人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题14正多边形和圆、弧长和扇形的面积(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题14正多边形和圆、弧长和扇形的面积(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了正多边形和圆，已知正多边形的中心角求边数，求扇形的半径，求某点的弧形运动路径的长度，求图形旋转后扫过的面积，求正多边形的中心角，求弧长，求圆心角等内容，欢迎下载使用。
考点一 正多边形和圆 考点二 求正多边形的中心角
考点三 已知正多边形的中心角求边数 考点四 求弧长
考点五 求扇形的半径 考点六 求圆心角
考点七 求某点的弧形运动路径的长度 考点八 求扇形的马面积
考点九 求图形旋转后扫过的面积 考点十 求不规则图形的面积
考点一 正多边形和圆
例题：（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A．B．4C．D．2
2．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（ ）
A．2B．6C．12D．
考点二 求正多边形的中心角
例题：（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76°B．72°C．60°D．36°
【变式训练】
1．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的度数为____．
2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．
考点三 已知正多边形的中心角求边数
例题：（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．
考点四 求弧长
例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．
考点五 求扇形的半径
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）已知扇形的弧长，圆心角是，则该扇形的半径为______（结果保留）．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆弧的度数为，弧长为，则圆弧的半径为______
考点六 求圆心角
例题：（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．120°B．150°C．60°D．100°
【变式训练】
1．（2021·山东烟台·期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为____________．
2．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为____．
考点七 求某点的弧形运动路径的长度
例题：（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
【变式训练】
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．
2．（2022·广东·红岭中学九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．
考点八 求扇形的面积
例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
考点九 求图形旋转后扫过的面积
例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．
考点十 求不规则图形的面积
例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
一、选择题
1．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级阶段练习）在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6B．12C．D．
3．（2022·广西梧州·二模）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东东营·中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东烟台·期末）小明将直径为的半圆绕点A逆时针旋转设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是_____．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为 _____．
8．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ____．
9．（2022·山东烟台·期中）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．
三、解答题
11．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
12．（2021·甘肃· 九年级阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位．
(1)绕着点顺时针旋转，画出旋转后对应的；
(2)求旋转到时，的长．
13．（2021·江苏泰州·九年级期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积（结果保留）．
14．（2021·河北·唐山市曹妃甸区临港商务区实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D=30°．
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)若CD=3，求图中阴影部分的面积．
15．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）如图，内接于，，，，．
(1)度数________；（直接写出答案）
(2)求的长度；
(3)是上一点（不与A，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长；
②将点A绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为________．（直接写出答案）
专题14 正多边形和圆、弧长和扇形的面积
考点一 正多边形和圆 考点二 求正多边形的中心角
考点三 已知正多边形的中心角求边数 考点四 求弧长
考点五 求扇形的半径 考点六 求圆心角
考点七 求某点的弧形运动路径的长度 考点八 求扇形的马面积
考点九 求图形旋转后扫过的面积 考点十 求不规则图形的面积
考点一 正多边形和圆
例题：（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长．
【详解】连接OB、OC，如图所示，
∵的半径为1，四边形正方形，
∴OB=OC=1，∠BOC=90°，
∴,
故选C．
【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：如图，正六边形的中心角，边长，
，
是等边三角形，
，
即这个正六边形的外接圆的半径为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键．
2．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（ ）
A．2B．6C．12D．
【答案】C
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG=，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定理求出AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG=，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
考点二 求正多边形的中心角
例题：（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．76°B．72°C．60°D．36°
【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的度数为____．
【答案】##36度
【分析】连接，先求出中心角的度数，再根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
点是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，
中心角，
由圆周角定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接正五边形的中心角的求法是解题关键．
2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．
【答案】36
【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，
∴，
∴∠AOB＝72°，∠BOF=∠AOB＝36°，
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝＝36°
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n边形的每个中心角都等于．
考点三 已知正多边形的中心角求边数
例题：（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．
【答案】5
【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．
【详解】根据题意有：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
【答案】十二
【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．
【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，
