人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题02反比例函数的图象和性质(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题02反比例函数的图象和性质(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了判断反比例函数图象所在象限，已知双曲线发布的象限求参数范围，已知反比例函数的增减性求参数，判断反比例函数的增减性，已知比例系数求特殊图形的面积，根据图形面积求比例系数，反比例函数与二次函数的综合判断等内容，欢迎下载使用。
考点一 判断反比例函数图象所在象限 考点二 判断反比例函数的增减性
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围 考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
考点五 已知反比例函数的增减性求参数 考点六 已知比例系数求特殊图形的面积 考点七 根据图形面积求比例系数（求解析式） 考点八 反比例函数与二次函数的综合判断
考点一 判断反比例函数图象所在象限
例题：（2022·全国·九年级单元测试）反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限
2．（2022·全国·九年级单元测试）已知函数，当时，函数的图象在第______象限．
3．（2022·江苏连云港·八年级期末）反比例函数的图像在第______象限．
考点二 判断反比例函数的增减性
例题：（2022·山东·宁阳县第十一中学九年级阶段练习）若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022·河南开封·八年级期末）已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南·岳阳市湘一南湖学校九年级阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____．
3．（2022·江苏淮安·八年级期末）若点在反比例函数的图像上，则_____（填“＞”、“＜”或“＝”），
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围
例题：（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是______．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级单元测试）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是______．
2．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______．
考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
例题：（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为_______．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是______．
2．（2022·云南昆明·一模）若反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点为_____________．
3．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______．
考点五 已知反比例函数的增减性求参数
例题：（2022·广西·防城港外国语学校九年级阶段练习）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的减小而增大，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·九年级单元测试）反比例函数在某一象限内，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是______．
3．（2022·江苏连云港·八年级期末）已知在反比例函数图像的每个象限内，随增大而增大，则常数的取值范围是___．
考点六 已知比例系数求特殊图形的面积
例题：（2022·山东·济南高新区东城逸家初级中学九年级阶段练习）如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
【变式训练】
1．（2022·江苏·靖江市实验学校八年级阶段练习）如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在 边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．
2．（2022·河南·桐柏县思源实验学校八年级阶段练习）如图，点、是双曲线上的点，分别过点、是作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______________．
3．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，A、B两点分别在反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象上，且ABx轴，C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为 _____．
考点七 根据图形面积求比例系数（解析式）
例题：（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【变式训练】
1．（2020·江苏·建新中学九年级阶段练习）如图，△ABC的顶点C在反比例函数的图象上，顶点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，若∠C＝90°，轴，轴，，则k的值为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．5
2．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为2，则反比例函数解析式为 _____．
3．（2022·安徽·定远县民族中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（k＜0，x＜0）的图象上，过点A作轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC．若ABC的面积是3，则k＝_____．
考点八 反比例函数与二次函数的综合判断
例题：（2022·山东潍坊·九年级期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
一、选择题
1．（2022·福建·厦门市第五中学九年级阶段练习）函数的图像的是（ ）
A．直线B．射线C．双曲线D．抛物线
2．（2022·江苏省盐城中学新洋分校八年级阶段练习）关于函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．该函数图像是双曲线B．经过点
C．在第二象限内，y随x的增大而增大D．是中心对称图，且对称中心是坐标原点
3．（2021·辽宁·沈阳市清乐围棋学校九年级阶段练习）若是反比例函数y＝图象上的点，且，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是( )
A．B．C．或D．
5．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·江苏·盐城市初级中学八年级期中）若正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是，则另一个交点坐标为______．
7．（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，是反比例函数的常数图象上第二象限内的一点，轴且的面积为，则的值为______．
8．（2022·安徽·定远县第一初级中学九年级阶段练习）已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为_______
9．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）若反比例函数的图象经过点（2， ），则一次函数的图象不经过第______象限．
10．（2022·江苏淮安·八年级期末）设函数与的图像的交点坐标为，则的值为_______．
三、解答题
11．（2022·安徽·定远县第一初级中学九年级阶段练习）已知：，并且与成正比例，与成反比例．当x=2时，y=5；当时，
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求当时的函数值．
12．（2022·湖南·永州市剑桥学校九年级阶段练习）已知反比例函数的图像过点．
(1)若在这一个函数的每一个分支上，随增大而减少，求的取值范围；
(2)若一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点，求一次函数的表达式．
13．（2022·安徽·安庆市第四中学九年级阶段练习）如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，若OC＝2，点B的纵坐标为3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
14．（2022·广东·从化市东明学校模拟预测）已知反比例函数的图象过点，完成下列各小题．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)完成下列表格
(3)根据（2）中表格中的信息，在下列坐标系中先描点，然后再作该反比例函数的图象．
15．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．
①求出函数解析式；
②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．
16．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边ADBCx轴，ABCDy轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．
解决问题：
(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）
(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
x
…
_____
1
_____
…
y
…
2
_____
…
专题02 反比例函数的图象和性质
考点一 判断反比例函数图象所在象限 考点二 判断反比例函数的增减性
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围 考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
