苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题15难点探究专题：平面直角坐标系中的新定义与规律探究(原卷版+解析)

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考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题
考点一 平面直角坐标系中点运动规律探究问题
一、选择题
1．（2022·广东·汕头市潮南区阳光实验学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中销头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第30次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆大足·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为个单位长度/秒，则第2022秒，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(细线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．(﹣1，2)B．(﹣1，1)C．(0，1)D．(0，2)
6．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫所在的位置是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学七年级期末）如图，在单位面积为1的方格纸上，，，，，，…均在格点上，且坐标分别为，，，，，…，则依图中所示规律，点的纵坐标为（ ）
A．－1010B．1010C．－1011D．1011
二、填空题
9．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为______，点的坐标为______．
10．（2022·广东云浮·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点运动的路程为2022时，点所在位置的点的坐标为______．
11．（2022·湖北省荆门德艺学校七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，﹣1），（2，﹣1），（2，0），…，则点的坐标是_____．
12．（2022·福建福州·七年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点的纵坐标是_______．
13．（2022·河北师范大学附属中学八年级期中）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第n次碰到长方形的边时，记为点，则点的坐标是___；点的坐标是___．
三、解答题
14．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
(1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）；
(2)写出点的坐标（是正整数）（______，______）；
(3)求出的坐标．
考点二 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题
一、选择题
1．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（ ）
A．（8，2）B．（3，2）C．（3，3）D．（5，0）
2．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的横坐标为（ ）．
A．8080B．8085C．8088D．8092
3．（2022·山东济南·八年级期中）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是( )
A．（11，1）B．（-11，1）C．（11，﹣1）D．（-11，-1）
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）
5．（2022·广东·汕头市澄海区教师发展中心八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（ ）
A．(，0)B．(，0)C．(，)D．(，)
6．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴方向连续翻转若干次，点P依次落在点的位置，则点的横坐标为（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2020
二、填空题
7．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
8．（2021·广东湛江·八年级期中）图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（2，3），则经过第2021次变换后所得的点A的坐标是______．
9．（2022·广东北江实验学校七年级期末）如图，我们把1，1，2，3，5，8，13，21，……这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°的圆弧、、…，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折线，已知点P1（0，1）、P2（﹣1，0）、P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为_____．
10．（2022·河南·延津县清华园学校八年级阶段练习）如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________
11．（2021·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的坐标是_________．
12．（2021·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、、、…都在直线l上，则点的坐标是______．
13．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，等边三角形的顶点，规定把等边“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C的坐标为___________．
14．（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，发现，，…那么点的横坐标为______．
15．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2020次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2020的位置，则P2020的横坐标x2020=______
16．（2022·云南师范大学实验中学七年级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为_______．
考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题
一、选择题
1．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为点A2，点A2的伴随点为点A3，点A3的伴随点为点A4，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为（1，1），则点A2022的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（0，2）C．（﹣1，1）D．（0，0）
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点P的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，，若点P的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2022·江苏南通·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
4．（2022·山东临沂·七年级期中）对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”；．若在第一象限，在第二象限，则在第_____象限．
三、解答题
5．（2022·福建·厦门一中七年级期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点的3级关联点”为即，若点B的“2级关联点”是，
(1)求点B的坐标；
(2)已知点的“级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．
6．（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（－y+1，x+1）叫做点P的“伴随点”．已知点A1的“伴随点”为A2，点A2的“伴随点”为A3，点A3的“伴随点”为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．
