中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)考点冲刺过关04三角形(7大考点分类训练与真题16题)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)考点冲刺过关04三角形(7大考点分类训练与真题16题)特训(原卷版+解析)，共147页。

考点1：角、相交线与平行线（10年6考，4~5分）
考点2：三角形与全等三角形（10年10考，4~14分）
考点3：等腰三角形（10年9考，4~9分）
考点4：直角三角形（10年10考，4~9分）
考点5：尺规作图（2018年20题，10分）
考点6：相似三角形及其应用（10年10考，9~19分）
考点7：解直角三角形的实际应用（10年10考，5~10分）
【安徽最新模拟练】
考点1：角、相交线与平行线（10年6考，4~5分）
一．选择题（共13小题）
1．（2023•怀远县校级二模）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝38°，则∠2等于（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
2．（2023•亳州二模）如图，已知a∥b，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
3．（2023•贵池区二模）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
4．（2023•安庆一模）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
5．（2023•庐阳区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠3＝148°，则∠2的度数为（ ）度．
A．56B．66C．98D．104
6．（2023•安徽模拟）如图，若AB∥CD∥EF，∠1＝15°，∠2＝60°，那么∠BCE＝（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
7．（2023•定远县一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠1＝72°，则∠ABC的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．75°
8．（2023•庐江县模拟）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
9．（2023•蚌山区一模）如图所示，∠1＝32°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
A．128°B．112°C．122°D．148°
10．（2023•雨山区校级一模）如图，直线l∥BC，若∠A＝70°，∠1＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45°B．65°C．70°D．110°
11．（2023•安徽模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．若∠BDC＝64°，则∠EDF的度数为（ ）
A．36°B．38°C．41°D．44°
12．（2023•长丰县模拟）直线BD∥EF，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（ ）
A．75°B．80°C．85°D．95°
13．（2023•滁州二模）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．解答题（共1小题）
14．（2023•定远县校级一模）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
（2）如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
考点2：三角形与全等三角形（10年10考，4~14分）
一．选择题（共8小题）
1．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，AB＝8，∠ACB＝45°，则边AC的最大值为（ ）
A．B．C．8D．
2．（2023•安徽模拟）如图，在△ABC中，∠A＝75°，若∠ABD＝105°，过点C作CE∥BD，则∠ACE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
3．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．25°
4．（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（ ）
A．65°B．67.5°C．75°D．80°
5．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（ ）
A．2B．C．D．
6．（2023•蜀山区校级一模）如图，已知线段AB＝6，点P为线段AB上一动点，以PB为边作等边△PBC，以PC为直角边，∠CPE为直角，在△PBC同侧构造Rt△PCE，点M为EC的中点，连接AM，则AM的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．6
7．（2023•长丰县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，P是BC下方的一动点，记△ABC，△PBC的面积分别记为S1，S2.若S1＝2S2，则线段AP长的最小值是（ ）
A．3B．2+2C．3D．+1
8．（2023•五河县一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝2，则AD的长度为（ ）
A．B．C．2D．1+
二．填空题（共3小题）
9．（2023•利辛县模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝8，．
（1）当AB＝AC时，∠CAD＝ °；
（2）当△ACD面积最大时，则AD＝ ．
10．（2023•来安县一模）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
11．（2023•定远县校级一模）在等边三角形ABC中，AB＝6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF＝BD＝EC＝2，连接FE，＝ ．
三．解答题（共4小题）
12．（2023•亳州模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AE于点E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．
（1）如图1，若CF＝2EF，求证：BD＝CD；
（2）如图2，若CG＝1，EG＝，求线段CE的长．
13．（2023•定远县校级一模）如图①，在等边三角形ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）如图②，M是点E关于直线BC的对称点，连接DM，AM，CM，求证：DM＝AM．
14．（2023•五河县一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点F是射线CA上一点，连接BF，过点C作CE⊥BF，垂足为点E，直线CE、AB相交于点D．
（1）如图1所示，当点F在线段CA延长线上时，求证：△CAD≌△BAF；
（2）如图2所示，当点F在线段CA上时，连接EA，过点A作AM⊥BE于M，AN⊥CE于N，求证：EA平分∠DEB．
15．（2023•怀远县校级二模）如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．
（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF＝CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；
（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为 CF＝CE+CD （不必证明）．
考点3：等腰三角形（10年9考，4~9分）
一．选择题（共6小题）
1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（ ）
A．65°或80°B．80°C．50°或80°D．50°
2．（2023•蚌山区校级二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
3．（2023•蜀山区校级一模）已知，AD∥BE，AB＝BC，∠DAC＝40°，∠CBE＝15°，则∠BAC＝（ ）
A．65°B．60°C．45°D．55°
4．（2023•全椒县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延长BA至点D，连接CD，∠ADC＝45°，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．6B．3C．+3D．9
6．（2023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
7．（2023•金安区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D，CD＝OD，则∠BAC＝ °．
考点4：直角三角形（10年10考，4~9分）
一．选择题（共5小题）
1．（2023•明光市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，DM垂直平分AB，垂足为点M，交BC于点D，EN垂直平分AC，垂足为点N，交BC于点E，则五边形AMDEN的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023•瑶海区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
3．（2023•蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
4．（2023•谯城区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD平分∠ACB交AB于点D，分别过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则四边形CEDF的面积为（ ）
A．12B．16C．D．
5．（2023•来安县一模）如图，一副三角板按如图方式摆放，已知∠BAC＝∠DBE＝90°，∠D＝60°，∠C＝45°且AC∥DE，则∠1的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
二．填空题（共7小题）
6．（2023•宿州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，CD是AB边上的高，过点C作CE∥AB，且CE＝AB，点E与点B均在CD的右侧，连接DE，交BC于点F．
（1）若点D为AB的中点，则DE的长为 ；
（2）若DE⊥BC，则AB的长为 ．
7．（2023•雨山区校级一模）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为 ．
8．（2023•合肥模拟）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c＝（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 ．
9．（2023•瑶海区模拟）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，AB＝7，D是BC上一点，BD＝4，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF．
（1）当F在AB上时，BF长为 ；
（2）连结CF，则CF的取值范围为 ．
10．（2023•芜湖模拟）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则∠BAC+∠CDE＝ °．
11．（2023•庐江县模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
12．（2023•定远县一模）如图，把一副三角板按如图放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点E是AB的中点，连结CE，DE，DC．若AB＝6，则△DEC的面积为
三．解答题（共2小题）
13．（2023•宿州模拟）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，取BD的中点O，连接OC，OE，CE．
（1）求证：①OC＝OE；②△OCE为等腰直角三角形；
（2）若BC＝4，CE⊥BD，试求AD的长．
14．（2023•定远县校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 ；
②当t＝3时，PQ的长为 ；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
考点5：尺规作图（2018年20题，10分）
一．选择题（共3小题）
1．（2023•歙县校级模拟）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2023•南谯区校级一模）如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若∠CGE＝α，则∠A的度数可以用α表示为（ ）
A．90°﹣αB．C．180°﹣4αD．2α
3．（2023•定远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．5B．6C．8D．12
二．填空题（共2小题）
4．（2023•雨山区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 cm．
5．（2023•定远县校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为 ．
三．解答题（共4小题）
6．（2023•蜀山区校级一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图．
（1）在图（1）中作出△ABC的中线CD；
（2）请在图（2）中找一格点E，使得S△ABE＝S△ABC．
7．（2023•庐阳区校级一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（1）线段AB的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足∠ADB的度数小于∠ACB的度数，并说明理由；
（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
．
8．（2023•萧县一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 m．
9．（2023•杜集区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
（1）求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：QC＝DQ．
考点6：相似三角形及其应用（10年10考，9~19分）
一．选择题（共10小题）
1．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则BE：FE等于（ ）
A．7：4B．7：3C．4：3D．4：7
2．（2023•庐阳区校级一模）矩形ABCD中，E为边CD上一点，延长AE与BC的延长线交于点F，G在CD的延长线上且∠GAD＝∠EAD，连接FG．以下结论错误的是（ ）
A．BC•CE＝GD•CFB．AG•CD＝AF•DE
C．S△CFG＝S四边形ABCED．S△AGF＝S矩形ABCD
3．（2023•无为市一模）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•芜湖模拟）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
5．（2023•萧县一模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023•蚌山区校级二模）E，F分别是正方形ABCD的两边BC，CD的中点，AE，BF相交于P，M，N分别是AE，BF的中点，连接MN，DP．则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥BFB．DP＝ADC．D．
7．（2023•无为市一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
8．（2023•蒙城县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，过点B作BD⊥AB，连接AD交BC于点E，若AB＝4，BD＝2，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•定远县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，P为线段AC上一点，PD∥AB，连接BP并延长交CD于E，连接AE．下列结论错误的是（ ）
A．∠BED＝120°B．PA•PC＝PB•PE
C．△BPC∽△DEPD．△ABE∽△DCA
10．（2023•芜湖模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
二．填空题（共5小题）
11．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝ ．
12．（2023•南陵县模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在三角形纸片ABC（∠C＝90°）中剪下以C点为一个顶点，另3个顶点分别在AC，AB，BC上的一个正方形CDEF，量得BE＝10，AE＝20，则：
（1）正方形CDEF的边长为
（2）△ADE和△BEF的面积之和为 ．
13．（2023•淮北一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上的一点，∠EDF＝45°，DF交射线BC于点F．
（1）写出图中与∠ADE相等的角 ；
（2）若AE＝2，CF＝3，则BC＝ ．
14．（2023•来安县一模）Rt△ABC和Rt△DEF的位置如图，∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝BC＝EF＝4，连接AE，且AC•DE＝AE•DF，则：
（1）若∠EDF＝α，则∠BAE＝ （用含α的代数式来表示）；
（2）若，则GF的长为 ．
15．（2023•花山区一模）如图1，四边形ABCD和四边形CEGF均是正方形，其中点G在四边形ABCD的对角线AC上．
（1）AG与BE之间的数量关系为 ；
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针旋转，当B、E、F三点共线时，如图2，CG的延长线交AD于点H．若CH＝5，GH＝，则AG的长为 ．
三．解答题（共4小题）
16．（2023•利辛县模拟）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为 ；
（3）请用无刻度直尺将线段AB三等分．
17．（2023•蜀山区校级一模）如图1，AB＝AC＝2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求证：AC∥FB；
（3）若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
18．（2023•合肥模拟）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点．
（1）如图1，若AC平分∠BAD，AB＝AC，AD＝AO，求证：CD＝BO；
（2）如图2，点E在AB边上，EM，EN分别垂直平分AD，BC，若AC＝BD，求证：∠BAD＝∠ABC；
