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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题05线段、角的轴对称性(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题05线段、角的轴对称性(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线的实际应用，角平分线的判定，尺规作垂直平分线、角平分线，线段的垂直平分线的判定，角平分线的性质，角平分线的实际应用，线段、角平分线的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点一 线段的垂直平分线的性质 考点二 线段的垂直平分线的判定
考点三 线段的垂直平分线的实际应用 考点四 角平分线的性质
考点五 角平分线的判定 考点六 角平分线的实际应用
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线 考点八 线段、角平分线的综合应用
考点一 线段的垂直平分线的性质
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8B．9C．7D．10
【变式训练】
1．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．
考点二 线段的垂直平分线的判定
例题：（2019·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，在中，边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在的垂直平分线上．
【变式训练】
1.（2022·福建宁德·八年级期末）如图，已知，，则点O是（ ）
A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条高的交点
2．（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别垂直于、，垂足为、，求证：垂直平分．
3．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
考点三 线段的垂直平分线的实际应用
例题：（2022·江西上饶·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
2．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处
考点四 角平分线的性质
例题：（2021·吉林长春·八年级期末）如图，ABCD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是_____．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·盐池县第五中学八年级期中）如图，中，，，平分交于，于点，且，则的周长是_________．
2．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（ ）
A．2B．3C．6D．7
3．（2022·湖南株洲·八年级期末）已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为_________cm．
考点五 角平分线的判定
例题：（2022·湖北随州·八年级期末）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点D．三角形三条角平分线的交点
【变式训练】
1．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
2．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
考点六 角平分线的实际应用
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点位置B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置D．以上说法都不正确
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线
例题：（2021·青海海东·八年级期中）（1）如图，我市拟在两个HI型钢厂A、B与两条公路l1、l2附近修建一个中转站C，要求中转站C到两条公路l1、l2的距离相等，且到两个钢厂A、B的距离也相等，那么中转站C应建在何处？请在图中作出符合条件的点C（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在你所作的图中，若点C到钢厂A的距离为3km，点C到公路l1的距离为2km，则点C到钢厂B的距离为 km，点C到公路l2的距离为 ．
【变式训练】
1．（2020·湖南·雅礼丁江学校八年级期中）如图，AO，OB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．则信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置（保留作图痕迹）．
考点八 线段、角平分线的综合应用
例题：（2022·重庆梁平·八年级期末）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州三中八年级期中）如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分．
(1)若，求的周长；
(2)设，试用含的式子表示，再求当，的值．
一、选择题
1．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）下列说法中，正确的结论有（ ）
①角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
②线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
③三角形三条角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等．
④三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·山西省运城市运康中学校八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
5．（2021·湖北·咸丰县朝阳寺镇民族中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，连接DE，AE，，延长DE交AB的延长线于点F．若，则AD的长为（ ）
A．5B．9C．7D．11
二、填空题
6．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，AD＝3，BD＝2．则BC＝_____．
7．（2022·浙江丽水·八年级期中）如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_____．
8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为．若，，则△的面积为_________．
9．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则的面积为 __________
10．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
三、解答题
11．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在中，，，D是AC上一点，于E，且，求的度数．
12．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)．现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库，且仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规作图法确定仓库所在的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
13．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
15．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
(1)如图1，求∠BDC的度数；
(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
18．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点D．连接．过点D作于点F．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
专题05 线段、角的轴对称性
考点一 线段的垂直平分线的性质 考点二 线段的垂直平分线的判定
考点三 线段的垂直平分线的实际应用 考点四 角平分线的性质
考点五 角平分线的判定 考点六 角平分线的实际应用
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线 考点八 线段、角平分线的综合应用
考点一 线段的垂直平分线的性质
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8B．9C．7D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得到BE=CE，即可得到的周长．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴的周长=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=5+3=8，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【变式训练】
1．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质分析选项即可．
【详解】
解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，故D选项结论正确，不符合题意；
在和中，
∴，
∴，故B选项结论正确，不符合题意；
同理可知：，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
利用排除法可知选项A结论不正确，符合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，利用性质证明，．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．
