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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了共顶点的等腰三角形，共顶点的等边三角形等内容，欢迎下载使用。
考点一 共顶点的等腰三角形 考点二 共顶点的等边三角形
考点一 共顶点的等腰三角形
例题：（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练】
1．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
2．（2022·安徽宿州·七年级期末）已知：和均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，．
(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°；
(3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
考点二 共顶点的等边三角形
例题：（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD （2）MG=MD （3）GFBE （4）MC平分∠BME，其中正确的有________．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P． 求∠AOB的度数．
2．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边
三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P．
(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ．
(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接 CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE．
3．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）已知与都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，点P为直线上一动点，（P不与B，C重合），连接，在的右侧作射线交直线于点Q，且，连接．
(1)如图1所示，当点P在边上时，在边上截取，连接．
①请在图1中补全图形并证明：；
②请直接写出的形状；
(2)当点P在直线上运动时，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在等边三角形中，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合），以为边在右侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，
①的度数为__________；
②线段之间的数量关系为__________；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请求出的度数以及线段之间的数量关系．
专题08 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形
考点一 共顶点的等腰三角形 考点二 共顶点的等边三角形
考点一 共顶点的等腰三角形
例题：（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数．
（1）
证明：∵，
∴，即．
在与中，
，
∴≌（SAS）；
（2）
解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．
（1）
解：，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）
解：，理由如下：
设与相交于点，在与中，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据得出与全等的解题的关键．
2．（2022·安徽宿州·七年级期末）已知：和均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，．
(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°；
(3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见详解
(2)90
(3)，理由见详解
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可确定与的数量关系；
（2）由等腰直角三角的性质以及全等三角形的性质即可得出结论；
（3）由等腰直角三角的性质以及全等三角形的性质即可得出结论．
（1）
解：，理由如下：
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）
由（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90；
（3）
，理由如下：
∵，，
，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；
(2)4
【分析】（1）①根据中，；中，，=60°，即可得到结论；②先证明△ACD≌△BCE，即可得到结论；③由∆ACD≌∆BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解；
（2）延长BE、AC相交于点G，证明∆ACD≌∆BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，证明∆ACF≌∆BCG以及∆AEB≌∆AEG，结合条件即可求解．
（1）
①∵，，
∴，为等腰三角形，
又∵，
∴和是等边三角形；
②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，
∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，
∵∠CEF=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）
延长BE、AC相交于点G，
∵=90°，，，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AFC=∠BFE，
∴∠ACF=∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠AEG=90°，
在∆ACF和∆BCG中，
∵ ，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，
∴∆AEB≌∆AEG(ASA)，
∴BE=GE=2，
∴AF=4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，“旋转全等”模型，是解题的关键．
考点二 共顶点的等边三角形