（3）如图3，E，F，G分别为AC，BD，AB的中点，连接EF分别交BC，AD于H，I，若，求的值．
​
19．（2023•明光市一模）如图1，在正方形ABCD中，E是AD上一点，作DF⊥CE，垂足为点P，交AB于点F．
（1）求证：DF＝CE；
（2）如图2，延长DF交CB的延长线于点G；
①如果E是AD的中点，求的值；
②如果，求PH的长度．
考点7：解直角三角形的实际应用（10年10考，5~10分）
一．选择题（共5小题）
1．（2023•亳州模拟）计算2sin30°的值（ ）
A．3B．1C．D．
2．（2023•长丰县模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•庐阳区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（ ）
A．3.2B．4C．4.5D．4.8
4．（2023•无为市一模）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
5．（2023•东至县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（ ）
A．B．3C．D．2
二．填空题（共2小题）
6．（2023•合肥一模）一斜坡的坡角是60°，则此斜坡的坡度为 ．
7．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csC＝ ．
三．解答题（共8小题）
8．（2023•包河区一模）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
9．（2023•滁州二模）如图，在修建公路AD时，需要挖掘一段隧道BC，已知点A、B、C、D在同一直线上，CE⊥AD，∠ABE＝143°，BE＝1500米；
（1）求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
10．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
11．（2023•安庆模拟）备受瞩目的卡塔尔世界杯掀起了全民足球运动的热潮．如图为某中学的矩形足球场的一部分，点A、B为球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，AB＝6米，CD⊥AB于点D．某学生沿CD向球门AB进攻，在Q点起脚射门，此时射门角∠AQB＝36°，∠QAB＝27°．求射门点Q到球门AB的距离QD的长度．（结果保留整数）（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.90，tan27°≈0.51，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
12．（2023•蚌山区校级二模）如图，山的南北两面分别有两条索道AP和BP，索道AP的底端A与山脚C的距离为400米，在A和C处分别测得山顶P的仰角∠PAB＝37°，∠PCB＝45°，在山的另一面B处测得山顶P的仰角∠PBC＝53°．分别求两条索道AP和BP的长．（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33）
13．（2023•长丰县二模）安徽浮山是中国第一文山，爬山是居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260米到达B处，紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米，最后到达山顶P处，若AB的坡度为1：2.4，请你计算浮山的高度PC（结果精确到0.1米，参考数据：）．
14．（2023•合肥二模）某滑雪场建造了全省最长的一条滑雪道，其对外宣传说，此雪道AB的长度超过500米，春节期间，某校“综合与实践”活动小组的同学利用无人机，根据自己的所学知识，设计了如下测量方案：无人机在距地面高度为450米的点P处测得滑雪道起点B处的俯角为22°，测得滑雪道的终点A处的俯角为50°（即∠CPA＝50°），沿水平方向由点P飞行525米到达点C处，此时测得起点B处的俯角为45°，其中P、A、B、C均在同一竖直平面内，根据以上数据，该滑雪场的宣传是否属实，请说明理由．
（参考数据sin50°≈0.77，sin22°≈0.37，tan50°≈1.2，tan22°≈0.4）
15．（2023•太湖县一模）如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段．为改建成河道公园，改善居民生活环境．决定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，经测量获得如下数据：CM与水平面AN的距离为12m，坡面AB的长为10m，∠BAN＝15°，坡面BC与水平面的夹角为31°．降低BC坡度后，A，B，D三点在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，试求坡面AD和CD的长度．（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到0.1m）
【安徽实战真题练】
一．选择题（共4小题）
1．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°
2．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA＝，则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
形．
3．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
4．（2021•安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A．CD＝2MEB．ME∥ABC．BD＝CDD．ME＝MD
二．填空题（共2小题）
5．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）
6．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ．
三．解答题（共10小题）
7．（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位．
8．（2014•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
9．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
10．（2017•安徽）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，≈1.41）
11．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）
12．（2022•安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
13．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
14．（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
15．（2018•安徽）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）
16．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．
（1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．
考点冲刺过关04三角形（7大考点分类训练与真题16题）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
考点1：角、相交线与平行线（10年6考，4~5分）
考点2：三角形与全等三角形（10年10考，4~14分）
考点3：等腰三角形（10年9考，4~9分）
考点4：直角三角形（10年10考，4~9分）
考点5：尺规作图（2018年20题，10分）
考点6：相似三角形及其应用（10年10考，9~19分）
考点7：解直角三角形的实际应用（10年10考，5~10分）
【安徽最新模拟练】
考点1：角、相交线与平行线（10年6考，4~5分）
一．选择题（共13小题）
1．（2023•怀远县校级二模）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1＝38°，则∠2等于（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数，然后求得∠4的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝36°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝90°﹣36°＝54°．
∵b∥c，
∴∠2＝∠4＝54°．
故选：C．
【点评】本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
2．（2023•亳州二模）如图，已知a∥b，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠BAC＝90°，∠1＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝115°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BAD＝115°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
3．（2023•贵池区二模）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据平行线的性质可知∠1+45°+60°＝180°，即可求出∠1．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+45°+60°＝180°，
∴∠1＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．
4．（2023•安庆一模）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝80°，从而可得答案．
【解答】解：如图，
由题意可得：AB∥CD，∠1＝80°，
∴∠BCD＝∠1＝80°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．
5．（2023•庐阳区校级一模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠3＝148°，则∠2的度数为（ ）度．
A．56B．66C．98D．104
【分析】如图，在∠2处作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠BHE+∠HEF＝180°，∠FED＝∠1，由对顶角相等可得∠BHE＝∠3，根据∠2＝∠HEF+∠FED计算求解即可．
【解答】解：如图，在∠2处作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴∠BHE+∠HEF＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠FED＝∠1，
∵∠BHE＝∠3，
∴∠2＝∠HEF+∠FED＝180°﹣∠BHE+∠1＝180°﹣∠3+∠1＝56°，
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
6．（2023•安徽模拟）如图，若AB∥CD∥EF，∠1＝15°，∠2＝60°，那么∠BCE＝（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【分析】由AB∥CD，可得∠1＝∠BCD＝15°，由CD∥EF，可得∠2+∠DCE＝180°，即∠DCE＝180°﹣60°＝120°，即可得∠BCE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝15°，
∴∠1＝∠BCD＝15°，
∵CD∥EF，
∴∠2+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝15°+120°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
7．（2023•定远县一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠1＝72°，则∠ABC的度数为（ ）
A．36°B．54°C．72°D．75°
【分析】根据平行线的性质得出∠BAC的度数，再由题意可知AC＝AB，从而有∠ACB＝∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结果．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝72°，
∴∠BAC＝∠1＝72°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠CAB）＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要根据题意得到AC＝AB．
8．（2023•庐江县模拟）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【分析】先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得∠DAC．
9．（2023•蚌山区一模）如图所示，∠1＝32°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
A．128°B．112°C．122°D．148°
【分析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC的度数，又因为∠2与∠BOC互补，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝32°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠1＝58°，
∵∠2+∠BOC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠BOC＝122°．
故选：C．
【点评】此题考查了余角和补角的知识，解题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
10．（2023•雨山区校级一模）如图，直线l∥BC，若∠A＝70°，∠1＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45°B．65°C．70°D．110°
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵∠1＝65°，
∴∠2＝65°，
∵∠A＝70°，
∴∠3＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴l∥BC，
∴∠B＝∠3＝45°，
故选：A．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
11．（2023•安徽模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F．若∠BDC＝64°，则∠EDF的度数为（ ）
A．36°B．38°C．41°D．44°
【分析】先根据矩形的性质可得∠C＝90°，AD∥BC，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBC＝26°，再利用平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC＝26°，然后利用折叠的性质可得∠EDB＝∠BDC＝64°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∵∠BDC＝64°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝26°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝26°，
由折叠得：∠EDB＝∠BDC＝64°，
∴∠EDF＝∠EDB﹣∠ADB＝38°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（2023•长丰县模拟）直线BD∥EF，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（ ）
A．75°B．80°C．85°D．95°
【分析】先由已知条件求出∠ABD，再根据平行线的性质求出∠BAAF，最后根据三角形内角和定理即可求出∠1．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠CBD＝10°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝30°+10°＝40°，
∵BD∥EF，
∴∠BAF＝∠ABD＝40°，
∵∠EFD＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠BAF﹣∠EFD＝180°﹣40°﹣45°＝95°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
13．（2023•滁州二模）如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】因为AB//CD，所以∠BOC＝180°﹣α，所以∠ABO＝∠BOD＝α（两直线平行，内错角相等），因为OF⊥OE，得，所以∠POE＝90°﹣α，，即可解答．
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，
∴∠ABO＝∠BOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴，
∴，
即OF平分∠BOD，
∵OP⊥CD，
∴∠POC＝90°，
∴，
∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，
所以④错误；
故答案为：C．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
二．解答题（共1小题）
14．（2023•定远县校级一模）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
（2）如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
【分析】（1）已知AB∥CD，则∠2＝∠3，根据入射角等于反射角可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，所以∠5＝∠6，根据内错角相等，两直线平行可知m∥n；
（2）（2）由平行线的性质得出∠MAC+∠ACN＝180°，根据平角的定义得出∠2＝（180°﹣∠MAC），∠3＝（180°﹣∠ACN），进而得到∠2+∠3＝90°，再根据三角形的内角和即可得解．
【解答】解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），
∴∠5＝∠6（等量代换），
∴m∥n（ 内错角相等，两直线平行）；
（2）如图，
∵∠1＝∠2，∠1+∠2+∠MAC＝180°，
∴∠2＝（180°﹣∠MAC），
同理，∠3＝（180°﹣∠ACN），
∵m∥n，
∴∠MAC+∠ACN＝180°，
∴∠2+∠3＝[（180°﹣∠MAC）+（180°﹣∠ACN）]＝×360°﹣×（∠MAC+∠ACN）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
即两平面镜的夹角∠ABC为90°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．
考点2：三角形与全等三角形（10年10考，4~14分）
一．选择题（共8小题）
1．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，AB＝8，∠ACB＝45°，则边AC的最大值为（ ）
