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苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题10勾股定理及其逆定理(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题10勾股定理及其逆定理(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了用勾股定理解三角形，勾股定理与网格问题，利用勾股定理求两条线段平方和，判断三边能否构成直角三角形，以直角三角形三边为边的图形面积，勾股定理与折叠问题，利用勾股定理证明线段平方关系，在网格中判断直角三角形等内容，欢迎下载使用。
考点一 用勾股定理解三角形 考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差) 考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
考点七 判断三边能否构成直角三角形 考点八 在网格中判断直角三角形
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点 考点十 利用勾股定理逆定理求解
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
考点一 用勾股定理解三角形
例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【变式训练】
1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．
考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225B．144C．81D．无法确定
【变式训练】
1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．
2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．
考点三 勾股定理与网格问题
例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．ABB．ACC．ADD．AE
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
考点四 勾股定理与折叠问题
例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cmB．4.75 cmC．6 cmD．5cm
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差)
例题：（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：
（1）；
（2）．
考点七 判断三边能否构成直角三角形
例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．
2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 _____三角形．
考点八 在网格中判断直角三角形
例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
【变式训练】
1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．
(1)__________；
(2)判断△的形状，并说明理由．
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点
例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
考点十 利用勾股定理逆定理求解
例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．
（1）的度数为_____；
（2）若是的中点，则的度数为_____．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 8，AD = ，∠ACD = 90°，求∠B的度数．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.
(1)判断△ACM的形状，并说明理由；
(2)求公路AB的长.
3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
一、选择题
1．（2022·江苏·海安市南莫中学八年级期中）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3、4、5B．1、、2C．13、14、15D．8、15、17
2．（2022·福建龙岩·八年级期末）一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是( )
A．5cmB．cmC．5cm或cmD．以上都不对
3．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
4．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）在中，，D为BC边的中点，则AD的长为（ ）．
A．4B．5C．D．10
5．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2021·江苏镇江·八年级期中）在如图所示的直角三角形中，x=____．
7．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足为D．若AB=6．则DC的长为__________．
8．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．
10．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，点是射线外一点，连接，cm，点到的距离为3cm．动点从点出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为秒，当为__________秒时，为直角三角形．
三、解答题
11．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
12．（2022·广东清远·八年级期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
(1)求的值；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．
13．（2022·广东·汕头市蓝田中学八年级期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
(2)求四边形ABCD的面积．
14．（2022·山东聊城·八年级期中）如图，在中，D是BC的中点，，垂足为D，交AB于点E，且．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求AE的长．
15．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，△中，，，，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．
(1)若点P在AC上，且满足时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在的角平分线上，求的值；
(3)在运动过程中，直接写出当为何值时，△为等腰三角形．
16．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DF⊥DE，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；
(3)若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．
专题10 勾股定理及其逆定理
考点一 用勾股定理解三角形 考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差) 考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
考点七 判断三边能否构成直角三角形 考点八 在网格中判断直角三角形
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点 考点十 利用勾股定理逆定理求解
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
考点一 用勾股定理解三角形
例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意分为直角边和斜边两种情况讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：， AB＝3，BC＝4，
①为直角边时，，
②为斜边时，，
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）
【答案】（或5）
【解析】
【分析】
根据题意分情况讨论，进而即可求解．
【详解】
解：一个直角三角形的两边分别为3和4，
①当4为直角边长，则第三边为斜边，第三边的长为．
②当4为斜边长，则第三边为直角边，第三边的长为．
故答案为：（或5）．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据题意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再结合BC＝3AD即可得出结论．
【详解】
解：∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，由勾股定理得：AD＝＝6，
∴BC＝3AD＝18，
∴BC的长为18．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键，属于基础题．
考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225B．144C．81D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出∆EFG为直角三角形，然后利用勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，∆EFG为直角三角形，
∴，
∴正方形A的面积为81，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案．
【详解】
解：如图，
由勾股定理得：，
，
，
同理，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得，正方形D的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C面积=2+8+5=15，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
考点三 勾股定理与网格问题
例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．ABB．ACC．ADD．AE
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得各线段的长，即可求解．
【详解】
解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
综上，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得：AC=，
∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，
∴AC•BD=4，
∴×2BD=4，
∴BD=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
【答案】周长为；面积为26
【解析】
【分析】
根据勾股定理分别求出AB，BC，CD，AD的长即可得到四边形ABCD的周长；根据四边形ABCD的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可．
【详解】
解：根据勾股定理得，，， ，