例题：（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD （2）MG=MD （3）GFBE （4）MC平分∠BME，其中正确的有________．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】求出∠BCD＝∠ACE，利用SAS证明△BCD≌△ACE可得AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正确；然后证明△ACF≌△BCG，可得CF＝CG，证明△CGF是等边三角形，求出∠CGF＝60°＝∠BCG，根据平行线的判定可得（3）正确；过点C分别作CP⊥BD于点P，CQ⊥AE于点Q，根据全等三角形对应边上的高线相等可知CP＝CQ，由角平分线的判定可得MC平方∠BME，（4）正确；由于条件不足，无法证明MG=MD，故（2）错误．
【详解】解：∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正确；
∵∠ACF＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠ACF＝∠BCG＝60°，
又∵AC＝BC，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝60°，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠CGF＝60°＝∠BCG，
∴GFBE，（3）正确；
过点C分别作CP⊥BD于点P，CQ⊥AE于点Q，
∵△BCD≌△ACE，
∴CP＝CQ，
∴MC平方∠BME，（4）正确；
条件不足，无法证明MG=MD，故（2）错误；
正确的是（1）（3）（4），
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定等知识，仔细观察图形，找出合适的全等三角形进行证明是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P． 求∠AOB的度数．
【答案】∠AOB＝60°
【分析】利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，可得∠CAE＝∠CBD，根据“八字型”求出∠BOP＝∠ACP＝60°即可．
【详解】证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠APC＝∠BPO，
∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边
三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P．
(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ．
(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接 CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE．
【答案】(1)AD =BE
(2)AD =BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，根据全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得出结论；
（2）证明△ECB≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出AD＝BE，∠CEB＝∠CAD，设BE与AC交于Q，证出∠APQ＝∠ECQ＝60°，则可得出结论；
（3）同理可得△EAB≌△CAF，求出∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH＝PC，连接HC，可得△PCH为等边三角形，证明△CPA≌△CHE（AAS），由全等三角形的性质得出AP＝EH，则可得出结论．
（1）
解：∵△ACE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，
∴∠ACE＋∠DCE＝∠DCB＋∠DCE，即∠ACD＝∠ECB，
在△ECB和△ACD中，，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）
AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，
∴EC = AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB =∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠CAD，
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP +∠APQ =∠EQC+∠CEQ +∠ECQ=180°，
∴∠APQ =∠ECQ=60°，即∠APE=60°；
（3）
由（2）同理可得△EAB≌△CAF（SAS），
∴∠AEB＝∠ACF，
设BE与AC交于Q，则∠AQE＝∠PQC，
∴∠CPE=∠EAC=60°，
在PE上截取PH=PC，连接HC，
∴△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°，
又∵∠APE=∠CPE =60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE，
在△CPA和△CHE中，，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP =EH，
∴PB+PC+PA= PB+PH+ EH =BE．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）已知与都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，点P为直线上一动点，（P不与B，C重合），连接，在的右侧作射线交直线于点Q，且，连接．
(1)如图1所示，当点P在边上时，在边上截取，连接．
①请在图1中补全图形并证明：；
②请直接写出的形状；
(2)当点P在直线上运动时，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)①见解析；②等边三角形
(2)或或
【分析】（1）①根据题意作线段BM即可，由△ABC是等边三角形推出∠BAP=∠QPD，证明△BMP是等边三角形，得到∠AMP=120°，利用△CDE是等边三角形，求出∠ECP=180°-60°=120°，推出AMP=∠PCQ，由AB-BM=BC-BP，得到=PC，即可证得△AMP≌△PCQ；
②根据全等三角形的性质得到AP=PQ，即可判断△APQ是等边三角形；
（2）分三种情况：①当点P在线段BC上时，②当点P在射线BC的延长线上时，③当点P在射线CB的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质证明三者之间的关系即可．
（1）
解：①在边上截取，连接．如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=120°，
又∵∠APQ=60°，
∴∠APB+∠QPD=120°，
∴∠BAP=∠QPD
∵BM=BP，∠B=60°，
∴△BMP是等边三角形，
∴∠BMP=60°，
∴∠AMP=120°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠ECP=180°-60°=120°，
∴∠AMP=∠PCQ，
∵AB-BM=BC-BP，
∴AM=PC，
∴△AMP≌△PCQ；
②∵△AMP≌△PCQ，
∴AP=PQ，