A．B．C．8D．
【分析】以AB为斜边，在C的同侧作等腰直角三角形AOB，以O为圆心，OA为半径作优弧AB，根据∠ACB＝45°＝∠AOB，可知C在优弧AB上运动，故AC为直径时取得最大值，即可得AC最大值为8．
【解答】解：以AB为斜边，在C的同侧作等腰直角三角形AOB，以O为圆心，OA为半径作优弧AB，如图：
∵∠ACB＝45°＝∠AOB，
∴C在优弧AB上运动，
∴当AC为直径时取得最大值，
∵△AOB是等腰直角三角形，AB＝8，
∴AC＝AB＝8，即AC最大值为8；
故选：D．
【点评】本题考查三角形边的关系，解题的关键是根据∠ACB＝45°，求出C在优弧AB上运动．
2．（2023•安徽模拟）如图，在△ABC中，∠A＝75°，若∠ABD＝105°，过点C作CE∥BD，则∠ACE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】先根据平行线的性质求出∠AFE＝105°，再根据三角形外角的性质求出∠ACE的度数即可．
【解答】解：如图所示，设AB、CE交于F，
∵CE∥BD，∠ABD＝105°，
∴∠AFE＝∠ABD＝105°，
∵∠A＝75°，
∴∠ACE＝∠AFE﹣∠A＝30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
3．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．25°
【分析】先根据平行线的性质求出∠CDE的度数，再由补角的性质得出∠ECD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵一副直角三角尺如图摆放，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠F＝45°，
∵EF∥BD，
∴∠CDE＝∠DEF＝45°．
∵∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠CDE＝180°﹣120°﹣45°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟知直角三角板的性质是解题的关键．
4．（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（ ）
A．65°B．67.5°C．75°D．80°
【分析】先利用三角板的角度以及外角性质即可求得∠α＝90°﹣∠EDC，进而得出结果．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，
∵∠α＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是利用三角板度数求未知角的度数，熟记三角形外角的性质是解题关键．
5．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠AEC＝∠ADB＝90°，CE＝BD；证明△BDF≌△CGF，则BF＝FC，利用等腰三角形的三线合一性质得到∠AFC＝90°，从而得到A，F，C，E四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当EF取最大值时，则EF等于直径AC，利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：如图，分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，
∵AD⊥PB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEC＝90°．
∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝30°，
∵CG∥BD，
∴∠G＝∠FDB＝30°，
∴∠G＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE，
∴BD＝CG．
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FC，
∵AB＝AC，
∴点F为BC中点，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC+∠AEC＝180°，
∴A，F，C，E四点共圆，
∴当EF取最大值时，则EF等于直径AC，
此时P为AC中点，AP⊥AC，
∴AP＝PC＝1．
∵AB＝2，
∴PB＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
6．（2023•蜀山区校级一模）如图，已知线段AB＝6，点P为线段AB上一动点，以PB为边作等边△PBC，以PC为直角边，∠CPE为直角，在△PBC同侧构造Rt△PCE，点M为EC的中点，连接AM，则AM的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．6
【分析】连接PM，BM，并延长BM至F，由直角三角形的性质得出PM＝CM＝CE，证明△BCM≌△BPM（SSS），由全等三角形的性质得出∠CBM＝∠PBM＝30°，当AM⊥BF时，AM最小，则可得出答案．
【解答】解：连接PM，BM，并延长BM至F，
∵∠CPE＝90°，M为CE的中点，
∴PM＝CM＝CE，
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝PB，∠PBC＝60°，
∵BM＝BM，
∴△BCM≌△BPM（SSS），
∴∠CBM＝∠PBM＝30°，
∴M在∠PBC的角平分线BF上运动，
当AM⊥BF时，AM最小，
∴AM＝AB＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，证明△BCM≌△BPM是解题的关键．
7．（2023•长丰县模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，P是BC下方的一动点，记△ABC，△PBC的面积分别记为S1，S2.若S1＝2S2，则线段AP长的最小值是（ ）
A．3B．2+2C．3D．+1
【分析】当AP⊥BC时，线段AP长最小，利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：当AP⊥BC时，线段AP长最小，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴△ABC的面积为S1＝，h1＝2，
∵S1＝2S2，
∴S2＝，
∴h＝，
∴AP＝h+h1＝3，
故选：C．
【点评】此题考查等腰直角三角形，关键是根据等腰直角三角形的边长关系解答．
8．（2023•五河县一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝2，则AD的长度为（ ）
A．B．C．2D．1+
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用角平分线的性质得到DH＝DC＝2，再判断△ADH为等腰直角三角形，从而得到AD＝DH．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH＝DC＝2，
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，
∴△ADH为等腰直角三角形，
∴AD＝DH＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
二．填空题（共3小题）
9．（2023•利辛县模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝8，．
（1）当AB＝AC时，∠CAD＝ 45 °；
（2）当△ACD面积最大时，则AD＝ 4 ．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到CD＝BC＝4，当AC⊥BC时，△ACD面积最大，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝4，BC＝8，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠CAD＝BAC＝45°，
故答案为：45；
（2）∵AD是BC边上的中线，BC＝8，
∴CD＝BC＝4，
∴AC⊥BC时，△ACD面积最大，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
10．（2023•来安县一模）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
11．（2023•定远县校级一模）在等边三角形ABC中，AB＝6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF＝BD＝EC＝2，连接FE，＝ ．
【分析】根据等边三角形的性质可得DE＝BD，可得S△DEF＝S△BDF，根据BD＝BF，∠B＝60°，可知△BDE是等边三角形，易证△BDF∽△BCA，根据相似三角形的性质可得，进一步即可确定答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°，
∵BD＝EC＝2，
∴DE＝2，
∴S△DEF＝S△BDF，
∵BD＝BF，∠B＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDF＝∠C＝60°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BCA，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
12．（2023•亳州模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AE于点E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．
（1）如图1，若CF＝2EF，求证：BD＝CD；
（2）如图2，若CG＝1，EG＝，求线段CE的长．
【分析】（1）过点E作EH∥AD，交BC于点H，根据等腰三角形的三线合一性质可得BE＝AE，从而可得BH＝HD＝BD，进而可以解决问题；
（2）过点E作EM⊥AD，垂足为M，根据垂直定义可得∠AGC＝∠AEC＝90°，从而证明点A、C、G、E四点共圆，进而可得∠AGE＝∠ACE＝45°，然后求出GM＝ME＝1，从而可证明△CGF≌△EMF，进而可得FG＝FM＝GM＝1，然后可求出CF、CE．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EH∥AD，交BC于点H，
∵CB＝CA，CE⊥AB，
∴BE＝AE，
∵EH∥AD，
∴BH＝HD＝BD，
∵CF＝2EF，
∴＝＝2
∴CD＝2DH，
∴CD＝BD；
（2）解：如图2，过点E作EM⊥AD，垂足为M，
∴∠EMG＝90°，
∵∠ACB＝90°，CB＝CA，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥AB，CG⊥AD，
∴∠AGC＝∠AEC＝90°，
∴点A、C、G、E四点共圆，
∴∠AGE＝∠ACE＝45°，
∴△GME是等腰直角三角形，
∴GM＝ME＝GE＝1，
∵CG＝1，
∴CG＝ME，
∵∠CGM＝∠GME＝90°，∠CFG＝∠EFM，
∴△CGF≌△EMF（AAS），
∴CF＝EF，FG＝FM＝GM＝，
∴CF＝＝＝，
∴CE＝2CF＝．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，四点共圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2023•定远县校级一模）如图①，在等边三角形ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）如图②，M是点E关于直线BC的对称点，连接DM，AM，CM，求证：DM＝AM．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可；
（2）证明△ADM是等边三角形即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣∠DAE，∠EDC＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣∠E，
又∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E，
∴∠BAD＝∠EDC．
（2）∵点M是点E关于直线BC的对称点，
∴DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，
∵DA＝DE，
∴DM＝DA，由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD，
∵在△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MDC+∠ADB＝120°，
∴∠ADM＝180°﹣（∠MDC+∠ADB）＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM．
【点评】本题考查轴对称，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平角的定义等知识．解题的关键是理解和掌握等边三角形的判定和性质．
14．（2023•五河县一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点F是射线CA上一点，连接BF，过点C作CE⊥BF，垂足为点E，直线CE、AB相交于点D．
（1）如图1所示，当点F在线段CA延长线上时，求证：△CAD≌△BAF；
（2）如图2所示，当点F在线段CA上时，连接EA，过点A作AM⊥BE于M，AN⊥CE于N，求证：EA平分∠DEB．
【分析】（1）证出∠ACD＝∠ABF，根据ASA可证明△CAD≌△BAF；
（2）证明△ACN≌△ABM（ASA），由全等三角形的性质得出AN＝AM，由角平分线的性质得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠ADC＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠ABF+∠BDE＝90°，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△CAD和△BAF中，
，
∴△CAD≌△BAF（ASA）；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠ADC＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠ABM+∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠ABM，
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
∴AN＝AM，
∵AN＝AM，AN⊥CD，AM⊥BF，
∴EA平分∠DEB；
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2023•怀远县校级二模）如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．
（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF＝CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；
（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为 CF＝CE+CD （不必证明）．
【分析】（1）由三角形ABC与三角形EBF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对角相等，两对边相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABE与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到AE＝CF，由AC＝AE+EC，等量代换即可得证；
（2）CE＝CF+CD，理由为：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，如图所示，由DG与AB平行，利用两直线平行同位角相等，确定出三角形GDC为等边三角形，再由三角形EDF为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EGD与三角形FCD全等，利用全等三角形对应边相等得到EG＝FC，由EC＝EG+GC，等量代换即可得证；
（3）CF＝CE+CD，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，只要证明△EGD≌△FCD即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图2：
∵△ABC与△BEF都为等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC＝CD，EB＝BF，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
则CD＝AC＝AE+EC＝FC+EC；
（2）CE＝CF+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，
∵DG∥AB，
∴∠CGD＝∠CDG＝60°，△CDG为等边三角形，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝∠GDC＝60°，ED＝FD，GD＝CD，
∴∠EDF﹣∠GDF＝∠GDC﹣∠GDF，即∠EDG＝∠FDC，
在△EDG和△FDC中，
，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG＝FC，
则CE＝CG+EG＝CG+CF＝CF+CD；
（3）CF＝CE+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，即△GCD为等边三角形，
∵△EDF为等边三角形，
∴∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠CDF，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
则FC＝EC+CG＝EC+CD．
故答案为：（3）CF＝CE+CD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
考点3：等腰三角形（10年9考，4~9分）
一．选择题（共6小题）
1．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰△ABC，∠A的相邻外角是130°，则这个三角形的顶角为（ ）
A．65°或80°B．80°C．50°或80°D．50°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠A，再分∠A是顶角与底角两种情况讨论求解即可．
【解答】解：∵∠A的相邻外角是130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
①∠A是顶角时，顶角为50°，
②∠A是底角时，顶角为180°﹣50°×2＝80°，
所以，这个三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，难点在于要分情况讨论．
2．（2023•蚌山区校级二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【分析】根据等边三角形作图即可确定答案．
【解答】解：将一块等边三角形按如图所示切3次，最多可分成7块，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，作出图形是解题的关键．
3．（2023•蜀山区校级一模）已知，AD∥BE，AB＝BC，∠DAC＝40°，∠CBE＝15°，则∠BAC＝（ ）
A．65°B．60°C．45°D．55°
