中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)考点冲刺过关08圆(3大考点模拟25题中考真题15题)特训(原卷版+解析)

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考点1：圆的有关性质（10年10考，4~13分）
考点2：与圆有关的位置关系（10年5考，4~10分）
考点3：与圆有关的计算题（10年4考，4~5分）
【安徽最新模拟练】
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，是的中点，，若，，则所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
2．（2023·安徽合肥·校联考二模）是半圆的直径，与半圆相切于点，交半圆于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接．若的半径为，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，是半圆O的直径，平分，且，则弧的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．的最小值为
6．（2023·安徽合肥·校联考二模）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，．若，则阴影部分面积为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2023·安徽合肥·统考一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，在弧上，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式：．当，时，____________．
10．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点A，B，C是⊙的上点，，，若⊙的半径为5，则的长是______．
11．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，直径与弦交于点E， ，四边形是菱形，则的长是 _____．
12．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且．
（1）___________．
（2）连接，则的最小值为___________．
13．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，内接于圆O．若，，，则的弧长为___________．
14．（2023·安徽宿州·统考二模）如图，在平行四边形中，，，，则阴影部分的面积为_______________．
15．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，，，，，连接，其中的延长线交于点F．
（1）______．
（2）若点P为的中点，则的最小值是______．
三、解答题
16．（2023·安徽宿州·统考二模）如图，是的外接圆，直径的长为6，过点C的切线交的延长线于点D，连接．
(1)若，求的长；
(2)若，求证：．
17．（2023·安徽蚌埠·校联考二模）如图，中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，以的边为直径作半圆O交于点D，且，半圆O交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求半圆O的半径r．
19．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
20．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为，，求劣弧的长．
21．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，．
(1)将先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到，请在图中作出；
(2)将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出（点、、分别对应点、、），求点在旋转过程中经历的总路程．
22．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，点B为圆O外一点，过点B作圆O的切线，点P为上一点，连接并延长交圆O于点C，若与垂直．
(1)求证：；
(2)若，圆O的半径为8，求的长．
23．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
(1)判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
24．（2023·安徽合肥·校考一模）（1）【初步体验】如图1，正方形中，点，分别是、边上，且于点，求证：．
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点，若点为边中点，求证：．
（3）【灵活运用】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点，求的值．
25．（2023·安徽合肥·统考二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2020·安徽·统考中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形．则
C．若．则弦平分半径
D．若弦平分半径．则半径平分弦
2．（2022·安徽·统考中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
3．（2022·安徽·统考中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（2015·安徽·统考中考真题）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．
5．（2019·安徽·统考中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
6．（2021·安徽·统考中考真题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
7．（2017·安徽·中考真题）如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧DE的长为 _________ ．
8．（2018·安徽·统考中考真题）如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.
三、解答题
9．（2020·安徽·统考中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
10．（2019·安徽·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
11．（2021·安徽·统考中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
12．（2014·安徽·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．
13．（2015·安徽·统考中考真题）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
14．（2018·安徽·统考中考真题）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
15．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
考点冲刺过关08圆（3大考点模拟25题中考真题15题）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
考点1：圆的有关性质（10年10考，4~13分）
考点2：与圆有关的位置关系（10年5考，4~10分）
考点3：与圆有关的计算题（10年4考，4~5分）
【安徽最新模拟练】
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，是的中点，，若，，则所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】D
【分析】根据垂径定理可得过圆心O，，连接，如图，设圆的半径为x，在直角三角形中，根据勾股定理列方程求解即可；
【详解】解：∵是的中点，，
∴过圆心O，，
连接，如图，设圆的半径为x，
则，
在直角三角形中，∵，
∴，
解得：；
故选：D.
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，属于常考题型，熟练掌握垂径定理、列出方程是解题的关键.
2．（2023·安徽合肥·校联考二模）是半圆的直径，与半圆相切于点，交半圆于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据切线的性质，得到，互余关系，求出，等边对等角，求出，邻补角求出的度数即可．
【详解】解：∵是半圆的直径，与半圆相切于点，交半圆于点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查切线的性质，等边对等角，互余关系，邻补角．熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接．若的半径为，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点作，作于，可得，，结合图形可求出扇形的面积，的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，作于，则点是的中点，
∵直线与相切于点，，
∴在同一条直线上，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂进定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面积的计算方法是解题的关键．
4．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，是半圆O的直径，平分，且，则弧的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，，证明是等边三角形，套用弧长公式计算即可．
【详解】连接，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
解得
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．的最小值为
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；设，则，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断C；当最短时，点F为的中点，进而求解即可判断D．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂直，
∴，
∴，
∴，
故A正确，不符合题意；
如图，过点D作交于点M，
当时，
∴是的中位线，
∴，
∵，垂直，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B正确，不符合题意；
当时，设，则，
∴，
过点B作交的延长线于点N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴点H在以为直径的圆上，
当最短时，点F为的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、圆的基本知识等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
6．（2023·安徽合肥·校联考二模）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别连接，，作 ，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论．
【详解】解：如图，连接，，作，交的延长线于，
∵和是等边三角形，