【答案】15
【解析】
【分析】
由垂直平分线的性质可知AE=BE，AG=GC，从而△AEG的周长就等于BC的长．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵GF是线段AC的垂直平分线，
∴GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝15．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
考点二 线段的垂直平分线的判定
例题：（2019·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，在中，边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由垂直平分线的性质知，，通过等量代换可得，即可证明．
【详解】
证明：∵边上的垂直平分线相交于点P，
∴点P在，的垂直平分线上，
∴，，
∴，
∴点P在的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【变式训练】
1.（2022·福建宁德·八年级期末）如图，已知，，则点O是（ ）
A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】
解：∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∴点O为△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
2．（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别垂直于、，垂足为、，求证：垂直平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先利用角平分线性质得出；再证≌，易证垂直平分．
【详解】
证明：是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
又，
垂直平分到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键．
3．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证；
（2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证．
(1)
证明：在和中，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
证明∶如图，
由（1）可知，，．
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
又∵，
∴点也在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
考点三 线段的垂直平分线的实际应用
例题：（2022·江西上饶·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质即可判断并得出结论．
【详解】
解：∵超市到A，B，C这三个小区的距离相等，
∴超市的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，即可得到答案．
【详解】
要使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等
售票中心应建立在三个娱乐项目组成的三角形的三边的垂直平分线的交点处
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质判断即可；
【详解】
解：∵线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
∴△ABC三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；
故选： A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，掌握其性质是解题关键．
考点四 角平分线的性质
例题：（2021·吉林长春·八年级期末）如图，ABCD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作于E，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质计算，得到答案．
【详解】
解：过点P作于E．
∵，，
∴．
∵BP和CP分别平分和，， ，，
∴．
∵，
∴，
即点P到BC的距离是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·盐池县第五中学八年级期中）如图，中，，，平分交于，于点，且，则的周长是_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可得，证明，可得，根据的周长为，即可求解．
【详解】
解：∵，平分，，
∴，
在与中，
，
（HL），
，
，
，
的周长为，
，
的周长为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，HL证明三角形全等，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案．
【详解】
解：连接、，作于，如图所示：
点在的垂直平分线上，
点在的平分线上，，，
．
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
3．（2022·湖南株洲·八年级期末）已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为_________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
同理，OD=OE=OF，
∵△ABC 的周长为，面积为，
则AB•OD+AC•OF+CB•OE=36，即×（AB+AC+BC）×OD=36，
∴OD=3（cm），
∴点O到AB的距离为3
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
考点五 角平分线的判定
例题：（2022·湖北随州·八年级期末）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点D．三角形三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定定理，即可求解．
【详解】
解：∵三角形三条角平分线的交点到三条边距离相等，
∴三角形内到三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，
∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．
2．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的判定即可得到△ADC≌△AEB，进而可得BD＝CE，根据AAS得到△BDO≌△CEO，即可得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
DB＝EC；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴AO平分∠BAC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用两次全等解决问题．
考点六 角平分线的实际应用
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．
【详解】
解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，
故选：A．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点位置B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置D．以上说法都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】
解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：A
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线
例题：（2021·青海海东·八年级期中）（1）如图，我市拟在两个HI型钢厂A、B与两条公路l1、l2附近修建一个中转站C，要求中转站C到两条公路l1、l2的距离相等，且到两个钢厂A、B的距离也相等，那么中转站C应建在何处？请在图中作出符合条件的点C（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在你所作的图中，若点C到钢厂A的距离为3km，点C到公路l1的距离为2km，则点C到钢厂B的距离为 km，点C到公路l2的距离为 ．
【答案】（1）见解析；（2）3；2km
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作∠EOF的角平分线交线段AB的垂直平分线MN于点C，点C即为所求；
（2）同（1）的原理，利用线段的垂直平分线的性质，以及角平分线的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）作∠EOF的角平分线，再作线段AB的垂直平分线MN，两条直线相交于点C，如图，点C即为所求；
（2）∵OC平分∠EOF，
∴点C到直线l1，l2的距离线段，
∴点C到公路l2的距离为2km，
∵MN垂直平分线段AB，
∵AC＝CB＝3km，
故答案为：3，2km．
【点睛】
本题考查了角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·湖南·雅礼丁江学校八年级期中）如图，AO，OB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．则信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置（保留作图痕迹）．
【答案】见详解；
【解析】
【分析】
作出∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔P的位置．
【详解】
解：如图所示，∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔P的位置，
【点睛】
本题考查了几何作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，综合考虑这两个性质是解题的关键．
