还剩26页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线(原卷版+解析)
展开
这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题09解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了利用“三线合一”作辅助线证垂直等内容，欢迎下载使用。
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
例题：（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（ ）
A．B．2C．4D．6
2．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
3．（2022·山西吕梁·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（ ）
A．3B．C．6D．
4．（2022·福建龙岩·八年级期末）课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为_________．
5．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图，等边边长为，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足．已知，，则的值为_________．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
7．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【变式训练】
1.（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在中，，AD为BC边上的中线，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2．（2021·湖北恩施·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
3．（2021·山东济南·七年级期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为______．
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．
5．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
例题：（2022·江苏·八年级）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【变式训练】
1．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．试说明：AD=AE．
2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图﹐在中﹐﹐D为的中点﹐点F在上﹐延长至点E﹐使﹐求与之间的位置关系．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
4．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．
(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．
专题09 解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
例题：（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】过P作PQ⊥MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PQ⊥MN于点Q，
∵PM=PN，，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴，
∴ON=OQ+QN=6+1=7．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于H，
∵CA＝CB，∠ACB＝110°，
∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，
∵∠ECD＝15°．
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，
∴∠ACH＝∠ACF＝55°，
∴CA平分∠HCF，
∵AF⊥CE，CH⊥AB，
∴AH＝AF，
∴AB＝2AH＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF．
2．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【答案】D
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可得DE＝ECCD＝2，根据含30度角的直角三角形的性质可得BE＝3，根据BD＝BE﹣DE即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝ECCD＝2．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEAB6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．
3．（2022·山西吕梁·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【分析】连接AE，根据等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，再根据直角三角形的性质得到AD=2EF，故可求解．
【详解】连接AE，
∵AB＝AC，E是BC中点，
∴AE⊥BC，
∴△ADE是直角三角形，
∵F是AD中点，
∴EF=，
∴AD=2EF=6，
故选C．
【点睛】此题主要考查三角形内线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形与直角三角形的性质．
4．（2022·福建龙岩·八年级期末）课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为_________．
【答案】
【分析】过点作，勾股定理求得，根据等腰直角三角形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】如图，过点作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图，等边边长为，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足．已知，，则的值为_________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三线合一的性质可得BF的长，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF的长，进而可得答案．
【详解】解：过D作DF⊥BE于F，
∵DB=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵BE=4，
∴BF=EF=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
【答案】
【分析】作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据△ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC的面积为12,
∴，
∴AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，
即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在中，，AD为BC边上的中线，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求得．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2021·湖北恩施·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
【答案】C
【分析】根据垂直的定义以及等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性质得到∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，
∵∠ADE=20°，BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，
∵∠BED=∠BAD+∠ADE，
∴∠BAD=70°-20°=50°，
∴∠BAC=2∠BAD=100°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．
3．（2021·山东济南·七年级期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明CF是BD的垂直平分线，从而得到AB=AD， 再次利用等腰三角形的性质得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，
∵AC平分∠DCB，CB=CD，
∴CF⊥BD，DF=BF，
∴CF是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵
∴∠EAC=55°，
∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，
∴∠BAE=180°−55°−55°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．
【答案】
【分析】如图，过作于，第一个空：根据为等边三角形，可得，，然后再根据，，利用等腰三角形的性质可求出，然后由即可得到答案；第二个空：根据和可确定的边边上的高等于，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得，则，代入数据计算即可得到答案．
【详解】如图，过作于，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴的边边上的高等于，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识．发现的边上的高等于的一半是解题的关键．
5．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
【答案】25°
【分析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．
【详解】解：∵，AD是中线，
∴，
∵
∴
∴
∴的值为25°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
例题：（2022·江苏·八年级）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)90°．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
(1)
证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
(2)
解：∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．试说明：AD=AE．
【答案】见解析
【分析】连接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出结论．
【详解】证明：连接AO，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB=AC，O是BC中点，
∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，
又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴AD=AE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质定理是解题关键．
2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图﹐在中﹐﹐D为的中点﹐点F在上﹐延长至点E﹐使﹐求与之间的位置关系．
【答案】AD∥EF
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF=∠BAD，进而可证明AD∥EF．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，
∴∠AEF=∠BAD，
∴AD∥EF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，理由见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．
（1）
解：如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
（2）
解：，理由如下：
①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
综上，线段与的数量关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
4．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．
(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．
【答案】(1)当D点在BC的中点位置时，，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【分析】（1）根据中点的性质可得，根据等边对等角可得，进而即可；
（2）连接，根据可得，根据可得结论；
（3）同（2）的方法求解即可
（1）
当BD=CD时，DE=DF.
理由：∵是的中点.
∴，
又，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
（2）
.