∴，，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴点为中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴当取最大值时，则等于直径，
此时为中点，，
∵，
∴，
∴．
∴的长为．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形等知识．利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
7．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，
∴，，
∵，
∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），
∴当点O在线段上时，最大，
∵是以为边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值，
故选D．
【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键．
8．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，．若，则阴影部分面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】连接，，由题意可知，为等边三角形，推出，即可求出答案．
【详解】解：如图：连接，，
直线且平分，
，
，
，
为等边三角形，
，边上的高为：，
∵四边形是的内接正四边形，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确运用扇形面积公式是解题的关键．
二、填空题
9．（2023·安徽合肥·统考一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，在弧上，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式：．当，时，____________．
【答案】3
【分析】连接，根据计算，证明O、C、D三点共线，结合等腰直角三角形的性质，得，代入计算即可．
【详解】连接，
∵，，是弦的中点，
∴，，，
∵，
∴O、C、D三点共线，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
10．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点A，B，C是⊙的上点，，，若⊙的半径为5，则的长是______．
【答案】
【分析】由题意可得，由，可得，，进而可得，，，再结合弧长公式即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查求弧长，平行线的性质及利用等边对等角求角度，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
11．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，直径与弦交于点E， ，四边形是菱形，则的长是 _____．
【答案】/
【分析】先说明是等边三角形可得,再根据题意求得,最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴的长是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式、解直角三角形等知识点，求得和是解答本题的关键．
12．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且．
（1）___________．
（2）连接，则的最小值为___________．
【答案】 /90度 2
【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解；
（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴
.∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
故答案为．
（2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
13．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，内接于圆O．若，，，则的弧长为___________．
【答案】
【分析】根据三角形内角和求出的度数，连接，得到，证得是等腰直角三角形，求出，根据弧长公式计算可得．
【详解】解：∵，，
∴，
连接，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，正确掌握圆周角定理求出是解题的关键．
14．（2023·安徽宿州·统考二模）如图，在平行四边形中，，，，则阴影部分的面积为_______________．
【答案】
【分析】先计算出扇形的面积，再计算出平行四边形的面积，阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形的面积．
【详解】解：如图所示，过点D作与点F，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形和扇形的面积，解题的关键是熟知平行四边形和扇形的面积公式．
15．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，，，，，连接，其中的延长线交于点F．
（1）______．
（2）若点P为的中点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】（1）由，推出，，再利用等角的余角相等得到，即可证明；
（2）由，求得，得到，推出点F在以为直径的上，当O、P、F在同一直线上时，取得最小值，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴，且，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的上，
当O、P、F在同一直线上时，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理，判断点F在以为直径的上是解题的关键．
三、解答题
16．（2023·安徽宿州·统考二模）如图，是的外接圆，直径的长为6，过点C的切线交的延长线于点D，连接．
(1)若，求的长；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据切线的性质得到，则利用含角的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可；
（2）先利用得到，再计算出，则利用三角形内角和可计算出，所以，从而得到．
【详解】（1）解：∵直径的长为6，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质掌握切线的性质是解题的关键．
17．（2023·安徽蚌埠·校联考二模）如图，中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由等边对等角，以及三角形内角和定理推出，再由圆周角定理推出，据此即证明结论；
（2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
连接，
则，
∴，
∵为的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定和三角函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，以的边为直径作半圆O交于点D，且，半圆O交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求半圆O的半径r．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵的边为直径作半圆O交于点D，且，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：的边为直径作半圆O交于点D，且，
根据解析（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故圆的半径为6．
【点睛】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
19．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由题可知，已经是圆上一点，想证为切线，只需证明/ODF-90°即可；
（2）连接，根据勾股定理求出，进而根据三角形的中位线定理可得的长，从而得的长．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
平分，
，
，
且在上，
是的切线；
（2）连接，交于，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点是解题的关键．
20．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为，，求劣弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)劣弧的长为
【分析】（1）如图所示，连接，可知为的直径，可证，再根据角的关系证明，由此即可求证；
（2）连接，根据题意可得是的中线，根据的性质，圆周角的性质可求出的度数，根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴为的直径，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的直径，
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长为．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，弧长的计算方法是解题的关键．
21．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，．
(1)将先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到，请在图中作出；
(2)将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出（点、、分别对应点、、），求点在旋转过程中经历的总路程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；
【分析】（1）根据平移的规则，找出点平移后对应的点，再顺次连接即可得到答案；
（2）根据旋转的性质即可作出图，再根据弧长公式即可计算出点在旋转过程中经历的总路程．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
，
点在旋转过程中经历的总路程．
【点睛】本题主要考查了作图—平移变换，旋转变换等知识，弧长公式计算弧长，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，点B为圆O外一点，过点B作圆O的切线，点P为上一点，连接并延长交圆O于点C，若与垂直．
(1)求证：；
(2)若，圆O的半径为8，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，再根据切线的性质证明，即可证明．
（2）作于H，求出，根据，圆O的半径为8，求出，证明，即可解得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与圆切于A，
∴半径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵，
∴，
∵，
圆O的半径为8，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】此题考查了圆的切线性质、三角形相似、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是借助辅助线构造三角形相似．
23．（2023·安徽合肥·合肥38中校考二模）已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
(1)判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（2023·安徽合肥·校考一模）（1）【初步体验】如图1，正方形中，点，分别是、边上，且于点，求证：．
