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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题06等腰三角形的轴对称性(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题06等腰三角形的轴对称性(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了等腰三角形的定义，根据等腰三角形中三线合一求解，等边三角形的性质与判定，根据等边对等角求角度，等腰三角形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。
考点一 等腰三角形的定义 考点二 根据等边对等角求角度
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解 考点四 等腰三角形的性质与判定
考点五 等边三角形的性质与判定
考点一 等腰三角形的定义
例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【变式训练】
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40°B．55°C．65°D．70°
2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不对
考点二 根据等边对等角求角度
例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【变式训练】
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（ ）
A．B．4C．6D．5
2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
考点四 等腰三角形的性质与判定
例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
【变式训练】
1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求的长；
(2)若，求的度数．
考点五 等边三角形的性质与判定
例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
【变式训练】
1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．
2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
一、选择题
1．（2022·江西吉安·八年级期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．80°
2．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少 （ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
3．（2021·江西育华学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，，E、F分别是AC、BD的中点，．则EF的长度为（ ）
A．6B．C．3D．4
5．（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
6．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于______．
7．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____．
8．（2021·山西·介休市第三中学校八年级阶段练习）等腰三角形的周长是17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为________
9．（2022·江西吉安·七年级期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为______．
10．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
三、解答题
11．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点．
(1)求证AE=CD
(2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明
12．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求AB的长；
(2)若，求的度数；
13．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；
(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．
(1)如图1，连接BD，CE，求证；
(2)如图2，，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；
(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．
15．（2022·四川成都·七年级期末）在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．
(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；
(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；
(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．
专题06 等腰三角形的轴对称性
考点一 等腰三角形的定义 考点二 根据等边对等角求角度
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解 考点四 等腰三角形的性质与判定
考点五 等边三角形的性质与判定
考点一 等腰三角形的定义
例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40°B．55°C．65°D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为：；
当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°
∴∠C的度数不可能是65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解题关键．
2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解．
【详解】
解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2，
此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意；
若底边长为4，则腰长为，
此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意；
综上所述，另两边长分别为4，2或3，3．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
考点二 根据等边对等角求角度
例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．
【详解】
解：设∠B=x
∵AC=DC=DB
∴∠CAD=∠CDA=2x
∴∠ACB=180°-2x -x=105°
解得x=25°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180°，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（ ）
A．B．4C．6D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10，从而求得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=10，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，
∴CE=AE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．
【答案】18°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可求解∠BAD=36°，根据直角三角形的性质可求得∠BAC的度数，进而可求解∠DAC的度数．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠B=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°-36°=54°，
∴∠DAC=54°-36°=18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求解∠BAD，∠BAC的度数是解题的关键．
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】
解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．
【详解】
解：在中，，
，
是的中线，
，且AD平分，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
考点四 等腰三角形的性质与判定
例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论；
（2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠A＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴BD＝CB；
(2)
解：∵BD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB的度数为22.5°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论；
（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
(2)
解：由（1）知，AC＝CD，
∵∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ACB的度数为22.5°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)15，理由见解析
(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE；
（2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明；
（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．
(1)
∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，
∴∠ADC＝70°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20；
(2)
解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下：