故四边形ABCD的周长：；
四边形ABCD的面积：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与网格问题，熟知勾股定理是解题的关键．
考点四 勾股定理与折叠问题
例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cmB．4.75 cmC．6 cmD．5cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．
【详解】
解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知：=10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
故E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．
【详解】
解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折叠知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．
【详解】
解：设，则，
由折叠的性质可知，，，．
在中，，
．
在中，，即，
解得．
的长为．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差)
例题：（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．
【详解】
解：如图示，
∴在中，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】
解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
【答案】69
【解析】
【分析】
在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．
【点睛】
此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，根据角的和差关系可得，利用SAS即可证明△CEA≌△CDB；
（2）根据△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根据勾股定理即可得结论．
(1)
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，，
∴．
(2)
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理确定，，再根据等角的余角相等即可证明；
（2）延长交延长线于点．先根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，再根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，最后根据勾股定理即可证明．
【详解】
证明：（1）如下图所示，标出，，．
∵，，
∴，．
∵和是对顶角，
∴．
∴，即．
（2）在（1）中图延长交延长线于点．
由（1）可知，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
∴．
∵，即，
∴．
∴．
由（1）可知，即．
在和中，，
∵
∴．
∴．
∴
∵在中，，
∴．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用．
考点七 判断三边能否构成直角三角形
例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形，逐一判断即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，已知三边的长，只需要利用逆定理判断即可．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判定即可．
【详解】解：∵
又∵、
∴、
∴、
∴是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出、．
2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 _____三角形．
【答案】直角
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
考点八 在网格中判断直角三角形
例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
【答案】90°##90度
【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答．
【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．
(1)__________；
(2)判断△的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】(1)根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边可以求出斜边长．
(2)根据勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形．
（1）由图知∴故答案为
（2）△是直角三角形， 理由如下 ： ，，∴，又∵∴∴△是直角三角形（如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
【点睛】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理.根据 勾股定理，已知直角三角形的两边长可以求出第三条边长．而勾股定理的逆定理的作用是：已知一个三角形的三边长，判定这个三角形是否为直角三角形，注意运用时不要弄混淆．
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点
例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t=或2或
【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．
(1)
解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
(2)
解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
(3)
解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：
设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
考点十 利用勾股定理逆定理求解
例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．
（1）的度数为_____；
（2）若是的中点，则的度数为_____．
【答案】 ##90度 ##60度
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可证得为等边三角形，从而得到的度数．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，且．
故答案为：．
（2）∵在中，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的性质与判定等知识，能够根据勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 8，AD = ，∠ACD = 90°，求∠B的度数．
【答案】∠B=90°
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，进而得到∠B的度数．
【详解】解：∵∠ACD=90°，CD=8，AD=，
∴AC==5，
在△ABC中，∵AB2+BC2=32+42=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状是解答此题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴，∴，∴CD⊥AB．
（2）∵AB＝AC，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．
【答案】10800元
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】解：连接BD，
在Rt△ABD中，，
在△CBD中，，
而，
即，
∴∠DBC＝90°，
．
所以需费用（元）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
【答案】1080元
【分析】连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接AC．
∵∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，
在△ACD中，CD2=132，AD2=122，
∵52+122=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（平方米），
36×30=1080（元），
答：这块地全部种草的费用是1080元．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.
(1)判断△ACM的形状，并说明理由；
(2)求公路AB的长.
【答案】(1)△ACM是直角三角形，见解析
(2)原来的路线AB的长为16.9千米．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可．
（1）解：（1）△ACM是直角三角形， 理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169， ∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；
（2）设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122， 解这个方程，得x=16.9，答：原来的路线AB的长为16.9千米．
【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容．
3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
一、选择题
1．（2022·江苏·海安市南莫中学八年级期中）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3、4、5B．1、、2C．13、14、15D．8、15、17
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】A． +=25=，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． +()=4=，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，故不能构成直角三角形，故本选项符合题；
D． ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握其定义．
2．（2022·福建龙岩·八年级期末）一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是( )
A．5cmB．cmC．5cm或cmD．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，
则该三角形的斜边的长为：=5（cm）．
当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，
则该三角形的另一条直角边的长为：=（cm）．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论得出是解题关键．
3．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝102，即a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形．
故选：B．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.