【分析】过点C作CF∥AD，交AB于点F，根据平行线的性质可得∠ACF＝∠DAC，根据平行线的传递性可知CF∥BE，进一步可得∠BCF＝∠CBE，根据∠ACB＝∠DAC+∠CBE求出∠ACB的度数，根据AB＝BC，可得∠BAC＝∠ACB，即可确定∠BAC的度数．
【解答】解：过点C作CF∥AD，交AB于点F，如图所示：
则∠ACF＝∠DAC，
∵AD∥BE，
∴CF∥BE，
∴∠BCF＝∠CBE，
∴∠ACB＝∠DAC+∠CBE，
∵∠DAC＝40°，∠CBE＝15°，
∴∠ACB＝40°+15°＝55°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝55°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．（2023•全椒县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延长BA至点D，连接CD，∠ADC＝45°，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DP，取DP的中点M，分别连接ME，MF，得点P，F，D，E四点共圆，当MF取最小值时，EF也取最小值，由此解答即可．
【解答】解：如图，连接DP，取DP的中点M，分别连接ME、MF，过C作CH⊥BD交BD于H．
∵PE⊥AB，PF⊥CD，
∴点P，F，D，E四点共圆，
∴．
∵∠ADC＝45°，
∴∠EMF＝90°，
∴当MF取最小值时，EF也取最小值，
∴DP⊥BC时，DP取最小值．
∵BC＝4，
∴，BH＝2，
∴，
∵CH×BD＝DP×BC，
∴，
∴，
∴，
即EF的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形性质，能得出点P，F，D，E四点共圆是解题的关键．
5．（2023•贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．6B．3C．+3D．9
【分析】作BH⊥CA于H，连接OB，OH，由等边三角形的性质，锐角的正切求出BH的长，由直角三角形的性质求出OH的长，由OB≤BH+OH，即可解决问题．
【解答】解：作BH⊥CA于H，连接OB，OH，
∵△ABC是等边三角形，∠BCH＝60°，
∴CH＝AH＝AC＝×6＝3，
∵tan∠BCH＝，
∴BH＝3×tan60°＝9，
∵∠AOC＝90°，
∴OH＝AC＝3，
∵OB≤BH+OH＝9+3，
∴点B到原点的最大距离是9+3．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形、直角三角形的性质，三角形的三边关系，坐标与图形性质，关键是通过作辅助线得到OB≤BH+OH．
6．（2023•庐阳区模拟）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．
【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，
∴BD＝，CD＝，
∵等边三角形ABC中，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B＝60°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝，
∴DE＝＝，
如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，
∵∠FDC＝∠FCD＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝CF＝，
∴CM垂直平分DF，
∴∠DCN＝30°，DN＝FN，
∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，
∵M为EF的中点，
∴MN＝DE＝，
∴CM＝CN+MN＝+＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
7．（2023•金安区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D，CD＝OD，则∠BAC＝ 30 °．
【分析】连接OC，利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC，∠A＝∠C，即∠A＝∠C＝∠DOC，然后利用三角形内角和计算∠A的度数．
【解答】解：连接OC，
∵CD＝OD，
∴∠C＝∠DOC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠C＝∠DOC，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∵∠A+∠AOC+∠C＝180°，
∴∠A+90°+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了三角形内角和．
考点4：直角三角形（10年10考，4~9分）
一．选择题（共5小题）
1．（2023•明光市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，DM垂直平分AB，垂足为点M，交BC于点D，EN垂直平分AC，垂足为点N，交BC于点E，则五边形AMDEN的周长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝BC，再利用线段垂直平分线的性质可得∠BMD＝∠CNE＝90°，BM＝AM＝AB＝，CN＝AN＝AC＝，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得DM＝，NE＝，BD＝，CE＝，然后在Rt△ABF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AF＝，BF＝，从而可得BC＝2BF＝3，进而可得DE＝，最后利用五边形的周长公式进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC＝3，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝BC，
∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC，
∴∠BMD＝∠CNE＝90°，BM＝AM＝AB＝，CN＝AN＝AC＝，
∴DM＝＝，NE＝＝，BD＝2DM＝，CE＝2NE＝，
在Rt△ABF中，∠B＝30°，
∴AF＝AB＝，BF＝AF＝，
∴BC＝2BF＝3，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝3﹣﹣＝，
∴五边形AMDEN的周长＝AM+MD+DE+EN+AN
＝++++
＝3+2，
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2023•瑶海区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
【分析】连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，从而可判定△BAC≌△BAG'（AAS），然后由全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
则在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AC＝6，
∴AB＝2BC，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（2BC）2＝BC2+（6）2，
解得：BC＝6，
∴BG'＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
3．（2023•蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【分析】由题意可知A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，过点D作DN⊥AC，可得△DPN∽△BPC，则，则当DN最最大值时，即取最小值，即当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，设BC＝a，利用含30°的直角三角形可得，此时，，即可得的最小值为2．
【解答】解：∵M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，
∴AM＝BM＝DM，∠C＝90°，
∴A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，
过点D作DN⊥AC，则∠DNP＝∠C＝90°，
∵∠DPN＝∠BPC，
∴△DPN∽△BPC，
∴，
由题意可知，BC为长度不发生变化，则当DN最最大值时，即取最小值，
即：当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，
设BC＝a，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2a，AM＝BM＝DM＝a，
∵DM⊥AC，
∴，则，
此时，，
综上，的最小值为2；
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的相关知识，得到A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，再添加辅助线构造相似是解决问题的关键．
4．（2023•谯城区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD平分∠ACB交AB于点D，分别过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，则四边形CEDF的面积为（ ）
A．12B．16C．D．
【分析】先由勾股定理，得BC＝6，再根据角平分线的性质得出DE＝DF，推出四边形ECFD是正方形，再推理△AED∽△ACB，得比例线段，进而求出四边形CEDF的面积．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
根据勾股定理，得BC＝6，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DEF＝∠DFC＝90°，
∴四边形ECFD是正方形，
∴EC＝ED，ED∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，
设EC＝ED＝x，
则＝，
解得x＝，
∴四边形CEDF的面积为．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，掌握这两个性质的应用，其中相似三角形中的比例线段是解题关键．
5．（2023•来安县一模）如图，一副三角板按如图方式摆放，已知∠BAC＝∠DBE＝90°，∠D＝60°，∠C＝45°且AC∥DE，则∠1的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据AC∥DE可得∠DFB＝∠C，再根据直角三角形两个锐角互余求出∠E＝30°，最后根据三角形的外角定理，即可求解．
【解答】解：∵AC∥DE，∠C＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∵∠DBE＝90°，∠D＝60°，
∴∠E＝30°，
∵∠DFB＝∠E+∠1＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等；直角三角形两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
二．填空题（共7小题）
6．（2023•宿州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，CD是AB边上的高，过点C作CE∥AB，且CE＝AB，点E与点B均在CD的右侧，连接DE，交BC于点F．
（1）若点D为AB的中点，则DE的长为 ；
（2）若DE⊥BC，则AB的长为 ．
【分析】（1）先求出AD＝1，，进而得出AB＝CE＝2，根据平行线的性质得出∠DCE＝∠ADC＝90°，再利用勾股定理即可得出答案；
（2）先证明△BDC∽△DCE，得出BD•CE＝DC•DC，设BD＝x，则AB＝CE＝1+x，得出x2+x﹣3＝0，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，AC＝2，
∴AD＝1，，
∵点D是AB的中点，
∴AB＝CE＝2，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠ADC＝90°，
∴；
故答案为：；
（2）∵CE∥AB，CD⊥AB，
∴∠DCE＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠CFE＝90°，
∴∠BCD+∠ECF＝∠E+∠ECF＝90°，即∠BCD＝∠E，
又∵∠BDC＝∠DCE＝90°，
∴△BDC∽△DCE，
∴，即BD•CE＝DC•DC，
设BD＝x，
则AB＝CE＝1+x，
∴，即x2+x﹣3＝0，
解得（负值舍去）．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
7．（2023•雨山区校级一模）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”为 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离，再求它们的比值即可．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，CE为△ACB的中线，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵＝，
∴，
解得CD＝，
∴BD＝＝＝，
∵CE为Rt△ACB斜边AB上的中线，AB＝5，
∴BE＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣＝，
即点E到CD的距离为，
∴△ABC中AB边的“中偏度值”为：＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB边上的高和该边上的中点到高的距离．
8．（2023•合肥模拟）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c＝（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 4 ．
【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可．
【解答】解：由题意得“弦”是，
∵9＜13＜16，13﹣9＝4，16﹣13＝3，
∴13更接近于16，
∴接近于4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
9．（2023•瑶海区模拟）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝6，AB＝7，D是BC上一点，BD＝4，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF．
（1）当F在AB上时，BF长为 ；
（2）连结CF，则CF的取值范围为 1≤CF≤2 ．
【分析】（1）如图1，当点F在AB上时，根据△DEF为等边三角形，可证明∠FDB＝90°，再利用＝cs∠B，即可求出答案；
（2）如图2，以CD为边在△ABC内部作等边三角形CDG，连接EG，当点E与点B重合时，EG最大，此时CF取得最大值，如图3，过点F作FH⊥BC于点H，利用勾股定理即可求得CF的最大值为2；当EG⊥AB时，EG最小，此时CF取得最小值．如图4，延长CG交AB于点M，当点E与点M重合时，CF取得最小值，利用解直角三角形即可求出CF的最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，当点F在AB上时，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠AED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∵∠B＝30°，
∴∠FDB＝180°﹣∠B﹣∠EFD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵＝cs∠B，
∴BF＝＝＝；
故答案为：；
（2）如图2，以CD为边在△ABC内部作等边三角形CDG，连接EG，
∵△CDG和△DEF均为等边三角形，
∴DE＝DF，DG＝DC，∠EDF＝∠CDG＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
∴△DEG≌△DFC（SAS），
∴CF＝EG，
当点E与点B重合时，EG最大，
∴此时CF取得最大值，
如图3，过点F作FH⊥BC于点H，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝BD＝4，∠BDF＝60°，BH＝DH＝2，
∴FH＝DF•sin∠BDF＝4×sin60°＝2，CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
∴CF＝＝＝2，
∴CF的最大值为2；
当EG⊥AB时，EG最小，
∴此时CF取得最小值．
如图4，延长CG交AB于点M，
∵∠B＝30°，∠DCG＝60°，
∴∠BMC＝90°，
∴当点E与点M重合时，CF取得最小值，
在Rt△BCE中，CE＝BC＝3，
∵CG＝CD＝2，
∴EG＝CE﹣CG＝1，
∴CF的最小值为1，．
综上所述，CF的取值范围为：1≤CF≤2，
故答案为：1≤CF≤2；
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，特殊角三角函数值，等边三角形性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．（2023•芜湖模拟）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则∠BAC+∠CDE＝ 45 °．
【分析】如图，连接AD．设图中每个小正方形的边长为x，根据勾股定理，得AD＝x，CD＝x，AC＝x，那么AD2+CD2＝AC2，，AD＝CD．再根据勾股定理的逆定理，进而推断出∠ADC＝90°．再根据等腰直角三角形的性质，得∠DAC＝∠ACD＝45°．根据平行线的性质，由AB∥DE，得∠BAD+∠ADE＝180°，从而解决此题．
【解答】解：如图，连接AD．
设图中每个小正方形的边长为x．
∴AD＝x，CD＝x，AC＝x．
∴AD2+CD2＝AC2，AD＝CD．
∴∠ADC＝90°．
∴∠DAC＝∠ACD＝45°．
由题意得，AB∥DE．
∴∠BAD+∠ADE＝180°．
∴∠BAC+∠DAC+∠ADC+∠CDE＝∠BAC+45°+90°+∠CDE＝180°．
∴∠BAC+∠CDE＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键．
11．（2023•庐江县模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 m2+1 （结果用含m的式子表示）．
【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．（2023•定远县一模）如图，把一副三角板按如图放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点E是AB的中点，连结CE，DE，DC．若AB＝6，则△DEC的面积为
【分析】作CF⊥DE交DE的延长线于F，根据直角三角形斜边中线的性质得出DE＝CE＝AE＝BE＝AB＝3，然后根据∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，得出△BEC是等边三角形，△BDE是等腰直角三角形，即可得出∠CEB＝60°，DE⊥AB，进而求得∠ECF＝∠CEB＝60°，根据30°的直角三角形的性质得出CF＝CE＝，最后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作CF⊥DE交DE的延长线于F，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，点E是AB的中点，
∴DE＝CE＝AE＝BE＝AB＝3，
∵∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，