在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAE＝65°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝∠DAE＝65°，
∴AD＝DE，
在△ABD中，
∠BAD＋∠ADB＝130°，
∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠CAD＝DE，
∴△ABD≌△DCE；
(3)
能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
①当DA＝DE时，
∵∠ADE＝50°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，
②当EA＝ED时，
∴∠DAC＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)AB=18cm；
(2)∠MCN=40°．
【解析】
【分析】
（1）垂直平分线上的点到两端距离相等，则AM=CM，BN=CN，△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB
（2）根据三角形的内角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，对顶角相等则∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度数，再根据三角形的内角和求出即可．
(1)
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
(2)
∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的垂直平分线，通过“垂直平分线上的点到两端距离相等”得到线段和角度之间的关系是解题的关键．
考点五 等边三角形的性质与判定
例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；
（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
解：
由（1）知，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△ABC是等边三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．
【详解】
解：∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=∠BAC=∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，
∵D点为BC的中点，
∴BD=2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键．
2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
(1)
证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)
△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】
题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键．
一、选择题
1．（2022·江西吉安·八年级期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．80°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：等腰三角形的顶角，
每个底角，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少 （ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
【答案】B
【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为，
此时，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为17，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2021·江西育华学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴，
∵AC＝CD，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，，E、F分别是AC、BD的中点，．则EF的长度为（ ）
A．6B．C．3D．4
【答案】C
【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质得到AF⊥BD，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接AF，
∵AD=AB，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
在Rt△AFC中，E是AC的中点，AC=6，
∴EF=AC==3，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
5．（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】过P作PQ⊥MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PQ⊥MN于点Q，
∵PM=PN，，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴，
∴ON=OQ+QN=6+1=7．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．
二、填空题
6．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于______．
【答案】20
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，
当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4=8不满足三角形的三边关系；
当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．
故答案为∶20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____．
【答案】6cm##6厘米
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠ACD=30°，然后利用含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵AC=BC=12cm，∠B=15°，
∴，
∴，
∵AD⊥BD，
∴；
故答案为6cm．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
8．（2021·山西·介休市第三中学校八年级阶段练习）等腰三角形的周长是17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为________
【答案】5cm或7cm##7cm或5cm
【分析】根据等腰三角形的定义，即可求解．
【详解】解：若以5cm为腰长，该等腰三角形的底边长为17-5-5=7cm；
若以5cm为底边长，该等腰三角形的底边长为5cm；
综上所述，该等腰三角形的底边长为5cm或7cm．
故答案为：5cm或7cm
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形，并注意分类讨论是解题的关键．
9．（2022·江西吉安·七年级期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为______．
【答案】108°或72°或36°
【分析】分三种情况讨论：当时，推出，推出；当时，推出；当时，推出．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，
当时，．
综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°．
故答案为：108°或72°或36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论．
10．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
三、解答题
11．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点．
(1)求证AE=CD
(2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明
【答案】(1)见详解
(2)等腰直角三角形，证明见详解
【分析】（1）根据题意，即可作答；
（2）由（1）可得∠ABD=∠DBC=90°，再证明，即结论得证．
（1）
证明：（1）在和中，
，
∴．
∴AE=CD；
（2）
是等腰直角三角形，理由如下：
连接MN，如图所示：
∵在（1）中已得，，
∴，，AE=DC，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴，，
∴DN=AM，
又∵，，
∴，
∴BN=BM，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求AB的长；
(2)若，求的度数；
【答案】(1)18m
(2)65°
【分析】（1）由“垂直平分线上的点到两端距离相等”可知，则，，△CMN的周长，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理，易知∠CMN+∠CNM=130°，则可计算，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，，由“对等角相等”即可求出的值，再根据三角形的内角和求出∠F即可．
（1）
解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴，，
∴△CMN的周长，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
（2）
∵，
∴，
∴，
∵AM=CM，BN=CN，且、，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；
(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF
【分析】(1)先证明∠DAB =∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到CE=BD；
(2)分三种情况讨论，在CE上截取CH=CD，连接AH，可证得、，进而得到线段BD、CD、EF之间的数量关系．
（1）
证明：，，
，
在△DAB与△EAC中，
，
；
（2）
解：如图，当点D在BC上时，在CE上截取CH=CD，连接AH，
，，
，
，
，
在△ACD与△ACH中，
，
，
，
，
，
，
；
当点D在点B的下方时，如图：
同理可得：CD-BD=2EF；
当点D在点C的上方时，如图：
同理可得：BD+CD=2EF，
综上所述：BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形及等腰直角三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．
(1)如图1，连接BD，CE，求证；
