人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题10图形的旋转(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题10图形的旋转(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了判断生活中的旋转现象，根据旋转的性质求解，坐标与旋转规律问题，找旋转中心、旋转角、对应点，求绕原点旋转90°点的坐标，旋转综合题——几何变换等内容，欢迎下载使用。
考点一 判断生活中的旋转现象 考点二 找旋转中心、旋转角、对应点
考点三 根据旋转的性质求解 考点四 求绕原点旋转90°点的坐标
考点五 坐标与旋转规律问题 考点六 旋转综合题——几何变换
考点一 判断生活中的旋转现象
例题：（2022·广东汕尾·九年级期末）下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼D．小明在荡秋千
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建省诏安第一中学八年级期中）下列现象不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物；B．飞速转动的电风扇；
C．钟摆的摆动；D．自行车车轮的运动
考点二 找旋转中心、旋转角、对应点
例题：（2022·重庆大渡口·八年级期末）如图，将绕点B逆时针旋转30°得到，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【变式训练】
1．（2021·河南周口·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，两个三角形的顶点都在格点上，其中一个是另一个绕着某定点旋转得到的，则这个定点的坐标为__________．
2．（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示，四边形ABCD中，∠ECF=∠CDA，CD⊥AD于点D，△BEC旋转后能与△DFC重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
考点三 根据旋转的性质求解
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图所示，点P是正方形内一点，绕点B顶时针方向能转到达的位置，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°，得到△ADE，若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
2．（2022·山东青岛·七年级期末）有公共顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形按如图①所示放置，，，，点在上，点在的延长线上．连接，．
(1)【观察猜想】
与之间的数量关系是_______；位置关系是______．
(2)【探究证明】
将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，如图②所示，使点，，在同一条直线上，连接，交于点．与之间的关系是否仍然成立？请说明理由
考点四 求绕原点旋转90°点的坐标
例题：（2022·广东佛山·八年级期末）如图，，将平行四边行绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川成都·八年级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)把向左平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的；
(2)画出绕原点按顺时针方向旋转后的图形，并直接写出对应点连线段的长度______．
考点五 坐标与旋转规律问题
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知等边三角形OAB，顶点，，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为1的正方形，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，照此规律作下去，则的坐标是_________；的坐标是________．
考点六 旋转综合题——几何变换
例题：（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
【变式训练】
1．（2022·重庆大渡口·八年级期末）在中，，，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．
(1)如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE，若DE=4，求线段AF的长度；
(2)如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，求证：；
(3)如图3，连接CF和BE，若，当线段CF取最小值时，请直接写出的面积．
2．（2022·全国·九年级专题练习）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
一、选择题
1．（2022·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降
2．（2022·江西赣州·九年级期末）八卦脑景区风力发电机（图①）既可以在风力作用下发电，也是景区的一道靓丽风景线．转子叶片图案（图②）绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ）
A．45B．60C．90D．120
3．（2021·四川绵阳·九年级阶段练习）两块大小相同，含有30°角的直角三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．60°
4．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图， 在Rt中， ， 将绕点顺时针旋转，得到， 连接交于点， 则与的周长之和为 （ ）
A．44B．43C．42D．41
5．（2022·广西钦州·七年级期末）如图所示，已知点A（－1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是（ ）
A．（3033，0）B．（3032，1）C．（3035，0）D．（3036，1）
二、填空题
6．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，，则∠DAC的度数为__________．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知点A（3，0），B（1，4），C（3，﹣2），D（7，0），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使A，B分别与C，D重合，则旋转中心的坐标为 _________．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形中，顶点A，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形（点在轴正半轴上），将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为______．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转度，当时，相应的旋转角的值是______．
10．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若，则CE的长为__________．
三、解答题
11．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在5×5的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)将图1中的△ABC向下平移2格，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将图2中的△ABC绕着点B按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．
12．（2022·广东深圳·八年级期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，请写出移动后的点坐标______，坐标______．