故答案为：十二．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．
2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．
【答案】12
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
考点四 求弧长
例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴劣的长==2π，
故选：C．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】B
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：π．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．
【答案】##
【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可．
【详解】解：由题意得的长＝＝(cm)，
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
考点五 求扇形的半径
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
【答案】8
【分析】根据扇形的面积公式S扇形=lR即可得出答案．
【详解】解：∵S扇形=lR，
∴R==8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）已知扇形的弧长，圆心角是，则该扇形的半径为______（结果保留）．
【答案】30
【分析】根据弧长公式代入数据计算即可．
【详解】解：∵扇形的弧长，圆心角是，代入弧长公式中：
∴，
解得：cm，
∴该扇形的半径为30cm，
故答案为：30．
【点睛】本题考察了扇形弧长公式，属于基础题，熟练掌握扇形弧长公式是解题的关键．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆弧的度数为，弧长为，则圆弧的半径为______
【答案】18
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】∵圆弧的度数为，弧长为，
又∵，
∴，
解得，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了圆弧的弧长公式，熟练应用弧长公式进行计算是解答本题的关键．
考点六 求圆心角
例题：（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．120°B．150°C．60°D．100°
【答案】B
【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可．
【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得：，即240π＝×20πr，
解得：r＝24，
又由可得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握各自的公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·山东烟台·期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为____________．
【答案】160°
【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得各个扇形的圆心角的度数．
【详解】由题意可知，三个圆心角的和为360°，
又∵三个圆心角的度数比为，
∴最大的圆心角度数为：．
故答案为：160°．
【点睛】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键．
2．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为____．
【答案】45°##45度
【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
【详解】解：∵扇形的弧长是，半径为2，
∴，
解得：n＝45，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
考点七 求某点的弧形运动路径的长度
例题：（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．
【答案】
【分析】先求出AB的长，再根据弧长公式计算即可．
【详解】由题意得，AC=4，BC=3，
∴,
∵绕点顺时针方向旋转后得到，
∴,
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
2．（2022·广东·红岭中学九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC 中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．
【答案】
【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．
【详解】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，
则OE∥BC，且，OF∥AC，，
∴四边形CEOF为平行四边形，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴四边形为正方形，
∴CE=CF=2，EF=OC，
由勾股定理得：，
∵在等腰中，，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，
∴点的路径为以为直径的半圆，
∴点运动的路径长．
故答案是：．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．
考点八 求扇形的面积
例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）证明：连接OB∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°= 90°∴OB⊥CE∵OB是半径 ∴EC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形 ∴∠AOM＝60°∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【答案】(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．
（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
考点九 求图形旋转后扫过的面积
例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )
A．25π+24B．5π+24C．25πD．5π
【答案】A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
【答案】 ##
【分析】根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的长为:2π；
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π；．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．
【答案】
【分析】先判断出OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面积公式即可求出结果．
【详解】解：∵B（−5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形DAE−S扇形BAC


故答案为：16π
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形变化−旋转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
考点十 求不规则图形的面积
例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
【答案】
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，
则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，
∴S弓形AO=S弓形PO，
在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOP=60°，
∴S阴影=S扇形BOP==π．
故答案为：π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
在中，，，，
∴AB=2BC=4，，
∴， ，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．
一、选择题
1．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级阶段练习）在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．
【详解】∵，
∴圆心角的度数为n=2×30°=60°．
∴长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为，
故选A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．
2．（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】D
【分析】过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：边心距，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
则正六边形的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