(1)若点A1（3，1），则点A3的坐标为 ，点A2 022的坐标为 ；
(2)若点A1（a，b），对于任意的正整数n，若点An均在x轴的上方，则a，b应满足什么条件？
7．（2022·福建厦门·七年级期末）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（，为常数），我们把这种变换称为“变换”．
(1)当，时，写出点经过“变换”得到的点的坐标；
(2)已知点，，经过“变换”的对应点分别是，，．若轴，且点落在轴上，求三角形的面积．
8．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．例如，点，点，，，，
(1)若点，点B在x轴的正半轴上，，求点B的坐标；
(2)若点，点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为，
①若点，，求的值；
②若点，点，，直接写出a的取值范围．
专题15 难点探究专题：平面直角坐标系中的新定义与规律探究
考点一 平面直角坐标系中点运动规律探究问题 考点二 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题
考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题
考点一 平面直角坐标系中点运动规律探究问题
一、选择题
1．（2022·广东·汕头市潮南区阳光实验学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中销头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第30次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由横坐标变化可以得出第30次横坐标是30，由纵坐标变化规律可知每四次为一周期．
【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…，
∴横坐标为运动次数，经过第30次运动后，动点P的横坐标为30，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∵30÷4=7余2，
∴经过第30次运动后，动点P的纵坐标为四个数中第二个，即为0，
∴经过第30次运动后，动点P的坐标是：（30，0），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的规律探究，解答此题的关键是分析好各点坐标的变化规律，同时要观察变化周期．
2．（2022·重庆大足·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
【详解】解：由题意P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5），…，P21（11，11），
P20的纵坐标与P21的横坐标相同，
∴P20（11，﹣10），
故答案为：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
3．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为个单位长度/秒，则第2022秒，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1=π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，-1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2022÷4=505余2，
∴P的坐标是（2022，0），
故选：A．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
4．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如图，已知，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察发现，横坐标与下标一致，纵坐标每个点形成一个循环，再根据点的坐标及所得的余数，可计算出点的纵坐标，从而得解．
【详解】解：观察发现，横坐标与下标一致，纵坐标每个点形成一个循环，
，
点的横坐标为，其纵坐标与一致，即为，
点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确得出点的纵坐标是解题的关键．
5．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(细线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→E→F→G→H→P→A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．(﹣1，2)B．(﹣1，1)C．(0，1)D．(0，2)
【答案】A
【分析】根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，计算2022÷20，看余数判断即可．
【详解】因为ABEGx轴，BCDEHGAPy轴，点D、C、P、H在x轴上，A(1，2)，B(﹣1，2)，D(﹣3，0)，E(﹣3，﹣2)，G(3，﹣2)，
根据坐标的特点，确定长度为2时，对应点为B，确定长度为4时，对应点为C，
确定长度为6时，对应点为D，确定长度为8时，对应点为E，确定长度为11时，对应点为F，确定长度为14时，对应点为G，确定长度为16时，对应点为H，确定长度为18时，对应点为P，确定长度为20时，对应点为A，确定循环节为20，
所以2022÷20＝101…2，
与B点重合，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标的特点和坐标的规律，熟练掌握坐标的特点，准确计算出循环节是解题的关键．
6．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫所在的位置是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的坐标求得的长度为2，根据等边三角形的性质求得的周长为6，根据路程等于速度乘以时间，可得2022秒可得点瓢虫的位置．
【详解】解：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
2022秒走过的路程为：，
的周长为6，，
∴第2022秒瓢虫所在的位置是．
故选A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、平面直角坐标系中的规律问题、一元一次方程的实际应用以，灵活运用相关知识点是解决问题的关键．
7．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由1+2+3+…+13=91，1+2+3+…+14=105，可得第91个点的坐标为（13，0），第102个点横坐标为14，继而求得答案．
【详解】由图形可知：点的个数依次是1、2、3、4、5、…，且横坐标是偶数时，箭头朝上，
∵1+2+3+…+13=91，1+2+3+…+14=105，
∴第91个点的坐标为（13，0），第102个点横坐标为14．
∵在第14行点的走向为向上，
∴纵坐标为从第92个点向上数10个点，即为10；
∴第102个点的坐标为（14，10）．
故选：B．
【点睛】考查了点的变化规律，根据图形得出点的坐标的规律是解答此题的关键．
8．（2022·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学七年级期末）如图，在单位面积为1的方格纸上，，，，，，…均在格点上，且坐标分别为，，，，，…，则依图中所示规律，点的纵坐标为（ ）
A．－1010B．1010C．－1011D．1011
【答案】C
【分析】根据题意可得—，—，，每4个点为一组，根据点所呈现的规律可得的坐标为（1，）（n为正整数），据此求解即可．
【详解】解：观察可知—，—，，每4个点为一组，的坐标为（1，-1），的坐标为（1，-3），的坐标为（1，-5），
∴的坐标为（1，）（n为正整数），
∵，
∴的纵坐标为
故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题
9．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为______，点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点、的坐标．
【详解】解：，，
的坐标是，即，
的坐标是，即．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
10．（2022·广东云浮·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点运动的路程为2022时，点所在位置的点的坐标为______．
【答案】
【分析】由点的坐标得出四边形的周长即可求解．
【详解】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∴AB+BC+CD+AD＝10，
∵点P从点A出发，并按A→B→C→D→A…的规律在四边形ABCD的边上运动，
∴当P点运动的路程为2022时，
2022÷10＝202……2，
