浙教版七年级数学上册同步精品讲义第25课一元一次方程的应用(学生版+解析)

这是一份浙教版七年级数学上册同步精品讲义第25课一元一次方程的应用(学生版+解析)，共32页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 一元一次方程的应用
列方程解应用题的步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程；⑤求出方程的解；⑥验根并作答．
知识点02 一元一次方程的应用题的类型
1.和、差、倍、分问题:
( 1)倍数关系:通过关键词语”是几倍，增加几倍,增加到几倍，增加頁分之几，增长率”来体现.
(2)多少关系:通过关键词语“多少、和、差、不足、剩…来体现
2.等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常用等量关系为:①形状面积变了，周长没变； ②原料体积=成品体积.
3.劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有:
( 1)既有调入又有调出;
( 2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变;
( 3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
4. 工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率X工作时间
5.行程问题
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:路程=速度×时间.
( 2)基本类型有
①相遇问题；②追及问题；相背而行;行船问题;环形跑道问题
6.商品销售问题
有关关系式:
商品利润=商品告价-商品进价=商品标价×折扣率一商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
能力拓展
考点01 一元一次方程的应用：调配（配套）问题
【典例1】七年级2班共有学生40人，老师组织学生制作圆柱形存钱罐，其中一部分人剪筒底，每人每小时制作40个；剩下的人剪筒身，每人每小时制作60个．要求一个筒身配两个筒底，那么应该如何分配人数，才能使每小时剪出的筒身和筒底恰好配套？（列方程求解）
【即学即练1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
考点02 一元一次方程的应用：行程问题
【典例2】A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
【即学即练2】列方程解应用题：
（1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？
（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？
（3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．
考点03 一元一次方程的应用：图形的面积（体积）问题
【典例3】如图，宽为30cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的长为（ ）
A．10cmB．18cmC．20cmD．24cm
【即学即练3】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形（一边长为4）的盒子底部（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知阴影部分均为长方形，且图2与图3阴影部分周长之比为5：6，则盒子底部长方形的面积为 12 ．
分层提分
题组A 基础过关练
1.某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种2棵则余21棵；若每人种3棵则差24棵．设该社团有x名学生，则可列方程（ ）
A．2x+24＝3x+21 B．2x﹣24＝3x﹣21 C．2x﹣21＝3x+24D．2x+21＝3x﹣24
2.一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A．（1+50%）x×80%＝x﹣28B．（1+50%）x×80%＝x+28
C．（1+50%x）×80%＝x﹣28D．（1+50%x）×80%＝x+28
3.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是（ ）
A．B．C．D．
4.707班学生参加植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应抽调x人去甲处，则所列方程正确的是（ ）
A．23+x＝2（17+20﹣x）B．23+20﹣x＝2（17+x）
C．2（23+x）＝17+20﹣xD．23+20+x＝2（17﹣x）
5.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或者2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，安排生产螺钉的工人为x人，则可列方程为（ ）
A．2×2000x＝1200（22﹣x）B．2000（22﹣x）＝1200x
C．2×2000（22﹣x）＝1200xD．2000（22﹣x）＝2×1200x
6.河南卫视推出的大型文化类栏目《中华好诗词》受到广大诗词爱好者的喜爱，2019年度总决赛，第二轮比赛中共有20道选择题，答对一道题得5分，答错或不答一题倒扣2分，选手A得到了72分．设她做对了x道题，则可列方程为 ．
7.学校组织七年级部分学生参加社会实践活动，已知在甲处参加社会实践的有23人，在乙处参加社会实践的有17人，现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数的2倍，问应派往甲、乙两处各多少人？