(2)将绕着点顺时针方向旋转得到，画出．
13．（2022·重庆北碚·七年级期末）如图，点E是正方形ABCD内一点，将△BEC绕点C顺时针旋转90°至△DFC．
(1)若∠EBC＝30°，∠BCE＝80°，求∠DFC；
(2)若CE＝3，求△CEF的面积．
14．（2022·吉林长春·八年级期末）（1）如图1，四边形中，，，垂足为，且，，求四边形的面积可作如下思考：过点作，交的延长线于点，则有，由此可证，进一步得出四边形的形状为________，最后得出四边形的面积为________；
（2）探究1：如图2，四边形中，，，，求四边形的面积？（写出证明过程）
（3）探究2：如图3，四边形中，，，，直接写出四边形的面积．（用含有的代数式表示）
15．（2022·山东淄博·八年级期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．则线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是___________．
（2）在（1）的条件下，在△ABC所在的平面内把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△AMD和等腰Rt△ANC中，．（温馨提示：），连接CD，点P为CD的中点，连接MP，PN，MN．若等腰Rt△AMD绕着点A旋转（在△AMD和△ANC所在的同一平面内自由旋转），旋转的过程中△MPN的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出△MPN面积的最大值和最小值．
专题10 图形的旋转
考点一 判断生活中的旋转现象 考点二 找旋转中心、旋转角、对应点
考点三 根据旋转的性质求解 考点四 求绕原点旋转90°点的坐标
考点五 坐标与旋转规律问题 考点六 旋转综合题——几何变换
考点一 判断生活中的旋转现象
例题：（2022·广东汕尾·九年级期末）下列运动中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了 4 米B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼D．小明在荡秋千
【答案】D
【解析】
【分析】
旋转定义：物体围绕一个点或一个轴作圆周运动，根据旋转定义对各选项进行一一分析即可．
【详解】
解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；
B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；
C. 电梯从 1 楼到 12 楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；
D. 小明在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查图形旋转运动，掌握旋转定义与特征，旋转中心，旋转方向，旋转角度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面内将风车绕其中心旋转后所得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．
【详解】
解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，风车图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰直角三角形的顶点向下，得到的图案是C．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
2．（2022·福建省诏安第一中学八年级期中）下列现象不是旋转的是（ ）
A．传送带传送货物；B．飞速转动的电风扇；
C．钟摆的摆动；D．自行车车轮的运动
【答案】A
【解析】
【分析】
根据旋转的定义依次分析每个选项即可．
【详解】
解：A选项中的现象属于平移，故A正确；
B、C、D选项中的现象都属于旋转；故都不正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的定义，解题关键是牢记旋转指的是在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．
考点二 找旋转中心、旋转角、对应点
例题：（2022·重庆大渡口·八年级期末）如图，将绕点B逆时针旋转30°得到，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和图形找到旋转角∠ABD=30°即可求解．
【详解】
解：∵将绕点B逆时针旋转30°得到，
∴旋转角∠ABD=30°，
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转角，找到旋转角是解题关键．
【变式训练】
1．（2021·河南周口·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，两个三角形的顶点都在格点上，其中一个是另一个绕着某定点旋转得到的，则这个定点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求．
【详解】
如图，点P即为所求，
故答案为：（-1，3）
【点睛】
本题主要考查了旋转中心的性质，熟练的掌握“旋转中心在对应点连线的垂直平分线交点上”是解题的关键．
2．（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示，四边形ABCD中，∠ECF=∠CDA，CD⊥AD于点D，△BEC旋转后能与△DFC重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
【答案】(1)点C为旋转中心
(2)旋转了90°或270°
(3)70°
【解析】
【分析】
（1）观察图形，即可得出结果；
（2）先根据题意得出为旋转角，再根据垂直的定义求解，分顺时针和逆时针旋转两种情况；
（3）根据旋转的性质可得，再根据全等三角形的性质及三角形的内角和即可求解．
(1)
△BEC旋转后能与△DFC重合，
点C为旋转中心；
(2)
△BEC旋转后能与△DFC重合，
为旋转角，
CD⊥AD，
，
，
，
顺时针旋转了90°或逆时针旋转了270°，
旋转了90°或270°；
(3)
△BEC旋转后能与△DFC重合，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
考点三 根据旋转的性质求解
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）如图所示，点P是正方形内一点，绕点B顶时针方向能转到达的位置，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由旋转性质得BQ=BP，∠PBQ=90°，则△BPQ是等腰直角三角形，即可得出∠BQP的度数．
【详解】
解：∵绕点B顶时针方向能转到达的位置，
∴BQ=BP，∠PBQ=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°，得到△ADE，若∠E＝65°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】D
【解析】
【分析】
由旋转得到，根据题意解出，据此解答．
【详解】
解：旋转
AD⊥BC，∠E＝65°，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·山东青岛·七年级期末）有公共顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形按如图①所示放置，，，，点在上，点在的延长线上．连接，．
(1)【观察猜想】
与之间的数量关系是_______；位置关系是______．
(2)【探究证明】
将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，如图②所示，使点，，在同一条直线上，连接，交于点．与之间的关系是否仍然成立？请说明理由
【答案】(1)，
(2)成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由余角的性质可证BD⊥CE；
（2）根据条件证明，即可证明BD⊥CE．
（1）解：延长BD交EC于H，
在△ABD和△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE+∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）证明：结论仍然成立，理由如下：∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
