浙教版七年级数学上册同步精品讲义第16课用字母表示数(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第16课用字母表示数(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 用字母表示数
1.利用字母表示数，能把数和数量关系一般化、简明化地表示出来；
2.利用字母表示数，能简明化地表示一些数学规律.
能力拓展
考点01 利用字母表示数和数量关系
【典例1】用含字母的式子表示下列数量关系：
（1）个位数字为a，十位数字为b的两位数；
（2）x，y两数的差的平方；
（3）a，b两数的平方差；
（4）某商品的原价是a元，提价10%后的价格．
【即学即练1】根据题意，用含字母的式子表示结果．
①A，B两地相距m千米，甲每小时步行a千米，乙骑车的速度是甲步行速度的2倍，求乙从A地到B地的时间；
②一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，如果把十位上的数与个位上的数对调，求对调后的两位数．
考点02 利用字母表示数学规律
【典例2】用含字母的式子表示以下数学规律．
（1）一个数的绝对值是非负数；
（2）两数相乘交换乘数的位置，积不变．
【即学即练2】利用字母a来表示下面的数学规律：
（1）互为相反数的两个数的和为零；
（2）一个数的立方根的立方就是这个数本身．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各式中，最符合代数式书写要求的是（ ）
A．3mB．1mnC．﹣1mnD．2÷3n
2．下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．a+bB．C．a×8D．
3．若n是整数，则n+1，n+3表示（ ）
A．两个奇数B．两个偶数C．两个整数D．两个正整数
4．根据你的生活经验，下列选项中能正确解释代数式a﹣3b的是（ ）
A．小明每季度有零花钱a元，拿出b 元捐给希望工程，平均每月剩余的零花钱
B．初一（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，班级剩余的人数
C．某种汽车油箱装满油为a 升，每小时耗油b 升，行驶了3 个小时，油箱剩余油量
D．某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3 件可以省下的钱
5．已知含盐量为15%的盐水a克，则式子a﹣15%a所表示的量是（ ）
A．盐水的重量B．a克盐水中，含有纯水的重量
C．盐水的浓度D．a克盐水中，含有纯盐的重量
6．下列用语言叙述式子“﹣a﹣3”所表示的数量关系，错误的是（ ）
A．﹣a与﹣3的和B．﹣a与3的差
C．﹣a与3的和的相反数D．﹣3与a的差
7．正方形的周长为4a，则字母a表示的实际意义 ．
8．若一支圆珠笔的笔芯的价格为0.9元，买一些笔芯需付款0.9x元，则x表示的实际意义是 ．
9．某工厂上月的产值是x万元，若本月的产值是上月产值的2倍，则本月的产值可表示为 万元．
10．用式子表示：
（1）数x的与6的和；
（2）甲数为x，乙数比甲数的一半大5，则乙数为多少？
（3）正方形的边长为mcm，把这个正方形的每边长减少2cm，则减少后的正方形的面积是多少？
题组B 能力提升练
11．代数式x2﹣7y2用语言叙述为（ ）
A．x与7y的平方差 B．x的平方减7的差乘以y的平方
C．x与7y的差的平方 D．x的平方与y的平方的7倍的差
12．用语言叙述﹣5的数量关系，其中不正确的是（ ）
A．a的倒数与5的差 B．a的倒数与5的相反数的和
C．a与5的差的倒数 D．1除以a的商与5的差
13．某班级中一个小组5人，在一次测试中，小华得了72分，其余4人的平均分为a分，则这个小组的平均分数是
（ ）
A．B．a+72C．D．
14．下列式子中①a3；②；③18%x；④（s﹣n）；⑤h﹣30米，符合代数式书写格式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．原价每件a元的衣服，涨价10%后，现售价是 元．
16．某公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元．
17．一种商品每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格．
（1）请问每件售价多少元？
（2）现在由于库存积压减价，按售价的85%出售，请问每件还能盈利多少元？
18．a千克苹果售价是p元，则10千克苹果的售价是 元．
19．学校新到一批课外读物，若分给初一（2）班全体学生借阅，每人可分4本，若分给该班男生借阅，则每位男生可获6本．
（1）设该班男生有x人，女生有y人，用两种方法表示该批图书的数量；
（2）若分给该班女生借阅，求每位女生可借多少本图书？
题组C 培优拔尖练
20．用字母表示下列数：
（1）x的与y的倒数的和；
（2）a，b两数之积与a，b两数之和的差；
（3）a，b的差除以a，6的积的商；
（4）x的36%与y的平方的差．
21．（1）用简便方法计算：
19×21＝ ；29×31＝ ；39×41＝ ；49×51＝ ．
（2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来．
22．自从用字母表示数，我们发现表达有关数和数量的关系更加简洁明了，这样更有助于发现更多有趣的结论，请你按要求试一试．
（1）填空：
①32﹣22＝ ；（3+2）×（3﹣2）＝ ．
②22﹣52＝ ；（2+5）×（2﹣5）＝ ．
（2）猜一猜：a2﹣b2与（a+b）（a﹣b）的大小关系是 ．
（3）利用你发现的结论算一算：20192﹣20212．学习目标
1.体验用字母表示数的意义，理解字母与数一起参与运算的意义.