考点八 线段、角平分线的综合应用
例题：（2022·重庆梁平·八年级期末）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【解析】
【分析】
（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
(1)
证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
(2)
解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州三中八年级期中）如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分．
(1)若，求的周长；
(2)设，试用含的式子表示，再求当，的值．
【答案】(1)14
(2)β＝180°﹣3α，96°
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠A＝α，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
(1)
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14；
(2)
∵EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝α，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ECA＝α，
∴β＝180°﹣3α，
当α＝28°时，β＝180°﹣3×28°＝96°．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质，求出距离也就是高为2，利用三角形面积公式即可求得．
【详解】∵OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，
∴点P到OA的距离是2
∴
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的性质，如何求三角形面积，解题的关键是利用角平分线的性质求出距离（三角形高）．
2．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）下列说法中，正确的结论有（ ）
①角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
②线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
③三角形三条角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等．
④三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质判断①③④；根据线段垂直平分线的性质判断②．
【详解】解：①角平分线上的点到这个角两条边的距离相等，说法正确；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，说法正确；
③三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，说法错误；
④三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，说法正确．
其中正确的结论有①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，用到的知识点：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
3．（2022·山西省运城市运康中学校八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
4．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
【答案】B
【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．
【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝7x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴7x+7x+x＝90，
解得：x＝6，
∴∠C＝7×6°＝42°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
5．（2021·湖北·咸丰县朝阳寺镇民族中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，连接DE，AE，，延长DE交AB的延长线于点F．若，则AD的长为（ ）
A．5B．9C．7D．11
【答案】C
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【详解】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝2，
∴AF＝AB+BF＝7，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明△BEF≌△CED是本题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，AD＝3，BD＝2．则BC＝_____．
【答案】5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出CD=3，即可得出结论．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC=3，
∵BD=2
∴BC=BD＋DC=2＋3=5
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质，熟练掌握垂直平分线的性质求解即可．
7．（2022·浙江丽水·八年级期中）如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_____．
【答案】3
【分析】根据题意得：当PM⊥OC时，PM最小，然后根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当PM⊥OC时，PM最小，
如图，过点P作PE⊥OC于点E，
∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3，
∴PD=PE=3，
即PM的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为．若，，则△的面积为_________．
【答案】2
【分析】过D点作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝1，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝1，
∴△ADC的面积4×1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握运用角平分线的性质定理是解题关键．
9．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则的面积为 __________
【答案】5.5
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴，
∵△ADG和△AED的面积分别为27和16，
∴，
∴；
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
10．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【答案】4
【分析】通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF因为AB=8，CF=AD=2，所以BC=BF-CF=6-2=4时有AB=BF．
【详解】解：∵ADBC，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≅△FCE(AAS)，
∴CF=AD；
连接BE，
∵BE垂直平分AF，
∴AB=BF，
∵AD=CF，
∵AD=2，AB=6，
∴BC=BF-CF，
=AB-AD，
=6-2，
=4，
∴当BC为4时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
三、解答题
11．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在中，，，D是AC上一点，于E，且，求的度数．
【答案】28°
【分析】先由直角三角形的两锐角互余求得∠ABC，再由角平分线的判定定理即可求得BD平分，从而可求得的度数．
【详解】证明：∵，
∴
∵，，
∴BD平分
∴
【点睛】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余以及角平分线的判定定理，熟练掌握到叫两边距离相等的点在角的角平分线上．
12．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)．现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库，且仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规作图法确定仓库所在的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的角平分线OC，连接MN作线段MN的垂直平分线EF，EF交OC于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图点P即为所求仓库
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质解决问题．
13．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长．
【答案】5cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵P与关于OA对称，
∴OA为线段的垂直平分线，
∴，
同理，P与关于OB对称，
∴OB为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的周长为5cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由角平分线的性质可得DC＝DE，根据HL可证得进而证得结论；
（2）容易证得，则AC＝AE，分别用BE表示AC、AE，即可求出BE的长．
（1）
