人教版九年级数学上册重难点专题提优训练第二十四章圆培优检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练第二十四章圆培优检测卷(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：第二十四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在内B．点A在上C．点A在外D．不能确定
2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（ ）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
5．（2022·全国·九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1B．45°，2C．60°，D．120°，4
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．65°B．50°C．40°D．25°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．
8．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图____________ （填“甲”、“乙”或“丙”）．
9．（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝50°，∠DCF＝35°，那么∠A＝________．
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 __．
11．（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为 _____m．
12．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，
(1)点M的坐标为 ；
(2)点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
14．（2022·河北邢台·九年级期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
(1)求正六边形的边长；
(2)以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
15．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．
(1)求的度数；
(2)若的半径为3，求圆弧的长．
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过O作OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D．
(1)试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；
(2)若，AP=4，则⊙O的半径为________．（直接写出答案）
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OEAB，交BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．
20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．
(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·四川·广汉市金轮第一中学九年级期末）已知抛物线过点．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作．
(1)求抛物线解析式及D点坐标．
(2)猜测直线CM与的位置关系，并证明你的猜想．
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
22．（2022·河北·育华中学三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F．
(1)直接写出AC的长 ；
(2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积；
(3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值；
(4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ．
六、（本大题共12分）
23．（2022·全国·九年级单元测试）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，，AB＝AD，，．求四边形ABCD的面积．琪琪同学的做法是：延长CD至E点，使DE＝BC，连结AE．易证．进而把四边形ABCD的面积转化为的面积，则四边形ABCD的面积为________．
【应用】如图2，为的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
【灵话运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，，四边形ADBC的面积为，则线段CD＝________．
《第二十四章 圆》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第二十四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知的半径为3cm，点A到圆心O的距离为2cm，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在内B．点A在上C．点A在外D．不能确定
【答案】A
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，故：，
∴点A在内，
故选A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．
2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A进行判断，根据对称轴的定义对B进行判断，根据垂径定理的推论对C进行判断，根据圆周角定理的推论对D进行判断．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．
3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（ ）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
【答案】D
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
【详解】解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，
∴圆的直径为7﹣2＝5（cm），
∴该圆的半径是2.5cm；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，
∴圆的直径＝7+2＝9（cm），
∴圆的半径为4.5cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1B．45°，2C．60°，D．120°，4
【答案】C
【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．65°B．50°C．40°D．25°
【答案】C
【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．
【详解】解：连接OC，
∵BC与半⊙O相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．
故选：C
【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．
【答案】
【分析】首先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的长．
【详解】根据题意可知，
，
∠AOB=2∠ACB=，
又知OA=OB=3，

故答案为: ．
【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键.
8．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图____________ （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【分析】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．
【详解】解：∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴乙合格．
故答案为乙．
【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
9．（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝50°，∠DCF＝35°，那么∠A＝________．
【答案】100°##100度
【分析】根据EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=50°计算出∠BOC=130°，再根据计算出∠BAC，最终计算出∠A．
【详解】解：如图，连接OB，OC，AC，OD，BD,
∵EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=50°，∠DCF=35°，
∴，
∵∠DCF=35°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四边形BECO中，，
∴，
∴，
∴∠BAD=35°+65°=100°，
故答案为100°．
【点睛】本题考查圆、切线和四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的性质定理．
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 __．
【答案】1
【分析】连接OA、OC、OD，证△OCD是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCD为等边三角形是解题的关键．
11．（2021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为 _____m．
【答案】
【分析】如图，连接CQ，然后求出PD、PC的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接CQ．
由题意CQ＝CP，CD⊥PQ，
∴DQ＝DP＝PQ＝1（m），
∵PA＝QB，
∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m），
∴PC＝PA＝2+2＝4（m），
∴CD＝＝＝（m），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解答本题的关键．
12．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当______时，与坐标轴相切．
【答案】1或3或5
【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时．
【详解】解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，，
时，，
时，，
，，，
根据勾股定理：，，，
是等腰直角三角形，，
①当与轴相切时，
点是切点，的半径是1，
轴，，
是等腰直角三角形，
，，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
②如图，与轴和轴都相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
；
③当点只与轴相切时，
，
，
点的速度为每秒个单位长度，
．
综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，
(1)点M的坐标为 ；
(2)点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
【答案】(1)（2，0）
(2)内
【分析】（1）由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标；
（2）利用勾股定理求出AM和MD的长，根据点与圆的位置关系即可作出结论．
（1）
解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）
解：由图知， 圆的半径，，
∵，
∴点D在圆M内，
故答案为：内．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系以及坐标与图形性质，解答的关键是利用网格结构得出圆心M的位置，并熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．
14．（2022·河北邢台·九年级期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．
(1)求正六边形的边长；
(2)以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．
【答案】(1)6
(2)4π
【分析】（1）根据正六边形的边长与半径相等即可解决问题；
（2）由正六边形的性质和弧长公式即可得出结果．
（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴正六边形的边长＝半径OA＝6；
（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCF＝120°，∴弧BF的长为．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、弧长公式；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
15．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．
(1)求的度数；
(2)若的半径为3，求圆弧的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明是等边三角形，得到，从而计算出的度数；
（2）计算出圆弧的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案．
（1）
如下图，连接AO
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∵
∴
（2）
∵
∴
圆弧的长为：
∴圆弧的长为．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识．
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
（1）
连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过O作OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D．
(1)试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；
(2)若，AP=4，则⊙O的半径为________．（直接写出答案）
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后根据三角形中位线定理判断与的关系；
（2）连接，根据圆周角定理可得，勾股定理即可求解．
（1）
解：，．
理由：∵于点，于点，
∴，，
∴为的中位线，
∴，．
（2）
解：如图，连接，
∵，
∴，
在中，AP=4，
∴，
解得（负值舍去）．
∴的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)见解析
【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；
（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.
（1）
连接AC，
∵为120°，为50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）
证明：连接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OEAB，交BC于E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；
(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再利用，得出，进而得出，进而得出，即可得出结论；
（2）根据（1），得出是直角三角形，根据勾股定理，得出，再根据三角形的中位线定理，即可得出AB的长；
（3）连接CD，根据圆周角定理，得出，再根据等面积法，得出的长，然后根据勾股定理，得出的长，再根据三角形的面积公式，得出的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可得出的面积．
（1）
证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴DE是⊙O的切线．
（2）
解：由（1），可得：三角形是直角三角形，
在中，
∵，
∴，
又∵O、E分别是AC、BC的中点，
∴；
（3）
解：如图，连接CD，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵O是AC中点，即OD是的中线，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．
(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等证明∠PDO=∠POD，则AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；
（2）连接OC、OD，由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出r的值；
（3）设AD的垂直平分线交AD于点F，与的一个交点为点E，当EF与相切时r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD