苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题17一次函数的定义(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题17一次函数的定义(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了正比例函数的定义，根据一次函数的定义求参数的值，列一次函数解析式并求值，识别一次函数，求一次函数自变量或函数值等内容，欢迎下载使用。
考点一 正比例函数的定义 考点二 识别一次函数
考点三 根据一次函数的定义求参数的值 考点四 求一次函数自变量或函数值
考点五 列一次函数解析式并求值
考点一 正比例函数的定义
例题：（2022·河南商丘·八年级阶段练习）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期中）函数y=x+2a-1是正比例函数，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．
2．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）函数y＝-5x＋a＋1是关于x的正比例函数，则a的值等于___________．
3．（2022·吉林·长春市净月实验中学八年级期中）已知关于的函数是正比例函数，则的值是________．
考点二 识别一次函数
例题：（2022·上海市长桥中学八年级期中）以下函数中，属于一次函数的是( )
A． B．、是常数 C． D．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝
2．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A．B．C．D．
考点二 根据一次函数的定义求参数的值
例题：（2022·广东·江东镇初级中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．2
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2B．－2C．－2和2D．3
2．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y＝（m﹣1）x＋1﹣
(1)当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是关于x的正比例函数？
考点四 求一次函数自变量或函数值
例题：（2022·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）一次函数中，当时，，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·湖北荆州·八年级期末）若点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A．B．3C．D．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）已知点P（4，1）在函数y=ax+3的图象上，则a的值是_________.
3．（2022·河南商丘·八年级阶段练习）已知：y与成正比例，且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当点在此函数图象上，求a的值．
考点五 列一次函数解析式并求值
例题：（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．
设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．
（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；
（2）当时，求的值．
2．（2021·贵州贵阳·八年级期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
3．（2021·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
一、选择题
1．（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室八年级期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北保定·八年级期末）若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A．1B．－1C．D．
3．（2021·广东·罗定市培献中学八年级阶段练习）下列函数：①y=-2x；②；③y=-0.5x-1．其中是一次函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022·全国·八年级单元测试）已知函数，是的一次函数，则的值是（ ）
A．1B．C．1或D．任意实数
二、填空题
5．（2022·湖南岳阳·八年级期末）若函数是正比例函数，则常数m的值是___________．
6．（2022·全国·八年级单元测试）已知是正比例函数，则它的解析式为 __．
7．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知一次函数的图像经过点，则____________．
8．（2022·新疆师范大学附属中学八年级期末）若是一次函数，则k＝_________．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级课时练习）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）； （2）； （3）； （4）．
10．（2021·全国·八年级课时练习）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为，周长为；
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元；
（3）一个长方体的长为，宽为，高为，体积为．
11．（吉林省名校调研2021-2022学年八年级下学期5月月考数学试题）已知与成正比例，且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
12．（2021·四川省乐至实验中学八年级阶段练习）已知关于的函数
（1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？
（2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？
13．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为．
(1)求与的关系式；
(2)当点运动到的中点时，的面积是多少？
(3)若的面积为，则的长为多少？
专题17 一次函数的定义
考点一 正比例函数的定义 考点二 识别一次函数
考点三 根据一次函数的定义求参数的值 考点四 求一次函数自变量或函数值
考点五 列一次函数解析式并求值
考点一 正比例函数的定义
例题：（2022·河南商丘·八年级阶段练习）下列函数中，正比例函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义进行判断：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
【详解】A、y=-8x是正比例函数，正确；
B、y=-8x+1是一次函数，不符合题意；
C、是二次函数，不符合题意；
D、是反比例函数，不符合题意；
故选 A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期中）函数y=x+2a-1是正比例函数，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义求解即可：一般地，形如的函数叫做正比例函数．
【详解】解：∵函数y=x+2a-1是正比例函数，
∴2a-1=0，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键．
2．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）函数y＝-5x＋a＋1是关于x的正比例函数，则a的值等于___________．
【答案】-1
【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得a+1=0，解出即可．
【详解】解：∵函数y=-5x+a+1是正比例函数，
∴a+1=0，
解得：a=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