证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，
∴DC＝DE，又DF＝BD，
∴（HL），∴BE＝CF．
（2）
在和中，
∵DE＝DF，AD＝AD，∴，
∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，
由（1）知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE
即，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用角平分线的性质得出线段相等，进而证得两三角形全等是解题的关键．
15．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）连接DB，DC，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据角平分线的性质可得DE=DF，可得Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得证；
（2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），可得AE=AF，从而可得AC+2BE=AB，即可求出BE的长．
（1）
证明：连接DB，DC，如图所示：
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵BE=CF，
∴AC+2BE=AB，
∵AB=5，AC=3，
∴BE=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
16．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
(1)如图1，求∠BDC的度数；
(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【答案】(1)∠BDC＝130°；
(2)△ADC的面积＝4
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
（1）
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）
解：作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．
（1）
证明：连接CD，BD，如图所示：
为的垂直平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
为的角平分线；
（2）
解：，理由如下：
≌，
，
又，
，
即，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
18．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点D．连接．过点D作于点F．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作DE⊥OB交OB的延长线于点E，然后根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以得到Rt△DEB≌Rt△DFC，再根据∠BOC＝60°和全等三角形的性质即可得到∠PDF的度数；
（2）根据全等三角形的性质可以得到OB，OC，OF之间的数量关系．进而可以解决问题．
（1）解：如图，作DE⊥OB交OB的延长线于点E，
∵OD平分∠BOC，DF⊥OC，点D在BC的垂直平分线上，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，DB＝DC，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDE＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF，即∠EDF＝∠BDC，∵∠OED＝∠OFD＝90°，∠BOC＝60°，∴∠EDF＝120°，∴∠BDC＝120°，∵OB⊥BC，∠BOC＝60°，∴∠OCB＝30°，∵DF⊥OC，PD⊥BC，∴∠PDF＝∠OCB＝30°；
（2）由（1）可知：△DEB≌△DFC，∴BE＝CF，∵OB＋OC＝OB＋OF＋FC，∴OB＋OC＝OB＋OF＋EB＝（OB＋EB）＋OF＝OE＋OF，∵∠DEO＝∠DFO＝90°，DE＝DF，在Rt△DEO和Rt△DFO中，，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴OE＝OF，∴OB＋OC＝2OF．∵OB＝3，OC＝5，∴OF＝4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点一 线段的垂直平分线的性质 考点二 线段的垂直平分线的判定
考点三 线段的垂直平分线的实际应用 考点四 角平分线的性质
考点五 角平分线的判定 考点六 角平分线的实际应用
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线 考点八 线段、角平分线的综合应用
考点一 线段的垂直平分线的性质
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8B．9C．7D．10
【变式训练】
1．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．
考点二 线段的垂直平分线的判定
例题：（2019·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，在中，边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在的垂直平分线上．
【变式训练】
1.（2022·福建宁德·八年级期末）如图，已知，，则点O是（ ）
A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条高的交点
2．（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别垂直于、，垂足为、，求证：垂直平分．
3．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
考点三 线段的垂直平分线的实际应用
例题：（2022·江西上饶·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
2．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处
考点四 角平分线的性质
例题：（2021·吉林长春·八年级期末）如图，ABCD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是_____．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·盐池县第五中学八年级期中）如图，中，，，平分交于，于点，且，则的周长是_________．
2．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（ ）
A．2B．3C．6D．7
3．（2022·湖南株洲·八年级期末）已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为_________cm．
考点五 角平分线的判定
例题：（2022·湖北随州·八年级期末）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点D．三角形三条角平分线的交点
【变式训练】
1．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
2．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
考点六 角平分线的实际应用
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点位置B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置D．以上说法都不正确
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线
例题：（2021·青海海东·八年级期中）（1）如图，我市拟在两个HI型钢厂A、B与两条公路l1、l2附近修建一个中转站C，要求中转站C到两条公路l1、l2的距离相等，且到两个钢厂A、B的距离也相等，那么中转站C应建在何处？请在图中作出符合条件的点C（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在你所作的图中，若点C到钢厂A的距离为3km，点C到公路l1的距离为2km，则点C到钢厂B的距离为 km，点C到公路l2的距离为 ．
【变式训练】
1．（2020·湖南·雅礼丁江学校八年级期中）如图，AO，OB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．则信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置（保留作图痕迹）．
考点八 线段、角平分线的综合应用
例题：（2022·重庆梁平·八年级期末）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州三中八年级期中）如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分．
(1)若，求的周长；
(2)设，试用含的式子表示，再求当，的值．
一、选择题
1．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）下列说法中，正确的结论有（ ）
①角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
②线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
③三角形三条角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等．
④三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·山西省运城市运康中学校八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
5．（2021·湖北·咸丰县朝阳寺镇民族中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，连接DE，AE，，延长DE交AB的延长线于点F．若，则AD的长为（ ）
A．5B．9C．7D．11
二、填空题