8.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10千米的速度独自行进，行进了10千米后掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他的队员会合．从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15分钟．
（1）其他队员的行进速度是多少？
（2）1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1千米？
题组B 能力提升练
9.某轮船在两个码头之间航行，已知顺水航行需要3小时，逆水航行需要5小时，水流速度是4千米/时，求两个码头之间的距离，若设两个码头之间的距离为x千米，则可得方程为（ ）
A．+4B．C．D．
10.我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝D．﹣2＝
11.一次秋游活动中，有x辆客车共乘坐y位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①60x+10＝62x﹣8；②60x﹣10＝62x+8；③＝；④．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
12.某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排x名工人生产镜片，则可列方程： ．
13.在数学活动课上，小聪把一张白卡纸画出如图①所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠的拼成如图②的正方形ABCD，若中间小正方形的边长为2，则正方形ABCD的周长是 ．
14.甲、乙两人同时从A，B两地出发赶往目的地B，A，甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经2.5小时两人相遇．已知在相遇时甲比乙多行驶了75千米，相遇后经1小时甲到达B地．
（1）求甲、乙两人行驶的速度．
（2）在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距35千米．
15.为弘扬践行“浙西南革命精神”，重温红色印记，传承红色基因，某学校组织七年级师生于某周六赴安岱后开展“红色之旅”的研学活动．如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余15个座位．
（1）求七年级师生参加研学活动的人数．
（2）已知租45座的客车日租金为每辆2250元，60座的客车日租金为每辆2500元，问单独租，租用哪种客车更合算？若可以合租，有无更省钱的方案？说出你的方案和理由．
16.“江南第一漂”是安徽省泾县的旅游胜地，游人可乘木筏顺流而下，领略绮丽的自然风光．一次，某校航模兴趣小组组织学生赴“江南第一漂”活动．小组分甲、乙两队先后出发．甲队乘木筏飘流而下，乙队12分钟后乘船追赶．乙队出发时放出一艘航模艇在甲、乙两队间来回往返．已知水流速度为5m/s，乙船在静水中速度为3m/s，航模艇顺流、逆流的速度都是6m/s．
（1）航模艇航行时间为多少？
（2）航模艇航行的总路程共为多少？
（3）当甲、乙两队相距150米时，航模艇停止运动，问航模艇航行的总路程为多少？
题组C 培优拔尖练
17.“水是生命之源”！某自来水公司为鼓励用户节约用水，对“一户一表”居民用水按以下规定收取水费：
例如：某用户11月份用水16吨，共需交纳水费为：10×2.6+（16﹣10）×3.5+16×0.8＝59.8元．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）若小聪家11月份用水12吨，那么共需交纳水费多少元？
（2）若小明家11月份共交纳水费64.1元，那么小明家11月份用水多少吨？
（3）若小聪和小明家12月份共用水23吨，共交纳水费81.8元，其中小聪家用水量少于10吨，那么小聪家和小明家12月份各用水多少吨？
18．有一批产品需要生产装箱，3台A型机器一天刚好可以生产6箱产品，而4台B型机器一天可以生产5箱还多20件产品．已知每台A型机器比每台B型机器一天多生产40件．
（1）求每箱装多少件产品？
（2）现需生产28箱产品，若用1台A型机器和2台B型机器生产，需几天完成？
（3）若每台A型机器一天的租赁费用是240元，每台B型机器一天的租赁费用是170元，可供租赁的A型机器共3台，B型机器共4台．现要在3天内（含3天）完成28箱产品的生产，请直接写出租赁费用最省的方案（机器租赁不足一天按一天费用结算）．
19．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折；
已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）当一次性购物总额是a元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（3）某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．学习目标
1.体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型.
2.掌握列方程解应用题的一般步骤.
3.会利用一元一次方程解决简单的实际问题.
用水量/月
单价（元/吨）
不超过10吨的部分
2.6
超过10吨但不超过18吨的部分
3.5
超过18吨的部分
4.3
注意：另外每吨用水加收0.8元的城市污水处理费．
第25课 一元一次方程的应用
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知识精讲
知识点01 一元一次方程的应用
列方程解应用题的步骤：
①审题；②设元；③找出能够包含未知数的等量关系；④列出方程；⑤求出方程的解；⑥验根并作答．
知识点02 一元一次方程的应用题的类型
1.和、差、倍、分问题:
( 1)倍数关系:通过关键词语”是几倍，增加几倍,增加到几倍，增加頁分之几，增长率”来体现.