∴此时点P所在位置为B点，
∴点P所在位置的点的坐标为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
【点睛】本题考查了轨迹与点的坐标﹣规律型，正确得出四边形的周长是解题的关键．
11．（2022·湖北省荆门德艺学校七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，﹣1），（2，﹣1），（2，0），…，则点的坐标是_____．
【答案】（30，0）
【详解】根据图形分别求出n=3、6、9时对应的点的坐标，可知点（n，0），将n=30代入可得．
解：∵（1，0），（2，0），（3，0），…，
∴（n，0）
当n＝30时，（30，0），
故答案为：（30，0）．
【点睛】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=3、6、9时对应的点的对应的坐标是解题的关键．
12．（2022·福建福州·七年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点的纵坐标是_______．
【答案】1
【分析】观察图象，结合第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，-2），…，运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的横坐标和纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，-2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，-2，0，2，0；
∵2023÷6=337……1，
∴经过第2023次运动后，动点P的纵坐标是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键．
13．（2022·河北师范大学附属中学八年级期中）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第n次碰到长方形的边时，记为点，则点的坐标是___；点的坐标是___．
【答案】 （8，3） （0，3）
【分析】根据入射角与反射角的定义作出图像，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据入射角和反射角的定义作出图形，
∴点P3的坐标是（8，3），
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2022÷6＝337，
当点P第2022次反弹后刚好回到出发点，即P2022的坐标为（0，3），
故答案为：（8，3），（0，3）．
【点睛】本题考查矩形的性质，点坐标的规律，作出图形，找准规律特点是解题的关键．
三、解答题
14．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
(1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）；
(2)写出点的坐标（是正整数）（______，______）；
(3)求出的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察图形，即可求解；
（2）观察图形，由（1）发现规律，即可求解；
（3）由（1）发现规律：，即可求解．
（1）
观察图形得∶
，
故答案为：；
（2）
由（1）发现规律：，
故答案为：；
（3）
解：由（1）发现规律：，
∵，
∴的坐标为．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
考点二 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题
一、选择题
1．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（ ）
A．（8，2）B．（3，2）C．（3，3）D．（5，0）
【答案】D
【分析】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题．
【详解】解：∵A点坐标为（-2，3），
∴AB=DC=3，AD=BC=2，
第一次翻滚后点坐标为：（3，2），
第二次翻滚后点的坐标为（5，0），
第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0），
故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键．
2．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的横坐标为（ ）．
A．8080B．8085C．8088D．8092
【答案】C
【分析】由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，探究规律求解即可．
【详解】解：∵点A（-3，0），B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，
∵2022÷3=674，
∴△2020的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
∵674×12=8088，
∴△2022的直角顶点的坐标为（8088，0）．
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是确定循环的次数．
3．（2022·山东济南·八年级期中）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是( )
A．（11，1）B．（-11，1）C．（11，﹣1）D．（-11，-1）
【答案】C
【分析】根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案．
【详解】解：∵B，C的坐标分别是（1，1），（3，1），
∴BC中点的坐标为（2，1），
∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，
∴经过1次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（2+3，-1），即（5，-1），
经过2次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（5+3，1），即（8，1）
经过3次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（8+3，-1），即（11，-1）
故选：C．
【点睛】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道翻移变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题．
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（ ）
A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）
【答案】D
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，
点A第二次关于x轴对称后在第四象限，
点A第三次关于y轴对称后在第三象限，
点A第四次关于x轴对称后在第二象限，
即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
5．（2022·广东·汕头市澄海区教师发展中心八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（ ）
A．(，0)B．(，0)C．(，)D．(，)
【答案】C
【分析】本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】解：由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前的倍，
∵2021=252×8+5，
∴点M2021的在第三象限的角平分线上，
OM2020=（）2020=21010，
故选：C．
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．
6．（2022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴方向连续翻转若干次，点P依次落在点的位置，则点的横坐标为（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2020
【答案】D
【分析】根据△AOP是边长为1的正三角形，可得点P的横坐标为﹣观察图形的变化发现：的横坐标为1，的横坐标为1，的横坐标为，…进而可得点的横坐标．
【详解】解：∵△AOP是边长为1的正三角形，
∴点P的横坐标为﹣
观察图形的变化发现：
的横坐标为1，横坐标为1，的横坐标为，
的横坐标为4，的横坐标为4，的横坐标为，
的横坐标为7，
…
发现规律：∴的横坐标为3n+1，的横坐标为3n+1，的横坐标为3n+，（n为自然数）．
∵2021＝673×3+2，
∴点的横坐标为2020，
故选：D．
【点睛】此题考查直角坐标系，点坐标的变化规律探究，等边三角形的性质，正确掌握直角坐标系中点的坐标的表示方法，根据点的变化找到坐标的变化规律是解题的关键.