6．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，AD＝3，BD＝2．则BC＝_____．
7．（2022·浙江丽水·八年级期中）如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_____．
8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为．若，，则△的面积为_________．
9．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则的面积为 __________
10．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
三、解答题
11．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在中，，，D是AC上一点，于E，且，求的度数．
12．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)．现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库，且仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规作图法确定仓库所在的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
13．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
15．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
(1)如图1，求∠BDC的度数；
(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
18．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点D．连接．过点D作于点F．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
专题05 线段、角的轴对称性
考点一 线段的垂直平分线的性质 考点二 线段的垂直平分线的判定
考点三 线段的垂直平分线的实际应用 考点四 角平分线的性质
考点五 角平分线的判定 考点六 角平分线的实际应用
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线 考点八 线段、角平分线的综合应用
考点一 线段的垂直平分线的性质
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8B．9C．7D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质得到BE=CE，即可得到的周长．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴的周长=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=5+3=8，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【变式训练】
1．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质分析选项即可．
【详解】
解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，故D选项结论正确，不符合题意；
在和中，
∴，
∴，故B选项结论正确，不符合题意；
同理可知：，
∴，故C选项结论正确，不符合题意；
利用排除法可知选项A结论不正确，符合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，利用性质证明，．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．
【答案】15
【解析】
【分析】
由垂直平分线的性质可知AE=BE，AG=GC，从而△AEG的周长就等于BC的长．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵GF是线段AC的垂直平分线，
∴GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝15．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
考点二 线段的垂直平分线的判定
例题：（2019·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，在中，边上的垂直平分线相交于点P．求证：点P在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由垂直平分线的性质知，，通过等量代换可得，即可证明．
【详解】
证明：∵边上的垂直平分线相交于点P，
∴点P在，的垂直平分线上，
∴，，
∴，
∴点P在的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【变式训练】
1.（2022·福建宁德·八年级期末）如图，已知，，则点O是（ ）
A．三条边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】
解：∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∴点O为△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
2．（2022·湖北恩施·二模）如图，是的角平分线，、分别垂直于、，垂足为、，求证：垂直平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先利用角平分线性质得出；再证≌，易证垂直平分．
【详解】
证明：是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
又，
垂直平分到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键．
3．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证；
（2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证．
(1)
证明：在和中，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
证明∶如图，
由（1）可知，，．
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
又∵，
∴点也在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
考点三 线段的垂直平分线的实际应用
例题：（2022·江西上饶·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质即可判断并得出结论．
【详解】
解：∵超市到A，B，C这三个小区的距离相等，
∴超市的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·八年级期中）某公园的A，B，C处分别有海资船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（ ）
A．△ABC三边高线的交点处B．△ABC三角角平分线的交点处
C．△ABC三边中线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，即可得到答案．
【详解】
要使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等
售票中心应建立在三个娱乐项目组成的三角形的三边的垂直平分线的交点处
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·广东·平洲二中八年级阶段练习）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质判断即可；
【详解】
解：∵线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
∴△ABC三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；
故选： A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，掌握其性质是解题关键．
考点四 角平分线的性质
例题：（2021·吉林长春·八年级期末）如图，ABCD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作于E，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质计算，得到答案．
【详解】
解：过点P作于E．
∵，，
∴．
∵BP和CP分别平分和，， ，，
∴．
∵，
∴，
即点P到BC的距离是5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·宁夏·盐池县第五中学八年级期中）如图，中，，，平分交于，于点，且，则的周长是_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可得，证明，可得，根据的周长为，即可求解．
【详解】
解：∵，平分，，
∴，
在与中，
，
（HL），
，
，
，
的周长为，
，
的周长为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，HL证明三角形全等，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC＝10，CB＝4，则AE＝（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案．
【详解】
解：连接、，作于，如图所示：
点在的垂直平分线上，
点在的平分线上，，，
．
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
3．（2022·湖南株洲·八年级期末）已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为_________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
同理，OD=OE=OF，
∵△ABC 的周长为，面积为，
则AB•OD+AC•OF+CB•OE=36，即×（AB+AC+BC）×OD=36，
∴OD=3（cm），
∴点O到AB的距离为3