(2)多少关系:通过关键词语“多少、和、差、不足、剩…来体现
2.等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常用等量关系为:①形状面积变了，周长没变； ②原料体积=成品体积.
3.劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有:
( 1)既有调入又有调出;
( 2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变;
( 3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
4. 工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率X工作时间
5.行程问题
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:路程=速度×时间.
( 2)基本类型有
①相遇问题；②追及问题；相背而行;行船问题;环形跑道问题
6.商品销售问题
有关关系式:
商品利润=商品告价-商品进价=商品标价×折扣率一商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
能力拓展
考点01 一元一次方程的应用：调配（配套）问题
【典例1】七年级2班共有学生40人，老师组织学生制作圆柱形存钱罐，其中一部分人剪筒底，每人每小时制作40个；剩下的人剪筒身，每人每小时制作60个．要求一个筒身配两个筒底，那么应该如何分配人数，才能使每小时剪出的筒身和筒底恰好配套？（列方程求解）
【思路点拨】设x人作筒身，根据“一个筒身配两个筒底”列出一元一次方程，求解即可．
【解析】解：设x人作筒身，则（40﹣x）人作筒底．
由题意，得40（40﹣x）＝60x×2，
解得x＝10．
（40﹣x）＝30（人）．
答：10人作筒身30人作筒底，才能使每小时剪出的筒身和筒底恰好配套．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，掌握解配套问题的基本思路是解决本题的关键．
【即学即练1】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
【思路点拨】（1）设调入x名工人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）16+6＝22（人），设y名工人生产螺柱，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解析】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得：x＝6，
则调入6名工人；
（2）16+6＝22（人），
设y名工人生产螺柱，
根据题意得：2×1200y＝2000（22﹣y），
解得：y＝10，
22﹣y＝22﹣10＝12（人），
则10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
考点02 一元一次方程的应用：行程问题
【典例2】A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
【思路点拨】（1）如果两人同时出发相向而行，那么是相遇问题，设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，即x小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；
（2）此小题有两种情况：①还没有相遇他们相距16千米；②已经相遇他们相距16千米．但都可以利用相遇问题解决；
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设z小时后乙超过甲10千米，那么z小时甲走了14z千米，乙走了18z千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题．
【解析】解：（1）设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，
根据题意得：14x+18x＝64，
解方程得：x＝2（小时）．
答：两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇；
（2）设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米，
①当两人没有相遇他们相距16千米，
根据题意得：14y+18y+16＝64，
解方程得：y＝1.5（小时）；
②当两人已经相遇他们相距16千米，
依题意得14y+18y＝64+16，
∴y＝2.5（小时）．
答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米；
（3）设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则z小时后乙超过甲10千米，
根据题意得：18z＝14z+64+10，
解方程得：z＝18.5（小时）．
答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米．