4．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）在中，，D为BC边的中点，则AD的长为（ ）．
A．4B．5C．D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求出BC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长即可．
【详解】
解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝．
∵D为 BC 边的中点，
∴AD＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理得出斜边的长度以及掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD．
【详解】
解：∵AB=2，BC=AB，
∴BC=1，
∴AC=，
∵CE=BC=1，
∴AD=AE=AC-CE=，
∴BD=AB-AD=2-（）=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长．
二、填空题
6．（2021·江苏镇江·八年级期中）在如图所示的直角三角形中，x=____．
【答案】13
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】
解：，
故答案为：13．
【点睛】
本题主要考查利用勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足为D．若AB=6．则DC的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在Rt△ABC和Rt△DBC中，由直角三角的两锐角互余求得∠A=∠DBC =30°，再设CD=x，得BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】
∵∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，
∴∠A=90°-∠ACB=30°， ∠DBC=90°-∠ACB=30°，
∴设CD=x，则BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，
∴，
∵AB=6，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，勾股定理及直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.
【答案】
【分析】连接CE，延长AD交CE于点F，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，所以可求得△ABC的面积；因点D是BC的中点，所以，，然后可求得AD边上的高CF；根据翻折得到的轴对称图形的性质可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的长．
【详解】将△ACD沿AD翻折后，得到图形如图所示，
连接CE，延长AD交CE于点F，
在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，
∵，即,
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD=BC=5，
∴，
∵△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，
∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，
∴CF为△ACD的AD边上的高，
，解得CF=，
∴CE=2CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质等知识，能够根据勾股定理逆定理判定出直角三角形并根据轴对称的性质进行推导是解题关键．
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．
【答案】
【解析】
【分析】
画图图形，分别求出，根据30°直角三角形的性质，即可求得：，即可得出答案．
【详解】
解：如图：
∵在中：,
∴,
∴．
∵点D为的中点,
∴．
∵,
∴．
∴，
∴，
∴．
由折叠可知：
∵在中：,
∴
∴．
∵在中：,
∴
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了勾股定理，30°直角三角形的性质，折叠的性质，实数的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
10．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，点是射线外一点，连接，cm，点到的距离为3cm．动点从点出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为秒，当为__________秒时，为直角三角形．
【答案】2或
【解析】
【分析】
分两种情况：①如图1，当∠APB＝90°时，②如图2，当∠BAP＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：①如图1，当∠APB＝90°时，
由题意得：AP＝3cm，
∴（cm），
∴t＝（秒）；
②如图2，当∠BAP＝90°时，过点A作AD⊥BC于D，
由①可知，AD＝3，BD＝4，
在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，
∴32＋DP2＝AP2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
∴，
∴，
∴BP＝4＋＝，
∴秒，
综上，当为2秒或秒时，为直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16
(2)36
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；
（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
12．（2022·广东清远·八年级期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
(1)求的值；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)7
(2)直角三角形，见解析
【分析】（1）根据完全平方公式，变形得，代入计算即可．
（2）根据=7，，得到，根据勾股定理的逆定理判定即可．
（1）∵a＋b＝3，ab＝1，，∴=．
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵，，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形计算，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
13．（2022·广东·汕头市蓝田中学八年级期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)2；5；等腰直角三角形
(2)
【分析】（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为，得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解；
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：，，∴，，∴BD=，，∴， ∴，∴△ABD为直角三角形；又因为：BD=AD=5，∴△ABD为等腰直角三角形，故答案为：2；5；等腰直角三角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知：，，∴，所以△BCD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，=．
【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键．
14．（2022·山东聊城·八年级期中）如图，在中，D是BC的中点，，垂足为D，交AB于点E，且．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求AE的长．
【答案】(1)是直角三角形． 证明见解析
(2)
【分析】（1）连接CE，先证，然后由可得，然后根据勾股定理逆定理可得即可证明结论；
（2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后联立求得AE即可．
（1）
解：是直角三角形，证明如下：
证明：连接CE．
∵D是BC的中点，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴是直角三角形．
（2）
解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴.