(2)如图2，，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；
(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）∠BAD=∠CAE=∠CBE，所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°，从而得出∠ADB=120°，进一步得出结论；
（3）可证得∠ACE=∠ABF=30°，从而得出点E的运动轨迹，进而求得EF的最小值．
（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：∠BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）
由（1）知：∠CAE=∠BAD，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD+∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠BAD=60°，
∴∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=120°，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠ADE=180°，
∴B、D、E在同一条直线上；
（3）
如图，连接CE，
由（1）得：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠ABC＝30°，CF=AF=AC=3，
∴∠ACE=30°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，
∴当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE′），
∵∠CE′F=90°，∠ACE=30°，
∴FE′=CF＝，
∴EF的最小值为：．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
15．（2022·四川成都·七年级期末）在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．
(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；
(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；
(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，，， 再结合∠GEH+∠BAC＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明AEH≌BEG；
（2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明CEH≌AEG，即可得出；
（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再证明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出．
（1）
证明：如图所示：
∵AB＝AC，AE是ABC的中线，
∴∠C＝∠B，AE⊥BC，
又∵∠CAE＝45°，
∴∠C＝∠CAE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝90°，，，
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°，
∴∠AEH＝∠BEG，
在AEH和BEG中，
，
∴AEH≌BEG；
（2）
解：由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°，
∴∠CEH＝∠AEG，
在CEH和AEG中，
，
∴CEH≌AEG，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．
则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∴．
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH＝∠GAH，
又∵∠GOA＝∠HOE，
∴∠JGE＝∠CHE，
∵，，
∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EJG＝∠ECH，
在JEG和CEH中，
，
∴JEG≌CEH，
∴，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴BD＝AB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵EI⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BIE＝∠BFE＝90°，
又∵BE＝BE，
∴BFE≌BIE，
∴BF＝BI，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理的应用等，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形．
考点一 等腰三角形的定义 考点二 根据等边对等角求角度
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解 考点四 等腰三角形的性质与判定
考点五 等边三角形的性质与判定
考点一 等腰三角形的定义
例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【变式训练】
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40°B．55°C．65°D．70°
2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不对
考点二 根据等边对等角求角度
例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【变式训练】
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（ ）
A．B．4C．6D．5
2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
考点四 等腰三角形的性质与判定
例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
【变式训练】
1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求的长；
(2)若，求的度数．
考点五 等边三角形的性质与判定
例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
【变式训练】
1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．
2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
一、选择题
1．（2022·江西吉安·八年级期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．80°
2．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少 （ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
3．（2021·江西育华学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，，E、F分别是AC、BD的中点，．则EF的长度为（ ）
A．6B．C．3D．4
5．（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、填空题
6．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于______．
7．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____．
8．（2021·山西·介休市第三中学校八年级阶段练习）等腰三角形的周长是17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为________
9．（2022·江西吉安·七年级期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为______．
10．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
三、解答题
11．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点．
(1)求证AE=CD
(2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明
12．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求AB的长；
(2)若，求的度数；
13．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；
(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．
(1)如图1，连接BD，CE，求证；
(2)如图2，，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；
(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．
15．（2022·四川成都·七年级期末）在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．
(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；
(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；
(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．
专题06 等腰三角形的轴对称性
考点一 等腰三角形的定义 考点二 根据等边对等角求角度
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解 考点四 等腰三角形的性质与判定
考点五 等边三角形的性质与判定
考点一 等腰三角形的定义
例题：（2022·四川资阳·八年级期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5B．7C．8D．7或8
【答案】D
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北鄂州·八年级期末）在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40°B．55°C．65°D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为：；
当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°
∴∠C的度数不可能是65°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解题关键．
2．（2021·江苏淮安·八年级期中）已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解．