【点睛】此题是一个比较复杂行程问题，既有相遇问题，也有追及问题．解题的关键是读懂题意，正确把握已知条件，才能准确列出方程解决问题．
【即学即练2】列方程解应用题：
（1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？
（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？
（3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．
【思路点拨】（1）可设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，根据等量关系：橙子的个数+梨的个数＝400，列出方程求解；
（2）设有x个小孩，根据苹果的总数不变列出方程并解答；
（3）利用两城市之间的路程一定，等量关系为：顺风速度×顺风时间＝逆风速度×逆风时间，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：（1）：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，依题意有
18x+16×2x＝400，
解得x＝8，
2x＝2×8＝16．
答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个；
（2）设有x个小孩，
依题意得：3x+7＝4x﹣3，
解得x＝10，
则3x+7＝37．
答：有10个小孩，37个苹果．
（3）设无风时飞机的航速为x千米/小时．
根据题意，列出方程得：
（x+24）×＝（x﹣24）×3，
解这个方程，得x＝840．
航程为（x﹣24）×3＝2448（千米）．
答：无风时飞机的航速为840千米/小时，两城之间的航程2448千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键的读懂题目，找出题中的等量关系，列出方程并解答．
考点03 一元一次方程的应用：图形的面积（体积）问题
【典例3】如图，宽为30cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的长为（ ）
A．10cmB．18cmC．20cmD．24cm
【思路点拨】根据矩形的两组对边分别相等，可设其中一个小长方形的长为xcm，则宽为（30﹣x）cm，根据等量关系：小长方形的长×2＝小长方形的长+小长方形的宽×4，根据这个等量关系，可列出方程，再求解．
【解析】解：设其中一个小长方形的长为xcm，则宽为（30﹣x）cm，依题意有
2x＝x+4（30﹣x），
解得x＝24．
故其中一个小长方形的长为24cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【即学即练3】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形（一边长为4）的盒子底部（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知阴影部分均为长方形，且图2与图3阴影部分周长之比为5：6，则盒子底部长方形的面积为 12 ．
【思路点拨】设小长方形卡片的长为2m，则宽为m，观察图2可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值，设盒子底部长方形的另一边长为x，根据长方形的周长公式结合图2与图3阴影部分周长之比为5：6，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面积．
【解析】解：设小长方形卡片的长为2m，则宽为m，
依题意，得：2m+2m＝4，
解得：m＝1，
∴2m＝2．
再设盒子底部长方形的另一边长为x，
依题意，得：2（4+x﹣2）：2×2（2+x﹣2）＝5：6，
整理，得：10x＝12+6x，
解得：x＝3，
∴盒子底部长方形的面积＝4×3＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1.某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种2棵则余21棵；若每人种3棵则差24棵．设该社团有x名学生，则可列方程（ ）
A．2x+24＝3x+21 B．2x﹣24＝3x﹣21 C．2x﹣21＝3x+24D．2x+21＝3x﹣24
【思路点拨】根据若每人植2棵树．则余21棵树；若每人植3棵树，则差24棵树，即可列出相应的方程．
【解析】解：设该社团有x名学生，
由每人植2棵树，则余21棵树，可知树的总棵数为：2x+21，
由每人植3棵树，则差24棵树，可知树的总棵数为：3x﹣24，
故2x+21＝3x﹣24，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
2.一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A．（1+50%）x×80%＝x﹣28B．（1+50%）x×80%＝x+28
C．（1+50%x）×80%＝x﹣28D．（1+50%x）×80%＝x+28