∴△BEC是等边三角形，△BDE是等腰直角三角形，
∴∠CEB＝60°，DE⊥AB，
∵CF⊥DE，
∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE＝，
∴S△DEC＝DE•CF＝×3×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建含30°的直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
13．（2023•宿州模拟）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，其中AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC上任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，取BD的中点O，连接OC，OE，CE．
（1）求证：①OC＝OE；②△OCE为等腰直角三角形；
（2）若BC＝4，CE⊥BD，试求AD的长．
【分析】（1）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，即可求证；②根据中点的定义可得，则OC＝OB，OE＝OB，根据等角对等边和三角形的外角定了可得∠COD＝2∠OBC，∠DOE＝2∠OBE，进而得出∠COE＝90°，即可求证；
（2）根据OC＝OE，CE⊥BD，可推出BD是CE的垂直平分线，则DE＝CD，BE＝BC＝4，再根据勾股定理求出AB，进而得出，最后根据等腰直角三角形的性质得出∠A＝45°，即可求解．
【解答】（1）证明：①∵∠BCD＝90°，DE⊥AB，点O为BD点的中点，
∴，，
∴OC＝OE．
②∵点O为BD点的中点，
∴，
由①知，，
∴OC＝OB，OE＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB．
又∠COD＝∠OCB+∠OBC，∠DOE＝∠OBE+OEB，
∴∠COD＝2∠OBC，∠DOE＝2∠OBE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝2（∠OBC+∠OBE）＝2∠ABC＝2×45°＝90°．
又∵OC＝OE，
∴△OCE为等腰直角三角形．
（2）解：由①知OC＝OE，
又∵CE⊥BD，
∴BD是CE的垂直平分线，
∴DE＝CD，BE＝BC＝4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵DE⊥AB，
∴．
∴．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形等角对等边，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．
14．（2023•定远县校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 9.6cm ；
②当t＝3时，PQ的长为 ；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
【分析】（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；
②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得，
∴Rt△ABC斜边AC上的高为；
②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，
即PQ的长为，
故答案为：①9.6cm；②；
（2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），
当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，
解得，
∴出发秒后△BPQ能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，AC＝20cm，
当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，
①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，
则，
由（1）知BE＝9.6cm，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，
即122＝9.62+（2t﹣6）2，
解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；
②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；
③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，
∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，
∴∠A＝∠QBA，
∴QB＝QA，
∴，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
考点5：尺规作图（2018年20题，10分）
一．选择题（共3小题）
1．（2023•歙县校级模拟）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】过H点作HM⊥AC于M，如图，根据基本作图得到CH平分∠ACD，则利用角平分线的性质得到HM＝HD，接着根据勾股定理计算出AC＝15，通过证明Rt△CHD≌Rt△CHM得到CD＝CM＝3，所以AM＝2，设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，利用勾股定理得到t2+22＝（4﹣t）2，解方程得到HD＝1.5，从而得到H点的横坐标．
【解答】解：∵O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
如图，过H点作HM⊥AC于M，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质和坐标与图形性质．
2．（2023•南谯区校级一模）如图，已知AB∥CD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若∠CGE＝α，则∠A的度数可以用α表示为（ ）
A．90°﹣αB．C．180°﹣4αD．2α
【分析】由作图可知：AC＝AE，CE⊥CE，所以∠ACE＝∠AEC，∠CEG＝90°，则∠CGE+∠ECG＝90°，所以∠ECG＝90°﹣α，再根据平行线的性质得∠AEC＝∠ECG＝90°﹣α，即可由三角形内角和定理求解．
【解答】解：由作图可知：AC＝AE，CE⊥CE，
∴∠ACE＝∠AEC，∠CEG＝90°，
∴∠CGE+∠ECG＝90°，
∴∠ECG＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴∠ACE＝∠AEC＝∠ECG＝90°﹣α，
∴∠A＝180°﹣∠ACE﹣∠AEC＝180°﹣2∠AEC＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键．
3．（2023•定远县校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．5B．6C．8D．12
【分析】根据作图过程证明△FAO≌△BAO，可得∠AOF＝∠AOB＝90°，FO＝BO＝4，根据勾股定理得AO＝3，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，从而∠DAG＝∠AEB，再根据等腰三角形的性质即可求得AO＝EO＝3，进而得AE的长．
【解答】解：如图，
∵∠BAD的平分线AG交BC于点E
∴∠FAE＝∠BAE
由作图可知：
AF＝AB
AO＝AO
∴△FAO≌△BAO（SAS）
∴∠AOF＝∠AOB＝90°
FO＝BO＝4
AB＝5
∴AO＝3
在平行四边形ABCD中
AD∥BC
∴∠DAG＝∠AEB
∠FAE＝∠BAE
∴∠AEB＝∠BAE
∴AB＝BE
∴AO＝EO＝3
∴AE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
二．填空题（共2小题）
4．（2023•雨山区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 8 cm．
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC＝AG，即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴FC⊥AC，
∵FG⊥AB，
由作图方法可得：AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG，
在Rt△ACF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AG，
∵AC＝BC，
∴AG＝BC，
∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
5．（2023•定远县校级一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为 1+ ．
【分析】利用基本作图得到BE平分∠ABC，则根据等腰三角形的性质得到∴BE⊥AC，AE＝CE＝1，在利用勾股定理计算出BC＝，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BF＝CF＝BC，所以△CEF的周长＝CE+BC．
【解答】解：由作法得BE平分∠ABC，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BF＝CF＝BC，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+BC＝1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
三．解答题（共4小题）
6．（2023•蜀山区校级一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图．
（1）在图（1）中作出△ABC的中线CD；
（2）请在图（2）中找一格点E，使得S△ABE＝S△ABC．
【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分找出AB的中点，再连线即可；
（2）根据网格线的特征，CE∥AB，根据等底同高面积相等，点E即为所求．
【解答】解：如下图：
（1）线段CD即为所求；
（2）点E即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
7．（2023•庐阳区校级一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（1）线段AB的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足∠ADB的度数小于∠ACB的度数，并说明理由；
（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接AP，
则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB． ．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）在直线AC上方的弧上找一点D，使得点C在△ABD内，连接AD，BD，延长AC，与BD交于E，根据外角的性质可得大小；
（3）取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：；
故答案为：；
（2）如图，点D即为所求；
连接AD，BD，延长AC，与BD交于E，
∵∠ACB＝∠CBE+∠CEB，
∴∠ACB＞∠CEB，
∵∠CEB＝∠DAE+∠D，
∴∠ACB＞∠CEB＞∠D；
（3）如图，取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接AP，
则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
理由：第一步：连接EF得圆心，因为∠EAF＝90°，所以EF是直径．
第二步：D点根据网格相似比，可以知道D为AB的中点，所以QD是垂径．
第三步：连接QC并延长，交OB于P，OB是半径等于OA，所以∠OBA＝∠BAC＝30°，
∴∠PBC＝20°，∠AOB＝∠AOQ＝∠BOQ＝120°，
∴∠COQ＝60°＝∠BOC，又OB＝OQ，OC＝OC，
∴△OCQ≌△OCB（SAS），
∴∠Q＝∠PBC＝20°，
∴∠OPQ＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠PCB＝40°﹣20°＝20°，
又∵OA＝OQ，OP＝OP，∠AOP＝∠POQ＝120°，
∴△OPQ≌△OPA（SAS），
∴∠PAC＝∠Q＝20°，
∴∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
故答案为：取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接AP，
则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，外角的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
8．（2023•萧县一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．测得DF＝0.5m，EF＝0.3m，CD＝10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m，则树高AB为 9 m．
【分析】（1）根据点光源的性质画图；
（2）根据三角形相似的性质，列方程求解；
（3）根据三角形相似的性质，列方程求解．
【解答】解：（1）如下图：
点O和点Q即为所求；
（2）设AO＝x米，PQ＝y步，
由题得：MP＝4步，AM＝20步，MN＝BP＝1.5米，AO∥MN∥BP，
∴△MNP∽△AOP，△BPQ∽△AOQ，
∴＝＝，
即：＝＝，
解得：x＝9，y＝4.8，
所以路灯AO的高是9米，影长PQ的步数4.8步；
（3）在Rt△DEF中，DE＝＝0.4（米），
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
解得：BC＝7.5（米），
∴7.5+1.5＝9（米），
故答案为：9米．
【点评】本题考查了作图，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9．（2023•杜集区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
（1）求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：QC＝DQ．
【分析】（1）过P点作PQ⊥OP，即可解决问题；
（2）连接AP，根据AB为直径，可得∠APB＝∠BDA＝90°，然后根据等腰三角形的性质可得BP＝CP，所以OP是△BAC的中位线，可得OP∥AC，PQ∥BD，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：如图，直线PQ即为所求；
（2）证明：如图，连接AP，
∵AB为直径，
∴∠APB＝∠BDA＝90°，
∴AP⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BP＝CP，
∵OA＝OB，
∴OP是△BAC的中位线，
∴OP∥AC，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OP⊥PQ，
∴PQ⊥AC，
∵BD⊥DC，
∴PQ∥BD，
∵BP＝CP，
∴QC＝DQ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
考点6：相似三角形及其应用（10年10考，9~19分）
一．选择题（共10小题）
1．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则BE：FE等于（ ）
A．7：4B．7：3C．4：3D．4：7
【分析】平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质G求得∠CBF＝∠E，再根据等腰三角形的性质得CE＝CB＝7．然后证△ECB∽△EDF，得，即可求解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∵∠ABC的平分线交AD于点F，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠E，
∴CE＝CB＝7，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣4＝3，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△ECB∽△EDF，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
2．（2023•庐阳区校级一模）矩形ABCD中，E为边CD上一点，延长AE与BC的延长线交于点F，G在CD的延长线上且∠GAD＝∠EAD，连接FG．以下结论错误的是（ ）
A．BC•CE＝GD•CFB．AG•CD＝AF•DE
C．S△CFG＝S四边形ABCED．S△AGF＝S矩形ABCD
【分析】根据矩形的性质得AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AD⊥CD，由等腰三角形的三线合一性质可得AG＝AE，DG＝DE，易证明△FCE～△ADE，则，以此可判断A选项；再证明△ADE∽△FBA，得到，以此可判断B选项；分别表示出△CFG和四边形ABCE的面积，根据选段之间的关系化简得S△CFG＝，S四边形ABCE＝，以此可判断C选项；分别表示出△AGF和矩形ABCE的面积，根据选段之间的关系化简得S△AGF＝BC•CD，S矩形ABCD＝BC•CD，以此可判断D选项．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AD⊥CD，
∴∠ADG＝∠ADE，
∵∠GAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADE（ASA），
∴AG＝AE，
∴△AGE为等腰三角形，
∴AG＝AE，DG＝DE，
∵AD∥BC，
∴△FCE～△ADE，
∴，
∴AD•CE＝DE•CF，
∴BC•CE＝GD•CF，故A选项正确，不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠ADE＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△FBA，
∴，
∴AE•AB＝AF•DE，
∵AG＝AE，AB＝CD，
∴AG•CD＝AF•DE，故B选项正确，不符合题意；
由上述可知，AB＝CD，BC•CE＝GD•CF，
∴
＝
＝
＝，
＝，
∵不能确定BC和CF的大小关系，
∴不能确定S△CFG和S四边形ABCE的大小关系，故C选项错误，符合题意；
由上述可知，DG＝DE，AD＝BC，BC•CE＝GD•CF，
∴S△AEG＝2S△ADE，
S△AGF＝2S△ADE+S△CGF﹣S△FCE
＝
＝
＝
＝DE•BC+BC•CE
＝BC•（DE+CE）
＝BC•CD，
S矩形ABCD＝BC•CD，
∴S△AEG＝S矩形ABCD，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用相似三角形的性质得出对应线段的比时解题关键．
3．（2023•无为市一模）一个三边长分别为a，b，b的等腰三角形与另一个腰长为b的等腰三角形拼接，得到一个腰长为a的等腰三角形，其中a＞b，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件可画图，如图所示，易得：△ADC、△ABC、△CBD均为等腰三角形，得到△ABC∽△CBD，列出比例式，解方程即可．
【解答】解：如图：
∵∠ABC＝∠CBD，且都为底角，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