连接，
，
即，
∵，
∴
（3）
连接，
同理可得
即
∵，
∴
故（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的高，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
例题：（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（ ）
A．B．2C．4D．6
2．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
3．（2022·山西吕梁·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（ ）
A．3B．C．6D．
4．（2022·福建龙岩·八年级期末）课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为_________．
5．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图，等边边长为，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足．已知，，则的值为_________．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
7．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【变式训练】
1.（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在中，，AD为BC边上的中线，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2．（2021·湖北恩施·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
3．（2021·山东济南·七年级期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为______．
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．
5．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
例题：（2022·江苏·八年级）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【变式训练】
1．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．试说明：AD=AE．
2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图﹐在中﹐﹐D为的中点﹐点F在上﹐延长至点E﹐使﹐求与之间的位置关系．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
4．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．
(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．
专题09 解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
考点一 利用“三线合一”作辅助线解决线段的有关问题
例题：（2022·山东·薛城区北临城中学八年级阶段练习）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】过P作PQ⊥MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作PQ⊥MN于点Q，
∵PM=PN，，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴，
∴ON=OQ+QN=6+1=7．
故选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于H，
∵CA＝CB，∠ACB＝110°，
∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，
∵∠ECD＝15°．
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，
∴∠ACH＝∠ACF＝55°，
∴CA平分∠HCF，
∵AF⊥CE，CH⊥AB，
∴AH＝AF，
∴AB＝2AH＝2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF．
2．（2022·江苏·八年级）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【答案】D
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可得DE＝ECCD＝2，根据含30度角的直角三角形的性质可得BE＝3，根据BD＝BE﹣DE即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝ECCD＝2．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEAB6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．
3．（2022·山西吕梁·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，连接AD．点E，F分别是BC，AD的中点．若EF＝3，则AD的长为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【分析】连接AE，根据等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，再根据直角三角形的性质得到AD=2EF，故可求解．
【详解】连接AE，
∵AB＝AC，E是BC中点，
∴AE⊥BC，
∴△ADE是直角三角形，
∵F是AD中点，
∴EF=，
∴AD=2EF=6，
故选C．
【点睛】此题主要考查三角形内线段长度，解题的关键是熟知等腰三角形与直角三角形的性质．
4．（2022·福建龙岩·八年级期末）课堂上，王老师将一副标准三角板如图放置，若，那么点到的距离为_________．
【答案】
【分析】过点作，勾股定理求得，根据等腰直角三角形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】如图，过点作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）如图，等边边长为，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足．已知，，则的值为_________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三线合一的性质可得BF的长，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF的长，进而可得答案．
【详解】解：过D作DF⊥BE于F，
∵DB=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵BE=4，
∴BF=EF=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
【答案】
【分析】作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学八年级期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据△ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC的面积为12,
∴，
∴AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，
即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
考点二 利用“三线合一”作辅助线解决角的有关问题
例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____．
【答案】
【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中点，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．
【变式训练】
1.（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在中，，AD为BC边上的中线，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求得．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2021·湖北恩施·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
【答案】C
【分析】根据垂直的定义以及等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性质得到∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，
∵∠ADE=20°，BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，
∵∠BED=∠BAD+∠ADE，
∴∠BAD=70°-20°=50°，
∴∠BAC=2∠BAD=100°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．
3．（2021·山东济南·七年级期末）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明CF是BD的垂直平分线，从而得到AB=AD， 再次利用等腰三角形的性质得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F，
∵AC平分∠DCB，CB=CD，
∴CF⊥BD，DF=BF，
∴CF是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵
∴∠EAC=55°，
∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，
∴∠BAE=180°−55°−55°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．
【答案】
【分析】如图，过作于，第一个空：根据为等边三角形，可得，，然后再根据，，利用等腰三角形的性质可求出，然后由即可得到答案；第二个空：根据和可确定的边边上的高等于，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得，则，代入数据计算即可得到答案．
【详解】如图，过作于，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴的边边上的高等于，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识．发现的边上的高等于的一半是解题的关键．
5．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
【答案】25°
【分析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．
【详解】解：∵，AD是中线，
∴，
∵
∴
∴
∴的值为25°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
考点三 利用“三线合一”作辅助线证垂直
例题：（2022·江苏·八年级）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)90°．
【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．
(1)
证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
(2)
解：∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西·交大附中分校八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．试说明：AD=AE．
【答案】见解析
【分析】连接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出结论．
【详解】证明：连接AO，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB=AC，O是BC中点，
∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，
又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴AD=AE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质定理是解题关键．
2．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图﹐在中﹐﹐D为的中点﹐点F在上﹐延长至点E﹐使﹐求与之间的位置关系．
【答案】AD∥EF
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF=∠BAD，进而可证明AD∥EF．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，
∴∠AEF=∠BAD，
∴AD∥EF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，理由见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．
（1）
解：如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
（2）
解：，理由如下：
①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
综上，线段与的数量关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
4．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．
(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．
【答案】(1)当D点在BC的中点位置时，，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【分析】（1）根据中点的性质可得，根据等边对等角可得，进而即可；
（2）连接，根据可得，根据可得结论；
（3）同（2）的方法求解即可
（1）
当BD=CD时，DE=DF.
理由：∵是的中点.
∴，
又，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
（2）
.
连接，
，
即，
∵，
∴
（3）
连接，
同理可得
即
∵，
∴
故（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的高，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
相关试卷
苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题08解题技巧专题：共顶点的等腰三角形(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了共顶点的等腰三角形，共顶点的等边三角形等内容，欢迎下载使用。
苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题02解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)： 这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题02解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了已知两边对应相等解题思路，已知一边一角对应相等解题思路，已知两角对应相等基本解题思路等内容，欢迎下载使用。
解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略-中考数学专题： 这是一份解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略-中考数学专题，文件包含解题技巧专题利用等腰三角形的三线合一作辅助线压轴题三种模型全攻略解析版pdf、解题技巧专题利用等腰三角形的三线合一作辅助线压轴题三种模型全攻略学生版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
