人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题12圆的有关性质(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题12圆的有关性质(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了圆的基本概念，垂径定理的实际应用，圆周角概念辨析，直径所对的圆周角是直角，，圆内接四边形对角互补，利用垂径定理求值，垂径定理的推论，同弧或等弧所对的圆周角相等等内容，欢迎下载使用。
考点一 圆的基本概念 考点二 利用垂径定理求值
考点三 垂径定理的实际应用 考点四 垂径定理的推论
考点五 圆周角概念辨析 考点六 同弧或等弧所对的圆周角相等
考点七 直径所对的圆周角是直角， 考点八 90°的圆周角所对的弦是直径
考点九 圆内接四边形对角互补
考点一 圆的基本概念
例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径D．长度相等的两条弧是等弧
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点二 利用垂径定理求值
例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．
考点三 垂径定理的实际应用
例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
【变式训练】
1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米．
考点四 垂径定理的推论
例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【变式训练】
1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
考点五 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
考点六 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
考点七 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
考点八 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
考点九 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
一、选择题
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
3．（2022·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
A．16B．13C．10D．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若，则∠C的度数为___________．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
8．（2022·四川·泸县毗卢镇学校九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝16米，半径等于10米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米．
9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是 ______．
10．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为_______．
三、解答题
11．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
12．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
13．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．
(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
14．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
15．（2022·山东省枣庄市第四十一中学一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
专题12 圆的有关性质
考点一 圆的基本概念 考点二 利用垂径定理求值
考点三 垂径定理的实际应用 考点四 垂径定理的推论
考点五 圆周角概念辨析 考点六 同弧或等弧所对的圆周角相等
考点七 直径所对的圆周角是直角， 考点八 90°的圆周角所对的弦是直径
考点九 圆内接四边形对角互补
考点一 圆的基本概念
例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆的有关定义分别判断即可．
【详解】
解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧进行分析．
【详解】
解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；
经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；
圆有无数条对称轴，符合题意；
没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；
正确的说法有2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，关键是掌握直径、弧的定义，注意在同圆或等圆中，优弧的长度一定大于劣弧的长度．
2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
考点二 利用垂径定理求值
例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，先计算OM=，根据垂径定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理计算AM，根据垂径定理，得到AB=2AM，判断选择即可．
【详解】
连接OA，
∵⊙O的直径CD=20， AB⊥CD， OM：OC=3：5，
∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，
∴AM==8，
∴AB=2AM=16，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
【详解】
连接AC，AO，
∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将OC求出．
【详解】
解：如图，连结OA，
则由垂径定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案为3．
【点睛】
本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．
考点三 垂径定理的实际应用
例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，设圆的半径为r，而 再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，
则
设圆的半径为r，而


解得：
圆柱形容器的截面直径为52cm．
故选D
【点睛】
本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【答案】26
【解析】
【分析】
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】
解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10cm，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米．
【答案】3
【解析】
【分析】
过O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的长即可．
【详解】
解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示：
则AD=BD=AB=4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），
即圆心O到水面AB的距离为3米，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
考点四 垂径定理的推论
例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
【变式训练】
1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.
【详解】
因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理，正确理解题意是解题的关键.
2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．
【详解】
解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；
D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
考点五 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
【详解】
解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．
故选：．
【点睛】
本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．
【变式训练】
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等D．过弦的中点的直线必过圆心
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角
【解析】
【详解】
解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【点睛】
本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
考点六 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到的度数．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理即可求解．
【详解】
∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．
【详解】
解：∵BC＝CD，
∴，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
考点七 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．
【详解】
解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，
，
∴CB⊥BD，
故A选项正确，
如图，连接，
，且∠CDE＝62°，
，
，
，
，
，
，
，
，
故B，C选项正确，
，
，
，
，
BDDE，故D选项不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，
∵AB是⊙O的直径，D是的中点，
∴∠ADB=90°，AD=DB，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴∠C=∠A=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴EC=EB=2，
∵CD=，
∴DE=，
∴BD=，
在等腰直角△BDA中，AB=，
∴⊙O的半径长为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接，易得为直径，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．
【详解】
解：连接，四边形是正方形，
，，
是直径．
．
在中，，
在中，．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．
考点八 90°的圆周角所对的弦是直径
例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径．
【详解】
解：连接，
，
，
是的直径，
，，
，
的半径为：．
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得．
【详解】
解：
点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E
如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD
当点E、P、D在一条直线上时，PD最小
理由如下：
，EP=EF
(当且仅当点F与点P重合时取等号)
此时PD最小
，点E是AB的中点，EP是圆的半径