∵∠APQ=60°，
∴△APQ是等边三角形；
（2）
①当点P在线段BC上时，如图，
由（1）知，△AMP≌△PCQ，
∴AM=PC，MP=CQ，
∵AC=AB=BM+AM，
∴AC=CQ+CP；
②当点P在射线BC上时，如图，
在BA延长线上截取AM=CP，连接MP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵AM=CP，
∴BM=BP，
∴△BMP是等边三角形，
∴BM=MP，∠M=60°，
∵∠MAP=∠B+∠APB=∠APB+60°，∠CPQ=∠APB+∠APQ=∠APB+60°，
∴∠MAP=∠CPQ，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠M=∠QCP，
∴△MAP≌△CPQ，
∴CQ=MP，
∵BM=AB+AM，
∴CQ=AC+CP；
③当点P在射线CB上时，如图，
延长AB至M，使BM=BP，
∴△BMP是等边三角形，
∴BM=MP，∠M=60°，
∵∠MAP+∠APB=60°，∠APQ=∠APB+∠CPQ=60°，
∴∠MAP=∠CPQ，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠PCQ=∠ECD=60°，
∴∠M=∠QCP，
∵AB=BC，
∴AB+BM=BC+BP，
∴AM=CP，
∴△MAP≌△CPQ，
∴CQ=MP，
∵AM=AB+BM，
∴CP=AC+CQ；
综上，线段，，三者之间的数量关系为：或或．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在等边三角形中，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合），以为边在右侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，
①的度数为__________；
②线段之间的数量关系为__________；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请求出的度数以及线段之间的数量关系．
【答案】(1)120°，AB=DB+BE
(2)∠ABE=60°，AB=DB－BE
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE得到AD=BE，∠CAD=∠CBE，进而可得出结论；
（2）证明△ACD≌△BCE得到AD=BE，∠CAD=∠CBE，进而得出结论．
（1）
解：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=60°－∠DCB，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=60°，
∴AB=DB+AD=DB+BE，∠ABE=∠CBE+∠ABC=60°+60°=120°，
故答案为：120°，AB=DB+BE；
（2）
解：如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠DCE=∠60°，
∴∠ACD=∠BCE=60°－∠ACE，∠CAD=120°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=120°，
∴AB=DB－AD=DB－BE，∠ABE=∠CBE－∠ABC=120°－60°=60°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答的关键．
考点一 共顶点的等腰三角形 考点二 共顶点的等边三角形
考点一 共顶点的等腰三角形
例题：（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练】
1．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
2．（2022·安徽宿州·七年级期末）已知：和均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，．
(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°；
(3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
考点二 共顶点的等边三角形
例题：（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD （2）MG=MD （3）GFBE （4）MC平分∠BME，其中正确的有________．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P． 求∠AOB的度数．
2．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边
三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P．
(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ．
(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接 CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE．
3．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）已知与都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，点P为直线上一动点，（P不与B，C重合），连接，在的右侧作射线交直线于点Q，且，连接．
(1)如图1所示，当点P在边上时，在边上截取，连接．
①请在图1中补全图形并证明：；
②请直接写出的形状；
(2)当点P在直线上运动时，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在等边三角形中，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合），以为边在右侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，
①的度数为__________；
②线段之间的数量关系为__________；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请求出的度数以及线段之间的数量关系．
专题08 解题技巧专题：共顶点的等腰三角形
考点一 共顶点的等腰三角形 考点二 共顶点的等边三角形
考点一 共顶点的等腰三角形
例题：（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数．
（1）
证明：∵，
∴，即．
在与中，
，
∴≌（SAS）；
（2）
解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．
（1）
解：，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）
解：，理由如下：
设与相交于点，在与中，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据得出与全等的解题的关键．
2．（2022·安徽宿州·七年级期末）已知：和均为等腰直角三角形，点与点A重合，，，．
