2024年张掖市重点中学九年级数学第一学期开学预测试题【含答案】

这是一份2024年张掖市重点中学九年级数学第一学期开学预测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）数据2，3，5，5，4的众数是（ ）.
A．2B．3C．4D．5
2、（4分）一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）下列关系不是函数关系的是（ ）
A．汽车在匀速行驶过程中，油箱的余油量y（升）是行驶时间t（小时）的函数
B．改变正实数x，它的平方根y随之改变，y是x的函数
C．电压一定时，通过某电阻的电流强度I（单位：安）是电阻R（单位：欧姆）的函数
D．垂直向上抛一个小球，小球离地的高度h（单位：米）是时间t（单位：秒）的函数
4、（4分）已知点(a﹣1，y1)、(a+1，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是( )
A．a＞1B．a＜﹣1
C．﹣1＜a＜1D．﹣1＜a＜0或0＜a＜1
5、（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
6、（4分）已知ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A．100°B．160°C．80°D．60°
7、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．∠BDC＝∠ABDB．∠DAB＝∠DCB
C．AD＝BCD．AC⊥BD
8、（4分）某百货商场试销一批新款衬衫，一周内销售情况如表所示。该商场经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）既是矩形又是菱形四边形是________．
10、（4分）如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________.
11、（4分）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．
12、（4分）已知一次函数（）经过点，则不等式的解集为__________．
13、（4分）如图，矩形中，,连接,以对角线为边按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接,以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形, ..按照此规律作下去，若矩形的面积记作,矩形的面积记作,矩形的面积记作, ... 则的值为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在平面直角坐标系内，已知．
（1）点A的坐标为（____，______）；
（2）将绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点能否同时落在上述反比例函数的图象上，若能，求出的值；若不能，请说明理由．
15、（8分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：，精确到，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为_____，所抽查的学生人数为______．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形统计图．
（3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
（4）如果该校共有学生1800名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．
16、（8分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．
17、（10分）如图，在中，，，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒过点D作于点F，连接DE、EF．
求证：；
四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
18、（10分）如图，已知A，B（-1,2）是一次函数与反比例函数
（）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?
(2)求一次函数解析式及m的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在中，若∠A=38°，则∠C=____________
20、（4分）如图所示，直线y=kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为_____．
21、（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，点D落在处，AF的长为___________．
22、（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；⑤当AD＝时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形，BD为4或6.1．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论序号都填上）
23、（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图、，在平行四边形中，、的角平分线、分别与线段两侧的延长线（或线段）相交与、，与相交于点.
（1）在图中，求证：，.
（2）在图中，仍有（1）中的，成立，请解答下面问题：
①若，，，求和的长；
②是否能给平行四边形的边和角各添加一个条件，使得点恰好落在边上且为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由.
25、（10分）近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．
（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？
（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？
26、（12分）阅读理解：
我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题.
阅读下列材料，完成习题：
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA=
例如：a=3，c=7，则sinA=
问题：在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值.
（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值.
（3）AC=2，sinB=，求BC的长度.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为1．
故选：D．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
2、D
【解析】
用因式分解法求解即可．
【详解】
解：x2+1x=0，
x(x+1)=0，
所以x=0或x+1=0，
解得：x1=0，x2=-1．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键．
3、B
【解析】
利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而得出答案．
【详解】
解：A、汽车在匀速行驶过程中，油箱的余油量y（升）是行驶时间t（小时）的函数，故此选项不合题意；
B、y表示一个正数x的平方根，y与x之间的关系，两个变量之间的关系不能看成函数关系，故此选项符合题意；
C、电压一定时，通过某电阻的电流强度I（单位：安）是电阻R（单位：欧姆）的函数，故本选项不合题意；
D、垂直向上抛一个小球，小球离地的高度h（单位：米）是时间t（单位：秒）的函数，故本选项不合题意．
故选：B．
此题主要考查了函数的定义，正确把握函数定义是解题关键．对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应．
4、C
【解析】
试题解析：∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵a-1＜a+1，y1＜y2
∴这两个点不会在同一象限，
∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a＜1
故选C．
【点睛】本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
5、B
【解析】
根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可.
【详解】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）
故选B.
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行解答.
6、C
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC．
∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°．
∴∠B=180°﹣∠A=80°．故选C．
7、D
【解析】
根据平行四边形的性质进行判断即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD，故选项A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，故选项B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，故选项C正确；
由四边形ABCD是平行四边形，不一定得出AC⊥BD，
故选D.
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．
8、A
【解析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是对该品牌衬衫的尺码数销售情况作调查，那么应该关注那种尺码销的最多，故值得关注的是众数．
【详解】
由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选A．
本题考查了统计的有关知识，熟知平均数、中位数、众数、方差的意义是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、正方形
【解析】
根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】
既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
故答案为正方形．
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
10、
【解析】
根据勾股定理，可得AC的长，根据圆的性质，可得答案．
【详解】
由题意得
故可得,
又∵点B的坐标为2
∴M点的坐标是，
故答案为：.