二、填空题
7．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
【答案】##
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：
∴
∴
∵
∴的横坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
8．（2021·广东湛江·八年级期中）图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（2，3），则经过第2021次变换后所得的点A的坐标是______．
【答案】（2，-3）
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】由图知，△ABC每经过4次轴对称变换就回到原来的位置，也就是说，只要△ABC经过轴对称变换的次数是4的整数倍（或轴对称变换的次数能够整除4），它就能变换回到原来的位置，2020是4的整数倍，
所以经过2020次变换后，△ABC会回到原来的位置，
则经过第2021次变换后，△ABC的位置与它经过第1次变换后的位置是一样的，
此时点A的位置与它原来的位置是关于x轴对称的，
因为原来点A的坐标是（2，3），
所以变换后的坐标是（2，-3）
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
9．（2022·广东北江实验学校七年级期末）如图，我们把1，1，2，3，5，8，13，21，……这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°的圆弧、、…，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，得到螺旋折线，已知点P1（0，1）、P2（﹣1，0）、P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为_____．
【答案】（﹣6，25）
【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．
【详解】解：由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离，
所以的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标等知识，理解题意，确定的位置是解题的关键．
10．（2022·河南·延津县清华园学校八年级阶段练习）如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△，第2个△，第3个△，…，则第10个等边三角形的边长是___________
【答案】
【分析】根据30°角的性质，勾股定理，求得OB=，根据△，△，△是等边三角形，判定△，△，△等都是含有30°角的直角三角形，依次运用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半计算，找到规律计算即可．
【详解】因为点C（0，1），A（0，0），∠ABC=30°，
所以CB=2，OB=．
因为△，△，△是等边三角形，
所以60° ，
所以=90° ，=90° ，=90° ，
=30° ，
所以，，,
所以第10个等边三角形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，边长的规律，熟练掌握直角三角形的性质，准确探索规律是解题的关键．
11．（2021·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的坐标是_________．
【答案】
【分析】由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可．
【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，
∵，
∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈，
∵图形每旋转一圈横坐标增加，
∴当图形旋转505圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加，
∴当圆心经过的路径长为时，圆心的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
12．（2021·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、、、…都在直线l上，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意得出的坐标，进而得出坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴，则轴，
∵…都是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴轴，
∴，，
∵轴，轴，
∴三点共线，
∴，
∴的坐标为，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，
……
∴的坐标是，
∴的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征以及数字变化类规律，等边三角形的性质，勾股定理，得出坐标变化规律是解题关键．
13．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，等边三角形的顶点，规定把等边“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据轴对称判断出点C变换后在x轴下方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
第2022次变换后的三角形在x轴上方，
点C的纵坐标为+1，
横坐标为2﹣2022×1＝﹣2020，
所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2020，+1），
故答案为：（﹣2020，+1）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2022次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．
14．（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，发现，，…那么点的横坐标为______．
【答案】12135
【分析】根据直角的边长求出点 ，再由沿轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解．
【详解】∵ ， ， ， ，
根据题意知： ，
得：；
继续滚动得：；

发现规律：，
∵ ，解得：
则 ，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．