考点四 求绕原点旋转90°点的坐标
例题：（2022·广东佛山·八年级期末）如图，，将平行四边行绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，连接OB、AC交于点O，求出点O坐标，可得点B坐标，连接OB′，分别过点B′、B作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，证明△B′OE≌△BOF（AAS），求出OE＝OF＝5，B′E＝BF＝4即可得出答案．
【详解】
解：连接OB、AC交于点M，
∵，
∴M（，），即M（，2），
∴B（5，4），
将平行四边行绕原点O逆时针旋转，则点B的对应点，
连接OB′，分别过点B′、B作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，
则OF＝5，BF＝4，∠B′EO＝∠OFB＝90°，OB′＝OB，
∵∠B′OB＝∠EOF＝90°，
∴∠B′OE＝∠BOF，
∴△B′OE≌△BOF（AAS），
∴OE＝OF＝5，B′E＝BF＝4，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，求出点B的坐标是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意证得△AOC≌△OBD，可得结论．
【详解】
解：如图，

根据题意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC≌△OBD，
∴BD=OC，OD=AC，
∵点的坐标为，
∴BD=OC=1，OD=AC=5，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．
2．（2022·四川成都·八年级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)把向左平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的；
(2)画出绕原点按顺时针方向旋转后的图形，并直接写出对应点连线段的长度______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【解析】
【分析】
(1)利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．线段的长度．故答案为：．
【点睛】
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点五 坐标与旋转规律问题
例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出AB，然后根据旋转的性质观察△OAB连续作旋转变换，得到△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动3+4+5=12个单位，于是判断三角形（6）和△OAB的状态一样，△OAB向前移动了24个单位，由此可解．
【详解】
解：∵点A(−4,0)，B(0,3)，
∴OB=3，OA=4，
∴根据勾股定理得：．
∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，
∴三角形（6）和的状态一样，
∴三角形（6）的直角顶点的横坐标为2×12=24，纵坐标为0，
∴三角形（6）的直角顶点的坐标为（24，0）．
故选C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化−旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知等边三角形OAB，顶点，，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由点的旋转周期为4知点旋转2021次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得．
【详解】
解：，
每4次一个循环，第2021次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次，
，，
等边三角形的边长为1，
第2021次旋转结束时，顶点的坐标为，．
故选：D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
2．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为1的正方形，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，…，照此规律作下去，则的坐标是_________；的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件和勾股定理求出的长度即可求出的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从到变化的坐标．
【详解】
解：四边形是正方形，，
，
，
的坐标是，
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
旋转8次则旋转一周，
从到经过了2022次变化，
，
从到与都在轴负半轴上，
点的坐标是，．
故答案为：，，，．
【点睛】
本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．
考点六 旋转综合题——几何变换
例题：（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________
【答案】 120°##120度 75°##75度
【解析】
【分析】
由旋转性质及旋转角知△BPP′为等边三角形，得到∠PP′B=60°；当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；将线段BA绕点B逆时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再证明△ABP为等腰直角三角形，进而得到∠EP′B=∠APB=45°，
最后当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．
【详解】
解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：
则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS),
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，
又已知AB=BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【点睛】
本题考察了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质及等腰三角形的性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆大渡口·八年级期末）在中，，，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．
(1)如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE，若DE=4，求线段AF的长度；
(2)如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，求证：；
(3)如图3，连接CF和BE，若，当线段CF取最小值时，请直接写出的面积．
【答案】(1)AF=2
(2)证明见解析
(3)的面积为2
【解析】
【分析】
（1）根据旋转性质和全等三角形的判定证明△ACE≌△BCD得到∠CAE=∠CBD，再根据等腰直角三角形的性质证得∠DAE=∠BAE=90°，然后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（2）连接AE，证明△CAE≌△CBD得到AE=BD，利用三角形的中位线性质得到AE=2FG即可证的结论；
（3）由等腰直角三角形的性质知当CD最小时，CF最小，根据垂线段最短知当CD⊥AB时，CD最小，即CF最小，证明DE∥BC，利用等高模型得到 ==即可求解．
