苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题07易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题07易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了求长度时忽略三边关系等内容，欢迎下载使用。
易错点一 求长度时忽略三边关系
易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论
►易错点一 求长度时忽略三边关系
例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．13cmB．17cmC．13或17cmD．10cm
【变式训练】
1．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为( )
A．22厘米B．17厘米C．13厘米D．17厘米或22厘米
2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20B．25C．20或25D．以上答案均不对
3．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于______．
4．（2021·云南·富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26cm，一边为8cm，则腰长为___．
5．（2022·河南·驻马店市第十中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为_____．
6．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm，2cm，则该等腰三角形的周长是________．
7．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长．
（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长．
►易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
例题：若等腰三角形的一个角等于80°，则其顶角的度数为（ ）
A．80°B．20°C．100°D．80°或20°
【变式训练】
1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．
2．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
3．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=_________°．
4．（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．
5．（2022·江西吉安·七年级期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为______．
6．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______．
►易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论
例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
【变式训练】
1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．
2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．
3．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
专题07 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解得问题
易错点一 求长度时忽略三边关系
易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论
►易错点一 求长度时忽略三边关系
例题：已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．13cmB．17cmC．13或17cmD．10cm
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得：三角形的三边可能为3、3、7或3、7、7，然后根据三角形的三边关系可知只能是3、7、7，
∴周长为3+7+7=17cm.
故选B.
【变式训练】
1．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为( )
A．22厘米B．17厘米C．13厘米D．17厘米或22厘米
【答案】A
【解析】
【详解】
解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；
若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．
故选A．
2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20B．25C．20或25D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：，，
x−5=0，y−10=0，
解得x=5，y=10，
当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形；
当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，
能组成三角形，周长=5+10+10=25，
所以，三角形的周长为25，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
3．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于______．
【答案】20
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，
当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4=8不满足三角形的三边关系；
当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．
故答案为∶20．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．（2021·云南·富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26cm，一边为8cm，则腰长为___．
【答案】或##9cm或8cm
【分析】分8cm的边是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①8cm是腰长时，底边为：26﹣8×2＝10cm，
三角形的三边长分别为8cm、8cm、10cm，
∵8+8＝16＞10，
∴能组成三角形，
②8cm是底边长时，腰长为：cm，
三角形的三边长分别8cm、9cm、9cm，
能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是8cm或者9cm．
故答案为：8cm或者9cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
5．（2022·河南·驻马店市第十中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为_____．
【答案】16或17
【分析】分边长6是等腰三角形的腰和底两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长＝6+6+5＝17，
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长＝6+5+5＝16，
综上所述，三角形的周长为16或17．
故答案为：16或17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题时注意分情况讨论，避免出现错漏．
6．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm，2cm，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】12cm##12厘米
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为5cm两种情况．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，
当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，
三角形的周长是5+5+2=12(cm)；
当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长．
（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）或者；（2）周长为或者10
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．
（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．
【详解】
设腰长为2x,底为y，根据题意得：
①
解得：
三边为10,10,7
②
解得：
三边为8,8,11
故本题答案为：或者
①当时，解，此时，能构成三角形．
此时周长为10
②当时，解，此时不能构成三角形．
③当，解得，
此时，能构成三角形，周长为＝7
综上，三角形的周长为7或者10．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．
►易错点二 当腰和底不明求角度时没有分类讨论
例题：若等腰三角形的一个角等于80°，则其顶角的度数为（ ）
A．80°B．20°C．100°D．80°或20°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑这个角为顶角与底角解答即可．
【详解】
解：∵等腰三角形的一个角是80°，分两种情况考虑，
当80°的角为底角时，顶角为180°-160°=20°，
当80°的角为顶角时，顶角为80°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°．
故答案选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质．
【变式训练】
1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．
【答案】72或36
【解析】
【分析】
本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．
【详解】
解∶ ①当72°角是顶角时，顶角为72°，
②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，
综上顶角为72°或36°．
故答案为：72或36．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养， 在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．
2．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
【答案】25°或40°或10°
【解析】
【详解】
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有
①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，
∠C=（180°-100°）=40°，
②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，
∠C=（180°-130°）=25°，
③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∠C=（180°-160°）=10°，
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°
故答案为25°或40°或10°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
3．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=_________°．
【答案】40或70或100
【解析】
【分析】
根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【详解】
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当OB1=AB1时，∠OAB=∠α=40°；
②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×40°=100°；
③当OA=OB3时，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；
故答案为：40或70或100．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．
【答案】或
【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当为顶角，和当为底角两种情况即可得出答案．
【详解】解：当为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为；
当为底角时，顶角度数为：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．
5．（2022·江西吉安·七年级期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为______．
【答案】108°或72°或36°
【分析】分三种情况讨论：当时，推出，推出；当时，推出；当时，推出．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，
当时，．
综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°．
故答案为：108°或72°或36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论．
6．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为______．
【答案】30°或60°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ED时，③DA＝DE时，分别求解即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∵∠ADE＝40°，
△ADE是等腰三角形，分情况讨论：
①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时D点与B点重合，不符合题意；
②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；
③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
综上，∠BAD的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
►易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论
例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【详解】
（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：
∵高与另一腰的夹角为50°，即，
∴顶角，
∵，
；
（2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示：
∵∠ABD=50°，BD⊥CD，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∵，，
∴；
综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
【变式训练】
1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】
在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
【详解】
解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．
【答案】100°，70°，40°或者10°
【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．
【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，
∵BD=CD，∠B=20°，
∴∠B=∠DCB=20°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，
（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，
∴∠A=∠ACD=70°；
（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，
∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；
（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；
第二种请况：BC=CD时，如图，
∵∠B=20°，BC=CD，
∴∠B=∠BDC=20°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=10°；
第三种情况：BC=BD时，如图，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，
∵△ADC是等腰三角形，
∴有∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠A=40°；
综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，
故答案为：70°，100°，40°，10°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．
3．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．