3．（2022·广西梧州·二模）如果一个扇形的圆心角为30°，面积是，那么这个扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据扇形弧长公式求解即可．
【详解】解：
∴
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键．
4．（2022·山东东营·中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．
5．（2022·山东烟台·期末）小明将直径为的半圆绕点A逆时针旋转设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据整体思想，可知，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
而根据旋转的性质可知，
∴，
而由题意可知AB=6cm，，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可．
二、填空题
6．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是_____．
【答案】12π
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【详解】解：由题意可知：S圆锥=πrl=π×3×4=12π．
故答案为：12π
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，正确理解圆锥的侧面积的计算公式，理解圆锥与展开图之间的关系是解题的关键．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为 _____．
【答案】cm
【分析】如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，然后再运用三角函数直角三角形即可．
【详解】解：如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G
∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，
∴AG=4
∴OG= ．
故答案为：cm．
【点睛】本题主要考查了正六边形的特点、勾股定理等知识点，作出辅助线、构造直角三角形、运用勾股定理求解成为解答本题的关键．
8．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ____．
【答案】
【分析】如图圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意可列式2π×3，解得n＝180，则可知∠CAB′＝90°，由D为AC的中点，可知AD＝3，则在Rt△ADB′中，由勾股定理可算出蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，
根据题意得2π×3，解得n＝180，
∴∠CAB′＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝3，
在Rt△ADB′中，B′D＝，
∴蚂蚁爬行的最短距离为，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，圆锥的侧面展开图，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
9．（2022·山东烟台·期中）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】
【分析】把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
【详解】圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点睛】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，扇形AOB中，，点C，D分别为OA，OB的中点，连接CD，AD，将绕点O逆时针旋转（如图2），若，则图2中弧AB，线段AD，BD构成的阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】依题意可得出，代入数值计算可得出答案．
【详解】解：依题意得：，
过D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查阴影部分面积，正确表达面积是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
【答案】正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
【分析】连接，在圆内接正六边形中，可得，从而得到为等边三角形，可得正六边形的边长为4 ，再由勾股定理，求出边心距，即可求解．
【详解】解：连接，
∵六边形为正六边形，
∴．
∵ ，
∴为等边三角形．
∴，
∵六边形是正六边形，
∴ ，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴．
∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的定义，正多边形的定义，正多边形的边心距的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2021·甘肃· 九年级阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位．
(1)绕着点顺时针旋转，画出旋转后对应的；
(2)求旋转到时，的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由网格图可知BC绕C点顺时针旋转90°即与y轴重合，则可确定点，根据网格图，将AC绕C点顺时针旋转90°即可确定点，C点与点重合，即可画出旋转后对应的；
（2）根据旋转的性质可知，即是B点的运动轨迹，依据弧长计算公式，即可得到的长．
（1）
如图所示，即为所求；
（2）
根据（1）的图形，可得：的长为：＝．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，以及弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质及弧长公式．
13．（2021·江苏泰州·九年级期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．
（1）
解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径，
∴，，，
∴有中，
∴圆锥的高为．
（2）
圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，
∴扇形的弧长为，
∴扇形的面积为，
∴所需铁皮的面积为．
【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（2021·河北·唐山市曹妃甸区临港商务区实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D=30°．
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)若CD=3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，由∠A=∠D=30°，可得∠COD=2∠D，从而求得∠OCD=90°，可证得直线CD为⊙O的切线；
（2）先求△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
（1）
证明：连接OC，
∵∠A=∠D=30°，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠OCD=90°，
∵过点C的直线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∵CO为圆的半径，
∴ 直线CD为圆的切线．
（2）
由（1）可知∠COD=60°
在Rt△COD中，∵CD=3，
∴OC=3×=，
∴阴影部分的面积=
【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．
15．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）如图，内接于，，，，．
(1)度数________；（直接写出答案）
(2)求的长度；
(3)是上一点（不与A，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长；
②将点A绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为________．（直接写出答案）
【答案】(1)45°
(2)的长为cm
(3)①的长为cm；②
【分析】（1）根据勾股定理计算出CD的值，即可判定等腰直角三角形ADC，进而即可求解；
（2）连接OC，OB根据等腰直角三角形的性质和判定即可求解；
（3）①BP于点E，并连接AP，根据等腰直角三角形进而证明三角形全等即可应用勾股定理进行求解；②连接A，根据等腰直角三角形和勾股定理对边进行转化进而求解即可．
（1）
∵，
∴，
又∵，，
∴(cm)，
∵，
∴AD=14 cm -6 cm =8cm=CD，且CDAB，
∴ADC为等腰直角三角形，
∴=45°，
故答案为：45°．
（2）
连接CO，BO
∵，
∴，
又∵，
∴COB为等腰直角三角形，
∴(cm)，
则=(cm)．
（3）
①根据题意可得当垂直的某一边时，
则P点只能在内，且BP于点E，并连接AP，
∵和为所对的角，
∴=，
由（1）得，且，
∴为等腰直角三角形，
∴AE=BE
∵，
∴，
∴PE=CE，BE=AE，
又∵在Rt中，
∴BP=AC=(cm)．
②连接A，如下图，
由①得为等腰直角三角形，
∴AE=EB，
又∵，且
∴，
∴在Rt中，
∴AP=，
∵点A绕点逆时针旋转后得到，
∴，
∴，
又∵AD=8，且在Rt中，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、圆弧上的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键上我以上的性质并联合起来进行对题目进行解读．