即：，
整理得：a2﹣ab﹣b2＝0，
即：，
解得或（舍去），
因此．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相关知识点有：等腰三角形的性质、相似三角形对应边成比例、解一元二次方程以及整体思想，根据相似列出比例式是解题的关键．
4．（2023•芜湖模拟）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴OE＝12，OF＝2，
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD，
∵OE，OF分别是它们的高，
∴＝，
∵AB＝6cm，
∴CD＝1cm，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
5．（2023•萧县一模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据位似变换的概念得到四边形ABCD∽四边形EFGH，EF∥AB，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴＝＝，
∴四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积之比为25：81，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（2023•蚌山区校级二模）E，F分别是正方形ABCD的两边BC，CD的中点，AE，BF相交于P，M，N分别是AE，BF的中点，连接MN，DP．则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥BFB．DP＝ADC．D．
【分析】证明△ABE≌△BCF（SAS），根据全等三角形的性质得出∠BAE＝∠CBF，进而得出∠BPE＝90°，即可判断①，延长BF交AD的延长线于Q，证明△BCF≌△QDF（AAS），得出DQ＝BC＝AD，即可判断②，设正方形的边长为2a，则BE＝FC＝a，勾股定理得出，根据，得出，进而勾股定理求得MN，即可求解．
【解答】解：如图所示，
∵E，F分别是正方形ABCD的两边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
∵AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
即∠BPE＝90°，
∴AE⊥BF，
故A正确；
如图所示，延长BF交AD的延长线于Q，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠Q＝∠CBF，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∵∠DFQ＝∠CFB，
∴△BCF≌△QDF（AAS），
∴DQ＝BC＝AD，
∴D是AQ的中点，
∴Rt△APQ中，PD＝AD＝AB；
故B正确；
设正方形的边长为2a，
则BE＝FC＝a，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵M，N分别是AE，BF的中点，
∴，
，
在Rt△PMN中，，
∴，，
故C错误，D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2023•无为市一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
【分析】①根据三角形内角和定理进行判断推理即可解答；②根据三角形相似的判定方法推理即可判断正误；③先说明△BAD∽△EAO，再运用相似三角形的性质即可解答；④利用矩形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理进行推理即可解答．
【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠BAD＝∠EDC，
故①正确；
②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，
∴△ADO∽△ACD．
故②正确；
③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，
∴△BAD∽△EAO，
∴．
故③正确；
④如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N，
在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．
∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴DN＝AM，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，
∴2AD2＝2AM2+2MD2，
∴2AD2＝BD2+CD2．
故④正确．
故选：D．
【点评】本题是考查的是等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形相似的判断及性质是解题的关键．
8．（2023•蒙城县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，过点B作BD⊥AB，连接AD交BC于点E，若AB＝4，BD＝2，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，连接CD，利用等腰直角三角形的性质得到CF＝BF＝AB＝2，利用正方形的判定得到四边形DBFC为正方形，利用相似三角形的判定与性质得到CE＝BC，利用勾股定理求得BC，则结论可得．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，连接CD，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，CF⊥AB，
∴CF＝BF＝AB＝2．
∵DB⊥AB，CF⊥AB，
∴DB∥CF，
∵DB＝CF＝2，
∴四边形DBFC为平行四边形，
∵∠DBA＝90°，DB＝DF＝2，
∴四边形DBFC为正方形，
∴CD＝DB＝2，CD∥AB．
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∴CE＝BC．
∵BC＝，
∴CE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，过点C作CF⊥AB于点F是解题的关键．
9．（2023•定远县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，P为线段AC上一点，PD∥AB，连接BP并延长交CD于E，连接AE．下列结论错误的是（ ）
A．∠BED＝120°B．PA•PC＝PB•PE
C．△BPC∽△DEPD．△ABE∽△DCA
【分析】利用等边三角形的判定得出△ABC，△ADP均为等边三角形，结合等边三角形的性质不难求得△DAC≌△PAB，则有∠DCA＝∠PBA，从而可求得∠CEP＝∠PAB＝60°，即可求得∠BED＝120°，则A正确；不难求得△EPC∽△APB，则有，从而可判断B正确；只有当∠PBA＝60°时，即P，C重合时，∠BPC＝120°，∠BPC＝∠DEP，∠DCA＝∠PBA，此时△BPC∽△DEP，其它情况不成立，故C错误；首先证得△EPA∽△CPB，∠AEP＝∠PCB＝60°，∠DCA＝∠PBA，∠AEP＝∠DAC，从而得△DCA∽△ABE，故D正确．
【解答】解：∵AB＝BC，对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵PD∥AB，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠DPA＝60°，
∴△ADP均为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝DP＝AP，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
在△DAC和△PAB中，
，
∴△DAC≌△PAB（SAS），
∴∠DCA＝∠PBA，
∵∠CEP+∠EPC+∠DCA＝180°，∠PAB+∠APB+∠PBA＝180°，∠EPC＝∠APB，
∴∠CEP＝∠PAB＝60°，
∴∠BED＝120°，故A正确；
∵∠EPC＝∠APB，∠DCA＝∠PBA，
∴△EPC∽△APB，
∴，
∴PA⋅PC＝PB⋅PE，故B正确；
∵∠DEP＝120°，∠BPC＝∠CAB+∠PBA＝60°+∠PBA，0°≤∠PBA≤60°，
∴只有当∠PBA＝60°时，即P，C重合时，∠BPC＝∠DEP，∠DCA＝∠PBA，此时△BPC∽△DEP，其它情况不成立，故C错误；
∵，
∴，
∵∠EPA＝∠CPB，
∴△EPA∽△CPB，
∴∠AEP＝∠PCB＝60°，
∵∠DCA＝∠PBA，∠AEP＝∠DAC，
∴△DCA∽△ABE，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形的判定和性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
10．（2023•芜湖模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF＝EC；②CF2＝CG•CA；③BE•DH＝16；④若BF＝1，则DE＝，正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【分析】①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，可得AE＝EF＝EC；
②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF2＝CG•CA；
③通过证明△ECH∽△CDH，可得，通过证明△ECH∽△EBC，可得，可得结论；
④通过证明△AFC∽△DEC，可得，即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，
又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，
∴∠EAF＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，
∴∠BCE+∠EFB＝180°，
又∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴EF＝EC，故①正确；
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴∠FAC＝∠EFC＝45°，
又∵∠ACF＝∠FCG，
∴△FCG∽△ACF，
∴，
∴CF2＝CG•CA，故②正确；
∵∠ECH＝∠CDB，∠EHC＝∠DHC，
∴△ECH∽△CDH，
∴，
∴，
∵∠ECH＝∠DBC，∠BEC＝∠CEH，
∴△ECH∽△EBC，
∴，
∴，
∴，
∴BC•CD＝DH•BE＝16，故③正确；
∵BF＝1，AB＝4，
∴AF＝3，AC＝4，
∵∠ECF＝∠ACD＝45°，
∴∠ACF＝∠DCE，
又∵∠FAC＝∠CDE＝45°，
∴△AFC∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2023•亳州模拟）如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项．如果AB＝2，那么AP＝ 3﹣ ．
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得BP＝AB，即可得出结论．
【解答】解：∵点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项，
∴BP2＝AB•AP，
∴BP＝AB＝＝﹣1，
∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
12．（2023•南陵县模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在三角形纸片ABC（∠C＝90°）中剪下以C点为一个顶点，另3个顶点分别在AC，AB，BC上的一个正方形CDEF，量得BE＝10，AE＝20，则：
（1）正方形CDEF的边长为 4 ；
（2）△ADE和△BEF的面积之和为 100 ．
【分析】（1）设BF＝x，证明Rt△ADE∽Rt△EFB，利用相似比表示出DE＝2x，AD＝4x，则CD＝CF＝2x，AC＝6x，BC＝3x，接着利用勾股定理计算出AB＝3x，所以3x＝30，然后解出x；
（2）设BF＝x，由（1）知DE＝EF＝2x，AD＝4x，利用三角形的面积公式分别计算出S1和S2，从而得到S1+S2的值．
【解答】解：（1）设BF＝x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠EFC＝90°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
∴Rt△ADE∽Rt△EFB，
∴＝＝，即＝＝，
解得DE＝2x，AD＝4x，
∴CD＝CF＝2x，
∴AC＝6x，BC＝3x，
在Rt△ABC中，AB＝＝3x，
∴3x＝30，
解得x＝2，
∴正方形CDEF的边长为2x＝4；
故答案为：4；
（2）设BF＝x，由（1）知DE＝EF＝2x，AD＝4x，
∴S△ADE＝AD•DE＝•4x•2x＝4×（2）2＝80，
S△BEF＝•EF•BF＝•2x•x＝（2）2＝20，
∴S△ADE+S△BEF＝80+20＝100．
故答案为：100．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了三角形面积和相似三角形的判定与性质．
13．（2023•淮北一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上的一点，∠EDF＝45°，DF交射线BC于点F．
（1）写出图中与∠ADE相等的角 ∠F ；
（2）若AE＝2，CF＝3，则BC＝ 6 ．
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°，然后利用三角形外角性质得∠ADF＝∠F+∠B，即∠ADE+∠EDF＝∠F+∠B，从而得到∠ADE＝∠F；
（2）设AD＝x，则AB＝2x，根据等腰直角三角形的性质得到BC＝x，再证明△ADE∽△BFD，利用相似比得到＝，所以x2﹣2x﹣6＝0，然后解方程求出x，从而得到BC的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠ADF＝∠F+∠B，
即∠ADE+∠EDF＝∠F+∠B，
而∠EDF＝45°，
∴∠ADE＝∠F；
故答案为：∠F；
（2）设AD＝x，则AB＝2x，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BC＝AB＝x，
∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠F，
∴△ADE∽△BFD，
∴＝，即＝，
整理得x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝3，
∴BC＝×＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了等腰直角三角形的性质．
14．（2023•来安县一模）Rt△ABC和Rt△DEF的位置如图，∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝BC＝EF＝4，连接AE，且AC•DE＝AE•DF，则：
（1）若∠EDF＝α，则∠BAE＝ 45°﹣α （用含α的代数式来表示）；
（2）若，则GF的长为 ．
【分析】（1）由AC•DE＝AE•DF，证明Rt△ACE∽Rt△DFE，得到∠EDF＝∠EAC＝α，再根据△ACB是等腰直角三角形可得∠BAC＝45°，即可得出结果；
（2）证明Rt△ACE≌Rt△EFA，可得EC＝AF，∠EAC＝∠AEF，从而证明△GAE是等腰三角形，得出GE＝GA，利用，BC＝4，求出，，设GF＝x，AG＝EG＝4﹣x，在Rt△AGF中利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵AC•DE＝AE•DF，
∴，
∵∠C＝∠F＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△DFE，
∴∠EDF＝∠EAC＝α，
∵AC＝BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝45°﹣α，
故答案为：45°﹣α；
（2）∵∠C＝∠F＝90°，
在Rt△ACE和Rt△EFA中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△EFA（HL），
∴EC＝AF，∠EAC＝∠AEF，
∴△GAE是等腰三角形，
∴GE＝GA，
∵，即EC＝2BE，
∴BC＝3BE＝4，
∴，，
设GF＝x，AG＝EG＝4﹣x，
在Rt△AGF中，利用勾股定理得AF2+FG2＝AG2，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．
15．（2023•花山区一模）如图1，四边形ABCD和四边形CEGF均是正方形，其中点G在四边形ABCD的对角线AC上．
（1）AG与BE之间的数量关系为 AG＝BE ；
（2）将正方形CEGF绕点C顺时针旋转，当B、E、F三点共线时，如图2，CG的延长线交AD于点H．若CH＝5，GH＝，则AG的长为 4 ．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠CEG＝90°，∠ECG＝45°，＝，∠B＝90°，∠BCA＝45°，以此得到A、G、C三点共线，根据同位角相等，两直线平行得AB∥GE，最后根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据正方形的性质得到∠CGF＝∠AGH＝∠HAC＝45°，再证明△AGH∽△CAH，得到，则AH2＝CH•GH，求出，进而得到，设DH＝a，则CD＝AD＝，在Rt△CDH中，根据勾股定理列出方程，解得a＝，CD＝AD＝，AC＝CD＝，以此即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝90°，∠ECG＝45°，＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BCA＝45°，
∴A、G、C三点共线，
∵∠CEG＝∠B＝90°，
∴AB∥GE，
∴，
∴AG＝BE；
故答案为：AG＝BE；
（2）∵四边形CEGF是正方形，
∴∠CGF＝45°，
∵∠AGH＝∠CGF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HAC＝45°，
∴∠AGH＝∠HAC，
∵∠AHG＝∠CHA，
∴△AGH∽△CAH，
∴，
∴AH2＝CH•GH，
∵CH＝5，GH＝，
∴，
∴或（舍去），
∴，即AG＝，
设DH＝a，则CD＝AD＝AH+DH＝，
在Rt△CDH中，由勾股定理得CH2＝DH2+CD2，
即，
解得：a＝或（舍去），
∴DH＝，CD＝AD＝，
∴AC＝CD＝，
∴AG＝×＝4
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
三．解答题（共4小题）
16．（2023•利辛县模拟）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，1），C（1，5）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）若点P（x，y）是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为 （2x，2y） ；
（3）请用无刻度直尺将线段AB三等分．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）根据位似的性质可得答案．
（3）取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB于点G，H，此时，，即点G，H 将线段AB三等分．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）由题意得，点P1的坐标为 （2x，2y）．
故答案为：（2x，2y）．
