2024-2025学年四川省金堂县金龙中学九上数学网络提高班课后习题训练【含答案】

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A．4B．C．6D．
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，连接DF，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在菱形ABCD中，EF与AC交于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（ ）
A．B．C．D．

第1题图 第2题图 第3题图
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF，△AEF和△ABC的周长之比为（ ）
A．：2B．1：2C．3：4D．1：4
5．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝5，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．B．2C．D．3

第4题图 第5题图
6．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，这样AD：CD＝1：3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段AP的长为（ ）
A．B．C．D．

第6题图 第8题图 第9题图
8．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，AE、CD交于点F，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在凸四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，若AB＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．8B．16C．24D．32
11．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD＝2：1，点G在DE上，DG：GE＝1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3
12．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边BC延长线上点，且CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与DE交于点G，则BG的长为（ ）
A．B．C．D．
13．在正方形ABCD中，AD＝8，DE＝2，F为直线BD上一点，G为BC的中点，|EF﹣GF|的最大值为（ ）
A．6B．C．D．

第11题图 第12题图 第13题图
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△BAE＝（ ）
A．1：4B．1：3C．1：8D．1：9
15．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③＝﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

第14题图 第15题图
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
17．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，点D和E都是边BC上的动点，且满足CD＝BE，连接AD、AE．则AD+AE的最小值为 ．
18．如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，，则k＝ ．

第16题图 第17题图 第18题图
19．如图，在锐角△ABC中，点P，Q分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD：BC＝2：3，连接MQ，若△ABC的面积等于12，则MQ的最小值为 ．
20．△ABC中，AB＝6，AC＝2，以BC为斜边向下构造直角三角形BCD，且∠BCD＝60°，连接AD，则线段AD的最大值为 ．

第19题图 第20题图
21．已知△ABC和△DEF中，，且△DEF和△ABC的周长之差是15厘米，则△DEF的周长是 ．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 ．
23．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC，△PCD，△PDA的面积分别为S1，S2，S3、S4．以下判断：①PA+PB+PC+PD的值最小为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4，其中正确的是 ．
24．如图，菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，点O在AB上，且BO＝2，点P是CD上一动点，将四边形BCPO沿直线OP折叠，点B的对应点是E，连接DE，当DE的长度最小时，CP的长为 ．

第22题图 第23题图 第24题图
25．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，S△BCD＝3，BC＝2，AC的最小值为 ．
26．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，BC＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．

第25题图 第26题图
三．解答题（共8小题）
27．问题探究：
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在BC上，若AD平分ABC的面积，AD的长度为 ；
（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，点M在AD上，点N在BC上，若MN平分平行四边形ABCD的面积，且线段MN的长度最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN的长度；
（3）如图③王叔叔家一块四边形菜地ABCD，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，米，∠BAD＝90°，过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分，若存在，求平分该四边形ABCD的面积的线段长；若不存在，说明理由．
28．【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝3，点D，E为边AC，BC的中点，连接DE．如图2所示，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，在此过程中，
①＝ ，AD、BE所在直线相交所成的较小夹角为α，则tanα＝ ；
②当D、E、B三点共线时，则线段BE的长 ．
【问题解决】
（2）如图3所示，五边形ABCDE是某工厂园区的平面图，点B、点C分别是生产车间和办公楼．已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝1500米，AE＝2000米，BC＝800米，DE＝1000米．现要在矩形AFDE区域内修一个处理站M（不考虑处理站的面积），处理工业废水和生活废水，同时要在园区内修建3条地下管道BM，MN，CN将废水输送到处理站．根据园区的自然环境和实际需求，要求CN＝400米，3BM＝5MN，且，因处理站具有一定的污染性，因此需建在离办公楼尽可能远的区域，当处理站M到办公楼C的距离MC最大时，连接MD，求此时处理站M到园区大门（点D）的距离以及sin∠MDC．