【思路点拨】根据售价的两种表示方法解答，关系式为：标价×80%＝进价+28，把相关数值代入即可．
【解析】解：标价为：x（1+50%），
八折出售的价格为：（1+50%）x×80%；
∴可列方程为：（1+50%）x×80%＝x+28，
故选：B．
【点睛】考查列一元一次方程；根据售价的两种不同方式列出等量关系是解决本题的关键．
3.某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4小时，逆水航行需6小时，水流速度是2千米/小时，求两个码头之间距离x的方程是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：顺水时的路程＝逆水时的路程，根据此列方程即可．
【解析】解：设两个码头之间距离为x，则要首先理解两个公式：静水速＝顺水速﹣水流速，静水速＝逆水速+水流速．
静水速即轮船自身的速度是保持不变的，
因此可列方程为，
故选：B．
【点睛】此题的关键是弄清静水速、顺水速、水流速、逆水速这四个量之间的关系．
4.707班学生参加植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应抽调x人去甲处，则所列方程正确的是（ ）
A．23+x＝2（17+20﹣x）B．23+20﹣x＝2（17+x）
C．2（23+x）＝17+20﹣xD．23+20+x＝2（17﹣x）
【思路点拨】设应抽调x人去甲处，则调（20﹣x）人去乙处，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍得出等式，求出答案．
【解析】解：设应抽调x人去甲处，则调（20﹣x）人去乙处，根据题意可得：
23+x＝2（17+20﹣x）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确根据人数得出等量关系是解题关键．
5.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或者2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，安排生产螺钉的工人为x人，则可列方程为（ ）
A．2×2000x＝1200（22﹣x）B．2000（22﹣x）＝1200x
C．2×2000（22﹣x）＝1200xD．2000（22﹣x）＝2×1200x
【思路点拨】设分配x名工人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，可以列出方程求出即可．
【解析】解：设安排x人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母，
由题意得，2×1200x＝2000（22﹣x），
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6.河南卫视推出的大型文化类栏目《中华好诗词》受到广大诗词爱好者的喜爱，2019年度总决赛，第二轮比赛中共有20道选择题，答对一道题得5分，答错或不答一题倒扣2分，选手A得到了72分．设她做对了x道题，则可列方程为 5x﹣2（20﹣x）＝72 ．
【思路点拨】设出答对的题数，利用答对的题数得分﹣不答或答错题的得分＝72分，列出方程进行求解．
【解析】解：设答对的题数为x道，则不答或答错的有20﹣x道，
故：5x﹣2（20﹣x）＝72，
解故答案为：5x﹣2（20﹣x）＝72．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确的理解题意是解题的关键．
7.学校组织七年级部分学生参加社会实践活动，已知在甲处参加社会实践的有23人，在乙处参加社会实践的有17人，现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数的2倍，问应派往甲、乙两处各多少人？
【思路点拨】设应派往甲处x人，根据现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数的2倍列出方程，求解即可．
【解析】解：设应派往甲处x人，根据题意，得
23+x＝2（20﹣x+17），
解得x＝17．
则20﹣x＝20﹣17＝3．
答：应派往甲处17人，乙处3人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
8.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以相同的速度前进，突然，1号队员以每小时比其他队员快10千米的速度独自行进，行进了10千米后掉转车头，速度不变往回骑，直到与其他的队员会合．从1号队员离队开始到与其他队员重新会合，经过了15分钟．
（1）其他队员的行进速度是多少？
（2）1号队员从离队开始到与队员重新会合这个过程中，经过多长时间与其他队员相距1千米？
【思路点拨】（1）设其他队员的行进速度是x千米/小时，经过了15分钟．从离队开始到与队员重新会合，显然相当于他们合走的路程是10千米的2倍，列出方程解答即可．
（2）设经过y小时长时间与其他队员相距1千米，分两种情况考虑：①第一次与其他队员相距1千米，②第二次与其他队员相距1千米，列出方程求解即可．
【解析】解：（1）设其他队员的行进速度是x千米/小时，依题意有
x+（x+10）＝10×2，