3．（2022·吉林·长春市净月实验中学八年级期中）已知关于的函数是正比例函数，则的值是________．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义得到，然后解方程可得m的值．
【详解】解：∵关于的函数是正比例函数，
∴且，
解得m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
考点二 识别一次函数
例题：（2022·上海市长桥中学八年级期中）以下函数中，属于一次函数的是( )
A． B．、是常数 C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．选项不是一次函数，故该选项不符合题意；
B．选项没有强调，故该选项不符合题意；
C．选项，，故该选项符合题意；
D．选项不是一次函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．掌握一次函数的形式是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝
【答案】C
【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．
【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意；
B．不是一次函数，故选项不符合题意；
C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意；
D．不是一次函数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．
2．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【详解】解：是一次函数；
是一次函数；
，自变量x次数为2，不是一次函数；
，自变量x不能做分母，不是一次函数．
一次函数有个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
考点二 根据一次函数的定义求参数的值
例题：（2022·广东·江东镇初级中学八年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．2
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2B．－2C．－2和2D．3
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列方程求解即可．
【详解】∵函数是一次函数，
∴3-|m|=1且m-3≠0，
∴m=±2且m≠3，
∴m的值为2或-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）已知函数y＝（m﹣1）x＋1﹣
(1)当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是关于x的正比例函数？
【答案】(1)m≠1
(2)m＝﹣1
【分析】（1）根据一次函数的形式，y=kx+b（k≠0），即可进行解答；
（2）根据正比例函数的形式，y=kx（k≠0），即可进行解答．
（1）
解：∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣是关于x的一次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
即当m为不等于1的值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）
∵函数y＝（m﹣1）x+1﹣是关于x的正比例函数，
∴m﹣1≠0且1﹣＝0，
解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，这个函数是关于x的正比例函数．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的一般形式，熟练掌握相关内容是解题的关键．
考点四 求一次函数自变量或函数值
例题：（2022·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）一次函数中，当时，，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a值．
【详解】解：一次函数中，当时，，
，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北荆州·八年级期末）若点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的定义得到，则，再把整体代入所求式子求解即可．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
∴，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，代数式求值，熟知一次函数图象上的点满足一次函数解析式是解题的关键．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级期中）已知点P（4，1）在函数y=ax+3的图象上，则a的值是_________.
【答案】##
【分析】将点P的坐标代入即可求得a的值．
【详解】解：∵点P（4，1）在函数y=ax+3的图象上，
∴1=4a+3，
解得：a=，
故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数的参数，当点在函数图象上时，该点的坐标满足函数关系式．
3．（2022·河南商丘·八年级阶段练习）已知：y与成正比例，且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当点在此函数图象上，求a的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将点代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．
（1）
解：∵y与成正比例，
∴设，
把，代入得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）
解：∵点在此函数图象上，
∴，
解得：．
∴a的值为4．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．
考点五 列一次函数解析式并求值
例题：（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为______．
【答案】y=1.1x+2.7
【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的费用即可得出．
【详解】解：依据题意得：y=6+1.1（x-3）=1.1x+2.7，
故答案为：y=1.1x+2.7．
【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到数量关系是本题关键．
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．
设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．
（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；
（2）当时，求的值．
【答案】（1），是的一次函数；（2）140
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km
∴y=100+80x
∴y是x的一次函数；
（2）当时，得：y=100+80×0.5=140．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
2．（2021·贵州贵阳·八年级期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【答案】（1），y是x的一次函数；（2）
【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距120km
∴火车与甲地的距离表示为：（km），即；
当火车到达甲地时，即
∴，即火车行驶1.5h到达甲地
∴
y是x的一次函数；
（2）根据（1）的结论，得：．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
3．（2021·湖南岳阳·八年级期末）已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
【答案】（1）y=-5x+29；（2）24
【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可；
（2）把x=1代入函数表达式计算即可．
【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，