在中，

故PD的最小值为8
故选：A
【点睛】
本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用已知条件，可知∠BPA=90°，P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值，进行计算求值即可．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠BPA=90°，
∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值
∵AB=6，
∴OB=OP=3，
∵BC=5，
∴OC=,
∴CP=，
故答案为：
【点睛】
本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键．
考点九 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】
解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
设，则，利用菱形性质可得，再由圆内接四边形的性质可知：，即可求出．
【详解】
解：设，则
∵四边形OABC为菱形，
∴，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，即，
∴，即．
故选：C
【点睛】
本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是找出．
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-∠A=120°，
∵∠DEB是△DCE的一个外角，
∴∠DEB＞∠C，
∴∠DEB的度数可能是：125°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
2．（2022·山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】
解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
A．16B．13C．10D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，可知OC=OB，设：OE=3x，则OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直径AB．
【详解】
解：如图，连接OC，则OB=OC，
∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E，
∴CE=DE=4，
∵OE∶OB＝3∶5，
设：OE=3x，则OB=OC=5x，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=1，
∴OB=5，即AB=10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是圆的垂径定理，以及勾股定理的应用，合理利用线段比例关系构建直角三角形是解题的关键．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】
解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】
解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若，则∠C的度数为___________．
【答案】36°##36度
【解析】
【分析】
连接AD，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90° ，即可求得∠DAB的度数，由同圆中相等的弧所对的圆周角相等即可得∠C的度数．
【详解】
如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴．
∴∠C=∠DAB=36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识点是解题的关键．
7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】
根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】
∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
8．（2022·四川·泸县毗卢镇学校九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝16米，半径等于10米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米．
【答案】40
【解析】
【分析】
由题意可知OC⊥AB于D，交圆弧于C，由垂径定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面积公式即可得出结果．
【详解】
解：由题意得：OC⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝8米，
在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），
∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），
∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】
过O点作OH⊥AB于H，连接OB，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理计算出OH，然后根据垂线段最短求解．
【详解】
解：如图，过O点作OH⊥AB于H，连接OB，
∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，
在Rt△BOH中，由勾股定理可得：
，
∴线段OP长的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，是的外接圆，，的平分线交于点D，的平分线交AD于点E，连接BD，若的直径是，则DE的长为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
连接CD，根据AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，结合圆周角定理和三角形外角性质，得出，根据直径所对的圆周角为90°，结合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．
【详解】
解：连接CD，如图所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴，，
∵为直径，且，
∴∠BDC=90°，
∴，
∴，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线，根据题意证明，是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】
解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【点睛】
本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
12．（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
13．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．
(1)求证：；
(2)若，，⊙O的直径长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是等边三角形，故半径为5，即可求得直径．
(1)
证明：∵D是弧AC的中点，
∴，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
(2)
解：连接OA，OD，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
14．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；
（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
(1)
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)
如图，过点C作CG⊥AF于点G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：
，
在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的长为．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知识点是解题关键．
15．（2022·山东省枣庄市第四十一中学一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
【答案】(1)cm
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；
（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可．
(1)
解：如图1，作交于，交于，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
(2)
解：如图2，延长交于，连接，设半径为
由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．