人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题01反比例函数的定义(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题01反比例函数的定义(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了用反比例函数描述数量关系，根据反比例函数的定义求参数，根据定义判断是否是反比例函数，求反比例函数值等内容，欢迎下载使用。
考点一 用反比例函数描述数量关系 考点二 根据定义判断是否是反比例函数
考点三 根据反比例函数的定义求参数 考点四 求反比例函数值
考点一 用反比例函数描述数量关系
例题：（2022·江苏淮安·八年级期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·广西钦州·九年级期末）已知圆柱的体积是30cm2，它的高h（单位：cm）关于底面面积S（单位：cm2）的函数解析式为_____．
2．（2021·广东佛山·九年级期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝_____．
3．（2021·全国·九年级专题练习）写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；
（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数（元）与付款次数的函数关系式.
考点二 根据定义判断是否是反比例函数
例题：（2022·浙江温州·八年级阶段练习）下列函数属于反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）在下列表达式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
①；②y=3－6x；③；④（m是常数，m≠0）．
A．①②④B．①③④C．②③D．①③
2．（2021·全国·九年级专题练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）．
3．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________．
考点三 根据反比例函数的定义求参数
例题：（2021·河南·漯河市第三中学九年级阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值为 _____．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是________．
2．（2021·甘肃·古浪县第六中学九年级阶段练习）已知反比例函数，则m=_____，函数的表达式是_____．
考点四 求反比例函数值
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）已知反比例函数，当x=1时，y=__________．
【变式训练】
1．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）反比例函数的图象一定经过点（2，____）．
2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）点(3，m)在双曲线，则m=______
3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）已知反比例函数的图像经过点P（a-1，2），则a=______．
一、选择题
1．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝－2x＋3C．y＝D．y＝－
2．（2021·全国·九年级专题练习）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（ ）
A．y=B．y=C．y=D．y=
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·湖南·李达中学九年级开学考试）若是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．任意实数
二、填空题
5．（2020·四川成都·九年级期中）若双曲线经过点，则___________．
6．（2022·甘肃武威·九年级期末）函数是反比例函数，则m的值为______．
7．（2021·全国·九年级课时练习）香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为__________．
8．（2021·全国·九年级专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个．
三、解答题
9．（2022·全国·九年级课时练习）下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1) (2) (3) (4)xy=1 (5)
10．（2022·全国·九年级专题练习）写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数是反比例函数，求的值．
12．（2022·全国·九年级单元测试）已知y与x的函数解析式是y＝，
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
14．（2022·全国·九年级专题练习）函数y=（m﹣1）是反比例函数
（1）求m的值
（2）判断点（，2）是否在这个函数的图象上．
专题01 反比例函数的定义
考点一 用反比例函数描述数量关系 考点二 根据定义判断是否是反比例函数
考点三 根据反比例函数的定义求参数 考点四 求反比例函数值
考点一 用反比例函数描述数量关系
例题：（2022·江苏淮安·八年级期末）矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解．
【详解】解；由题意得：
．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系．
【变式训练】
1．（2021·广西钦州·九年级期末）已知圆柱的体积是30cm2，它的高h（单位：cm）关于底面面积S（单位：cm2）的函数解析式为_____．
【答案】h=．
【分析】直接利用圆柱体积公式进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：Sh=30，
则h=，
故答案为：h=．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握圆柱体积求法是解题关键．
2．（2021·广东佛山·九年级期末）一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝_____．
【答案】
【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：，可得，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．
3．（2021·全国·九年级专题练习）写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.
（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；
（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；
（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数（元）与付款次数的函数关系式.
【答案】（1），比例系数为450；（2），比例系数为；（3），比例系数为1000；（4），比例系数为8000.
【分析】（1）根据圆锥的体积公式解答即可；
（2）根据W=Fs解答即可；
（3）根据完成的天数乘以该班同学每天制作的数量=1000解答即可；
（4）根据付款次数×每次付款数=12000-4000解答即可.
【详解】（1）∵hS=450，∴，∴比例系数为450.
