求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AD交EF于M，连接BM、CM，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与△AEF面积相等的等腰三角形．
6．（2021•安徽模拟）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC＝BD．求证：四边形EFGH为菱形．
7．（2023•东城区一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
8．（2023•北京一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
9．（2023•东城区校级模拟）证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
10．（2023•海淀区校级模拟）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
11．（2023•西城区校级模拟）下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程．
12．（2020•石家庄模拟）在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
……
（1）补全求证：
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
（3）若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
13．（2020•徐州模拟）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
14．（2021•保康县模拟）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
15．（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
16．（2022•淮安二模）【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，根据SAS可证得△ADC≌△EDB…
根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范围为 ．
【类比探究】
如图②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的边AE上的中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】
【应用1】如图③，已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的长．
【应用2】如图④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于点G，连接DG，若∠BDC的度数发生改变，请问DG是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
17．（2021•台儿庄区模拟）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： ；
（2）AD的取值范围是 ；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
18．（2021•新泰市模拟）（1）（教材呈现）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，结论：DE∥BC．DE＝BC．
（2）（结论应用）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度数．
（3）如图2，在△ABC外分别作正方形ACEF和BCGH．D是AB的中点，M，N分别是正方形的中心，AC＝3，BC＝2，则△DMN的面积最大值为多少？
【安徽实战真题练】
一．解答题（共4小题）
1．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．
2．（2022•安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
3．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
4．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且．
方法一
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
方法二
证明：如图，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接FC，DC，AF．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
方法二：
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF．
已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，且．
方法一
证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
方法二
证明：如图，过点E作EF∥AB交BC于F．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC.
方法一：
证明：如图，延长DE至点F，使得DE＝FE，连接CF．
方法二：
证明：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N
提分冲刺预测05关于中点的联想（4种类型）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
关于中点的联想（10年8考，常在几何题目中涉及考察）
类型1：多个中点——（联想）三角形的中位线
类型2：直角三角形+斜边中点——（联想）斜边中线
类型3：等腰三角形+底边中点——（联想）三线合一
类型4：一边中点——（联想）倍长中线构造“8”字全等
命题规律与备考策略
【安徽最新模拟练】
一．选择题（共3小题）
1．（2022•蚌埠二模）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别是线段BC，AB，BD，AD的中点，设四边形EFDG的面积为S，则△ABC的面积为（ ）
A．2SB．3SC．4SD．6S
【分析】连接ED，由三角形中线的性质可得S△ABC＝2S△ABD，S△ABD＝2S△AED＝2S△BED，S△BED＝2S△EFD，S△AED＝2S△EDG，进而可得S△ABC＝4S四边形EFDG即可求解．
【解答】解：连接ED，
∵点D，E，F，G分别是线段BC，AB，BD，AD的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD，S△ABD＝2S△AED＝2S△BED，S△BED＝2S△EFD，S△AED＝2S△EDG，
∵S四边形EFDG＝S△EFD+S△EDG，
∴S△ABC＝4S四边形EFDG＝4S，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的面积，三角形的中线，灵活运用三角形中线的性质是解题的关键．
2．（2023•包头一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．
【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
3．（2023•开原市一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB⊥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断．由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形EFGH是平行四边形，若FE⊥EH或者EG＝FH就可以判定四边形EFGH是矩形．
【解答】解：延长BA，CD交于点M，
∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF∥AB，EH∥CD，
∴∠AEF+∠BAD＝180°，∠HED+∠ADC＝180°，
∴∠AEF+∠BAD+∠HED+∠ADC＝360°，
又∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
∴∠AEF+∠DEH＝90°．
∴∠BAD+∠ADC＝270°．
∴∠MAD+∠MDA＝90°，即∠AMD＝90°，
∴AB⊥DC，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的判定和矩形的判定等知识，熟练掌握中点四边形的判定是解题关键．
二．填空题（共1小题）
4．（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 5 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质求解即可．
【解答】∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
∴DE∥CF，
又∵DC∥EF，
∴四边形EDCF为平行四边形，
∴EF＝DC，
又∵DC为直角三角形斜边中线，
∴，
∴EF＝DC＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．
三．解答题（共14小题）
5．（2020•道里区校级模拟）已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．