由（1）可知，
∴.
∵D是BC的中点，
∴.
在中，，由勾股定理得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，正确作出辅助线并灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
15．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，△中，，，，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．
(1)若点P在AC上，且满足时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在的角平分线上，求的值；
(3)在运动过程中，直接写出当为何值时，△为等腰三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当t=或5或5.3时△BCP为等腰三角形
【解析】
【分析】
(1)作AB的垂直平分线，交AC于点P，则AP=2t，PC=4-2t．在Rt△PBC中根据勾股定理列方程求出t的值即可．
(2)当P点在∠BAC的角平分线上时，作PD丄AB于D，由角平分线性质可得PD=PC=2t-4，AD=AC=4，BD=1，PB=7-2t，在Rt△PBD中根据勾股定理列方程可求出t的值．
(3)△BCP为等腰三角形分三种情况：①PC=PB，②BC=BP，③CB=CP，把BP用含t的代数式表示出来，列方程分别求出t的值·．
（1）如图1，作AB的垂直平分线交AC于P点，则PA=PB∵△ABC中，∠ACB=90º，AB=5㎝，BC=3㎝,∴AC=cm．∵PA=2t，∴PC=4-2t，PB=2t．在Rt△PBC中，PB²=PC²+BC²，∴(2t)²=(4-2t)²+3²．解得．
（2）如图2，当P点在∠BAC的角平分线上时，作PD丄AB于D，则PD=PC=2t-4，AD=AC=4，∴BD=1，PB=3-(2t-4)=7-2t．在Rt△PBD中，PB²=PD²+BD²，∴(7-2t)²=(2t-4)²+1²．解得．
（3）△BCP为等腰三角形，分三种情况：①PC=PB如图3，∵PC=PB，∴∠PCB=∠B．∵∠ACB=90º，∴∠ACP+∠PCB=90º,∠A+∠B=90º．∴∠ACP=∠A，∴PA=PC，∴BP=AP==．即，得．②BC=BP如图4，∵BC=3，∴BP=3．∴2t-(4+3)=3，t=5．③CB=CP，如图5，作CF丄AB于F，
∵S△ABC=，∴．解得．根据勾股定理 ， ∴ BP=2BF=．即 ， t=5.3．综上，当t=或5或5.3时△BCP为等腰三角形．
【点睛】
本题是一道综合性题目，考查了线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质等．特别注意：遇到等腰三角形时要分类讨论．掌握以上知识是解题的关键
16．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DF⊥DE，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；
(3)若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据DE垂直平分AB，得BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，利用勾股定理即可得出答案；
（2）作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，利用AAS证明△AGD≌△BED，得BE＝AG，DG＝DE，得出DF是GE的垂直平分线，则GF＝EF，再利用勾股定理即可证明结论；
（3）点E在线段BC上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法解决问题即可．
（1）解：∵D为AB中点，DF⊥DE，∴DE垂直平分AB，∴BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝＝5，∴EF＝BE＝5；
（2）证明：作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∴AG∥BC，∴∠AGD＝∠BED，在△AGD和△BED中，，∴△AGD≌△BED（AAS），∴BE＝AG，DG＝DE，∵DF⊥DE，∴DF是GE的垂直平分线，∴GF＝EF，∵∠GAF＝90°，∴AG2＋AF2＝FG2，∴BE2＋AF2＝EF2；
（3）解：当点E在线段BC上时，作BH∥AC，交FD的延长线于H，连接EH，由（2）同理可得，△ADF≌△BDH（AAS），∴BH＝AF，DH＝DF，∴DE是HF的垂直平分线，∴EF＝HE，∴CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋42，解得x＝，∴CF＝；当点E在BC延长线上时，如图，作BG∥AC，交FD的延长线于G，连接EF，EG，同理可得CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋82，解得x＝，∴CF＝，综上：CF＝或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识．解题的关键在于利用重点作平行线构造全等三角形．
考点一 用勾股定理解三角形 考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差) 考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
考点七 判断三边能否构成直角三角形 考点八 在网格中判断直角三角形
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点 考点十 利用勾股定理逆定理求解
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
考点一 用勾股定理解三角形
例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【变式训练】
1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．
考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225B．144C．81D．无法确定
【变式训练】
1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．
2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．
考点三 勾股定理与网格问题
例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．ABB．ACC．ADD．AE
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
考点四 勾股定理与折叠问题
例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cmB．4.75 cmC．6 cmD．5cm
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差)
例题：（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：
（1）；
（2）．
考点七 判断三边能否构成直角三角形
例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．
2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 _____三角形．
考点八 在网格中判断直角三角形
例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
【变式训练】
1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．
(1)__________；
(2)判断△的形状，并说明理由．
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点
例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
考点十 利用勾股定理逆定理求解
例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．
（1）的度数为_____；
（2）若是的中点，则的度数为_____．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 8，AD = ，∠ACD = 90°，求∠B的度数．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.