（2）∵Fs=W，∴，∴比例系数为.
（3）∵xy=1000，∴，∴比例系数为1000.
（4）∵xy=12000-4000，∴，∴比例系数为8000.
【点睛】本题考查了列反比例函数解析式，根据题意列出解析式是解答本题的关键.
考点二 根据定义判断是否是反比例函数
例题：（2022·浙江温州·八年级阶段练习）下列函数属于反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，不符合题意，故本选项错误；
B．是反比例函数，符合题意，故本选项正确；
C．不是反比例函数，不符合题意，故本选项错误；
D．是正比例函数，不符合题意，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义．
【变式训练】
1．（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）在下列表达式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
①；②y=3－6x；③；④（m是常数，m≠0）．
A．①②④B．①③④C．②③D．①③
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是（k≠0），也可化为xy＝k（k≠0），据此即可作出判断．
【详解】解：①符合xy＝k（k≠0），故为反比例函数，故本选项正确；
②y＝3﹣6x不符合反比例函数的定义，不是反比例函数，故本选项错误；
③符合（k≠0），是反比例函数，故本选项正确；
④（m是常数，m≠0）没有自变量，不是反比例函数，故本选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的不同表达式是解题的关键．
2．（2021·全国·九年级专题练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有：__________（填序号）．
【答案】②③⑧
【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，由此可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦和⑧中，是y关于x的反比例函数的有②③⑧；
故答案为②③⑧．
【点睛】本题主要考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键．
3．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________．
【答案】④⑥．
【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.
【详解】①x（y+2）=1，可化为y=，不是反比例函数；
②，y与（x+1）成反比例关系；
③ 是y关于x2的反比例函数；
④符合反比例函数的定义，是反比例函数；
⑤是正比例函数；
⑥符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为④⑥．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.
考点三 根据反比例函数的定义求参数
例题：（2021·河南·漯河市第三中学九年级阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值为 _____．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
且m+1≠0，
∴m＝0或m＝-1且m≠﹣1，
∴m＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义：y=kx-1（k≠0）的形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是________．
【答案】2
【分析】根据反比函数的定义得出且，计算即可得出结论．
【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，
∴且，
∴m＝2或﹣2，且，
∴m＝2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或（k为常数，k≠0）．
2．（2021·甘肃·古浪县第六中学九年级阶段练习）已知反比例函数，则m=_____，函数的表达式是_____．
【答案】 ﹣1 y
【分析】根据反比例函数的定义．即y（k≠0），只需令m2﹣2＝﹣1、m﹣1≠0即可．
【详解】解：依题意有m2﹣2＝﹣1且（m﹣1）≠0，所以m＝﹣1函数的表达式是y．
故答案为：﹣1，y．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
考点四 求反比例函数值
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）已知反比例函数，当x=1时，y=__________．
【答案】－6
【分析】把x=1代入此反比例函数的解析式，求出y的对应值即可．
【详解】解：把x=1代入得，，
故答案为：-6
【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
【变式训练】
1．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）反比例函数的图象一定经过点（2，____）．
【答案】3
【分析】将代入解析式即可求解．
【详解】将代入，得，
∴反比例函数的图象一定经过点，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，理解点的横坐标对应自变量的值是解题的关键．
2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）点(3，m)在双曲线，则m=______
【答案】－4
【分析】把点(3，m)代入即可求解．
【详解】把点(3，m)代入得m=
故答案为：－4．
【点睛】此题主要考查反比例函数上的点，解题的关键是熟知坐标与函数的关系．
3．（2022·湖南邵阳·九年级期末）已知反比例函数的图像经过点P（a-1，2），则a=______．
【答案】﹣3
【分析】直接将点P代入求出a即可．
【详解】∵反比例函数的图象经过点P，
∴直接将点P代入，则2-2a=8，解得a=－3．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小．
一、选择题
1．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝－2x＋3C．y＝D．y＝－
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、是反比例函数，故本选项符合题意；
D、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般式是（k≠0）是解题的关键．
2．（2021·全国·九年级专题练习）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（ ）
A．y=B．y=C．y=D．y=
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解．
【详解】解：∵底边长为x，底边上的高为y，的三角形面积为10，
∴，
∴ y=．
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由反比例函数可知：，选项中只有D选项横坐标与纵坐标之积为-2；
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
4．（2022·湖南·李达中学九年级开学考试）若是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．任意实数
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义直接解答即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴且a+1≠0，
解得a=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是知道（k≠0）是反比例函数．
二、填空题
5．（2020·四川成都·九年级期中）若双曲线经过点，则___________．
【答案】4
【分析】直接把点代入双曲线求出 a 的值即可.