（3）如图，点G，H 将线段AB三等分．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
17．（2023•蜀山区校级一模）如图1，AB＝AC＝2CD，DC∥AB，将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，使点D落在AC的点E处，AB与CF相交于点O，AB与EF相交于点G，连接BF．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求证：AC∥FB；
（3）若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）
【分析】（1）首先说明CD＝AE，再利用SAS即可证明结论；
（2）由旋转可知EF＝AD，由（1）中全等可得BE＝AD，从而得出EF＝BE，进而得出∠8＝∠7，则∠2＝∠6，再利用三角形外角的性质得∠2＝∠7，利用平行线的判定即可证明；
（3）利用△FEC∽△AED，得，由△EAF∽△FAC，得，可知，再证明AF＝BC，即可解决问题．
【解答】（1）证明：由旋转得，△FCE≌△ACD，
∴CE＝CD，
∵AC＝2CD，
∴AC＝2CE，
∵AC＝CE+AE，
∴AC＝2AE，
∴CD＝AE，
∵DC∥AB，
∴∠1＝∠2，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）证明：如图1，由（1）得△FCE≌△ACD，△ABE≌△CAD，
∴FE＝AD，BE＝AD，∠4＝∠5，∠3＝∠5，∠6＝∠1，
∴FE＝BE，∠4＝∠3，
∵FE＝BE，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴∠4+∠8＝∠3+∠7，
∴∠8＝∠7，
∵∠1＝∠2，∠6＝∠1，
∴∠2＝∠6，
∵∠9＝∠2+∠6，∠9＝∠7+∠8，
∴∠2+∠6＝∠7+∠8，
∴2∠2＝2∠7，
∴∠2＝∠7，
∴AC∥FB；
（3）解：如图2，由（2）得∠4＝∠5，∠1＝∠6，
∵∠4＝∠5，∠FEC＝∠AED，
∴△FEC∽△AED，
∴，
∴，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FEA∽△CED，
∴∠EFA＝∠1，
∴∠EFA＝∠6，
又∵∠EAF＝∠FAC，
∴△EAF∽△FAC，
∴，
∴AF2＝AE•AC，
∵AE＝，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
由（2）得∠2＝∠6，∠7＝∠8，
∴AO＝CO，FO＝BO，
在△AOF与△COB中，
∵AO＝CO，∠AOF＝∠COB，FO＝BO，
∴△AOF≌△COB（SAS），
∴AF＝CB，
∴．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，得出是解决问题（3）的关键．
18．（2023•合肥模拟）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点．
（1）如图1，若AC平分∠BAD，AB＝AC，AD＝AO，求证：CD＝BO；
（2）如图2，点E在AB边上，EM，EN分别垂直平分AD，BC，若AC＝BD，求证：∠BAD＝∠ABC；
（3）如图3，E，F，G分别为AC，BD，AB的中点，连接EF分别交BC，AD于H，I，若，求的值．
​
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAO＝BAO，根据全等三角形的性质得到CD＝BO；
（2）连接EC，ED，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝ED，EB＝EC，根据全等三角形的性质得到∠AEC＝∠DEB，于是得到结论；
（3）分别过C，D作AD，BC的平行线交直线lH于P，Q，根据线段中点的定义得到AE＝CE，根据全等三角形的判定和性质得到AI＝CP，BH＝DQ．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAO＝∠BAO，
∵AB＝AC，AD＝AO，
在△ACD与△ABO中，
，
∴△ACD≌△ABO（SAS），
∴CD＝BO；
（2）证明：连接EC，ED，
∵EM，EN分别垂直平分AD，BC，
∴EA＝ED，EB＝EC，
在△AEC与△DEB中，
，
∴△AEC≌△DEB（SSS），
∴∠AEC＝∠DEB，
∴∠AED＝∠BEC，
∵∠AED＝2∠AEM，∠BEC＝2∠BEN，
∴∠AEM＝∠BEN，即∠BAD＝∠ABC；
（3）解：分别过C，D作AD，BC的平行线交直线lH于P，Q，
∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴AE＝CE，
又∵∠IAE＝∠PCE，∠AEI＝∠PEC，
∴△AEI≌△CEP（AAS），
同理△BFH≌△DFQ，
∴AI＝CP，BH＝DQ．
∵CP∥AD，DQ∥BC，
∴∠CPH＝∠DIQ，∠CHP＝∠DQl，
∴△CHP∽△DQI，
∴，，
∴，，
∴．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．（2023•明光市一模）如图1，在正方形ABCD中，E是AD上一点，作DF⊥CE，垂足为点P，交AB于点F．
（1）求证：DF＝CE；
（2）如图2，延长DF交CB的延长线于点G；
①如果E是AD的中点，求的值；
②如果，求PH的长度．
【分析】（1）证明△ADF≌△DCE，从而得出结论；
（2）①可证明∴△ADF∽△BGF，△ADH∽△CGH，△DEP∽△GCP，从而，，，进一步得出结果；
②作HM⊥BC于M，作HN⊥AB，可证得△NHF∽△BGF，从而＝＝，设AN＝NH＝BM＝x，NF＝y，可表示出DE＝x+y，CG＝4x+4y，根据△DEP∽△GCP，，设PE＝a，则PC＝4a，由射影定理得：PD2＝PE•PC＝4a2，从而PD＝2a，进而得出F是AB的中点，E是AD的中点，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDP＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠CPD＝90°，
∴∠DCE+∠CDP＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DF＝CE；
（2）解：①由（1）得：△ADF≌△DCE，
∴AF＝DE，
∵点D是AD的中点，
∴DE＝AD＝，
∴AF＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△BGF，△ADH∽△CGH，△DEP∽△GCP，
∴，，，
∴，，
∴；
②如图，
作HM⊥BC于M，作HN⊥AB，
可得：AN＝NH＝BM，HM＝BN，NH∥BC，BF∥HM，
∴△NHF∽△BGF，
∴＝＝，
设AN＝NH＝BM＝x，NF＝y，
∴BG＝3x，BF＝3y，
∴CM＝HM＝BN＝NF+BF＝4y，
DE＝AF＝AN+NF＝x+y，
∴CG＝BG+BM+CM＝3x+x+4y＝4x+4y，
由①知：△DEP∽△GCP，
∴，
设PE＝a，则PC＝4a，
由射影定理得：PD2＝PE•PC＝4a2，
∴PD＝2a，
∴tan∠ADN＝，
∵AD＝AB，
∴，
∴F是AB的中点，E是AD的中点，
由①知：DF＝FG＝3，PH＝DH，
∴DH＝DF﹣FH＝3，
∴PH＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量关系．
考点7：解直角三角形的实际应用（10年10考，5~10分）
一．选择题（共5小题）
1．（2023•亳州模拟）计算2sin30°的值（ ）
A．3B．1C．D．
【分析】根据特殊角的正弦值解决此题．
【解答】解：2sin30°＝2×＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查特殊角的正弦值，熟练掌握特殊角的正弦值是解决本题的关键．
2．（2023•长丰县模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理判定三角形ABC是直角三角形，最后根据三角函数定义即可求解．
【解答】解：∵小正方形的边长均为1，
∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握两个定理．
3．（2023•庐阳区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（ ）
A．3.2B．4C．4.5D．4.8
【分析】先在Rt△ABC中根据正弦的定义和勾股定理可得AB＝10、BC＝6，进而得到BD＝4，最后根据DE⊥AB运用正弦的定义即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴，即，
解得AB＝10，
∴，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE⊥AB，
∴，即，
解得DE＝3.2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．
4．（2023•无为市一模）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．在Rt△ABD中，根据正弦函数的定义即可得答案．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．
在Rt△ABD中，
∵BD＝4，AD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，解题关键是构造以∠B为锐角的直角三角形．
5．（2023•东至县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，结合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，则可求得AQ＝3，根据正切的定义即可得到tan∠APQ的值，从而可求tan∠ACO的值．
【解答】解：∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴，
∵OC：OB＝1：3，
∴，
∴，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
∴∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2OQ＝2，
∴AQ＝3，
∴tan∠APQ＝＝3，
∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2023•合肥一模）一斜坡的坡角是60°，则此斜坡的坡度为 ：1 ．
【分析】直接利用坡度的定义得出答案．
【解答】解：∵一斜坡的坡角是60°，
∴此斜坡的坡度为：tan60°＝，即为：：1．
故答案为：：1．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．
7．（2023•亳州模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csC＝ ．
【分析】作△ABC的高AH．利用勾股定理求出AC，可得结论．
【解答】解：如图，作△ABC的高AH，
∵∠H＝90°，AH＝2，CH＝4，
∴AC＝＝，
∴csC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共8小题）
8．（2023•包河区一模）数学测绘社团欲测算平台DB上旗杆的拉绳AC的长．从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好与斜坡CD的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角∠ACN＝53°，已知斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），DB＝6米，求拉绳AC的长．（结果保留1位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，那么NE＝DB＝6米．解Rt△CDN，求出CN＝10米，得出CE＝CN+NE＝16米．解Rt△ACE，即可求出拉绳AC的长．
【解答】解：如图，延长AB交CN于E，则四边形DBEN为矩形，
∴NE＝DB＝6米．
∵斜坡CD的高DN＝4米，坡比为1：2.5（即DN：CN＝1：2.5），
∴CN＝10米，
∴CE＝CN+NE＝16米．
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，CE＝16米，∠ACE＝53°，
∴AC＝≈≈26.7（米）．
故拉绳AC的长约为26.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023•滁州二模）如图，在修建公路AD时，需要挖掘一段隧道BC，已知点A、B、C、D在同一直线上，CE⊥AD，∠ABE＝143°，BE＝1500米；
（1）求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？
【分析】（1）求出∠EBC的度数，再根据锐角三角函数直接进行计算即可；
（2）设未知数，列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵CE⊥BC，∠ABE＝143°，
∴∠EBC＝180°﹣143°＝37°，
在Rt△BCE中，∠EBC＝37°，BE＝1500，
∴BC＝cs37°•BE≈1200（米），
答：隧道两端B、C之间的距离约为1200米；
（2）设有原计划每天开挖x米，则实际每天开挖（1+20%）x米，由题意得，
﹣＝2，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用以及分式方程的应用，掌握直角三角形的边角关系以及分式方程的应用是正确解答的前提．
10．（2023•庐阳区校级模拟）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为37°的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为45°的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根据正弦的定义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，过点E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，则四边形EGDF为矩形，
∴EG＝FD，
在Rt△AEF中，，
则（米），
在Rt△EBG中，，
则EG＝BE⋅sinB≈280×0.6＝168（米），
∴AD＝AF+EG＝113.12+168＝281.12≈281（米），
答：大蜀山的高度约为281米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，将坡度坡角与三角函数的定义结合并熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
11．（2023•安庆模拟）备受瞩目的卡塔尔世界杯掀起了全民足球运动的热潮．如图为某中学的矩形足球场的一部分，点A、B为球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，AB＝6米，CD⊥AB于点D．某学生沿CD向球门AB进攻，在Q点起脚射门，此时射门角∠AQB＝36°，∠QAB＝27°．求射门点Q到球门AB的距离QD的长度．（结果保留整数）（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.90，tan27°≈0.51，sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【分析】由∠AQB＝36°，∠QAB＝27°，得出∠DBQ＝63°，又因为CD⊥AB，得出∠DQB＝27°，设QD＝x米，在Rt△DBQ中，根据三角函数得出BD的长，在Rt△DAQ中，根据三角函数得出AD的长，又因为AB+BD＝AD，AB＝6米，得出
6+0.51x＝1.96x，得出x的值即为所求．
【解答】解：∵∠AQB＝36°，∠QAB＝27°，
∴∠DBQ＝∠AQB+∠QAB＝63°，
又CD⊥AB，
∴∠DQB＝27°，
设QD＝x米，
在Rt△DBQ中，，
∴BD＝DQ⋅tan∠DQB＝DQ⋅tan27°≈0.51x（米），
在Rt△DAQ中，，
∴（米），
又AB+BD＝AD，AB＝6米，
∴6+0.51x＝1.96x，
解得x≈4，即QD＝4米，
答：射门点Q到球门AB的距离QD的长度为4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键．
12．（2023•蚌山区校级二模）如图，山的南北两面分别有两条索道AP和BP，索道AP的底端A与山脚C的距离为400米，在A和C处分别测得山顶P的仰角∠PAB＝37°，∠PCB＝45°，在山的另一面B处测得山顶P的仰角∠PBC＝53°．分别求两条索道AP和BP的长．（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33）
【分析】过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△ADP，Rt△PCD中，分别求得AD，CD，根据AC＝400，求得PD，进而在Rt△ADP，Rt△PCD中，求得AP＝2000米，BP＝1596米．
【解答】解：如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△ADP中，，
在Rt△PCD中，，
∵AC＝400，
∴AD﹣CD＝400，即，
解得：PD＝1200，
在Rt△PAD中，PA＝＝≈＝2000（米），
在Rt△PBD中，PB＝≈＝1500（米）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
13．（2023•长丰县二模）安徽浮山是中国第一文山，爬山是居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．如图，某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260米到达B处，紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米，最后到达山顶P处，若AB的坡度为1：2.4，请你计算浮山的高度PC（结果精确到0.1米，参考数据：）．
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，结合坡度比以及AB的长度，根据勾股定理列方程求出DC的长，再根据∠PBD＝45°解直角三角形求出PD的长，最后相加即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则四边形DCEB为矩形，
∴DC＝BE，
∵AB的坡度为1：2.4，AB＝260米，
∴设BE＝5x（米），则AE＝12x（米），
在Rt△ABE中，，
解得x＝20，
则BE＝20×5＝100（米），
在Rt△PBD中，∠PBD＝45°，PB＝90米，
∴（米），
∴PC＝PD+DC＝163.6米，
答：浮山的高度PC约为163.6米．
【点评】本题主要考查坡度的概念以及解直角三角形，熟练掌握坡度的概念并能够利用勾股定理列方程，运用三角函数值解直角三角形是解决本题的关键．
14．（2023•合肥二模）某滑雪场建造了全省最长的一条滑雪道，其对外宣传说，此雪道AB的长度超过500米，春节期间，某校“综合与实践”活动小组的同学利用无人机，根据自己的所学知识，设计了如下测量方案：无人机在距地面高度为450米的点P处测得滑雪道起点B处的俯角为22°，测得滑雪道的终点A处的俯角为50°（即∠CPA＝50°），沿水平方向由点P飞行525米到达点C处，此时测得起点B处的俯角为45°，其中P、A、B、C均在同一竖直平面内，根据以上数据，该滑雪场的宣传是否属实，请说明理由．
（参考数据sin50°≈0.77，sin22°≈0.37，tan50°≈1.2，tan22°≈0.4）
【分析】过点B作地面的垂线，垂足为E，交直线PC于点D，过点P作地面的垂线，垂足为F，则四边形PDEF为矩形，设BD＝DC＝x，则PD＝525+x，在Rt△PDB中，利用正切函数求得x＝350，PD＝875米，在Rt△PAF中，利用正切函数求得AF＝375米，据此求解即可解答．
【解答】解：滑雪场的宣传属实，理由如下，