(1)判断△ACM的形状，并说明理由；
(2)求公路AB的长.
3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
一、选择题
1．（2022·江苏·海安市南莫中学八年级期中）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3、4、5B．1、、2C．13、14、15D．8、15、17
2．（2022·福建龙岩·八年级期末）一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是( )
A．5cmB．cmC．5cm或cmD．以上都不对
3．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
4．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）在中，，D为BC边的中点，则AD的长为（ ）．
A．4B．5C．D．10
5．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2021·江苏镇江·八年级期中）在如图所示的直角三角形中，x=____．
7．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足为D．若AB=6．则DC的长为__________．
8．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．
10．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，点是射线外一点，连接，cm，点到的距离为3cm．动点从点出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为秒，当为__________秒时，为直角三角形．
三、解答题
11．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
12．（2022·广东清远·八年级期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
(1)求的值；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．
13．（2022·广东·汕头市蓝田中学八年级期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
(2)求四边形ABCD的面积．
14．（2022·山东聊城·八年级期中）如图，在中，D是BC的中点，，垂足为D，交AB于点E，且．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求AE的长．
15．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，△中，，，，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．
(1)若点P在AC上，且满足时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在的角平分线上，求的值；
(3)在运动过程中，直接写出当为何值时，△为等腰三角形．
16．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DF⊥DE，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；
(3)若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．
专题10 勾股定理及其逆定理
考点一 用勾股定理解三角形 考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
考点三 勾股定理与网格问题 考点四 勾股定理与折叠问题
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差) 考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
考点七 判断三边能否构成直角三角形 考点八 在网格中判断直角三角形
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点 考点十 利用勾股定理逆定理求解
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
考点一 用勾股定理解三角形
例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意分为直角边和斜边两种情况讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：， AB＝3，BC＝4，
①为直角边时，，
②为斜边时，，
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）
【答案】（或5）
【解析】
【分析】
根据题意分情况讨论，进而即可求解．
【详解】
解：一个直角三角形的两边分别为3和4，
①当4为直角边长，则第三边为斜边，第三边的长为．
②当4为斜边长，则第三边为直角边，第三边的长为．
故答案为：（或5）．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据题意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再结合BC＝3AD即可得出结论．
【详解】
解：∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，由勾股定理得：AD＝＝6，
∴BC＝3AD＝18，
∴BC的长为18．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键，属于基础题．
考点二 以直角三角形三边为边的图形面积
例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（ ）
A．225B．144C．81D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出∆EFG为直角三角形，然后利用勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，∆EFG为直角三角形，
∴，
∴正方形A的面积为81，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案．
【详解】
解：如图，
由勾股定理得：，
，
，
同理，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得，正方形D的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C面积=2+8+5=15，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
考点三 勾股定理与网格问题
例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．ABB．ACC．ADD．AE
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得各线段的长，即可求解．
【详解】
解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
综上，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：由勾股定理得：AC=，
∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，
∴AC•BD=4，
∴×2BD=4，
∴BD=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
【答案】周长为；面积为26
【解析】
【分析】
根据勾股定理分别求出AB，BC，CD，AD的长即可得到四边形ABCD的周长；根据四边形ABCD的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可．
【详解】
解：根据勾股定理得，，， ，
故四边形ABCD的周长：；
四边形ABCD的面积：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与网格问题，熟知勾股定理是解题的关键．
考点四 勾股定理与折叠问题
例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cmB．4.75 cmC．6 cmD．5cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．
【详解】
解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知：=10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
故E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．
【详解】
解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折叠知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．
【详解】
解：设，则，
由折叠的性质可知，，，．
在中，，
．
在中，，即，
解得．
的长为．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点五 利用勾股定理求两条线段平方和(差)
例题：（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．
【详解】
解：如图示，
∴在中，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】
解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
【答案】69
【解析】
【分析】
在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．
【点睛】
此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
考点六 利用勾股定理证明线段平方关系
例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，根据角的和差关系可得，利用SAS即可证明△CEA≌△CDB；