【详解】把代入得：，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（2022·甘肃武威·九年级期末）函数是反比例函数，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
【详解】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．
7．（2021·全国·九年级课时练习）香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为__________．
【答案】
【分析】根据题意列得xy=100，即可得到答案．
【详解】解：由题意得xy=100，
∴y与x之间的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查求函数解析式，正确理解销售问题中的数量关系是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个．
【答案】3##三
【分析】根据正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是或xy=k，或y=kx-1（k≠0）．
【详解】解：根据反比例函数定义可得：②③xy=2，④，是反比例函数，①是正比例函数，
故答案为3.
【点睛】考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的3种形式是解题的关键.
三、解答题
9．（2022·全国·九年级课时练习）下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1) (2) (3) (4)xy=1 (5)
【答案】(1)是，；
(2)是，；
(3)否；
(4)是，（可化为）；
(5)是，
【分析】利用反比例函数的定义判定即可．
（1）
解：是反比例函数，比例系数；
（2）
解：是反比例函数，比例系数；
（3）
解：不是反比例函数；
（4）
解：∵xy=1，
∴，
∴y是x的反比例函数，比例系数；
（5）
解：是反比例函数；比例系数；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般式y=（k≠0）．
10．（2022·全国·九年级专题练习）写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
（1）底边为 的三角形的面积 随底边上的高 的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距 的甲地驶往乙地，轮船的速度 与航行时间 的关系；
（3）在检修 长的管道时，每天能完成 ，剩下的未检修的管道长 随检修天数 的变化而变化．
【答案】（1），不是反比例函数；（2），是反比例函数；（3），不是反比例函数．
【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义（k≠0）判断变量间是否为反比例函数关系．
【详解】（1） 根据三角形的面积公式可得 ，
所以不是反比例函数．
（2） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，是反比例函数．
（3） 因为 ，
所以两个变量之间的函数表达式为 ，不是反比例函数．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数解析式的一般式形式．
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数是反比例函数，求的值．
【答案】．
【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的系数特点，指数特点是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级单元测试）已知y与x的函数解析式是y＝，
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
【答案】（1）－3；（2）x＝5
【分析】（1）把x＝4代入解析式，即可求得y的值；
（2）y＝−2代入解析式，即可求得自变量x的值．
【详解】解：（1）当x＝4时，函数y＝；
（2）当y＝﹣2时，则﹣2＝，
解得x＝5．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
(1)直接写出y与x的函数关系式为______；
(2)现有两种方案或，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【答案】(1)
(2)22m
【分析】（1）)利用矩形的面积计算公式可得出xy= 60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x = 5和x = 6时的y值，结合墙长11m即可得出应选x = 6的设计方案，再将其代入2x + y中即可求出此栅栏的总长．
（1）
解：根据题意得：，
∴y与x的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）
解：当x= 5时，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时，，
∵，
∴符合题意，此栅栏总长为：
；
答：应选择x = 6的设计方案，此栅栏总长为22m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x=5和x=6时的y值．
14．（2022·全国·九年级专题练习）函数y=（m﹣1）是反比例函数
（1）求m的值
（2）判断点（，2）是否在这个函数的图象上．
【答案】(1) m=0；（2）点（，2）不在这个函数图象上．
【详解】试题分析：根据反比例函数的定义得到即可求出得值.
把代入反比例函数求得的值，即可判断.
试题解析：由题意得：
解得
（2）∵反比例函数
当
∴点不在这个函数图象上．