（1）解：由旋转性质得：∠DCE=90°，CE=CD， ∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠DCE+∠DCA=∠ACB+∠DCA，∠CAB=∠CBA=45°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD=45°，∴∠BAE=∠CAE+∠CAB=90°，∴∠DAE=90°，∵F为线段DE的中点，DE=4，∴AF=DE=2；
（2）证明：连接AE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠BCE=∠DCE-∠BCE，∴∠ACE=∠BCD，又AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE，∵F为线段DE的中点，点G是线段AD的中点，∴GF为△AED的中位线，∴AE=2FG，∴BD=2FG；
（3）解：∵∠DCE=90°，CE=CD，∴△DCE为等腰直角三角形，∠CDE=∠CED=45°，又F为斜边DE的中点，∴CF=DE=CD，∠DCF=∠ECF=45°，∴当CD最小时，CF最小，根据垂线段最短知当CD⊥AB时，CD最小，即CF最小，如图，∵∠CBA=45°，CD⊥AB，∴∠BCD =45°，∴∠CDE=∠BCD，∴DE∥BC，∴ ====2．
【点睛】
本题属于几何旋转综合题型，考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、垂线段最短、等高等底等面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，寻找全等三角形解决问题是解答的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）通过证明，即可求证；
（2）通过证明，即可求证；
（3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解．
（1） ，，证明如下：在和中，，，，，，，，，，；
（2）成立，理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；
（3）如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，由旋转性质可得：，，∵，∴，∵，且，∴， ∴，∴，在中：，∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴， ∴， ∴，∴是直角三角形，在中，．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·全国·九年级专题练习）下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案．
【详解】
A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；
B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；
C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；
D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．
2．（2022·江西赣州·九年级期末）八卦脑景区风力发电机（图①）既可以在风力作用下发电，也是景区的一道靓丽风景线．转子叶片图案（图②）绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ）
A．45B．60C．90D．120
【答案】D
【解析】
【分析】
该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】
解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为120．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．（2021·四川绵阳·九年级阶段练习）两块大小相同，含有30°角的直角三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
由旋转的性质和直角三角形的性质可证△E′CB是等边三角形，可得∠ACE′=30°，从而得出△CDE旋转的度数．
【详解】
∵三角板是两块大小相同，且含有30°角的直角三角板，
∴∠B=60°，
∵将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上，
∴CE′=CE=CB，
∴△E′CB是等边三角形，
∴∠BCE′=60°，
∴∠ACE′=90°-60°=30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图， 在Rt中， ， 将绕点顺时针旋转，得到， 连接交于点， 则与的周长之和为 （ ）
A．44B．43C．42D．41
【答案】C
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得出BD=BC，结合∠CBD=60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．
【详解】
解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD=BC=12．
∵∠CBD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=12．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴，
∴C△ACF+C△BDF=AC+CF+AF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的周长，利用三角形的周长公式结合边与边的关系，找出C△ACF+C△BDF=AC+AB+CD+BD是解题的关键．
5．（2022·广西钦州·七年级期末）如图所示，已知点A（－1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是（ ）
A．（3033，0）B．（3032，1）C．（3035，0）D．（3036，1）
【答案】A
【解析】
【分析】
分析A1，A2，A3，A4，A5点坐标，找到规律求解．
【详解】
解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．
A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），
A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），
A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），
A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，2），
当A2022时，即4n+2=2022，解得n=505，
∴横坐标为6n+3=6×505+3=3033，纵坐标为0，
则A2022的坐标（3033，0），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
二、填空题
6．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，，则∠DAC的度数为__________．
【答案】10°##10度
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得∠BAD＝50°，即可求解．
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，
∴∠BAD＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC−∠BAD＝10°，
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知点A（3，0），B（1，4），C（3，﹣2），D（7，0），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使A，B分别与C，D重合，则旋转中心的坐标为 _________．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．
【详解】
解：如图，连接BD，AC，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，M（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化——旋转，正确寻找旋转中心是解题的关键.