（2）根据△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根据勾股定理即可得结论．
(1)
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，，
∴．
(2)
∵是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理确定，，再根据等角的余角相等即可证明；
（2）延长交延长线于点．先根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，再根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，最后根据勾股定理即可证明．
【详解】
证明：（1）如下图所示，标出，，．
∵，，
∴，．
∵和是对顶角，
∴．
∴，即．
（2）在（1）中图延长交延长线于点．
由（1）可知，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
∴．
∵，即，
∴．
∴．
由（1）可知，即．
在和中，，
∵
∴．
∴．
∴
∵在中，，
∴．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用．
考点七 判断三边能否构成直角三角形
例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形，逐一判断即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，已知三边的长，只需要利用逆定理判断即可．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判定即可．
【详解】解：∵
又∵、
∴、
∴、
∴是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出、．
2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 _____三角形．
【答案】直角
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
考点八 在网格中判断直角三角形
例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．
【答案】90°##90度
【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答．
【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．
(1)__________；
(2)判断△的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】(1)根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边可以求出斜边长．
(2)根据勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形．
（1）由图知∴故答案为
（2）△是直角三角形， 理由如下 ： ，，∴，又∵∴∴△是直角三角形（如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
【点睛】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理.根据 勾股定理，已知直角三角形的两边长可以求出第三条边长．而勾股定理的逆定理的作用是：已知一个三角形的三边长，判定这个三角形是否为直角三角形，注意运用时不要弄混淆．
考点九 图形上与已知两点构成直角三角形的点
例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
【详解】解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t=或2或
【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．
(1)
解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
(2)
解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
(3)
解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：
设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
考点十 利用勾股定理逆定理求解
例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．
（1）的度数为_____；
（2）若是的中点，则的度数为_____．
【答案】 ##90度 ##60度
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可证得为等边三角形，从而得到的度数．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，且．
故答案为：．
（2）∵在中，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的性质与判定等知识，能够根据勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 8，AD = ，∠ACD = 90°，求∠B的度数．
【答案】∠B=90°
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，进而得到∠B的度数．
【详解】解：∵∠ACD=90°，CD=8，AD=，
∴AC==5，
在△ABC中，∵AB2+BC2=32+42=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状是解答此题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴，∴，∴CD⊥AB．
（2）∵AB＝AC，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
考点十一 勾股定理逆定理解决实际问题
例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．
【答案】10800元
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【详解】解：连接BD，
在Rt△ABD中，，
在△CBD中，，
而，
即，
∴∠DBC＝90°，
．
所以需费用（元）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
【答案】1080元
【分析】连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接AC．
∵∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，
在△ACD中，CD2=132，AD2=122，
∵52+122=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（平方米），
36×30=1080（元），
答：这块地全部种草的费用是1080元．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.
(1)判断△ACM的形状，并说明理由；
(2)求公路AB的长.
【答案】(1)△ACM是直角三角形，见解析
(2)原来的路线AB的长为16.9千米．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理进行解答即可．
（1）解：（1）△ACM是直角三角形， 理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169， ∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；
（2）设BC=AB=x千米，则BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122， 解这个方程，得x=16.9，答：原来的路线AB的长为16.9千米．
【点睛】本题考查勾股定理及它的逆定理，解题关键是掌握相关定理的内容．
3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
一、选择题
1．（2022·江苏·海安市南莫中学八年级期中）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3、4、5B．1、、2C．13、14、15D．8、15、17
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】A． +=25=，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B． +()=4=，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，故不能构成直角三角形，故本选项符合题；
D． ，故能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握其定义．
2．（2022·福建龙岩·八年级期末）一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是( )
A．5cmB．cmC．5cm或cmD．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时．然后利用勾股定理即可求得答案．
【详解】
解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，
则该三角形的斜边的长为：=5（cm）．
当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，
则该三角形的另一条直角边的长为：=（cm）．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论得出是解题关键．
3．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝102，即a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形．
故选：B．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.