【详解】
解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2，
此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意；
若底边长为4，则腰长为，
此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意；
综上所述，另两边长分别为4，2或3，3．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
考点二 根据等边对等角求角度
例题：（2022·湖南株洲·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，，则的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．
【详解】
解：设∠B=x
∵AC=DC=DB
∴∠CAD=∠CDA=2x
∴∠ACB=180°-2x -x=105°
解得x=25°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180°，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
【变式训练】
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（ ）
A．B．4C．6D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先由直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10，从而求得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=10，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，
∴CE=AE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·四川眉山·八年级期末）如图，在△ABC中，，∠B＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D，则∠DAC的度数为________．
【答案】18°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可求解∠BAD=36°，根据直角三角形的性质可求得∠BAC的度数，进而可求解∠DAC的度数．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠B=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°-36°=54°，
∴∠DAC=54°-36°=18°．
故答案为：18°．
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求解∠BAD，∠BAC的度数是解题的关键．
考点三 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】
解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．
【详解】
解：在中，，
，
是的中线，
，且AD平分，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
2．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
考点四 等腰三角形的性质与判定
例题：（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论；
（2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
∵∠A＝90°，CE⊥BD，
∴∠BEC＝∠A＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴BD＝CB；
(2)
解：∵BD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB的度数为22.5°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论；
（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
(2)
解：由（1）知，AC＝CD，
∵∠ACD＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ACB的度数为22.5°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)15，理由见解析
(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE；
（2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明；
（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．
(1)
∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，
∴∠ADC＝70°，
∵∠ADE＝50°，
∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20；
(2)
解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下：
在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠DAE＝65°，
又∵∠ADE＝50°，
∴∠AED＝∠DAE＝65°，
∴AD＝DE，
在△ABD中，
∠BAD＋∠ADB＝130°，
∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠B＝∠CAD＝DE，
∴△ABD≌△DCE；
(3)
能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°，
①当DA＝DE时，
∵∠ADE＝50°，
∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，
②当EA＝ED时，
∴∠DAC＝∠ADE＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)AB=18cm；
(2)∠MCN=40°．
【解析】
【分析】
（1）垂直平分线上的点到两端距离相等，则AM=CM，BN=CN，△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB
（2）根据三角形的内角和定理，易知∠MNF+∠NMF=110°，对顶角相等则∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF，即可求出∠A+∠B的度数，再根据三角形的内角和求出即可．
(1)
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
(2)
∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的垂直平分线，通过“垂直平分线上的点到两端距离相等”得到线段和角度之间的关系是解题的关键．
考点五 等边三角形的性质与判定
例题：（2022·江苏·八年级）如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．
(1)求证；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；
（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．
(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
解：
由（1）知，，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△ABC是等边三角形，得到BC=AB=4，即可求出BD．
【详解】
解：∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=∠BAC=∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，
∵D点为BC的中点，
∴BD=2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键．
2．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
(1)
证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)
△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】
题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键．
一、选择题
1．（2022·江西吉安·八年级期末）某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．80°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：等腰三角形的顶角，
每个底角，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少 （ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
【答案】B
【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为，
此时，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为17，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2021·江西育华学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，则有，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴，
∵AC＝CD，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
4．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，，E、F分别是AC、BD的中点，．则EF的长度为（ ）
A．6B．C．3D．4
【答案】C
【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质得到AF⊥BD，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接AF，
∵AD=AB，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
在Rt△AFC中，E是AC的中点，AC=6，
∴EF=AC==3，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
5．（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】过P作PQ⊥MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PQ⊥MN于点Q，