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形中，顶点A，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形（点在轴正半轴上），将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直角坐标系、正方形的性质，得，，根据勾股定理的性质，得；根据菱形的性质，得；根据图形规律和旋转的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵正方形中，顶点A，，，在坐标轴上，且
∴，
∴
以为边构造菱形（点在轴正半轴上），
∴
∴
根据题意，得菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每8次一个循环
∵除以8，余数为6
∴点的坐标和点的坐标相同
根据题意，第2次旋转结束时，即逆向旋转时，点的坐标为：
第4次旋转结束时，即逆向旋转时，点的坐标为：
第6次旋转结束时，即逆向旋转时，点的坐标为：
∴点的坐标为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形规律、旋转、菱形、正方形、勾股定理、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、菱形、正方形的性质，从而完成求解．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转度，当时，相应的旋转角的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
用三角板操作找到满足DA∥OB的情况，结合平行线的性质找到它们之间的关系，再计算．
【详解】
解：∵，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度．
10．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若，则CE的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接，先根据正方形的性质、旋转的性质可得，从而可得点在同一条直线上，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
解：如图，连接，
四边形是边长为5的正方形，
，
将绕点顺时针旋转到的位置，
旋转后，点的对应点是点，点的对应点是点，
由旋转的性质得：，
，
垂直平分，
，
，
，
设，则，
又，
点在同一条直线上，
，
在中，，即，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形和旋转的性质是解题关键．
三、解答题
11．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，在5×5的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)将图1中的△ABC向下平移2格，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将图2中的△ABC绕着点B按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）将△ABC的三个顶点分别向下平移2格，再顺次连接即可；
（2）利用格点找出满足以下条件的点：在A点右侧，，，同理找出满足以下条件的点：在C点左侧，，，即可求解．
（1）解：如图1，将△ABC的三个顶点分别向下平移2格，再顺次连接，为所作；
（2）解：如图2，为所作．证明：由格点可知，，，∴，，∴，∴，同理可证，．
【点睛】
本题考查平移、旋转作图，利用格点特点和勾股定理找出符合条件的点是解题的关键．
12．（2022·广东深圳·八年级期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将先向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到，请写出移动后的点坐标______，坐标______．
(2)将绕着点顺时针方向旋转得到，画出．
【答案】(1)作图见解析，，；
(2)作图见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，，再连接即可．
（1）解：如图，△即为所求，点坐标，坐标．故答案为：，；
（2）解：如图，△即为所求．
【点睛】
本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．
13．（2022·重庆北碚·七年级期末）如图，点E是正方形ABCD内一点，将△BEC绕点C顺时针旋转90°至△DFC．
(1)若∠EBC＝30°，∠BCE＝80°，求∠DFC；
(2)若CE＝3，求△CEF的面积．
【答案】(1)70°
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠BEC=70°，根据旋转图形全等性即得∠DFC=∠BEC=70°；
（2）根据旋转性质得到∠ECF=90°，CF=CE=3，运用三角形面积公式计算即得．
（1）∵∠EBC＝30°，∠BCE＝80°，∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=70°，由旋转知，∠DFC=∠BEC=70°；
（2）△BEC绕点C顺时针旋转90°至△DFC，∴．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和与面积，解决问题的关键是熟练掌握旋转性质，三角形内角和定理与三角形面积公式．
14．（2022·吉林长春·八年级期末）（1）如图1，四边形中，，，垂足为，且，，求四边形的面积可作如下思考：过点作，交的延长线于点，则有，由此可证，进一步得出四边形的形状为________，最后得出四边形的面积为________；
（2）探究1：如图2，四边形中，，，，求四边形的面积？（写出证明过程）