4．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）在中，，D为BC边的中点，则AD的长为（ ）．
A．4B．5C．D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求出BC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长即可．
【详解】
解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝．
∵D为 BC 边的中点，
∴AD＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理得出斜边的长度以及掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD．
【详解】
解：∵AB=2，BC=AB，
∴BC=1，
∴AC=，
∵CE=BC=1，
∴AD=AE=AC-CE=，
∴BD=AB-AD=2-（）=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长．
二、填空题
6．（2021·江苏镇江·八年级期中）在如图所示的直角三角形中，x=____．
【答案】13
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】
解：，
故答案为：13．
【点睛】
本题主要考查利用勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足为D．若AB=6．则DC的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在Rt△ABC和Rt△DBC中，由直角三角的两锐角互余求得∠A=∠DBC =30°，再设CD=x，得BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】
∵∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，
∴∠A=90°-∠ACB=30°， ∠DBC=90°-∠ACB=30°，
∴设CD=x，则BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，
∴，
∵AB=6，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，勾股定理及直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.
【答案】
【分析】连接CE，延长AD交CE于点F，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，所以可求得△ABC的面积；因点D是BC的中点，所以，，然后可求得AD边上的高CF；根据翻折得到的轴对称图形的性质可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的长．
【详解】将△ACD沿AD翻折后，得到图形如图所示，
连接CE，延长AD交CE于点F，
在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，
∵，即,
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD=BC=5，
∴，
∵△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，
∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，
∴CF为△ACD的AD边上的高，
，解得CF=，
∴CE=2CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质等知识，能够根据勾股定理逆定理判定出直角三角形并根据轴对称的性质进行推导是解题关键．
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．
【答案】
【解析】
【分析】
画图图形，分别求出，根据30°直角三角形的性质，即可求得：，即可得出答案．
【详解】
解：如图：
∵在中：,
∴,
∴．
∵点D为的中点,
∴．
∵,
∴．
∴，
∴，
∴．
由折叠可知：
∵在中：,
∴
∴．
∵在中：,
∴
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了勾股定理，30°直角三角形的性质，折叠的性质，实数的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
10．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，点是射线外一点，连接，cm，点到的距离为3cm．动点从点出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为秒，当为__________秒时，为直角三角形．
【答案】2或
【解析】
【分析】
分两种情况：①如图1，当∠APB＝90°时，②如图2，当∠BAP＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：①如图1，当∠APB＝90°时，
由题意得：AP＝3cm，
∴（cm），
∴t＝（秒）；
②如图2，当∠BAP＝90°时，过点A作AD⊥BC于D，
由①可知，AD＝3，BD＝4，
在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，
∴32＋DP2＝AP2，
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
∴，
∴，
∴BP＝4＋＝，
∴秒，
综上，当为2秒或秒时，为直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16
(2)36
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；
（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
12．（2022·广东清远·八年级期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
(1)求的值；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)7
(2)直角三角形，见解析
【分析】（1）根据完全平方公式，变形得，代入计算即可．
（2）根据=7，，得到，根据勾股定理的逆定理判定即可．
（1）∵a＋b＝3，ab＝1，，∴=．
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵，，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形计算，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
13．（2022·广东·汕头市蓝田中学八年级期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)2；5；等腰直角三角形
(2)
【分析】（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为，得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解；
（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得：，，∴，，∴BD=，，∴， ∴，∴△ABD为直角三角形；又因为：BD=AD=5，∴△ABD为等腰直角三角形，故答案为：2；5；等腰直角三角形．
（2）由网格图，结合勾股定理可知：，，∴，所以△BCD为直角三角形，∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积，=．
【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键．
14．（2022·山东聊城·八年级期中）如图，在中，D是BC的中点，，垂足为D，交AB于点E，且．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求AE的长．
【答案】(1)是直角三角形． 证明见解析
(2)
【分析】（1）连接CE，先证，然后由可得，然后根据勾股定理逆定理可得即可证明结论；
（2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后联立求得AE即可．
（1）
解：是直角三角形，证明如下：
证明：连接CE．
∵D是BC的中点，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴是直角三角形．
（2）
解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴.