（1）如图1，求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，连接AD交EF于M，连接BM、CM，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与△AEF面积相等的等腰三角形．
【分析】（1）由△DBE≌△DCF得∠B＝∠C，根据等角对等边得AB＝AC，由此即可证明；
（2）根据（1）的结论得到ABC是等腰直角三角形，求得∠ABC＝∠ACB＝45°，推出△BED与△CFD是等腰直角三角形，证得四边形AEDF是正方形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBF和Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF，（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∵BE＝CF，
∴AE＝AF；
（2）由（1）证得，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED与△CFD是等腰直角三角形，
∵∠AED＝∠AFC＝∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∴图中所有与△AEF面积相等的等腰三角形是△AED，△AFD，△EDF，△BED，△CFD．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．（2021•安徽模拟）如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC＝BD．求证：四边形EFGH为菱形．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，根据菱形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC，
同理，GH＝AC，GH∥AC，FG＝BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴四边形EFGH为菱形．
【点评】本题考查的是中点四边形的知识，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
7．（2023•东城区一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】方法一，先证明△AED≌△CEF（ASA），推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四边形BDFC为平行四边形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得证．
方法二，证明△AED≌△CEF（SAS），推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四边形BDFC为平行四边形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得证．
【解答】方法一：
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，
点E是△ABC的边AC的中点，
∴AE＝EC，∠AED＝∠CEF，∠DEA＝∠FEC，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴CF＝AD，EF＝DE，
∵点D是△ABC的边AB的中点，
∴AD＝DB＝CF，
∴四边形BDFC为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
方法二
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
又∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD＝BD，∠EFC＝∠ADE，
∴CF∥AD，
∴四边形BDFC为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC为平行四边形．
8．（2023•北京一模）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，再证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
【解答】解：选择方法一，
证明如下：在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，
∴CF∥AB，
∵AD＝DB，
∴CF＝DB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵DE＝DF，
∴DE＝BC，DE∥BC；
方法二，证明△AEF≌△CEG，
得到四边形ABGF为平行四边形，仿照方法一证明．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．（2023•东城区校级模拟）证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC且．
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF．
【分析】证明△AED≌△CEF，推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四边形BDFC为平行四边形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得证．
【解答】证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
又∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD＝BD，∠EFC＝∠ADE，
∴CF∥AD，
∴四边形BDFC为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC为平行四边形．
10．（2023•海淀区校级模拟）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】选择方法一：根据题意，先证明△ADE≌△CFE，然后证明四边形DBCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：选择方法一，证明如下：
根据题意，如图：
AB∥CF，
∴∠DAE＝∠ECF
∵E是AC的中点，
∴AE＝EC．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA）．
∴AD＝CF，DE＝EF＝DF，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2023•西城区校级模拟）下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程．
【分析】方法一：由中点可得AD＝BD，AE＝CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE＝∠F，AD＝CF，从而有CF∥AB，CF＝BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF＝BC，DF∥BC，从而可求证DE＝BC；
方法二：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N，根据平行四边形的性质得到AM＝CN，MN＝AC，根据全等三角形的性质得到AM＝BN，DM＝DN，根据平行四边形的性质得到DE＝CN，DE∥CN，于是得到结论．
【解答】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠F，AD＝CF，
∴CF∥AB，CF＝BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝DF＝BC；
方法二：证明：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N，
∵AM∥BC，MN∥AC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AM＝CN，MN＝AC，
∵AM∥CN，
∴∠M＝BND，
∵点 D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
在△AMD与△BND中，
，
∴△AMD≌△BND（AAS），
∴AM＝BN，DM＝DN，
∴DN＝MN，AM＝BC，
∵CE＝AC，
∴DN＝CE，
∴四边形DNCE是平行四边形，
∴DE＝CN，DE∥CN，
∴DE＝BC，DE∥BC．
【点评】本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
12．（2020•石家庄模拟）在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，
……
（1）补全求证：
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；
（3）若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件写出求证即可；
（2）根据线段中点的定义得到AE＝CE，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠A＝∠ECF，求得AD＝BD，根据平行四边形的性质得到DE∥BC，DF＝BC，于是得到结论；
（3）根据三角形三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）DE∥BC，且；
（2）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，
∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
∵DE＝FE，
∴；
（3）∵DF＝8，
∴BC＝8，