此题考查勾股定理，解题关键在于结合实数与数轴解决问题.
11、1
【解析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=1，
故答案为1．
点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12、
【解析】
先把（-1，0）代入y=kx+b得b=k，则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，然后解关于x的不等式即可．
【详解】
解：把（-1，0）代入y=kx+b得-k+b=0，解b=k，
则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，
而k＜0，
所以x-3+1＞0，
解得x＞1．
故答案为x＞1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
13、
【解析】
首先根据矩形的性质，求出AC，根据边长比求出面积比，依次类推，得出规律，即可得解.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC=，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积=2×1=2，
∴矩形AB1C1C的面积=，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积=
∴矩形AB3C3C2的面积=，
按此规律第n个矩形的面积为：
则
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）A（-1，）；（2）①；②，理由见解析
【解析】
（1）作AC⊥x轴于点C，在直角△AOC中，利用三角函数即可求得AC、OC的长度，则A的坐标即可求解；
（2）①当a=30时，点B的位置与A一定关于y轴对称，在B的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
②当=60°时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上．
【详解】
解：（1）作AC⊥x轴于点C，
在直角△AOC中，∠AOC=90°-∠AOB=60°，
则AC=OA•sin∠AOC=2×=，OC=OA•cs60°=2×=1，
则A的坐标是（-1，）；
（2）①当=30°时，B的坐标与A（-1，）一定关于y轴对称，
则旋转后的点B（1，）．
把（1，）代入函数解析式得：k=；
②当=60°时，旋转后点A（1，），点B（，1），
∵xy=，
∴当=60°，A、B能同时落在上述反比例函数的图象上．
本题是反比例函数与图形的旋转，三角函数的综合应用，正确求得A的坐标是关键．
15、（1）45%，60人；（2）18人，条形统计图见解析；（3）众数7，平均数7.2；（4）1170人．
【解析】
（1）用1减去每天的平均睡眠时间为6小时，8小时，9小时所占的百分比即可求出a的值，用每天的平均睡眠时间为6小时的人数除以其所占的百分比即可得到总人数；
（2）用总人数乘以每天的平均睡眠时间为8小时所占的百分比即可求出睡眠时间为8小时的人数，用总人数乘以a的值即可求出睡眠时间为7小时的人数，然后即可补全条形统计图；
（3）根据众数和平均数的定义计算即可；
（4）先计算出睡眠时间少于8小时的人所占的百分比，然后用总人数1800乘以这个百分比即可得出答案．
【详解】
（1） ，
所抽查的学生人数为（人）；
（2）平均睡眠时间为8小时的人数为（人），
平均睡眠时间为7小时的人数为（人），
条形统计图如下：
（3）由扇形统计图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，所以这部分学生的平均睡眠时间的众数为7，平均数为 ；
（4） （人）
本题主要考查条形统计图和扇形统计图，掌握条形统计图和扇形统计图以及众数，平均数的求法是解题的关键．
16、证明：（1）见解析
（2）见解析
【解析】
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠ABF＝∠ECF．
∵EC＝DC，∴AB＝EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，
∴△ABF≌△ECF．
(2)证法一：由(1)知AB＝EC，又AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF＝EF，BF＝CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB．
∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC．∴□ABEC是矩形．
证法二：由(1)知AB＝EC，又AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE．
又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠BCE．
∵∠AFC＝∠FCE＋∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC．∴∠D＝∠FEC．
∴AE＝AD．
又∵CE＝DC，∴AC⊥DE，即∠ACE＝90°．
∴□ABEC是矩形．
17、（1）证明见解析；（2）能，理由见解析；（3）秒或4秒时，为直角三角形．
【解析】
在中，，，根据30°角直角三角形的性质及已知条件即可证得结论；先证得四边形AEFD为平行四边形，使▱AEFD为菱形则需要满足的条件为AE=AD，由此即可解答；时，四边形EBFD为矩形在Rt△AED中求可得，由此即可解答；时，由知，则得，求得，由此列方程求解即可；时，此种情况不存在．
【详解】
证明：在中，，，，
．
又，
．
解：能理由如下：
，，
．
又，
四边形AEFD为平行四边形．
，
．
．
若使▱AEFD为菱形，则需，
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形．
解：时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即，．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
．
即，．
时，此种情况不存在．
综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．
本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系.难度适宜，计算繁琐．
18、（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）一次函数的解析式为y=x+；m=﹣2；
（3）P点坐标是（﹣，）．
【解析】
试题分析：（1）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式以及m的值；
（3）设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得,可得答案．
试题解析：（1）由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方时，﹣4＜x＜﹣1，
所以当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，设P的坐标为（x，x+）如图，由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为x+4，△PDB的高（2﹣x﹣），由△PCA和△PDB面积相等得
××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、38°
【解析】
根据平行四边形对角相等即可求解.
【详解】
解：∵平行四边形ABCD中，∠A=38°，
∴∠C=∠A=38°，
故答案为：38°.
本题考查了平行四边形的性质，要知道平行四边形对角相等.