由（1）可知，
∴.
∵D是BC的中点，
∴.
在中，，由勾股定理得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，正确作出辅助线并灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
15．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，△中，，，，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．
(1)若点P在AC上，且满足时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在的角平分线上，求的值；
(3)在运动过程中，直接写出当为何值时，△为等腰三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当t=或5或5.3时△BCP为等腰三角形
【解析】
【分析】
(1)作AB的垂直平分线，交AC于点P，则AP=2t，PC=4-2t．在Rt△PBC中根据勾股定理列方程求出t的值即可．
(2)当P点在∠BAC的角平分线上时，作PD丄AB于D，由角平分线性质可得PD=PC=2t-4，AD=AC=4，BD=1，PB=7-2t，在Rt△PBD中根据勾股定理列方程可求出t的值．
(3)△BCP为等腰三角形分三种情况：①PC=PB，②BC=BP，③CB=CP，把BP用含t的代数式表示出来，列方程分别求出t的值·．
（1）如图1，作AB的垂直平分线交AC于P点，则PA=PB∵△ABC中，∠ACB=90º，AB=5㎝，BC=3㎝,∴AC=cm．∵PA=2t，∴PC=4-2t，PB=2t．在Rt△PBC中，PB²=PC²+BC²，∴(2t)²=(4-2t)²+3²．解得．
（2）如图2，当P点在∠BAC的角平分线上时，作PD丄AB于D，则PD=PC=2t-4，AD=AC=4，∴BD=1，PB=3-(2t-4)=7-2t．在Rt△PBD中，PB²=PD²+BD²，∴(7-2t)²=(2t-4)²+1²．解得．
（3）△BCP为等腰三角形，分三种情况：①PC=PB如图3，∵PC=PB，∴∠PCB=∠B．∵∠ACB=90º，∴∠ACP+∠PCB=90º,∠A+∠B=90º．∴∠ACP=∠A，∴PA=PC，∴BP=AP==．即，得．②BC=BP如图4，∵BC=3，∴BP=3．∴2t-(4+3)=3，t=5．③CB=CP，如图5，作CF丄AB于F，
∵S△ABC=，∴．解得．根据勾股定理 ， ∴ BP=2BF=．即 ， t=5.3．综上，当t=或5或5.3时△BCP为等腰三角形．
【点睛】
本题是一道综合性题目，考查了线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质等．特别注意：遇到等腰三角形时要分类讨论．掌握以上知识是解题的关键
16．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DF⊥DE，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；
(3)若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据DE垂直平分AB，得BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，利用勾股定理即可得出答案；
（2）作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，利用AAS证明△AGD≌△BED，得BE＝AG，DG＝DE，得出DF是GE的垂直平分线，则GF＝EF，再利用勾股定理即可证明结论；
（3）点E在线段BC上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法解决问题即可．
（1）解：∵D为AB中点，DF⊥DE，∴DE垂直平分AB，∴BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝＝5，∴EF＝BE＝5；
（2）证明：作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∴AG∥BC，∴∠AGD＝∠BED，在△AGD和△BED中，，∴△AGD≌△BED（AAS），∴BE＝AG，DG＝DE，∵DF⊥DE，∴DF是GE的垂直平分线，∴GF＝EF，∵∠GAF＝90°，∴AG2＋AF2＝FG2，∴BE2＋AF2＝EF2；
（3）解：当点E在线段BC上时，作BH∥AC，交FD的延长线于H，连接EH，由（2）同理可得，△ADF≌△BDH（AAS），∴BH＝AF，DH＝DF，∴DE是HF的垂直平分线，∴EF＝HE，∴CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋42，解得x＝，∴CF＝；当点E在BC延长线上时，如图，作BG∥AC，交FD的延长线于G，连接EF，EG，同理可得CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋82，解得x＝，∴CF＝，综上：CF＝或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识．解题的关键在于利用重点作平行线构造全等三角形．
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