(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点B、、在一条直线上时，__________°；
(3)如图3，当点在边上时，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见详解
(2)90
(3)，理由见详解
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可确定与的数量关系；
（2）由等腰直角三角的性质以及全等三角形的性质即可得出结论；
（3）由等腰直角三角的性质以及全等三角形的性质即可得出结论．
（1）
解：，理由如下：
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）
由（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90；
（3）
，理由如下：
∵，，
，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知中，；中，；，点A．D．E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
(1)如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数．
(2)如图2，当时， 若，，求线段AF的长．
【答案】(1)①△ABC和△DEC是等边三角形；②见详解；③60°；
(2)4
【分析】（1）①根据中，；中，，=60°，即可得到结论；②先证明△ACD≌△BCE，即可得到结论；③由∆ACD≌∆BCE得∠ADC=∠BEC，结合等边三角形的性质，即可求解；
（2）延长BE、AC相交于点G，证明∆ACD≌∆BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，证明∆ACF≌∆BCG以及∆AEB≌∆AEG，结合条件即可求解．
（1）
①∵，，
∴，为等腰三角形，
又∵，
∴和是等边三角形；
②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，
∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，
∵∠CEF=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
（2）
延长BE、AC相交于点G，
∵=90°，，，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AFC=∠BFE，
∴∠ACF=∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠AEG=90°，
在∆ACF和∆BCG中，
∵ ，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，
∴∆AEB≌∆AEG(ASA)，
∴BE=GE=2，
∴AF=4．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定性质，全等三角形的判定和性质，“旋转全等”模型，是解题的关键．
考点二 共顶点的等边三角形
例题：（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级阶段练习）如图，△ABC与△DCE为等边三角形，B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD相交于点M，连接CM、GF有如下结论：（1）AE=BD （2）MG=MD （3）GFBE （4）MC平分∠BME，其中正确的有________．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】求出∠BCD＝∠ACE，利用SAS证明△BCD≌△ACE可得AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正确；然后证明△ACF≌△BCG，可得CF＝CG，证明△CGF是等边三角形，求出∠CGF＝60°＝∠BCG，根据平行线的判定可得（3）正确；过点C分别作CP⊥BD于点P，CQ⊥AE于点Q，根据全等三角形对应边上的高线相等可知CP＝CQ，由角平分线的判定可得MC平方∠BME，（4）正确；由于条件不足，无法证明MG=MD，故（2）错误．
【详解】解：∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正确；
∵∠ACF＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠ACF＝∠BCG＝60°，
又∵AC＝BC，
∴△ACF≌△BCG（ASA），
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝60°，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠CGF＝60°＝∠BCG，
∴GFBE，（3）正确；
过点C分别作CP⊥BD于点P，CQ⊥AE于点Q，
∵△BCD≌△ACE，
∴CP＝CQ，
∴MC平方∠BME，（4）正确；
条件不足，无法证明MG=MD，故（2）错误；
正确的是（1）（3）（4），
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定等知识，仔细观察图形，找出合适的全等三角形进行证明是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P． 求∠AOB的度数．
【答案】∠AOB＝60°
【分析】利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，可得∠CAE＝∠CBD，根据“八字型”求出∠BOP＝∠ACP＝60°即可．
【详解】证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE＝∠CBD，
∵∠APC＝∠BPO，
∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边
三角形ACE和等边三角形BCD，连接AD、BE交于点P．
(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是： ．
(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
(3)如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接 CF，可证得CF也经过点P，求证：PB+PC+PA=BE．
【答案】(1)AD =BE
(2)AD =BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，根据全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得出结论；
（2）证明△ECB≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出AD＝BE，∠CEB＝∠CAD，设BE与AC交于Q，证出∠APQ＝∠ECQ＝60°，则可得出结论；
（3）同理可得△EAB≌△CAF，求出∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH＝PC，连接HC，可得△PCH为等边三角形，证明△CPA≌△CHE（AAS），由全等三角形的性质得出AP＝EH，则可得出结论．