如图，过点B作地面的垂线，垂足为E，交直线PC于点D，过点P作地面的垂线，垂足为F，则四边形PDEF为矩形，
∵∠DCB＝45°，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴设BD＝DC＝x，则PD＝525+x，
在Rt△PDB中，∠DPB＝22°，
∴，即，
解得x＝350，
∴PD＝875米，
在Rt△PAF中，∠PAF＝∠CPA＝50°，PF＝450米，
∴，即，
解得AF＝375米，
∴AE＝EF﹣AF＝PD﹣AF＝875﹣375＝500米，
∴AB＞AE＝500，
∴滑雪场的宣传属实．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2023•太湖县一模）如图是某段河道的坡面横截面示意图，从点A到点B，从点B到点C是两段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段．为改建成河道公园，改善居民生活环境．决定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，经测量获得如下数据：CM与水平面AN的距离为12m，坡面AB的长为10m，∠BAN＝15°，坡面BC与水平面的夹角为31°．降低BC坡度后，A，B，D三点在同一条直线上，即∠DAN＝15°．为确定施工点D的位置，试求坡面AD和CD的长度．（参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到0.1m）
【分析】过点B作BE⊥AN于点E，过点D作DF⊥AN于点F，过点C作CG⊥AN于点G，过点B作BH⊥CG于点H，根据矩形的性质得到BE＝HG，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，求得CH＝DF﹣BE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AN于点E，过点D作DF⊥AN于点F，过点C作CG⊥AN于点G，过点B作BH⊥CG于点H，
，
则四边形CDFG和四边形BEGH都是菱形，
∴BE＝HG，EG＝BH，CD＝GF，CG＝DF，
∴CH＝DF﹣BE，
根据题意知，DF＝12m，AB＝10m，
在Rt△ABE中，∠BAE＝15°，sin∠BAE＝，cs∠BAE＝，
∴BE＝AB•sin∠BAE＝AB•sin15°≈10×0.26＝2.6（m），AE＝AB•cs∠BAE＝AB•cs15°≈10×0.97＝9.7（m），
在Rt△ADF中，∠DAF＝15°，sin∠DAF＝，tan∠DAF＝，
∴AD＝≈46.2（m），AF＝≈44.4（m），
∴CH＝DF﹣BE＝12﹣2.6＝9.4（m），
在Rt△BCH中，∠CBH＝31°，tan，
∴BH＝13.8（m），
∴CD＝GF＝AF﹣AE﹣EG＝AF﹣AE﹣BH≈44.4﹣9.7﹣13.8＝20.9（m），
答：坡面AD的长约为46.2m，CD的长约为20.9m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及正确作出辅助线是解题的关键．
【安徽实战真题练】
一．选择题（共4小题）
1．（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【解答】解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，
∠F＝90°﹣∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．
故选：C．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°．故选：C．
【点评】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
2．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA＝，则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，csA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cs∠DBC＝cs∠A＝，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
3．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，
∴S1+S1+S0＝2，
∴S1＝S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0＝×62＝9，
∴S1＝，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，
∴RT＝，
∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为，
当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，
如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，
∵＜，
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
4．（2021•安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（ ）
A．CD＝2MEB．ME∥ABC．BD＝CDD．ME＝MD
【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延长DM交AB于点N，可得MN是△ACB的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DN＝AN，得到角之间的关系，可得ME∥AB．
【解答】解：根据题意可作出图形，如图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，
在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，
由此可得点A，C，D，B四点共圆，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝DB，（故选项C正确）
∵点M是BC的中点，
∴DM⊥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC∥DN，
∴点N是线段AB的中点，
∴AN＝DN，
∴∠DAB＝∠ADN，
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴CE∥BD，
∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，
∵点M是BC的中点，
∴CM＝BM，
∴△CEM≌△BFM（AAS），
∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，
∴点M是EF的中点，
∵∠EDF＝∠CED＝90°，
∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），
∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，
∴EM∥AB（故选项B正确），
综上，可知选项A的结论不正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
二．填空题（共2小题）
5．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）
【分析】由折叠性质得∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF＝8，所以DF＝AD﹣AF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，即ED＝；再利用折叠性质得∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，易得∠2+∠3＝45°，于是可对①进行判断；设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，则AG＝GH＝3，GF＝5，由于∠A＝∠D和≠，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG＝3，GF＝5，DF＝2可对④进行判断．
【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，
在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，
∴AF＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，
∴ED＝，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，
∴∠2+∠3＝∠ABC＝45°，所以①正确；
HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2，
∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，
∴AG＝GH＝3，GF＝5，
∵∠A＝∠D，＝＝，＝，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S△ABG＝•6•3＝9，S△FGH＝•GH•HF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH，所以③正确；
∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5，
∴AG+DF＝GF，所以④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．
6．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 或3 ．
【分析】根据勾股定理求出BD，分PD＝DA、P′D＝P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝10，
当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，
∴＝，即＝，
解得，PE＝，
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′＝CD＝3，
故答案为：或3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
7．（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 20 个平方单位．
【分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；
（3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．
【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A2B1即为所求；
（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
8．（2014•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．
9．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．
【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），
在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°，
∴cs41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），
tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
10．（2017•安徽）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．
（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，≈1.41）
【分析】在Rt△ABC中，求出BC＝AB•cs75°≈600×0.26≈156m，在Rt△BDF中，求出DF＝BD•sin45°＝600×≈300×1.41≈423，由四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC，由此即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝600m，∠ABC＝75°，
∴BC＝AB•cs75°≈600×0.26＝156（m），
在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，
∴DF＝BD•sin45°＝600×≈300×1.41＝423（m），
∵四边形BCEF是矩形，
∴EF＝BC＝156（m），
∴DE＝DF+EF＝423+156＝579（m）．
答：DE的长为579m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（2020•安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）
【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan42.0°＝≈0.9，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴tan36.9°＝≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC＝AD﹣CD，
∴15＝0.15BD，
∴BD＝100（米），
∴CD＝0.75BD＝75（米），
答：山高CD为75米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．
12．（2022•安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【分析】由三角形内角和定理证得△CBD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
【解答】解：∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECA＝37°，
∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cs∠BDC＝，
∴BD＝CD•cs37°≈90×0.80＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA＝，
∴AB＝≈＝96（米）．
答：A，B两点间的距离约96米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△CBD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．
13．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；
（3）先作出两个直角三角形，再判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，
∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴
∴．
即：h12＝h2•h3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
14．（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，根据圆周角定理得到＝，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF＝3，OF＝2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF＝，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5﹣3＝2，
在Rt△OCF中，CF＝＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．
15．（2018•安徽）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）
【分析】根据平行线的性质得出∠FED＝45°．解等腰直角△DEF，得出DE＝DF＝1.8米，EF＝DE＝米．证明∠AEF＝90°．解直角△AEF，求出AE＝EF•tan∠AFE≈18.036米．再解直角△ABE，即可求出AB＝AE•sin∠AEB≈18米．
【解答】解：由题意，可得∠FED＝45°．
在直角△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠EFD＝45°，
∴DE＝DF＝1.8米，EF＝DE＝米．
∵∠AEB＝∠FED＝45°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠FED＝90°．
在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°+45°＝84.3°，
∴AE＝EF•tan∠AFE≈×10.02＝18.036（米）．
在直角△ABE中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°，
∴AB＝AE•sin∠AEB≈18.036×≈18（米）．
故旗杆AB的高度约为18米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
16．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．
（1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；
（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；
（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM＝a，则AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出＝，＝，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DCB＝90°，
∵DM＝MB，
∴CM＝DB，EM＝DB，
∴CM＝EM．
（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，
∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°，
∵CM＝DM＝ME，
∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，
∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，
∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．
（3）证明：如图2中，设FM＝a．
∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，
∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°
∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，
∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，
∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，
∵CN＝NM，
∴MN＝a，
∴＝，＝，
∴＝，
∴EM∥AN．
（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．