解得x＝35．
故其他队员的行进速度是35千米/小时．
（2）设经过y小时长时间与其他队员相距1千米，依题意有
①35y+1＝（35+10）y，
解得：y＝；
②35y+（35+10）y＝10×2﹣1，
解得：y＝．
答：经过小时或小时长时间与其他队员相距1千米．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
题组B 能力提升练
9.某轮船在两个码头之间航行，已知顺水航行需要3小时，逆水航行需要5小时，水流速度是4千米/时，求两个码头之间的距离，若设两个码头之间的距离为x千米，则可得方程为（ ）
A．+4B．C．D．
【思路点拨】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：顺水时的路程＝逆水时的路程，根据此列方程即可．
【解析】解：设若设两个码头之间的距离为x千米，
因此可列方程为﹣4＝+4，
故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，求出船在静水中的速度的等量关系是解决本题的关键．
10.我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝D．﹣2＝
【思路点拨】根据“每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】解：依题意得：+2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11.一次秋游活动中，有x辆客车共乘坐y位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①60x+10＝62x﹣8；②60x﹣10＝62x+8；③＝；④．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【思路点拨】有x辆客车共乘坐y位师生，根据“每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位”列方程即可得到结论．
【解析】解：根据总人数列方程，应是60x+10＝62x﹣8，
根据客车数列方程，应该为：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
12.某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排x名工人生产镜片，则可列方程： 60x＝2×40（28﹣x） ．
【思路点拨】设安排x名工人生产镜片，则（28﹣x）人生产镜架，根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可．
【解析】解：设安排x名工人生产镜片，
由题意得，60x＝2×40（28﹣x）．
故答案为：60x＝2×40（28﹣x）．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
13.在数学活动课上，小聪把一张白卡纸画出如图①所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠的拼成如图②的正方形ABCD，若中间小正方形的边长为2，则正方形ABCD的周长是 88 ．
【思路点拨】设小长方形的长为x，则宽为x，结合已知条件“中间小正方形的边长为2”列出方程并解答即可．
【解析】解：设小长方形的长为x，则宽为x，
由题意，得：2×x﹣x＝2，
解得：x＝10，则x＝6，
所以正方形ABCD的周长是：4（x+2×x）＝4×（10+12）＝88．
故答案是：88．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．结合图形，得到小长方形的长与宽的数量关系是解题的关键．
14.甲、乙两人同时从A，B两地出发赶往目的地B，A，甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经2.5小时两人相遇．已知在相遇时甲比乙多行驶了75千米，相遇后经1小时甲到达B地．
（1）求甲、乙两人行驶的速度．
（2）在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距35千米．
【思路点拨】（1）设甲行驶的速度是x千米/时，由相遇后经1小时甲到达B地可知A、B两地间的距离是3.5x千米，相等关系是两人相遇时所行驶的路程的和为3.5x千米，列方程求出x的值，再求出乙的行驶程度；
（2）设甲、乙行驶y小时两车相距35千米，可列方程50y+20y+35＝175或50y+20y﹣35＝175，解方程求出y的值并进行检验，得出问题的正确答案．
【解析】解：（1）设甲行驶的速度是x千米/时，则A、B两地间的距离是3.5x千米，
根据题意得2.5x+2.5x﹣75＝3.5x，
解得x＝50，
经检验，符合题意，
∴（50×2.5﹣75）÷2.5＝20（千米/时），
答：甲的行驶速度是50千米/时，乙的行驶速度是20千米/时．
（2）设甲、乙行驶y小时两车相距35千米，
A、B两地间的距离是（50+20）×2.5＝175（千米），
根据题意得50y+20y+35＝175或50y+20y﹣35＝175，
解得y＝2或y＝3，
经检验，符合题意，