29．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则＝1．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N．
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图（2），并设AB＝3，BC＝5，求的值．
（3）如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，点E、F分别在线段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．
30．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）猜想观察：如图1，当α＝60°时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题：如图3，当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在FE的延长线上，P，D，C三点在同一直线上，AC与BD相交于点M，DM＝2﹣，求AP的长．
31．（1）如图1，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为 ；
（2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即Rt△ABC）中截取一个正方形CDEF，点D在边AC上，点E在边AB上，点F在边BC上，若AE＝15，求这块木板截取正方形CDEF后剩余部分的面积；
（3）如图3，已知四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝90°，若BD＝2BC，判断线段AC、AD、CD的等量关系并证明．
32．问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EG∥AB．交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝ ．
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是D'，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是C′．请问是否存在这样的点P．使得点P、D'、C′在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）
33．新定义，垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，求作等边△ABC的等积垂分线；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的其中一条等积垂分线段．
34．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 ；
②∠AMB的度数为 ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，BD＝8．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为（ ）
A．4B．C．6D．
【解答】解：如图，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，BD＝8，
∴AD＝BC＝AB＝6，BD⊥AC，OB＝OD＝4，OA＝OC，
由勾股定理得：OC＝OA＝＝＝2，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，
即＝，
∴ME＝，
同理可得：△BFN∽△BOC，
∴＝，
即＝，
∴NF＝，
∵AM＝BN，
∴ME+NF＝+＝2，
故选：B．
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE，CF平分∠DCE交AE于点F，连接DF，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于 N，则四边形CMFN是矩形，FM∥AB，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCM＝∠FCN＝45°，
∴CM＝FM，
∴四边形CMFN是正方形，
设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣a，
∵FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB＝ME：BE，即＝，
解得：a＝，
∴DN＝CD﹣CN＝，
由勾股定理得：DF＝＝，
故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，EF与AC交于点H，分别交AD于点E，CB的延长线于点F，且AE：FB＝1：3．则GB：CD的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，∠AEF＝∠F，
∴△EAG∽△FBG，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF，△AEF和△ABC的周长之比为（ ）
A．：2B．1：2C．3：4D．1：4
【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AEB∽△AFC，
∴＝，
∴＝，∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴△AEF与△ABC的周长比＝AE：AB，
∵csA＝cs60°＝＝，
∴△AEF与△ABC的周长比＝AE：AB＝1：2，
故选：B．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝5，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
A．B．2C．D．3
【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，
∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，
∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，
在△CPH和△CPN中，
，
∴△CPH≌△CPN（AAS），
∴NP＝PH，CH＝CN＝4，
∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN＝CB＝4，
∴四边形BCNM是正方形，
∴MN＝BM＝4，
∴EM＝2，
∵EP2＝EM2+PM2，
∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DCF＝＝，
∴＝，
∴DF＝，
故选：A．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，这样AD：CD＝1：3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵直线l1∥l2∥l3，AD：CD＝1：3，
∴AG：EG＝1：3，
设AG＝1，EG＝3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF，CF＝AE，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7