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
考点五 角平分线的判定
例题：（2022·湖北随州·八年级期末）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点D．三角形三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定定理，即可求解．
【详解】
解：∵三角形三条角平分线的交点到三条边距离相等，
∴三角形内到三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江省二九一农场中学八年级期末）点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，
∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．
2．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O．求证：AO平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据全等三角形的判定即可得到△ADC≌△AEB，进而可得BD＝CE，根据AAS得到△BDO≌△CEO，即可得到OD＝OE，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
DB＝EC；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴AO平分∠BAC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用两次全等解决问题．
考点六 角平分线的实际应用
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（ ）的交点．
A．三条角平分线B．三条中线
C．三条高的交点D．三条垂直平分线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．
【详解】
解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，
∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，
故选：A．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ）
A．△ABC三条角平分线的交点位置B．△ABC三条高的交点位置
C．△ABC三边的中垂线的交点位置D．以上说法都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】
解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：A
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
考点七 尺规作垂直平分线、角平分线
例题：（2021·青海海东·八年级期中）（1）如图，我市拟在两个HI型钢厂A、B与两条公路l1、l2附近修建一个中转站C，要求中转站C到两条公路l1、l2的距离相等，且到两个钢厂A、B的距离也相等，那么中转站C应建在何处？请在图中作出符合条件的点C（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在你所作的图中，若点C到钢厂A的距离为3km，点C到公路l1的距离为2km，则点C到钢厂B的距离为 km，点C到公路l2的距离为 ．
【答案】（1）见解析；（2）3；2km
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作∠EOF的角平分线交线段AB的垂直平分线MN于点C，点C即为所求；
（2）同（1）的原理，利用线段的垂直平分线的性质，以及角平分线的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）作∠EOF的角平分线，再作线段AB的垂直平分线MN，两条直线相交于点C，如图，点C即为所求；
（2）∵OC平分∠EOF，
∴点C到直线l1，l2的距离线段，
∴点C到公路l2的距离为2km，
∵MN垂直平分线段AB，
∵AC＝CB＝3km，
故答案为：3，2km．
【点睛】
本题考查了角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·湖南·雅礼丁江学校八年级期中）如图，AO，OB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．则信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置（保留作图痕迹）．
【答案】见详解；
【解析】
【分析】
作出∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔P的位置．
【详解】
解：如图所示，∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔P的位置，
【点睛】
本题考查了几何作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，综合考虑这两个性质是解题的关键．
考点八 线段、角平分线的综合应用
例题：（2022·重庆梁平·八年级期末）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【解析】
【分析】
（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
(1)
证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
(2)
解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】
本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳州三中八年级期中）如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分．
(1)若，求的周长；
(2)设，试用含的式子表示，再求当，的值．
【答案】(1)14
(2)β＝180°﹣3α，96°
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠A＝α，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
(1)
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14；
(2)
∵EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝α，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ECA＝α，
∴β＝180°﹣3α，
当α＝28°时，β＝180°﹣3×28°＝96°．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，OP平分∠AOB，点E为OA上一点，OE＝4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质，求出距离也就是高为2，利用三角形面积公式即可求得．
【详解】∵OP平分∠AOB，点P到OB的距离是2，
∴点P到OA的距离是2
∴
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的性质，如何求三角形面积，解题的关键是利用角平分线的性质求出距离（三角形高）．
2．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）下列说法中，正确的结论有（ ）
①角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
②线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
③三角形三条角平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等．
④三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质判断①③④；根据线段垂直平分线的性质判断②．
【详解】解：①角平分线上的点到这个角两条边的距离相等，说法正确；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，说法正确；
③三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，说法错误；
④三角形三条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等，说法正确．
其中正确的结论有①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，用到的知识点：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
3．（2022·山西省运城市运康中学校八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
4．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
【答案】B
【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．
【详解】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝7x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴7x+7x+x＝90，
解得：x＝6，
∴∠C＝7×6°＝42°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．
5．（2021·湖北·咸丰县朝阳寺镇民族中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，连接DE，AE，，延长DE交AB的延长线于点F．若，则AD的长为（ ）
A．5B．9C．7D．11
【答案】C
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【详解】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝2，