答：甲、乙行驶2小时或3小时两车相距35千米．
【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确地用代数式分别表示甲、乙两人行驶的路程．
15.为弘扬践行“浙西南革命精神”，重温红色印记，传承红色基因，某学校组织七年级师生于某周六赴安岱后开展“红色之旅”的研学活动．如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余15个座位．
（1）求七年级师生参加研学活动的人数．
（2）已知租45座的客车日租金为每辆2250元，60座的客车日租金为每辆2500元，问单独租，租用哪种客车更合算？若可以合租，有无更省钱的方案？说出你的方案和理由．
【思路点拨】（1）设七年级师生参加研学活动的人数为x人，根据等量关系列方程求解即可；
（2）分别计算出独租两种客车的费用，再比较大小即可，因大客车人均费用更低所以优先选用大客车，但小客车日租金更低故人数不满一车时考虑小客车，据此添加方案即可．
【解析】解：（1）设七年级师生参加研学活动的人数为x人，
由题意得﹣＝1，
解得x＝225，
∴七年级师生参加研学活动的人数为225人；
（2）由题知，单独租45座客车：×2250＝11250（元），
单独租60座客车：（）×2500＝10000（元），
∴单独租60座的客车更合算，
∵，
∴满座时租60座的更合算，
225÷60＝3（辆）……45（人），
45÷45＝1（辆），
2500×3+2250＝9750（元），
∴若可以合租，租3辆60座的客车1辆45座的客车更省钱．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
16.“江南第一漂”是安徽省泾县的旅游胜地，游人可乘木筏顺流而下，领略绮丽的自然风光．一次，某校航模兴趣小组组织学生赴“江南第一漂”活动．小组分甲、乙两队先后出发．甲队乘木筏飘流而下，乙队12分钟后乘船追赶．乙队出发时放出一艘航模艇在甲、乙两队间来回往返．已知水流速度为5m/s，乙船在静水中速度为3m/s，航模艇顺流、逆流的速度都是6m/s．
（1）航模艇航行时间为多少？
（2）航模艇航行的总路程共为多少？
（3）当甲、乙两队相距150米时，航模艇停止运动，问航模艇航行的总路程为多少？
【思路点拨】（1）航模艇航行时间即为乙追赶甲的时间；等量关系为：乙顺流航行的路程＝甲漂流的路程，把相关数值代入计算即可；
（2）航模艇航行的总路程＝航模的速度×航模航行的时间；
（3）等量关系为：乙顺流航行的路程+150＝甲漂流的路程，把相关数值代入计算即可求得时间，乘以速度即为路程．
【解析】解：（1）设航模艇航行时间为xs．
（3+5）x＝5×（x+12×60），
解得x＝1200；
答：航模艇航行时间为1200s；
（2）航模艇航行的总路程为1200×6＝7200（米）；
答：航模艇航行的总路程为7200米；
（3）设航模艇航行时间为xs．
（3+5）x+150＝5×（x+12×60），
解得x＝1150．
1150×6＝6900米．
答：航模艇航行的总路程为6900米．
【点睛】考查一元一次方程的应用；根据追及问题中两物体所走的路程相等得到等量关系是解决本题的关键；理解航模艇航行的时间为乙所用的时间是解决本题的难点．
题组C 培优拔尖练
17.“水是生命之源”！某自来水公司为鼓励用户节约用水，对“一户一表”居民用水按以下规定收取水费：
例如：某用户11月份用水16吨，共需交纳水费为：10×2.6+（16﹣10）×3.5+16×0.8＝59.8元．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）若小聪家11月份用水12吨，那么共需交纳水费多少元？
（2）若小明家11月份共交纳水费64.1元，那么小明家11月份用水多少吨？
（3）若小聪和小明家12月份共用水23吨，共交纳水费81.8元，其中小聪家用水量少于10吨，那么小聪家和小明家12月份各用水多少吨？
【思路点拨】（1）根据收费标准分段列式计算；
（2）设小明家11月份用水x吨，根据收费标准列方程求解；
（3）设小聪家12月份用水a吨，则小明家12月份用水（23﹣a）吨，然后结合收费标准列方程求解．
【解析】解：（1）当用水量为12吨时，
2.6×10+（12﹣10）×3.5+12×0.8
＝26+2×3.5+9.6
＝26+7+9.6
＝42.6（元），
答：小聪家11月份需要缴纳水费42.6元；
（2）2.6×10+（18﹣10）×3.5+18×0.8＝26+8×3.5＝26+28+14.4＝68.4＞64.1，
∴小明家11月份用水量超过10吨但少于18吨，
设小明家11月份用水x吨，根据题意，可得：
2.6×10+（x﹣10）×3.5+0.8x＝64.1，
解得：x＝17，
答：小明家11月份用水17吨；
（3）设小聪家12月份用水a吨，则小明家12月份用水（23﹣a）吨，
∵0＜a＜10，
当10＜23﹣a＜18时，
2.6a+2.6×10+3.5×（23﹣a﹣10）+23×0.8＝81.8，
解得：a＝9，
此时23﹣9＝14（吨），
当23﹣a＞18时，
2.6a+2.6×10+3.5×8+4.3×（23﹣a﹣18）+23×0.8＝81.8，
解得：a＝，
此时23﹣a＜18，不符合题意，