（1）
解：∵△ACE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，
∴∠ACE＋∠DCE＝∠DCB＋∠DCE，即∠ACD＝∠ECB，
在△ECB和△ACD中，，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）
AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，
∴EC = AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB =∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠CAD，
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP +∠APQ =∠EQC+∠CEQ +∠ECQ=180°，
∴∠APQ =∠ECQ=60°，即∠APE=60°；
（3）
由（2）同理可得△EAB≌△CAF（SAS），
∴∠AEB＝∠ACF，
设BE与AC交于Q，则∠AQE＝∠PQC，
∴∠CPE=∠EAC=60°，
在PE上截取PH=PC，连接HC，
∴△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°，
又∵∠APE=∠CPE =60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE，
在△CPA和△CHE中，，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP =EH，
∴PB+PC+PA= PB+PH+ EH =BE．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）已知与都是等边三角形，点B，C，D在一条直线上，点P为直线上一动点，（P不与B，C重合），连接，在的右侧作射线交直线于点Q，且，连接．
(1)如图1所示，当点P在边上时，在边上截取，连接．
①请在图1中补全图形并证明：；
②请直接写出的形状；
(2)当点P在直线上运动时，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)①见解析；②等边三角形
(2)或或
【分析】（1）①根据题意作线段BM即可，由△ABC是等边三角形推出∠BAP=∠QPD，证明△BMP是等边三角形，得到∠AMP=120°，利用△CDE是等边三角形，求出∠ECP=180°-60°=120°，推出AMP=∠PCQ，由AB-BM=BC-BP，得到=PC，即可证得△AMP≌△PCQ；
②根据全等三角形的性质得到AP=PQ，即可判断△APQ是等边三角形；
（2）分三种情况：①当点P在线段BC上时，②当点P在射线BC的延长线上时，③当点P在射线CB的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质证明三者之间的关系即可．
（1）
解：①在边上截取，连接．如图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴∠BAP+∠APB=120°，
又∵∠APQ=60°，
∴∠APB+∠QPD=120°，
∴∠BAP=∠QPD
∵BM=BP，∠B=60°，
∴△BMP是等边三角形，
∴∠BMP=60°，
∴∠AMP=120°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠ECP=180°-60°=120°，
∴∠AMP=∠PCQ，
∵AB-BM=BC-BP，
∴AM=PC，
∴△AMP≌△PCQ；
②∵△AMP≌△PCQ，
∴AP=PQ，
∵∠APQ=60°，
∴△APQ是等边三角形；
（2）
①当点P在线段BC上时，如图，
由（1）知，△AMP≌△PCQ，
∴AM=PC，MP=CQ，
∵AC=AB=BM+AM，
∴AC=CQ+CP；
②当点P在射线BC上时，如图，
在BA延长线上截取AM=CP，连接MP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵AM=CP，
∴BM=BP，
∴△BMP是等边三角形，
∴BM=MP，∠M=60°，
∵∠MAP=∠B+∠APB=∠APB+60°，∠CPQ=∠APB+∠APQ=∠APB+60°，
∴∠MAP=∠CPQ，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
∴∠M=∠QCP，
∴△MAP≌△CPQ，
∴CQ=MP，
∵BM=AB+AM，
∴CQ=AC+CP；
③当点P在射线CB上时，如图，
延长AB至M，使BM=BP，
∴△BMP是等边三角形，
∴BM=MP，∠M=60°，
∵∠MAP+∠APB=60°，∠APQ=∠APB+∠CPQ=60°，
∴∠MAP=∠CPQ，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠PCQ=∠ECD=60°，
∴∠M=∠QCP，
∵AB=BC，
∴AB+BM=BC+BP，
∴AM=CP，
∴△MAP≌△CPQ，
∴CQ=MP，
∵AM=AB+BM，
∴CP=AC+CQ；
综上，线段，，三者之间的数量关系为：或或．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·七年级期末）在等边三角形中，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合），以为边在右侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，
①的度数为__________；
②线段之间的数量关系为__________；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请求出的度数以及线段之间的数量关系．
【答案】(1)120°，AB=DB+BE
(2)∠ABE=60°，AB=DB－BE
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△ACD≌△BCE得到AD=BE，∠CAD=∠CBE，进而可得出结论；
（2）证明△ACD≌△BCE得到AD=BE，∠CAD=∠CBE，进而得出结论．
（1）
解：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=60°－∠DCB，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=60°，
∴AB=DB+AD=DB+BE，∠ABE=∠CBE+∠ABC=60°+60°=120°，
故答案为：120°，AB=DB+BE；
（2）
解：如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠DCE=∠60°，
∴∠ACD=∠BCE=60°－∠ACE，∠CAD=120°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=120°，
∴AB=DB－AD=DB－BE，∠ABE=∠CBE－∠ABC=120°－60°=60°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答的关键．
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