2.会利用字母表示数表示简单的数量关系和数学规律.
3.掌握字母与数一起参与运算时的正确写法.
第16课 用字母表示数
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知识精讲
知识点01 用字母表示数
1.利用字母表示数，能把数和数量关系一般化、简明化地表示出来；
2.利用字母表示数，能简明化地表示一些数学规律.
能力拓展
考点01 利用字母表示数和数量关系
【典例1】用含字母的式子表示下列数量关系：
（1）个位数字为a，十位数字为b的两位数；
（2）x，y两数的差的平方；
（3）a，b两数的平方差；
（4）某商品的原价是a元，提价10%后的价格．
【思路点拨】（1）根据题中的描述列出代数式即可；
（2）根据题中的描述列出代数式即可；
（3）根据题中的描述列出代数式即可；
（4）根据题中的描述列出代数式即可．
【解析】解：（1）10b+a．
（2）（x﹣y）2．
（3）a2﹣b2．
（4）（1+10%）a元．
【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，列出正确的代数式．
【即学即练1】根据题意，用含字母的式子表示结果．
①A，B两地相距m千米，甲每小时步行a千米，乙骑车的速度是甲步行速度的2倍，求乙从A地到B地的时间；
②一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，如果把十位上的数与个位上的数对调，求对调后的两位数．
【思路点拨】①根据从A地到B地的时间＝路程÷乙的速度求解即可；
②根据对调后两位数＝10×十位数字+个位数字求解即可．
【解析】解：①甲每小时步行a千米，乙骑车的速度是甲步行速度的2倍，
所以乙的速度是2a千米/时．
所以乙从A地到B地的时间为．
②由题意，得对调后的两位数是10b+a．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
考点02 利用字母表示数学规律
【典例2】用含字母的式子表示以下数学规律．
（1）一个数的绝对值是非负数；
（2）两数相乘交换乘数的位置，积不变．
【思路点拨】（1）根据绝对值的性质即可求解；
（2）根据乘法交换律即可求解．
【解析】解：（1）|a|≥0；
（2）ab＝ba．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【即学即练2】利用字母a来表示下面的数学规律：
（1）互为相反数的两个数的和为零；
（2）一个数的立方根的立方就是这个数本身．
【思路点拨】（1）直接利用互为相反数的定义得出关系式；
（2）直接利用立方根的性质得出答案．
【解析】解：（1）根据题意得：a+（﹣a）＝0；
（2）根据题意得：（）3＝a．
【点睛】本题考查了根据题意列等式，理清语句中各种数量的意义及其相互联系是解决问题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列各式中，最符合代数式书写要求的是（ ）
A．3mB．1mnC．﹣1mnD．2÷3n
【思路点拨】根据代数式的书写要求判断各项．
【解析】解：A、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写正确，符合题意；
B、带分数应写成假分数，原书写错误，不符合题意；
C、当系数是1或﹣1时，1省略不写，原书写错误，不符合题意；
D、在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，原书写错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
2．下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A．a+bB．C．a×8D．
【思路点拨】根据代数式的书写要求判断各项即可．
【解析】解：A．正确，符合题意；
B．1a的正确书写格式是a，故错误，不符合题意；
C．a×8的正确书写形式是8a，故错误，不符合题意；
D．后面加（a≠0），符合代数式的书写要求，故本选项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
3．若n是整数，则n+1，n+3表示（ ）
A．两个奇数B．两个偶数C．两个整数D．两个正整数
【思路点拨】根据代数式、整数的定义解答即可．
【解析】解：因为n是整数，
所以n+1，n+3是两个整数，可能是两个奇数，也可能是两个偶数；可能正数，也可能是负数．