∴AB＝＝5，
∵l2∥l3，
∴＝
∴DG＝CE＝，
∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，
∴＝．
故选：A．
7．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段AP的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴BP＝×AB＝×2＝﹣1，
∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故选：C．
8．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵DH∥BF，
∴FH＝HC，
∵AE：AD＝1：4，
∴AE：ED＝1：3，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：C．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，AE、CD交于点F，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接DE，如图所示，
∵，△BDE与△CDE等高，底分别为BE、EC，
∴BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
又∵DE∥AC，
∴∠DEF＝∠CAF，
∵∠DFE＝∠CFA，
∴△DEF∽△CAF，
∴，
∴＝＝．
故选：D．
10．如图，在凸四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，若AB＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．8B．16C．24D．32
【解答】解：如图，过D作DE⊥AD，交AB延长线于E，连接CE，
则∠ADE＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝∠CDE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝4，∠DEC＝∠DAB＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CE＝8，
故选：A．
11．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD＝2：1，点G在DE上，DG：GE＝1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3
【解答】解：如图，作DH∥BF交AC于H．
∵DH∥BF，
∴AH：HF＝AD：DB＝2：1，
∴可以假设HF＝a，则AH＝2a，
∵FG∥DH，
∴FH：EF＝DG：EG＝1：2，
∴EF＝2a，
∴AF＝3a，
∴AF：EF＝3a：2a＝3：2，
解法二：过点D作DM∥AC交BF于M．
∴＝＝，＝＝，
∴DM＝EF＝AF，
∴AF：EF＝3：2，
故选：C．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是边BC延长线上点，且CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与DE交于点G，则BG的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，延长AD，BG交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，
∴△ADF∽△ECF，
∴，
∴DF＝2CF，
∴CF＝，DF＝，
∵AB∥CD，
∴△DHF∽△AHB，
∴，
∴，
∴DH＝4，
∴AH＝6，
∴BH＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴△DHG∽△EBG，
∴＝，
∴GH＝BG，
∵GH+BG＝BH＝2，
∴BG＝，
故选：D．
13．在正方形ABCD中，AD＝8，DE＝2，F为直线BD上一点，G为BC的中点，|EF﹣GF|的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
【解答】解：作G点关于BD直线的对称点G'，连接G'E交BD于点F，
∵GF＝G'F，
∴|EF﹣GF|＝G'E，
则|EF﹣GF|的最大值为G'E；
∵正方形ABCD，G为BC的中点，
∴G'为AB的中点，
∵AD＝8，DE＝2，
∴AG'＝4，AE＝6，
∴G'E＝2，
故选：C．
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△BAE＝（ ）
A．1：4B．1：3C．1：8D．1：9
【解答】解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO＝BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE＝DB，
∴DE：EB＝1：3，
又∵AB∥DC，
∴△DFE∽△BAE，
∴．
故选：D．
15．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③＝﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BG＝EG，
设CG＝a，则BG＝GE＝a，
∴BC＝a﹣a，
∴＝＝﹣1；
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝BG，
∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2b，
∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴＝＝＝，
∴EM＝OM，
∴＝＝＝﹣1，
∴＝﹣1，
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG，
∴＝﹣1，
故④错误，
故选：A．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC＝90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵，
∴△DAE≌△HAE（AAS），
∴AD＝AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG＝CH，
设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，
∵AC＝＝＝10，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得：x＝2，
∴BD＝DE＝2，AD＝4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：DF＝，
则EF＝DF﹣DE＝﹣2＝，
故选：C．
二．填空题（共10小题）
17．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝5，AB＝12，点D和E都是边BC上的动点，且满足CD＝BE，连接AD、AE．则AD+AE的最小值为 13 ．
【解答】解：，
过AB作D点的对称点D′，过AC作E点的对称点E′，过AC作B点的对称点B′，过AB作C点的对称点C′，连接B′C、B′C′、BC′、AC′、AB′，
∴BE＝B′E′，CD＝C′D′，AB＝AB′，AC＝AC′，AE′＝AE，AD′＝AD，
∴AD+AE的最小值＝AE′+AD′的最小值，连接E′D′，E′D′即AE′+AD′的最小值，
∵CD＝BE，
∴B′E′＝C′D′，
∵∠CAB＝90°，
∴∠B′AC＝∠B′AC′＝∠BAC′＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴四边形BCB′C′是菱形，
∴B′C∥C′B，B′C′＝BC，
∵B′E′＝C′D′，
∴四边形B′E′D′C′是平行四边形，
∴E′D′＝B′C′，
∵B′C′＝BC，
∴E′D′＝BC，
∵AC＝5，AB＝12，
由勾股定理得，BC＝＝13，
∴AD+AE的最小值＝E′D′＝BC＝13，
故答案为：13．
18．如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，，则k＝ ﹣ ．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC＝90°，cs∠OAC＝，
∴＝，，
∵对角线AC∥x轴，
∴∠AOE＝∠OAC，
∵∠OEA＝∠AOC＝90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴，
∴＝
∴S△OEA＝，
∵S△OEA＝|k|，k＜0，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
19．如图，在锐角△ABC中，点P，Q分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD：BC＝2：3，连接MQ，若△ABC的面积等于12，则MQ的最小值为 ．
【解答】解：∵PQ∥BC，AD⊥BC，
∴AE⊥PQ，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
∴3AD＝2BC，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，
∴四边形PMNQ是矩形，
∴PQ＝MN，PM＝ED，
∵AD＝BC，
∴AE+ED＝BM+MN+CN，
∴MN+QN＝BM+MN+CN，
∴QN＝BM+CN；
∵△ABC的面积等于12，
∴BC•AD＝12，
∵AD：BC＝2：3，
∴BC2＝12，
∴BC＝6，AD＝4，
设PQ＝3x，AE＝2x．
∵PM＝ED＝QN＝4﹣2x，BM+CN＝6﹣3x，
∵MQ＝＝，
∴当x＝时，MQ有最小值．
故答案为：．
20．△ABC中，AB＝6，AC＝2，以BC为斜边向下构造直角三角形BCD，且∠BCD＝60°，连接AD，则线段AD的最大值为 3+ ．
【解答】解：以AB为斜边构造30°度的直角三角形ABE，使∠AEB＝90°，∠ABE＝30°，连接DE，
∴，
∵∠BCD＝60°，
∴，∠CBD＝30°，
∴∠ABE＝∠CBD，，
∴∠ABC＝∠EBD，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
∴DE＝AC＝，
∵AD≤AE+DE，
∴当点A、E、D共线时，AD最大，
∵AE＝AB＝3，
∴AD最大值为3+．
故答案为：3+．
21．已知△ABC和△DEF中，，且△DEF和△ABC的周长之差是15厘米，则△DEF的周长是 45厘米 ．
【解答】解：∵，
∴△ABC∽△DEF．
设△ABC的周长为x厘米，则△DEF的周长为（x+15）厘米．
根据相似三角形的周长比等于相似比可得：
，解得：x＝30，
故△DEF的周长为30+15＝45（厘米）．
故答案为：45厘米．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝4，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DE＝2DF，以EC、EF为邻边构造平行四边形EFGC，连接EG，则EG的最小值为 5 ．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝4，
∴CH＝2，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴＝，
∵DE＝2DF，
∴DF＝DE，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝2，
∴GO＝3，
∴EG的最小值是5，
故答案为：5．
23．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC，△PCD，△PDA的面积分别为S1，S2，S3、S4．以下判断：①PA+PB+PC+PD的值最小为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4，其中正确的是 ①②③④ ．
【解答】解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③若S1＝S2，易证S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；
④若△PAB∽△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④正确．
故答案为①②③④．
24．如图，菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，点O在AB上，且BO＝2，点P是CD上一动点，将四边形BCPO沿直线OP折叠，点B的对应点是E，连接DE，当DE的长度最小时，CP的长为 6﹣2 ．
【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ADH中，∠A＝60°，AD＝6，则
AH＝AD＝3，DH＝sin60°•AD＝×6＝3．
又∵AO＝AB﹣BO＝4，
∴OH＝1．
在Rt△DOH中，依据勾股定理可知DO＝＝＝2．
由翻折的性质可知：∠BOP＝∠EOP．
∵DC∥AB，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠EOP＝∠DPO，
∴DP＝DO＝2，
∴CP＝DC﹣DP＝6﹣2，
故答案为：6﹣2．
25．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，S△BCD＝3，BC＝2，AC的最小值为 4 ．
【解答】解：在BC下方以BC为斜边构建等腰直角三角形BEC，连接DE，
∵∠ABD＝45°，∠EBC＝45°，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°+∠DBC，
∵＝＝，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝，
∴AC＝DE，
∵S△BCD＝3，BC＝2，
∴BC边上的高为3，
∵△BEC是等腰直角三角形，
∴△BEC底边BC上的高＝BC＝1，
∴DE的最小值＝3+1＝4，
∴AC的最小值＝4，
故答案为4．
26．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，BC＝1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ﹣1 ．
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝120°，BC＝1，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；
②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为﹣1；
③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为﹣1．
三．解答题（共8小题）
27．问题探究：
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在BC上，若AD平分ABC的面积，AD的长度为 4 ；
（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，点M在AD上，点N在BC上，若MN平分平行四边形ABCD的面积，且线段MN的长度最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN的长度；
（3）如图③王叔叔家一块四边形菜地ABCD，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，米，∠BAD＝90°，过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分，若存在，求平分该四边形ABCD的面积的线段长；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
∵S△ABD＝BD•AD、S△ACD＝CD•AD，
∴S△ABD＝S△ACD，即AD即为所求；
AD＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）如图②，连接AC、BD，交于O，过O作线段MN，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S△AOM＝S△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S△OMD＝S△ONB，S△AOB＝S△COD，
∴S△AOM+S△AOB+S△BON＝S△CON+S△COD+S△OMD，
即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
当MN⊥BC时，MN是最短；
过A作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，
∴MN＝AH，
∵AB＝6，∠B＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝3，AH＝MN＝3，
∴当MN⊥BC时，线段MN的长度最短为3；
（3）如图③，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，
∵AB＝AD＝200米、BC＝CD＝200米，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴QM∥CO．
在Rt△ABD 中，BD＝AB＝200米，
∴DO＝BO＝OA＝100米，
在Rt△BCO 中，OC＝＝300米，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000（米2），
∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，
∴S四边形ABQD＝S四边形ABCD＝40000（米2），
∵S△ABD＝×BD×OA＝20000（米2），
∴S△QBD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000（米2），
∴QM＝100米，
∵QM∥CO．
∴，
∴，
∴BM＝，
∴DM＝BD﹣BM＝米，
在Rt△MQD 中，DQ＝＝＝米．
28．【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝3，点D，E为边AC，BC的中点，连接DE．如图2所示，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，在此过程中，
①＝ ，AD、BE所在直线相交所成的较小夹角为α，则tanα＝ ；
②当D、E、B三点共线时，则线段BE的长 ．
【问题解决】
（2）如图3所示，五边形ABCDE是某工厂园区的平面图，点B、点C分别是生产车间和办公楼．已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝1500米，AE＝2000米，BC＝800米，DE＝1000米．现要在矩形AFDE区域内修一个处理站M（不考虑处理站的面积），处理工业废水和生活废水，同时要在园区内修建3条地下管道BM，MN，CN将废水输送到处理站．根据园区的自然环境和实际需求，要求CN＝400米，3BM＝5MN，且，因处理站具有一定的污染性，因此需建在离办公楼尽可能远的区域，当处理站M到办公楼C的距离MC最大时，连接MD，求此时处理站M到园区大门（点D）的距离以及sin∠MDC．
【解答】解：①如图1，
设AD，BE交于点F，AF，BC交于点O，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CAD＝∠CBF，
∵∠AOC＝∠BOF，
∴∠F＝∠BAC，
∴tanα＝tanF＝tan∠BAC＝，
故答案为：，；
②如图2，
当点E在BD上时，
在Rt△BCD中，BC＝3，CD＝1，
∴BD＝＝2，
∵DE＝AB＝，
∴BE＝BD﹣DE＝，
如图3，
当点E在BD的延长线时，
BE＝BD+DE＝，
故答案为：；
（2）如图4，
∵3BM＝5MN，
∴，
∵cs∠BMN＝，
∴△MNB为直角三角形，
在BC的上方作Rt△BOC，使∠BCO＝90°，OC＝600米，
∴OB＝1000米，
∴，tan∠CBO＝tan∠BNM＝，
∴∠BCO＝∠MBN，
∴∠CBN＝∠MBO，
∴△CBN∽△OBM，
∴，
∴OM＝CN＝500米，
∴点M在以O为圆心，半径为500米的圆上运动，延长CO，交圆O于点M′，当点M在M′处时，CM最大，
如图5，
设CM交DF于T，作MX⊥CD于X，
在Rt△DMT中，DT＝DF﹣FT＝AE﹣BC＝1200米，MT＝CM﹣CT＝OC+OM﹣BF＝OC+OM﹣（AB﹣DE）＝600米，
∴DM＝米，
在Rt△CDT中，CT＝500米，DT＝1200米，
∴CD＝1300米，
由S△CDM＝CD•MX＝CM•DT，
∴1300•MX＝1100×1200，
∴MX＝米，
∴sin∠MDC＝＝．
29．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则＝1．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N．
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图（2），并设AB＝3，BC＝5，求的值．
（3）如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，点E、F分别在线段AB、BC上，且AF⊥DE，求的值．
【解答】解：（1）选择方案一：证明如下：
过点A作AM∥HF交BC于点N，过点B作BN∥EG交CD于点N，如图：
∴四边形AMFH、四边形BNGE是平行四边形，
∴AM＝HF，BN＝EG，
又∵EG⊥FH，
∴AM⊥EG，
∴AM⊥BN，
∴∠BAM＝90°﹣∠ABN＝∠CBN，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCD＝90°，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN，
∴EG＝FH，
∴＝1；
选择方案二：证明如下：
过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N，
∴四边形ABMH、四边形BCNE是矩形，
∴AB＝HM，BC＝EN，BC∥EN，
∵AB＝BC，
∴HM＝EN，
∴∠1＝∠MFH，
∵EG⊥FH，
∴∠1+∠GEN＝90°，
∵EN⊥CD，
∴∠GEN+∠EGN＝90°，
∴∠1＝∠MFH＝∠EGN，
∵∠MFH＝∠EGN，∠HMF＝∠ENG＝90°，HM＝EN，