∵CE＝3，
∴AC＝6，
∴BC﹣AC＜AB＜BC+AC，
即2＜AB＜14．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．（2020•徐州模拟）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1.5＜AD＜6.5 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，得到△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质得到BE＝AC，根据三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，证出∠HBC＝∠D，证明△HBC≌△FDC，得出CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，证出∠ECH＝50°＝∠ECF，再证明△HCE≌△FCE，得出EH＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图①，将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，
∴AD＝DE，BE＝AC＝5，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，
故答案为：1.5＜AE＜6.5；
（2）证明：如图②，延长FD至N，使DN＝DF，连接BN、EN，
在△FDC和△NDB中，
，
∴△FDC≌△NDB（SAS）
∴BN＝FC，
∵DF＝DN，DE⊥DF，
∴EF＝EN，
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF，
理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠D，
在△HBC和△FDC中，
，
∴△HBC≌△FDC（SAS）
∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，
∴∠BCE+∠FCD＝50°，
∴∠ECH＝50°＝∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
，
∴△HCE≌△FCE（SAS）
∴EH＝EF，
∴BE+DF＝EF．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决问题的关键．
14．（2021•保康县模拟）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是 2＜AD＜8 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，
∴∠NBC＝∠D，
在△NBC和△FDC中，，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠BCE+∠FCD＝70°，
∴∠ECN＝70°＝∠ECF，
在△NCE和△FCE中，，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN＝EF，
∵BE+BN＝EN，
∴BE+DF＝EF．
【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
15．（2022•开福区校级一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．
【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
16．（2022•淮安二模）【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，根据SAS可证得△ADC≌△EDB…
根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范围为 2＜AD＜10 ．
【类比探究】
如图②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的边AE上的中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】
【应用1】如图③，已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的长．
【应用2】如图④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于点G，连接DG，若∠BDC的度数发生改变，请问DG是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
【分析】【问题情境】延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可；
【类比探究】延长DF至点G，使FG＝DF，连接AG，利用全等三角形的判定与性质解答即可；
【应用1】过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AD于点F，利用全等三角形的判定与性质，垂径定理和勾股定理解答即可；
【应用2】取AE的中点F，连接FG，延长DF至点H，使FH＝DF，连接EH，AH，利用全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【解答】解：【问题情境】延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，如图①，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝8．
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴12﹣8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10．
故答案为：2＜AD＜10；
【类比探究】DF与BC的数量关系为：BC＝2DF．理由：
延长DF至点G，使FG＝DF，连接AG，如图，
则DG＝2DF．
∵DF是△ADE的边AE上的中线，
∴EF＝AF，
在△DEF和△GAF中，
，
∴△DEF≌△GAF（SAS），
∴DE＝AG，∠E＝∠GAF，
∴DE∥AG，
∴∠EDA+∠DAG＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠BDC＝∠GAD．
∵DB＝DE，
∴DB＝AG．
在△BDC和△GAD中，
，
∴△BDC≌△GAD（SAS），
∴BC＝DG．
∴BC＝2DF．
【应用1】过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AD于点F，如图，
则BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD＝4．
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠BOC，
∵OA＝OD，OF⊥AD，
∴∠AOF＝∠AOD．
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°．
∵∠OBE+∠OBE＝90°
∴∠OBE＝∠AOF．
在△BOE和△OAF中，
，
∴△BOE≌△OAF（AAS），
∴OE＝AF＝4，
∴BE＝＝2．
∴BC＝2BE＝4；
【应用2】DG存在最小值，其最小值为a﹣b，理由：
取AE的中点F，连接FG，延长DF至点H，使FH＝DF，连接EH，AH，如图，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠ADC+BDE＝180°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠BDC＝∠ADC+∠BDC，
即∠EDC＝∠BDA．
在△EDC和△BDA中，
，
∴△EDC≌△BDA（SAS），
∴∠DEC＝∠DBA，
∴点E，D，GB四点共圆，
∴∠EGB＝∠EDB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵F为AE的中点，
∴GF＝AE＝a．
∵AF＝FE，DF＝FH，
∴四边形ADEH为平行四边形，
∴AD＝EH，AD∥EH，
∴∠HED+∠ADE＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠HED＝∠BDC．
∵DA＝DC，
∴EH＝DC．
在△EHD和△DCB中，
，
∴△EHD≌△DCB（SAS），
∴DH＝BC＝b，
∴DF＝DH＝b．
若∠BDC的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，DG的值最小为：FG﹣FD＝a﹣b．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，勾股定理，垂径定理，平行四边形的判定与性质，本题是阅读型，探究型题目，利用题干中的方法和解题思想解答是解题的关键．
17．（2021•台儿庄区模拟）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： SAS ；
（2）AD的取值范围是 1＜AD＜5 ；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．
【分析】（1）由“SAS”可证△BED≌△CAD；
（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，由“SAS”可证△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性质可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；
（4）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△BED≌△CAD（SAS），
故答案为：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AC＝BF；
（4）方法一、如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，
∵点G是DF的中点，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝，且CD＝NF，
∴
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．
方法二、过点F作FM⊥BC于M，过点GN⊥BC于N，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴BF平分∠EBC，
∵EF⊥BE，FM⊥BC，
∴EF＝FM，
∴E，M关于BD对称，
∴EG＝MG，
∵FM⊥BC，GN⊥BC，DC⊥BC，
∴FM∥GN∥CD，
∴＝1，
∴MN＝NC，
又∵GN⊥BC，
∴GC＝GM，
∴EG＝GC．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
18．（2021•新泰市模拟）（1）（教材呈现）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，结论：DE∥BC．DE＝BC．
（2）（结论应用）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度数．
（3）如图2，在△ABC外分别作正方形ACEF和BCGH．D是AB的中点，M，N分别是正方形的中心，AC＝3，BC＝2，则△DMN的面积最大值为多少？
【分析】（1）证△DAE∽△BAC，再由相似三角形的性质即可得出结论；
（2）由三角形的中位线定理可得GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，再由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；
（3）由“SAS”证△ACG≌△ECB，得BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，再由三角形中位线定理证△MDN是等腰直角三角形，得△DMN的面积＝DM2，则当DM有最大值时，△DMN的面积有最大值，即可求解．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠ADE＝∠B，＝＝，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）解：∵E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，
∴GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，
∴∠DAC＝∠FGC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝80°，
∴∠CGE＝180°﹣80°＝100°，
∴∠EGF＝∠FGC+∠CGE＝20°+100°＝120°，
∵AD＝BC，
∴GF＝GE，
∴∠EFG＝∠FEG＝（180°﹣∠EGF）＝×（180°﹣120°）＝30°；
（3）解：如图2，连接BE，AG交于点P，BE与AC与点O，连接AE，GB，
在正方形ACEF和正方形BCGH中，AC＝EC，BC＝CG，∠ACE＝∠BCG＝90°，
∴∠BCG+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠ACG＝∠ECB，
∴△ACG≌△ECB（SAS），
∴BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，
∵∠APO+∠CAG＝∠OCE+∠CEB（八字模型），
∴∠APO＝∠OCE＝90°，
∴BE⊥AG，
∵M，N分别是正方形的中心，
∴点M在AE上，点N在BG上，
∴AM＝EM，BN＝NG，
又∵AD＝BD，
∴MD＝BE，DN＝AG，MD∥BE，DN∥AG，
∴MD＝DN，MD⊥DN，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴△DMN的面积＝DM2，
∴当DM有最大值时，△DMN的面积有最大值，
∵MD＝BE，
∴当BE有最大值时，MD有最大值，
∵BE≤BC+CE，
∴BE≤5，
∴MD≤，
∴△DMN的面积的最大值为××＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
【安徽实战真题练】
一．解答题（共4小题）
1．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．
【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；
（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
∴＝＝2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．
2．（2022•安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【分析】（1）利用AAS证明△DOE≌△BOC，得DE＝BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形，再根据CD＝CB，即可证明结论；
（2）（i）根据线段垂直平分线的性质得，AE＝EC，ED＝EB，则∠AED＝∠CED＝∠BEC，再根据平角的定义，可得答案；
（ii）利用AAS证明△ABF≌△ACE，可得AC＝AB，由AE＝AF，利用等式的性质，即可证明结论．
【解答】（1）证明：设CE与BD交于点O，
∵CB＝CD，CE⊥BD，
∴DO＝BO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO＝∠BCO，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE≌△BOC（AAS），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵CD＝CB，
∴平行四边形BCDE是菱形；
（2）（i）解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC且DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED，
又∵CD＝CB且CE⊥BD，
∴CE垂直平分DB，
∴DE＝BE，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，
∴∠CED＝；
（ii）证明：由（i）得AE＝EC，
又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，
∴∠ACE＝30°，
同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，
∴∠ACE＝∠ABF＝30°，
在△ACE与△ABF中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴AC＝AB，
又∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
即BE＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
【分析】（1）先根据题意得出AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；
（2）先证明△EAD∽△CFE，得＝＝，根据四边形ADCF是平行四边形，得AD＝CF，AF＝CD，进而可得＝＝，求得CF＝6，CE＝，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，先证明△ABE∽△DCE，得出＝＝，设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如图3，延长BM、ED交于点G，
∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
设DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，
则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中点M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
∴＝x＝1+．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且．
方法一
证明：如图，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
方法二
证明：如图，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接FC，DC，AF．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
方法二：
证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF＝GE，连接AF．
已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，且．
方法一
证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
方法二
证明：如图，过点E作EF∥AB交BC于F．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC.
方法一：
证明：如图，延长DE至点F，使得DE＝FE，连接CF．
方法二：
证明：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N