20、x＜﹣1．
【解析】
结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
∵直线经过点（-1，0），
∴当时，，
∴关于的不等式的解集为．
故答案为：．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
21、
【解析】
根据对折之后对应边长度相同，联立直角三角形中勾股定理即可求解．
【详解】
设
∵矩形纸片中，，
现将其沿对折，使得点C与点A重合，点D落在处，
∴ ，
在中，，
即 解得 ，
故答案为：．
本题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，解题的关键在于找到对折之后对应边相等关系和勾股定理中的等量关系．
22、①②④．
【解析】
①易证△ABD∽△ADF，结论正确；
②由①结论可得：AE=，再确定AD的范围为：3≤AD＜5，即可证明结论正确；
③分两种情况：当BD＜4时，可证明结论正确，当BD＞4时，结论不成立；故③错误；
④△DCE为直角三角形，可分两种情况：∠CDE=90°或∠CED=90°，分别讨论即可．
【详解】
解：如图，在线段DE上取点F，使AF=AE，连接AF，
则∠AFE=∠AEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=a，
∴∠C=∠ADE=a，
∵∠AFE=∠DAF+∠ADE，∠AEF=∠C+∠CDE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
∴∠DAF=∠BAD，
∴△ABD∽△ADF
∴，即AD2=AB•AF
∴AD2=AB•AE，
故①正确；
由①可知：，
当AD⊥BC时，由勾股定理可得：
，
∴，
∴，即，故②正确；
如图2，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，
∴BH=CH=BC=4，
∴，
∵AD=AD′=，
∴DH=D′H=，
∴BD=3或BD′=5，CD=5或CD′=3，
∵∠B=∠C
∴△ABD≌△DCE（SAS），△ABD′与△D′CE不是全等形
故③不正确；
如图3，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE=∠C+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠C=∠B，
∴BD=4；
如图4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，
∵∠ADE=∠C，
∴∠ADH=∠CAH，
∴△ADH∽△CAH，
∴，即，
∴DH=，
∴BD=BH+DH=4+==6.1，
故④正确；
综上所述，正确的结论为：①②④；
故答案为：①②④.
本题属于填空题压轴题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，动点问题和分类讨论思想等；解题时要对所有结论逐一进行分析判断，特别要注意分类讨论．
23、x≤1
【解析】
根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
【详解】
若使函数y＝有意义，
∴1−x≥0，
即x≤1．
故答案为x≤1．
本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）①，，②，，见解析.
【解析】
（1）由平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论；
（2）①由（1）题的思路可求得FG的长，再证明△BCG是等边三角形，从而得，过点作交延长线于点，在Rt△AFH中用勾股定理即可求出AF的长；
②若使点恰好落在边上且为等腰三角形，易得F、G两点重合于点E，再结合（1）（2）的结论进行分析即可得到结论.
【详解】
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，.
∴，
又∵、是与的角平分线，
∴，即∠AEB=90°，
∴，
∵，∴，
又∵是的角平分线、
∴，
∴.
同理可得.
∴；
（2）解：①由已知可得，、仍是与的角平分线且，
，，，
.
如图，过点作交延长线于点.
∵，，.
.
∵，，，
，，，
.
②，（类似答案均可）.
若使点恰好落在边上，则易得F、G两点重合于点E，又由（1）（2）的结论知，，所以平行四边形的边应满足；
若使点恰好落在边上且为等腰三角形，则EA=EB，所以∠EAB=∠EBA，
又因为、仍是与的角平分线，所以∠CBA=∠BAD=90°，所以∠C=90°.
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的概念、平行线的性质、垂直的定义、等腰三角形和等边三角形的判定和性质、勾股定理和30°角的直角三角形的性质，考查的知识点多，综合性强，解题的关键是熟练掌握上述知识，弄清题意，理清思路，注重知识的前后联系.
25、（1）每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元（2）至少进货甲种空气净化器10台．
【解析】
(1)设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；
(2)设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据进货花费不超过42000元，列出不等式求解即可．
【详解】
(1)设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为(x+300)元，由题意得：
，
解得：x＝1200，
经检验得：x＝1200是原方程的解，
则x+300＝1500，
答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元．
(2)设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据题意得：
1200y+1500(30﹣y)≤42000，
y≥10，
答：至少进货甲种空气净化器10台．
本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程和不等式是解决问题的关键．
26、 (1);(2);(3)2.
【解析】
分析：（1）根据sinA=直接写结论即可；
（2）设AC=x，则BC=x，根据勾股定理得AB=，然后根据sinA=计算；
（3）先根据sinB=求出AB的值，再利用勾股定理求BC的值即可.
详解：（1）sinA=；
（2）在Rt△ABC中，∠A=45°，
设AC=x，则BC=x，AB=，
则sinB=；
（3）sinB=，则AB=4，
由勾股定理得：BC2=AB2-AC2 =16-12=4，
∴BC=2.
点睛：本题考查了信息迁移，勾股定理，正确理解在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦是解答本题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
型号
数量（件）