∵PM=PN，，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴，
∴ON=OQ+QN=6+1=7．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．
二、填空题
6．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于______．
【答案】20
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，
当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4=8不满足三角形的三边关系；
当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．
故答案为∶20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____．
【答案】6cm##6厘米
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠ACD=30°，然后利用含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵AC=BC=12cm，∠B=15°，
∴，
∴，
∵AD⊥BD，
∴；
故答案为6cm．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
8．（2021·山西·介休市第三中学校八年级阶段练习）等腰三角形的周长是17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为________
【答案】5cm或7cm##7cm或5cm
【分析】根据等腰三角形的定义，即可求解．
【详解】解：若以5cm为腰长，该等腰三角形的底边长为17-5-5=7cm；
若以5cm为底边长，该等腰三角形的底边长为5cm；
综上所述，该等腰三角形的底边长为5cm或7cm．
故答案为：5cm或7cm
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形，并注意分类讨论是解题的关键．
9．（2022·江西吉安·七年级期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为______．
【答案】108°或72°或36°
【分析】分三种情况讨论：当时，推出，推出；当时，推出；当时，推出．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，
当时，．
综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°．
故答案为：108°或72°或36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论．
10．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
三、解答题
11．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点．
(1)求证AE=CD
(2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明
【答案】(1)见详解
(2)等腰直角三角形，证明见详解
【分析】（1）根据题意，即可作答；
（2）由（1）可得∠ABD=∠DBC=90°，再证明，即结论得证．
（1）
证明：（1）在和中，
，
∴．
∴AE=CD；
（2）
是等腰直角三角形，理由如下：
连接MN，如图所示：
∵在（1）中已得，，
∴，，AE=DC，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴，，
∴DN=AM，
又∵，，
∴，
∴BN=BM，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若的周长为18cm，求AB的长；
(2)若，求的度数；
【答案】(1)18m
(2)65°
【分析】（1）由“垂直平分线上的点到两端距离相等”可知，则，，△CMN的周长，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理，易知∠CMN+∠CNM=130°，则可计算，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，，由“对等角相等”即可求出的值，再根据三角形的内角和求出∠F即可．
（1）
解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴，，
∴△CMN的周长，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
（2）
∵，
∴，
∴，
∵AM=CM，BN=CN，且、，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．
(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；
(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF
【分析】(1)先证明∠DAB =∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到CE=BD；
(2)分三种情况讨论，在CE上截取CH=CD，连接AH，可证得、，进而得到线段BD、CD、EF之间的数量关系．
（1）
证明：，，
，
在△DAB与△EAC中，
，
；
（2）
解：如图，当点D在BC上时，在CE上截取CH=CD，连接AH，
，，
，
，
，
在△ACD与△ACH中，
，
，
，
，
，
，
；
当点D在点B的下方时，如图：
同理可得：CD-BD=2EF；
当点D在点C的上方时，如图：
同理可得：BD+CD=2EF，
综上所述：BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形及等腰直角三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．
(1)如图1，连接BD，CE，求证；
(2)如图2，，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；
(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）∠BAD=∠CAE=∠CBE，所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°，从而得出∠ADB=120°，进一步得出结论；
（3）可证得∠ACE=∠ABF=30°，从而得出点E的运动轨迹，进而求得EF的最小值．
（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即：∠BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）
由（1）知：∠CAE=∠BAD，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD+∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠BAD=60°，
∴∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=120°，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠ADE=180°，
∴B、D、E在同一条直线上；
（3）
如图，连接CE，
由（1）得：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠ABC＝30°，CF=AF=AC=3，
∴∠ACE=30°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴点E在过点C且与BC垂直的直线上运动，
∴当FE垂直于该直线时，CE最小（图中点CE′），
∵∠CE′F=90°，∠ACE=30°，
∴FE′=CF＝，
∴EF的最小值为：．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
15．（2022·四川成都·七年级期末）在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．
(1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG；
(2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度；
(3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，，， 再结合∠GEH+∠BAC＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明AEH≌BEG；
（2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明CEH≌AEG，即可得出；
（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再证明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出．
（1）
证明：如图所示：
∵AB＝AC，AE是ABC的中线，
∴∠C＝∠B，AE⊥BC，
又∵∠CAE＝45°，
∴∠C＝∠CAE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝90°，，，
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°，
∴∠AEH＝∠BEG，
在AEH和BEG中，
，
∴AEH≌BEG；
（2）
解：由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°，
∴∠CEH＝∠AEG，
在CEH和AEG中，
，
∴CEH≌AEG，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．
则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∴．
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH＝∠GAH，
又∵∠GOA＝∠HOE，
∴∠JGE＝∠CHE，
∵，，
∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EJG＝∠ECH，
在JEG和CEH中，
，
∴JEG≌CEH，
∴，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴BD＝AB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵EI⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BIE＝∠BFE＝90°，
又∵BE＝BE，
∴BFE≌BIE，
∴BF＝BI，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理的应用等，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形．
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