∴△HMF≌△ENG（AAS），
∴FH＝EG，
∴＝1；
（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∴AM＝HF，AN＝EG，
∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，AM∥HF，AN∥EG，
∴AM⊥AN，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝AD＝5，
∴＝，
∴＝＝；
（3）如图3，过点D作MN⊥BC，交BC的延长线于M，过点A作AN⊥MN交EF于点N，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AN⊥MN，MN⊥BC，
∴四边形ABMN是矩形，
∴∠N＝∠M＝90°，AN＝BM，MN＝AB＝8，
∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADN+∠CDM＝90°，且∠ADN+∠NAD＝90°，
∴∠NAD＝∠CDM，且∠N＝∠M＝90°，
∴△ADN∽△DCM，
∴＝＝＝＝，
∴AN＝2DM，DN＝2CM，
∵DC2＝CM2+DM2，
∴16＝CM2+（8﹣2CM）2，
∴CM＝4（不合题意舍去），CM＝，
∴BM＝BC+CM＝＝AN，
过点E作EG⊥MN于点G，过点F作FH⊥AN于点H，
由（1）知，∠AFH＝∠DEG，
又∵∠AHF＝∠EGD＝90°，
∴△DEG∽△AFH，
∴＝，
∵EG＝AN＝，HF＝AB＝8，
∴＝＝．
30．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）猜想观察：如图1，当α＝60°时，的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 60° ．
（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题：如图3，当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在FE的延长线上，P，D，C三点在同一直线上，AC与BD相交于点M，DM＝2﹣，求AP的长．
【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD＝∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠BAD，
∵CA＝BA，PA＝DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠CAO＝60°，
∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为：1，60°．
（2）当α＝90°时，＝，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°；
理由如下：
如图2，假设 BD 与 AC相交于点 M，与PC交于点 N，
∵线段 AP 绕点 P 逆时针旋转90°得到线段 DP，
∴△PAD 是等腰直角三角形，
∴∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，
∴＝cs∠PAD＝cs 45°＝．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠PAD＝45°，
∴＝cs∠CAB＝cs45°＝，∠PAD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD，
∴＝，∠PAC＝∠DAB，
∴△PAC∽△DAB，
∴＝＝，∠PCA＝∠DBA，
∴＝．
∵∠BMC＝∠BNC+∠PCA＝∠ABD+∠BAC，∠PCA＝∠DBA，
∴∠BNC＝∠BAC＝45°，即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
（3）如图3，
∵点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，
∴EF∥AB，AE＝EC，
∴∠PEA＝∠BAC＝45°．
∵P，D，C三点在同一直线上，∠APD＝90°，
∴∠APC＝90°，PE＝AE＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP
∵∠EPC+∠ECP＝∠PEA＝45°，∠DAC+∠ECP＝∠PDA＝45°，
∴∠EPC＝∠ECP＝∠DAC，
∴AD＝DC．设AP＝x，则PD＝x，
在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝＝x，
∴PC＝PD+CD＝（+1）x．
由（2）知＝，
∴BD＝PC＝（2+）x．
∵∠ECP＝∠DAC，∠PCA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠DBA，
又∵∠ADM＝∠BDA，
∴△ADM∽△BDA，
∴＝，即AD2＝DM•BD，
∴（x）2＝（2﹣）（2+）x．
解得x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去），
∴AP＝1．
31．（1）如图1，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为 ；
（2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即Rt△ABC）中截取一个正方形CDEF，点D在边AC上，点E在边AB上，点F在边BC上，若AE＝15，求这块木板截取正方形CDEF后剩余部分的面积；
（3）如图3，已知四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝90°，若BD＝2BC，判断线段AC、AD、CD的等量关系并证明．
【解答】解：（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，
∴AD＝5，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE＝，
故答案为：．
（2）过点E作EG⊥AB，交BC于G点，
∴∠AEG＝90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠DEF＝90°，DE＝EF，∠ADE＝∠EFG＝90°，
∴∠AED＝∠FEG，
在△AED和△GEF中，
，
∴△AED≌△GEF（ASA），
∴AE＝EG，
∴S△AED+S△BEF＝S△BEG＝＝×15×20＝150（cm2）；
（3）CD2+AD2＝4AC2.理由如下：
如图3，将△ABD绕点B顺时针旋转，使BA与BC重合，得△BCE，连接DE，
则BD＝BE，∠DBE＝∠ABC，∠BAD＝∠BCE，CE＝AD，
∴△BAC∽△BDE，
∵BD＝2BC，
∴DE＝2AC，
∵∠ABC+∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝270°，
∴∠BCE+∠BCD＝270°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴CD2+AD2＝4AC2．
32．问题提出：
（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EG∥AB．交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝ 21 ．
问题探究：