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点，若点为边中点，求证：．
（3）【灵活运用】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再证明得到即可；
（3）设，，根据（2）中结论求得，再证明E、A、F、O四点共圆，利用圆周角定理和平行线的性质证得，利用等腰三角形的判定和性质证得，进而求得即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，
∵点为中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
而，
，
∴，又，，
∴
∴，
∴即．
（3）如图3，
设，，则，
∵，
∴，则，
由（2）中得，
解得（负值舍去），
∵，
∴E、A、F、O四点共圆，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形和相似三角形的性质探究边角间的关系是解答的关键．
25．（2023·安徽合肥·统考二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据切线的性质可得到：，由“等边对等角”可得：，根据“直径所对的圆周角是直角”得：，在中，由边角关系即可求出的长；
（2）在中，由勾股定理得，从而得到，在中，由边角关系得，连接，过点A作于点G，由“直径所对的圆周角是直角得：，由角平分线的定义得，由“同弧所对的圆周角相等”得，在中，由边角关系得，在中，由边角关系得在中，由勾股定理得，从而得出：，再证明，得到，即可得的值出．
【详解】（1）解：∵是的直径，是的切线，
∴
∴
在中，
∴
在中，
，
即的长为；
（2）解：在中，
在中
，
连接过点A作于点G，如图：
则，
∵是的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
在中
，
在中，
，
，
在中，由勾股定理，得
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角函数的性质与应用，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【安徽实战真题练】
一、单选题
1．（2020·安徽·统考中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形．则
C．若．则弦平分半径
D．若弦平分半径．则半径平分弦
【答案】B
【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．
【详解】A．∵半径平分弦，
∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形，
假命题；
B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC,
∴四边形是菱形，
∴OA=AB=OB，OA∥BC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60º,
∴∠ABC=120º,
真命题；
C．∵，
∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径，
假命题；
D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是
假命题，
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．
2．（2022·安徽·统考中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
3．（2022·安徽·统考中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】解：如图，
，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
二、填空题
4．（2015·安徽·统考中考真题）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是___．
【答案】20°．
【分析】连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB，然后再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB．
【详解】解：连接OA、OB，由弧长公式的可求得∠AOB=40°，
再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°．
故答案为：20°
【点睛】本题考查弧长公式；圆周角定理，题目难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
5．（2019·安徽·统考中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
【答案】
【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
6．（2021·安徽·统考中考真题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
【答案】
【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可
【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB
∵
∴∠BOC=2∠A=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=30°又
∴∠ABO=45°
在Rt△OBD中，OB=1
∴BD==
∵OD⊥AB
∴BD=AD=
∴AB=
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键
7．（2017·安徽·中考真题）如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧DE的长为 _________ ．
【答案】
【详解】解：连接OD、OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵OA=OE=OB=OD=3，
∴△OAE和△OBD都是等边三角形，
∴，
∴,
∴劣弧DE的长=，
故答案为：．
8．（2018·安徽·统考中考真题）如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE=__________.
【答案】60°
【详解】【分析】由AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根据已知条件可得到BD=OB，在Rt△OBD中，求得∠B=60°，继而可得∠A=120°，再利用四边形的内角和即可求得∠DOE的度数.
【详解 】∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，
∵四边形ABOC是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，
∵BD=AB，
∴BD=OB，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，BD=OB，∴cs∠B=，∴∠B=60°，
∴∠A=120°，
∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为60°.
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
三、解答题
9．（2020·安徽·统考中考真题）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
【答案】证明见解析；证明见解析．
【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】证明：


为直径，


．
证明：


为半圆的切线，





平分．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2019·安徽·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【答案】6.64米
【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
【详解】解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cs∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键.
11．（2021·安徽·统考中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有．
【详解】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴，平分CD，
．
在中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在中
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．
12．（2014·安徽·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．
【答案】9，
【分析】由OE⊥AB得到∠OEF=90°，根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，再根据相似比可求得CD=9，接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可得，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC=90°，
而∠EOF=∠FOC，
∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：CD，
∴CO=9；
在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，
∴，
∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，证得Rt△OEF∽Rt△OFC成为解答本题的关键．
13．（2015·安徽·统考中考真题）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长．
【详解】解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB．
在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=．
连接OQ，在Rt△OPQ中，．
（2） ∵
∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC．
OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．
∴PQ长的最大值为．
考点：解直角三角形；勾股定理．
14．（2018·安徽·统考中考真题）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==，
在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==．
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出OE⊥BC是解题的关键．
15．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；
（2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．
【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30
∴CD=2⋅ OC=2
∴
∴
（2）证明：∵DC与⊙O相切
∴OCCD
即∠ACD+∠OCA=90
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90
∴∠AEC=90
∴CEAB
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．