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式、整数，解题的关键是熟练掌握代数式、整数的定义．
4．根据你的生活经验，下列选项中能正确解释代数式a﹣3b的是（ ）
A．小明每季度有零花钱a元，拿出b 元捐给希望工程，平均每月剩余的零花钱
B．初一（1）班共有a名学生，其中有b名男同学，男生的三分之一去参加篮球比赛，班级剩余的人数
C．某种汽车油箱装满油为a 升，每小时耗油b 升，行驶了3 个小时，油箱剩余油量
D．某商品原价每件a元，商场打折，现价每件b元，现买3 件可以省下的钱
【思路点拨】读懂题意列代数式判断即可．
【解析】解：根据题意可知A选项平均每月剩余的零花钱：（a﹣b），不符合题意；
根据题意可知B选项班级剩余的人数：a﹣b，不符合题意；
根据题意可知C选项油箱剩余油量为：a﹣3b，符合题意；
根据题意可知D选项买3 件可以省下的钱：3（a﹣b），不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，做题的关键是读懂题意能列出正确的代数式．
5．已知含盐量为15%的盐水a克，则式子a﹣15%a所表示的量是（ ）
A．盐水的重量B．a克盐水中，含有纯水的重量
C．盐水的浓度D．a克盐水中，含有纯盐的重量
【思路点拨】式子a﹣15%a中，a表示盐水的重量，15%a表示盐的重量．
【解析】解：式子a﹣15%a表示a克盐水中，含有纯水的重量．故选B．
【点睛】注意掌握代数式的意义．
6．下列用语言叙述式子“﹣a﹣3”所表示的数量关系，错误的是（ ）
A．﹣a与﹣3的和B．﹣a与3的差
C．﹣a与3的和的相反数D．﹣3与a的差
【思路点拨】代数式“﹣a﹣3”可以表述为﹣a与﹣3的和；﹣a与3的差；a与3的和的相反数；﹣3与a的差．
【解析】解：A、﹣a与﹣3的和，表述正确；
B、﹣a与3的差，表述正确；
C、a与3的和的相反数，表述错误；
D、﹣3与a的差，表述正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了代数式的表示方法，题目比较简单．
7．正方形的周长为4a，则字母a表示的实际意义 正方形的边长 ．
【思路点拨】根据代数式表示实际意义的方法可以得出答案．
【解析】解：若正方形的周长为4a，则字母a表示的实际意义正方形的边长．
故答案为：正方形的边长．
【点睛】本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式在实际问题中的数量关系．
8．若一支圆珠笔的笔芯的价格为0.9元，买一些笔芯需付款0.9x元，则x表示的实际意义是 圆珠笔的笔芯的支数 ．
【思路点拨】直接根据题意，得出所列代数式中字母表示的实际意义．
【解析】解：一支圆珠笔的笔芯的价格为0.9元，买一些笔芯需付款0.9x元，
则x表示的实际意义是圆珠笔的笔芯的支数．
故答案为：圆珠笔的笔芯的支数．
【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是明确代数式的实际意义，明确代数式中字母的实际意义．
9．某工厂上月的产值是x万元，若本月的产值是上月产值的2倍，则本月的产值可表示为 2x 万元．
【思路点拨】上月的产值是x万元，本月的产值是上月产值的2倍，则本月的产值表示为2x万元．
【解析】解：∵上月的产值是x万元，本月的产值是上月产值的2倍，
∴本月的产值表示为2x万元．
故答案为：2x．
【点睛】本题考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要注意语句中的关键字，读懂题意，找到所求的量的表示方法．列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
10．用式子表示：
（1）数x的与6的和；
（2）甲数为x，乙数比甲数的一半大5，则乙数为多少？
（3）正方形的边长为mcm，把这个正方形的每边长减少2cm，则减少后的正方形的面积是多少？
【思路点拨】（1）先表示x的再加上6即可；
（2）用甲数的一半加上5即可；
（3）根据正方形的面积公式解答即可．
【解析】解：（1）数x的与6的和表示为：；
（2）甲数为x，乙数比甲数的一半大5，则乙数为：；
（3）正方形的边长为mcm，把这个正方形的每边长减少2cm，则减少后的正方形的面积为：（m﹣2）2cm2．
【点睛】此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
题组B 能力提升练
11．代数式x2﹣7y2用语言叙述为（ ）
A．x与7y的平方差 B．x的平方减7的差乘以y的平方