（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是D'，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是C′．请问是否存在这样的点P．使得点P、D'、C′在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝6，
∵EG∥AB，
∴CD∥EG∥AB，
∵点E为AD的中点，
∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，
故答案为：21；
（2）存在，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，
∵Q是BC的中点，
∴CQ＝3，
由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，
当点P、D′、C′三点在同一条直线上时，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，
∴∠DPA+∠CPQ＝90°，
∵∠DPA+∠DAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CPQ，
∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，
∴△ADP∽△PCQ，
∴＝，
即＝，
解得：DP＝6或DP＝3；
（3）过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥MN于点F，连接BD，如图③所示：
则BF＝EH＝5cm，
∵DC⊥BC，
∴∠ECD+∠BCF＝90°，
∵BF⊥MN，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠CBF，
又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，
∴△DEC∽△CFB，
∴＝＝，
设DE＝x，则DH＝5﹣x，
∵BF＝5，BC＝CD，
∴＝＝，
∴CE＝，CF＝x，
∴S四边形ABCD＝S四边形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB
＝（x+5）（+x）﹣x•﹣x•5+×4（5﹣x）＝x2﹣2x++10＝（x﹣）2+10+，
当x＝cm时，四边形ABCD的面积取得最小值（10+）cm2，
∴最低造价为（10+）×50≈802.75（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低约为802.75元．
33．新定义，垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，求作等边△ABC的等积垂分线；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，AD＝3，求出它的其中一条等积垂分线段．
【解答】解：（1）如图1中，直线BD即为所求．
（2）如图2中，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线段，设EF＝x．作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∵∠∠AHB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴AH＝AB＝4，BH＝AH＝4，
∵BC＝6，
∴S△ABC＝•BC•AH＝×6×4＝12，
由题意：S△BEF＝S△ABC＝6，
∴×x×x＝6，
解得x＝2或﹣2（舍弃），
∴BC边的等级垂分线段的长度为2．
（3）①如图3﹣1中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H．作FG⊥BH于G．设DE＝x．
在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝6，
∴BD＝＝＝3，
∵EH∥AB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EH＝2x，DH＝x，
∴BH＝3﹣x，
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（HL），
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠FHB＝∠HBA，
∴∠FHB＝∠FHB，
∴FH＝FB，∵FG⊥BH，
∴HG＝GB＝，
由△FGB∽△DAB，可得FG＝．BF＝FH＝，
∴EF＝EH+FH＝2x+＝，
∵四边形EFCD的面积＝四边形EFBA的面积，△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴△DEH的面积＝△BHF的面积，
∴×2×x＝×（3﹣x）×，
解法x＝2﹣5（负根已经舍弃），
∴EF＝＝．
②如图3﹣2中，当线段EF是等积垂分线段时，设EF交BD于H．作EG⊥BD于G．设FH＝y，则BF＝2y，BH＝y．
∵EF∥AD，
∴∠ADH＝∠EHD，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∵EG⊥DH，
∴DG＝GH＝，
∵tan∠EDG＝＝＝2，
∴EG＝3﹣y，EH＝，
∴EF＝EH+FH＝y+＝
由△DEH的面积＝△BHF的面积，
∴×（3y）（3﹣y）＝×2y×y，
解得y＝5﹣（负根已经舍弃），
∴EF＝＝．
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为．
34．（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为 1 ；
②∠AMB的度数为 40° ．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
【解答】解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴＝1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠ABO＝140°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：①1；②40°；
（2）类比探究
如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝，∠CAO＝∠DBO，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB＝90°，，
设BD＝x，则AC＝x，
Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，
∴CD＝2，BC＝x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，
∴AB＝2OB＝2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
，
x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
x1＝3，x2＝﹣2，
∴AC＝3；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，，
设BD＝x，则AC＝x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
+（x+2）2＝
x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣3，x2＝2，
∴AC＝2；
综上所述，AC的长为3或2．
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