答：小聪家12月份用水9吨，小明家12月份用水14吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程，解决本题的关键是要分段缴费．
18．有一批产品需要生产装箱，3台A型机器一天刚好可以生产6箱产品，而4台B型机器一天可以生产5箱还多20件产品．已知每台A型机器比每台B型机器一天多生产40件．
（1）求每箱装多少件产品？
（2）现需生产28箱产品，若用1台A型机器和2台B型机器生产，需几天完成？
（3）若每台A型机器一天的租赁费用是240元，每台B型机器一天的租赁费用是170元，可供租赁的A型机器共3台，B型机器共4台．现要在3天内（含3天）完成28箱产品的生产，请直接写出租赁费用最省的方案（机器租赁不足一天按一天费用结算）．
【思路点拨】（1）根据每台A型机器比每台B型机器一天多生产40件，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出现需生产28箱产品，若用1台A型机器和2台B型机器生产，需几天完成；
（3）根据题意和（1）中的结果，可以计算出每台A型生产一件产品的费用，每台B型生产一件产品的费用，然后设A型机器a台，即可表示出B型机器的台数，分类写出相应的方案和费用，再分析所需的费用，即可得到最省方案．
【解析】解：（1）设每箱装x件产品，根据题意得：
，
解得：x＝60，
答：每箱装60件产品；
（2）由（1）知，每箱装60件产品，
故每台A一天生产：6×60÷3＝120（件），每台B一天生产：（5×60+20）÷4＝80（件），
28×60÷（1×120+2×80）
＝1680÷（120+160）
＝1680÷280
＝6（天），
答：现需生产28箱产品，若用1台A型机器和2台B型机器生产，需6天完成；
（3）由题意可知，可供租赁的A型机器共3台，B型机器共4台．现要在3天内（含3天）完成28箱产品的生产，可以看成由9台A型机器，12台B型机器可用，一天生产28箱（28×60＝1680件产品），所需费用最少，
A型机器生产每件产品的费用为240÷120＝2（元），
B型机器生产每件产品的费用为170÷80＝2.125（元），
设A型机器选择a台，则B型机器台数为台，
当a＝9时，21﹣a＝7.5，需选B型8台，所需费用为240×9+170×8＝3520（元）；
当a＝8时，21﹣a＝9，所需费用为：240×8+170×9＝3450（元）；
当a＝7时，21﹣a＝10.5，需选B型11台，所需费用为：240×7+170×11＝3550（元）；
当a＝6时，21﹣a＝12，所需费用为：240×6+170×12＝3480（元）；
当a小于等于5时，21﹣a的值都大于12，不符合题意；
由上可得，最省的方案是A型前2天租3台，第三天租2台，B型每天租3台．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
19．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：
甲超市：全场均按八八折优惠；
乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折；
已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（2）当一次性购物总额是a元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？
（3）某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．
【思路点拨】（1）根据甲乙两超市的促销方式代入计算即可；
（2）根据题意由甲、乙两家超市促销方式列出算式即可求得；
（3）根据计算可得该顾客原购物金额超过500元，设原购物金额为未知数，根据乙超市的促销方式列方程即可求得，再将求出的金额用甲超市促销方式进行计算后比较，即可判断．
【解析】解：（1）由题意可知，一次性购物总额是400元时：
甲超市实付款：400×0.88＝352（元），
乙超市实付款：400×0.9＝360（元）．
故甲超市实付款是352元、乙超市实付款是360元．
（2）甲：0.88a元；
乙：当a≤200时，a元；当200＜a≤500时，0.9a元；当a＞500时，（0.8a+50）元；
（3）∵500×0.9＝450（元），
450＜482，
∴该顾客购物实际金额多于500元．
设该顾客购物金额为y元，由题意得：
500×（1﹣0.1）+0.8（y﹣500）＝482，
解得y＝540；
若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为：
540×0.88＝475.2元，
475.2元＜482元，
故该顾客的选择不划算．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，为常见基础题型，在做题时要把握清楚题目中描述的促销方式．学习目标
1.体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型.
2.掌握列方程解应用题的一般步骤.
3.会利用一元一次方程解决简单的实际问题.
用水量/月
单价（元/吨）
不超过10吨的部分
2.6
超过10吨但不超过18吨的部分
3.5
超过18吨的部分
4.3
注意：另外每吨用水加收0.8元的城市污水处理费．