C．x与7y的差的平方 D．x的平方与y的平方的7倍的差
【思路点拨】描述时要注意是先叙述倍数，还是先叙述和．
【解析】解：7y2是的y平方的7倍，代数式x2﹣7y2用语言叙述为x的平方与y的平方的7倍的差，
故选：D．
【点睛】描述代数式的关键是正确运用文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，只有明确其中的运算关系，才能正确地描述出代数式．
12．用语言叙述﹣5的数量关系，其中不正确的是（ ）
A．a的倒数与5的差 B．a的倒数与5的相反数的和
C．a与5的差的倒数 D．1除以a的商与5的差
【思路点拨】根据代数式的表述的意义得到代数式﹣5可表达式为比a的倒数小5的数或a的倒数与5的差或1除以a的商与5的差．
【解析】解：A、代数式﹣5可表达式为a的倒数与5的差，所以A选项的说法正确；
B、代数式﹣5可表达式为a的倒数与5的相反数的和，所以B选项的说法正确；
C、代数式﹣5可表达式为a的倒数与5的差，所以C选项的说法不正确；
D、代数式﹣5可表达式1除以a的商与5的差，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．
13．某班级中一个小组5人，在一次测试中，小华得了72分，其余4人的平均分为a分，则这个小组的平均分数是
（ ）
A．B．a+72C．D．
【思路点拨】根据平均数的公式即可列出代数式．
【解析】解：由平均数的公式可得这个小组的平均分数是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
14．下列式子中①a3；②；③18%x；④（s﹣n）；⑤h﹣30米，符合代数式书写格式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】代数式的书写要求：
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据以上规范即可判断．
【解析】解：①a3书写格式规范；
②应写成的形式；
③18%x书写格式规范；
④（s﹣n）书写格式规范；
⑤h﹣30米，应写成（h﹣30）米；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了代数式的书写格式，是需要熟记的基本要求．
15．原价每件a元的衣服，涨价10%后，现售价是 1.1a 元．
【思路点拨】实际售价＝（1+涨价率）×原价．
【解析】解：∵a×（1+10%）＝1.1a（元），
∴现售价是1.1a元，
故答案为：1.1a．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是掌握读懂题意，找到所求的量的等量关系．
16．某公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 （30m+15n） 元．
【思路点拨】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．
【解析】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，
故答案为：（30m+15n）．
【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握“单价×数量＝总价”是列代数式的前提．
17．一种商品每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格．
（1）请问每件售价多少元？
（2）现在由于库存积压减价，按售价的85%出售，请问每件还能盈利多少元？
【思路点拨】（1）根据每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，列出代数式，再进行整理即可；
（2）用原价的85%减去成本a元，列出代数式，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，
∴每件售价为（1+22%）a＝1.22a（元）；
（2）根据题意得：
每件还能盈利1.22a×85%﹣a＝0.037a（元）．
【点睛】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，注意把列出的式子进行整理．
18．a千克苹果售价是p元，则10千克苹果的售价是 元．
【思路点拨】直接利用a千克苹果售价是p元得出单价，进而得出答案．
【解析】解：∵a千克苹果售价是p元，