∴AF＝AB+BF＝7，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明△BEF≌△CED是本题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川成都·七年级期末）如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，AD＝3，BD＝2．则BC＝_____．
【答案】5
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出CD=3，即可得出结论．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC=3，
∵BD=2
∴BC=BD＋DC=2＋3=5
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质，熟练掌握垂直平分线的性质求解即可．
7．（2022·浙江丽水·八年级期中）如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_____．
【答案】3
【分析】根据题意得：当PM⊥OC时，PM最小，然后根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当PM⊥OC时，PM最小，
如图，过点P作PE⊥OC于点E，
∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3，
∴PD=PE=3，
即PM的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为．若，，则△的面积为_________．
【答案】2
【分析】过D点作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝1，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝1，
∴△ADC的面积4×1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握运用角平分线的性质定理是解题关键．
9．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则的面积为 __________
【答案】5.5
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴，
∵△ADG和△AED的面积分别为27和16，
∴，
∴；
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
10．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【答案】4
【分析】通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF因为AB=8，CF=AD=2，所以BC=BF-CF=6-2=4时有AB=BF．
【详解】解：∵ADBC，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≅△FCE(AAS)，
∴CF=AD；
连接BE，
∵BE垂直平分AF，
∴AB=BF，
∵AD=CF，
∵AD=2，AB=6，
∴BC=BF-CF，
=AB-AD，
=6-2，
=4，
∴当BC为4时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
三、解答题
11．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，在中，，，D是AC上一点，于E，且，求的度数．
【答案】28°
【分析】先由直角三角形的两锐角互余求得∠ABC，再由角平分线的判定定理即可求得BD平分，从而可求得的度数．
【详解】证明：∵，
∴
∵，，
∴BD平分
∴
【点睛】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余以及角平分线的判定定理，熟练掌握到叫两边距离相等的点在角的角平分线上．
12．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)．现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库，且仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规作图法确定仓库所在的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的角平分线OC，连接MN作线段MN的垂直平分线EF，EF交OC于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图点P即为所求仓库
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质解决问题．
13．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长．
【答案】5cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵P与关于OA对称，
∴OA为线段的垂直平分线，
∴，
同理，P与关于OB对称，
∴OB为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的周长为5cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由角平分线的性质可得DC＝DE，根据HL可证得进而证得结论；
（2）容易证得，则AC＝AE，分别用BE表示AC、AE，即可求出BE的长．
（1）
证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，
∴DC＝DE，又DF＝BD，
∴（HL），∴BE＝CF．
（2）
在和中，
∵DE＝DF，AD＝AD，∴，
∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，
由（1）知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE
即，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用角平分线的性质得出线段相等，进而证得两三角形全等是解题的关键．
15．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）连接DB，DC，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据角平分线的性质可得DE=DF，可得Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得证；
（2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），可得AE=AF，从而可得AC+2BE=AB，即可求出BE的长．
（1）
证明：连接DB，DC，如图所示：
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵BE=CF，
∴AC+2BE=AB，
∵AB=5，AC=3，
∴BE=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
16．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
(1)如图1，求∠BDC的度数；
(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【答案】(1)∠BDC＝130°；
(2)△ADC的面积＝4
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
（1）
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）
解：作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)探究，，之间的数量关系并给出证明
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明≌，可得，再证明≌，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．
（1）
证明：连接CD，BD，如图所示：
为的垂直平分线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
为的角平分线；
（2）
解：，理由如下：
≌，
，
又，
，
即，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
18．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点D．连接．过点D作于点F．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作DE⊥OB交OB的延长线于点E，然后根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以得到Rt△DEB≌Rt△DFC，再根据∠BOC＝60°和全等三角形的性质即可得到∠PDF的度数；
（2）根据全等三角形的性质可以得到OB，OC，OF之间的数量关系．进而可以解决问题．
（1）解：如图，作DE⊥OB交OB的延长线于点E，
∵OD平分∠BOC，DF⊥OC，点D在BC的垂直平分线上，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，DB＝DC，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDE＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF，即∠EDF＝∠BDC，∵∠OED＝∠OFD＝90°，∠BOC＝60°，∴∠EDF＝120°，∴∠BDC＝120°，∵OB⊥BC，∠BOC＝60°，∴∠OCB＝30°，∵DF⊥OC，PD⊥BC，∴∠PDF＝∠OCB＝30°；
（2）由（1）可知：△DEB≌△DFC，∴BE＝CF，∵OB＋OC＝OB＋OF＋FC，∴OB＋OC＝OB＋OF＋EB＝（OB＋EB）＋OF＝OE＋OF，∵∠DEO＝∠DFO＝90°，DE＝DF，在Rt△DEO和Rt△DFO中，，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴OE＝OF，∴OB＋OC＝2OF．∵OB＝3，OC＝5，∴OF＝4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
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