15．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2020次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2020的位置，则P2020的横坐标x2020=______
【答案】2019
【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解．
【详解】解：由图可知：P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，1），P5（5，1）P6（6，0），P7（6，0），P8（7，1）…，故相对位置每4个一循环，
∵2020÷4＝505，
∴P2020在505次循环后位置与P4一致，
由P4（3，1），P8（7，1），…可知，其横坐标为翻转次数减1，
∴P2020的横坐标为：2020－1＝2019，
故答案为：2019．
【点睛】本题主要考查点坐标规律探索，能够根据图形得出点坐标的变化规律是解题的关键．
16．（2022·云南师范大学实验中学七年级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为_______．
【答案】（3035，0）
【分析】先分别求解的坐标，再探究总结规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），， 发现4次一个循环，
∵2022÷4=505…2，
∴A2022的纵坐标与A2相同， 横坐标=505×6+3+2=3035，
∴A2022（3035，0），
故答案为：（3035，0）．
【点睛】本题考查坐标规律的探究，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．
考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题
一、选择题
1．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为点A2，点A2的伴随点为点A3，点A3的伴随点为点A4，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为（1，1），则点A2022的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（0，2）C．（﹣1，1）D．（0，0）
【答案】B
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】解：∵的坐标为（1，1），
∴（0，2），（-1，1），（0，0），（1，1），…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505•••2，
∴点的坐标与A2的坐标相同，为（0，2）．
故选：B．
【点睛】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
2．（2022·四川宜宾·八年级期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点P的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，，若点P的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求，，，，发现循环规律即可解题．
【详解】解：点的坐标为，
的终结点为的坐标为（-1，2），
点的终结点为的坐标为（1，4），
点的终结点为的坐标为（3，2），
点的终结点为的坐标为（1，0），
观察发现，P点坐标四个一循环，
2022÷4=505……2，
点的坐标与的坐标相同，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键．
二、填空题
3．（2022·江苏南通·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
【答案】（2，﹣2）
【分析】根据和谐点的定义及点A1的坐标为（1，3），顺次求出几个和谐点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】解：观察，发现规律：A1（1，3），A2（2，−2），A3（−3，−3），A4（−4，2），A5（1，3），…，
根据上面规律可知，每4个点循环一次，
∵2022＝505×4＋2，
∴点A2022的坐标为（2，−2）．
故答案为：（2，−2）．
【点睛】本题主要考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
4．（2022·山东临沂·七年级期中）对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”；．若在第一象限，在第二象限，则在第_____象限．
【答案】四
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分别得出各式符号，进而分析得出答案．
【详解】解：∵A（x1，y1）在第二象限，
∴x1＜0，y1＞0，
∵B（x2，y2）在第三象限，
∴x2＜0，y2＜0，
∴x1y2＞0，x2y1＜0，
∴A*B=（x1y2，x2y1）在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标符号是解题关键．
三、解答题
5．（2022·福建·厦门一中七年级期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点的3级关联点”为即，若点B的“2级关联点”是，
(1)求点B的坐标；
(2)已知点的“级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．
【答案】(1)B（1，1）
(2)N（0，-16）
【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据关联点的定义和点M（m-1，2m）的“-3级关联点”N位于y轴上，即可求出N的坐标．
(1)
设，则点B的“2级关联点”是
∵点B的“2级关联点”是，
∴
解得
∴B（1，1）．
(2)
∵点M（m-1，2m）的“-3级关联点”为N（-3（m-1）+2m，m-1+（-3）×2m），N位于y轴上，
∴-3（m-1）+2m=0，
解得：m=3
∴m-1+（-3）×2m=-16，
∴N（0，-16）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2022·广西·梧州市第十中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（－y+1，x+1）叫做点P的“伴随点”．已知点A1的“伴随点”为A2，点A2的“伴随点”为A3，点A3的“伴随点”为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．
(1)若点A1（3，1），则点A3的坐标为 ，点A2 022的坐标为 ；
(2)若点A1（a，b），对于任意的正整数n，若点An均在x轴的上方，则a，b应满足什么条件？
【答案】(1)（－3，1），（0，4）
(2)－1