考点五 已知反比例函数的增减性求参数 考点六 已知比例系数求特殊图形的面积 考点七 根据图形面积求比例系数（求解析式） 考点八 反比例函数与二次函数的综合判断
考点一 判断反比例函数图象所在象限
例题：（2022·全国·九年级单元测试）反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质作答．
【详解】解：∵，
∴反比例函数y＝的图像分布在第一、三象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像的性质．
【变式训练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）若反比例函数的图象经过点（3，-5），则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限
【答案】B
【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵的图象过点（3，-5），
∴把（3，-5）代入得：
k=xy=3×（-5）=-15＜0，
∴函数的图象应在第二，四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数（k≠0）的性质：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在二、四象限．
2．（2022·全国·九年级单元测试）已知函数，当时，函数的图象在第______象限．
【答案】四
【分析】反比例函数的图象时位于第四象限．
【详解】解：∵
∴图象在第二、四象限
∴当时，函数的图象在第四象限
故答案为：四．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，当时，函数位于一、三象限；当时，函数位于二、四象限．
3．（2022·江苏连云港·八年级期末）反比例函数的图像在第______象限．
【答案】一、三
【分析】根据＞0，判定函数图像的分布即可．
【详解】解：∵＞0，
反比例函数的图像在第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．
考点二 判断反比例函数的增减性
例题：（2022·山东·宁阳县第十一中学九年级阶段练习）若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∵，且第一象限的函数值和自变量均为正值，第三象限的函数值和自变量均为负值，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
【变式训练】
1．（2022·河南开封·八年级期末）已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用反比例函数的性质直接求解即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数的图象在第二四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，
∵点在第四象限内，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2022·湖南·岳阳市湘一南湖学校九年级阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象，可得点A在第二象限，点B在第四象限，即可求解．
【详解】解：∵-6＜0，
∴图象位于第二、四象限，
∵点在反比例函数的图象上，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，图象位于第一、三象限内，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
3．（2022·江苏淮安·八年级期末）若点在反比例函数的图像上，则_____（填“＞”、“＜”或“＝”），
【答案】＜
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，k＝-3＜0，
∴此函数图象的两个分支分别在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而最大．
∵1＜3，
∴y1＜y2．
故答案为∶＜．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
考点三 已知双曲线发布的象限求参数范围
例题：（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是______．
【答案】-3
【分析】直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出，且，进而得出答案．
【详解】解：函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，
，且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级单元测试）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、第四象限，
，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．
2．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键．
3．（2022·江苏南京·八年级期末）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则k的取值范围是______．
【答案】k＞3##
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴3-k＜0，解得k＞3．
故答案为：k＞3．
【点睛】考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键．
考点四 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
例题：（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为_______．
【答案】（-，-2）##（-0.5，-2）
【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（，2），
∴另一个交点的坐标是（-，-2），
故答案为：（-，-2）．
【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是______．
【答案】（－1，－2）
【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案．
【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于M，N两点，
∴M，N两点关于原点对称，
∵点M的坐标是（1，2），
∴点N的坐标是（-1，-2）．
故答案为：（－1，－2）.
【点睛】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键．
2．（2022·云南昆明·一模）若反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点为_____________．
【答案】
【分析】根据正比例函数与反比例函数关于原点中心对称，则交点也关于原点中心对称即可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数关于原点中心对称，一个交点为，
∴另一个交点为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象与正比例函数图象的性质是解题的关键．
3．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______．
【答案】(1，-2)
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，即反比例函数图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数y=的两个交点关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点(-1，2)关于原点对称，
∴另一个交点的坐标为(1，-2)．
故答案是：(1，-2)．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键．
考点五 已知反比例函数的增减性求参数
例题：（2022·广西·防城港外国语学校九年级阶段练习）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】反比例函数的图象，当比例系数大于0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当比例系数小于0时，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此列不等式计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，k+2 0时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴在y轴右侧，并且二次函数的图象与y轴交于负半轴，则A选项不符合题意，C选项符合题意；
当k < 0时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴在y轴左侧，并且二次函数的图象与y轴交于正半轴，则B、D选项均不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论(当k > 0时和当k < 0时)，注意运用数形结合的思想方法，充分寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
【变式训练】
1．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图像与性质，二次函数图像和性质进行判断即可．
【详解】解：当k＞0时，二次函数的图像开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数图像在第一、三象限；
当k＜0时，二次函数的图像开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数图像在第二、四象限，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像、二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
2．（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，对称轴在y轴右边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a