∴10千克苹果的售价是：×10＝（元）．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确表示出苹果均价是解题关键．
19．学校新到一批课外读物，若分给初一（2）班全体学生借阅，每人可分4本，若分给该班男生借阅，则每位男生可获6本．
（1）设该班男生有x人，女生有y人，用两种方法表示该批图书的数量；
（2）若分给该班女生借阅，求每位女生可借多少本图书？
【思路点拨】（1）根据题意，可以分别从男生和全班两个角度来表示出这批图书的数量；
（2）根据题意，可以得到x与y的关系，从而可以计算出每位女生可借多少本图书．
【解析】解：（1）由题意可得，
从男生的角度看：该批图书的数量是6x本
从全班的角度看：该批图书的数量是4（x+y）本；
（2）∵6x＝4（x+y），
∴x＝2y，
∴每位女生可借：＝12（本），
答：每位女生可借12本．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
题组C 培优拔尖练
20．用字母表示下列数：
（1）x的与y的倒数的和；
（2）a，b两数之积与a，b两数之和的差；
（3）a，b的差除以a，6的积的商；
（4）x的36%与y的平方的差．
【思路点拨】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
（3）根据题意列出代数式即可；
（4）根据题意列出代数式即可；
【解析】解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：ab﹣（a+b）；
（3）由题意得：（a﹣b）÷6a；
（4）由题意得：36%x﹣y2．
【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，明确其中的关系．
21．（1）用简便方法计算：
19×21＝ 399 ；29×31＝ 899 ；39×41＝ 1599 ；49×51＝ 2499 ．
（2）你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来．
【思路点拨】观察发现，相乘两数为连续的奇数，因此取中间数+1和中间数﹣1相乘即可；根据算式利用字母表示中间数可得规律．
【解析】解：（1）19×21＝（20﹣1）×（20+1）＝202﹣12＝399；
29×31＝（30﹣1）×（30+1）＝302﹣12＝899；
39×41＝（40﹣1）×（40+1）＝402﹣12＝1599；
49×51＝（50﹣1）×（50+1）＝502﹣12＝2499，
故答案为：399；899；1599；2499；
（2）由上述计算可得：（n﹣1）（n+1）＝n2﹣1．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是注意观察，正确找出简便的计算方法．
22．自从用字母表示数，我们发现表达有关数和数量的关系更加简洁明了，这样更有助于发现更多有趣的结论，请你按要求试一试．
（1）填空：
①32﹣22＝ 5 ；（3+2）×（3﹣2）＝ 5 ．
②22﹣52＝ ﹣21 ；（2+5）×（2﹣5）＝ ﹣21 ．
（2）猜一猜：a2﹣b2与（a+b）（a﹣b）的大小关系是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（3）利用你发现的结论算一算：20192﹣20212．
【思路点拨】（1）①根据有理数的混合运算相应的法则运算即可；
②根据有理数的混合运算相应的法则运算即可；
（2）根据（1）中的运算结果总结出结论即可；
（3）利用（2）中的结论进行运算即可．
【解析】解：（1）①32﹣22＝9﹣4＝5；（3+2）×（3﹣2）＝5×1＝5；
故答案为：5，5；
②22﹣52＝4﹣25＝﹣21；（2+5）×（2﹣5）＝7×（﹣3）＝﹣21．
故答案为：﹣21，﹣21；
（2）由（1）可得：32﹣22（3+2）×（3﹣2），
22﹣52＝（2+5）×（2﹣5），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）发现，得
20192﹣20212
＝（2019+2021）×（2019﹣2021）
＝4040×（﹣2）
＝﹣8080．
【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意，总结出结论并加以运用．学习目标
1.体验用字母表示数的意义，理解字母与数一起参与运算的意义.
2.会利用字母表示数表示简单的数量关系和数学规律.
3.掌握字母与数一起参与运算时的正确写法.