（3）探究2：如图3，四边形中，，，，直接写出四边形的面积．（用含有的代数式表示）
【答案】（1）正方形；25；（2）；证明过程见解析；（3）m2
【解析】
【分析】
（1）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用AAS证明△ADE≌△CDF，得DE=DF，可得四边形DEBF是正方形，从而得出四边形ABCD的面积为正方形DEBF的面积；
（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于F，DE⊥AB于点E，首先说明△ADE≌△CDF，则四边形ABCD的面积为正方形DEBF的面积；
（3）将BD绕点D逆时针旋转60°，交BC的延长线于E，由（2）同理可得△ADB≌△CDE（ASA），得BD=DE，则△BDE是等边三角形，四边形ABCD的面积为△BDE的面积，进而解决问题．
【详解】
（1）解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
则∠F=∠B=∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴∠EDF=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠AED=∠F，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
∴四边形DEBF是正方形，
∴四边形ABCD的面积为正方形DEBF的面积，
∴四边形ABCD的面积为52=25，
故答案为：正方形，25；
（2）解：过点作于点，，交延长线于点
∴
∵
∴
∴四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
在和
∴
∴
∴四边形是正方形．
所以．
（3）解：将BD绕点D逆时针旋转60°，交BC的延长线于E，
由（2）同理可得△ADB≌△CDE（ASA），
∴BD=DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴四边形ABCD的面积为△BDE的面积，
∵BD=m，
∴S△BDE=m2，
∴四边形ABCD的面积为m2．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022·山东淄博·八年级期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．则线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是___________．
（2）在（1）的条件下，在△ABC所在的平面内把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△AMD和等腰Rt△ANC中，．（温馨提示：），连接CD，点P为CD的中点，连接MP，PN，MN．若等腰Rt△AMD绕着点A旋转（在△AMD和△ANC所在的同一平面内自由旋转），旋转的过程中△MPN的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出△MPN面积的最大值和最小值．
【答案】（1）相等，垂直；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）△MPN面积的最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理，将PN和PM转化成求BD和CE的大小和位置关系即可解答；
（2）先证明△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE、BD⊥CE，然后再说明PN=PM、PM⊥PN即可证明结论；
（3）作ME⊥AD于E，NF⊥AC于F，然后证明△PEM≌△NFP，进而说明△PMN是等腰直角三角形，即，可得当MN最大时，△MPN的面积最大，当MN最小时，△MPN的面积最小；然后求出MN的最大值和最小值，最后代入即可解答．
【详解】
解：（1）∵点P、N分别为DC、BC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，
，
同理可得：，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵AB⊥AC，
∴PM⊥PN．
故答案是：相等，垂直．
（2）△PMN是等腰直角三角形，
理由：如图1，
延长BD交CE于Q，交AC于O，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠COQ，
∴∠CQO＝∠BAC＝90°，
∴BQ⊥CE，
∵PN是△BCD的中位线，
，
同理可得：，
∴PM＝PN，PM⊥PN，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）如图2，
作ME⊥AD于E，NF⊥AC于F，
∴∠MED＝∠CFN＝90°，
∵AM＝MD，AN＝CN，
，
∵P是CD的中点，
，PE∥AC，PF∥AD，
∴DE＝PF，PE＝FN，∠DEP＝∠DAC＝∠PFC，∠FPE＝∠DEP，
∵∠PEM＝∠MED+∠DEP＝90°+∠DEP，
∠PFN＝∠NFC+∠PFC＝90°+∠DEP，
∴∠PEM＝∠PFN，
∴△PEM≌△NFP（SAS），
∴PM＝PN，∠FPN＝∠PME，
∴∠MPN＝∠MPE+∠FPN+∠EPF＝（∠MPE+∠PME）+∠PED＝180°﹣∠MEP+∠PED＝180°﹣（∠MEP﹣∠PED）＝180°﹣∠MED＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
，
∴当MN最大时，△MPN的面积最大，当MN最小时，△MPN的面积最小，
∵MN≤AM+AN，MN≥AN﹣AM，
∴当M在NA的延长线上时，MN最大，
当点M在AN上时，MN最小＝AN﹣AM＝，
．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、旋转的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键．