解得：，
∴此一次函数的表达式为y=-5x+29；
（2）将x=1代入y=-5x+29，
得：y=-5×1+29=24．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解．
一、选择题
1．（2022·河南·鹿邑县基础教育研究室八年级期末）下列函数是正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】A．，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝-x，y是x的正比例函数，故B符合题意；
C．y＝x+1，y不是x的正比例函数，故C不符合题意；
D．，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
2．（2022·河北保定·八年级期末）若点在函数的图象上，则的值是（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】A
【分析】将x=-2代入一次函数解析式中求出m值，此题得解．
【详解】当x=-2时，y=-×（-2）=1，
∴m=1．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
3．（2021·广东·罗定市培献中学八年级阶段练习）下列函数：①y=-2x；②；③y=-0.5x-1．其中是一次函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义，即可求解．
【详解】解：①y=-2x是一次函数；
②自变量的次数不是1，故不是一次函数；
③y=-0.5x-1是一次函数．
∴一次函数的个数有2个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的，熟练掌握形如的关系式称为y关于x的一次函数是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级单元测试）已知函数，是的一次函数，则的值是（ ）
A．1B．C．1或D．任意实数
【答案】A
【分析】根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：且，
即且，
则，
故选：．
【点睛】本题考查绝对值和一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值和一次函数的定义．
二、填空题
5．（2022·湖南岳阳·八年级期末）若函数是正比例函数，则常数m的值是___________．
【答案】0
【分析】根据正比例函数的定义可得，解方程即可得．
【详解】解：函数是正比例函数，
，
解得，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义（一般地，形如的函数，其中是常数，且，叫做正比例函数）是解题关键．
6．（2022·全国·八年级单元测试）已知是正比例函数，则它的解析式为 __．
【答案】
【分析】根据正比例函数的定义列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，且，
解得，
函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的一般形式是解题的关键．
7．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知一次函数的图像经过点，则____________．
【答案】
【分析】将点(-4，m )代入函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=2x+4的图像经过点，
∴-4=2m+4，解得m=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，掌握“点在函数图像上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．
8．（2022·新疆师范大学附属中学八年级期末）若是一次函数，则k＝_________．
【答案】-3
【分析】根据一次函数的定义得到且，解方程和不等式即可求解．
【详解】解：∵是一次函数，
∴且，
∴且，
∴．
故答案为：－3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级课时练习）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数．
【分析】根据一次函数和正比例函数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数；
（2）自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数；
（3）自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数；
（4）是一次函数，不是正比例函数．
所以（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数．
【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握形如 （k、b为常数，且 ）的形式的函数是一次函数，当 时，一次函数 （k、b为常数，且 ）变为 ，此时的函数称为正比例函数是解题的关键．
10．（2021·全国·八年级课时练习）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为，周长为；
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元；
（3）一个长方体的长为，宽为，高为，体积为．
【答案】（1），是正比例函数；（2），是正比例函数；（3），是正比例函数．
【分析】（1）根据正方形的周长等于边长的4倍，即可求解；
（2）根据总收入等于月平均收入乘以时间，即可求解；
（3）根据长方体的体积等于长乘以宽乘以高，即可求解．
【详解】解：（1）y与x的函数关系式为，是正比例函数；
（2）y与x的函数关系式为，是正比例函数；
（3）y与x的函数关系式为，是正比例函数．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
11．（吉林省名校调研2021-2022学年八年级下学期5月月考数学试题）已知与成正比例，且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当时，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与成正比例，设 再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把代入求解函数值即可．
（1）
解：∵与成正比例，
∴设
当时，．
∴
解得：
∴函数关系式为： 即．
（2）
当时，
∴
【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键．
12．（2021·四川省乐至实验中学八年级阶段练习）已知关于的函数
（1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？
（2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？
【答案】（1），为任意实数；（2），
【分析】（1）如果函数关系式是关于自变量的一次式，则称为一次函数，用字母表示为y=kx+b，其中k≠0，且k、b为常数；根据一次函数的定义及表示形式完成即可；
（2）若一次函数表达式中b=0，即y=kx，其中k≠0，则称此函数为正比例函数，根据正比例函数的解析式完成即可．
【详解】（1）由题意知：，则m=±1
当m=－1时，m+1=0
∴m=1
n可为任意实数
即当m=1，n为任意实数时，函数为一次函数．
（2）由（1）知，m=1
但n－3=0，所以n=3
即当m=1，n=3时，函数是正比例函数．
【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系．
13．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为．
(1)求与的关系式；
(2)当点运动到的中点时，的面积是多少？
(3)若的面积为，则的长为多少？
【答案】(1)
(2)点运动到的中点时，的面积为
(3)当的面积为时，的长为
【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可；
对于（2），将代入关系式计算即可；
对于（3），将代入关系式求出x即可．
（1），所以与的关系式为；
（2）当时，，所以点运动到的中点时，的面积为；
（3）当时，，解得，所以当的面积为时，的长为．
【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键．