江西省吉安市吉州区2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省吉安市吉州区2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】根据轴对称图形和中心对称图形的概念可判定第一个,第二个,第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故选C.
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质逐一分析判定即可．正确运用不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A． 若，则，故该选项不成立，不符合题意；
B． 若，则，故该选项成立，符合题意；
C． 若， 时，则，故该选项不一定成立，不符合题意；
D． 若，则，故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
3. 关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】分式方程去分母得x+2（x-1）=-m，再由方程无解可得x=1，代入求出m即可．
【详解】解：分式方程去分母得，
2-x=m+x，
∵方程无解，
∴x=1，
∴2-1=m+1，
∴m=0，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据题意求出x的值后再代入整式方程中进行计算是解题的关键．
4. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )
A. 60°B. 65°C. 55°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD（∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠P＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
5. 如图，若一次函数与的交点坐标为，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：观察函数图象，可知：当x＜3时，直线在直线的下方，
∴不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
6. 如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DCAB．
【详解】添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误；
添加B、，无法得到CDBA或，故错误；
添加C、，无法得到，故错误；
添加D、
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故选D．
【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解不等式，理解并掌握分式的分母不能为零是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，
∴，
故答案为： ．
8. 已知，则的值等于__________．
【答案】3
【解析】
【分析】将已知的两式相乘即可得出答案.
【详解】解：∵
∴
∴的值等于3.
【点睛】本题主要考查了因式分解解法：提公因式法.
9. 点向右平移3个单位长度后，正好落在y轴上，则________．
【答案】-5
【解析】
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0，和平移性质，构建方程求解即可．
【详解】解：点P（a＋2，2a＋1）向右平移3个单位长度后，得到（a＋5，2a＋1），
由题意，a＋5＝0，
∴a＝−5．
故答案为：−5．
【点睛】本题主要考查图形变化−平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
10. 若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据不等式组的解集是，结合同小取小，得出，即可求出m的值．
【详解】解：∵，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：．
故答案：6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确用m表示出不等式组的解集．
11. 如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则的度数是_________．
【答案】111°##111度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得∠BAC的度数，进一步求出∠B的度数，即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴∠DCA=∠BAC，
根据折叠，可得，
∴，
∵，
又∵∠1=∠2=46°，
∴，
∴∠BAC=23°，
∴∠B=180°-46°-23°=111°，
∴．
故答案为：111°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12. 如图，在中，，对角线交于点，点从点出发，沿着边运动到点停止，在点运动过程中，若是直角三角形，则的长是___________．
【答案】或或
【解析】
【分析】在平行四边形ABCD中，∠ABC=105°，∠DAC=∠ACB=30°，故∠BAC=∠ACD=45°，OA=OC=2，P点一共有三种情况，①当∠OP1C=90°时，②当∠OP2C=90°时，③当∠P3OC=90°时，根据三角函数的值即可求得CP的长度．
【详解】解：如图所示，P点可以有以下三种情况，在平行四边形ABCD中，∠ABC=105°，∠DAC=∠ACB=30°，故∠BAC=∠ACD=45°，OA=OC=2，
①当∠OP1C=90°时，∠ACB=30°，OC=2，
∴，即此时CP=；
②当∠OP2C=90°时，∠ACD=45°，OC=2，
∴，即此时CP=；
③当∠P3OC=90°时，∠ACB=30°，OC=2，
∴，即此时CP=，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的动点问题、平行线的性质、三角形内角和为180°、三角函数，解题的关键在于进行分类讨论，并用三角函数求出最后的答案．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13. （1）因式分解：
（2）如图，，，AC、DB相交于点O．求证．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可；
（2）因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），推出∠OBC=∠OCB可得结论．
【详解】（1）解：
（2）证明：∵在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平方差公式，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
14. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集，然后写出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，准确求出两个不等式的解集，是解题的关键．
15. 先化简（1-）÷，然后a在-2，0，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】；当a=0时，原式.
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-2，0，2，3中选择一个使得原分式有意义值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1-）÷
=
=
=，
当a=0时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式四则运算的法则和运算顺序．
16. 已知：二次三项式有一个因式是．求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65
【解析】
【分析】所求的式子2x2+3x-k的二次项系数是2，因式是（x-5）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是2，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【详解】设另一个因式为（2x+a），得
2x2+3x-k=（x-5）（2x+a）
则2x2+3x-k=2x2+（a-10）x-5a，
∴ ，
解得：a=13，k=65，
故另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点睛】本题主要考查因式分解的实际运用，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
17. 已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当时，作的中线BF；
（2）如图2，当时，连接AE，作AE的中点O．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接AE、BE，BE交AC于F点，利用△ABC和△CDE都为正三角形得到∠ABC＝∠DCE＝60°，则，再利用BC＝CD＝AB＝CE，则可判断四边形ABCE为平行四边形，则AC与BE互相平分，所以BF满足条件；
（2）延长BA、DE，它们相交于点M，连接CM交AE于点O，证明，，则四边形ACEM为平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分得到O点满足条件．
【小问1详解】
解：连接AE、BE，BE交AC于F点，则BF即为所求，如图所示：
【小问2详解】
解：延长BA、DE，它们相交于点M，连接CM交AE于点O，则点O即为所求作的点，如图所示：
【点睛】本题考查了作图−复杂作图，也考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是非负整数，求的值.
【答案】或．
【解析】
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．
【详解】
①+②，得．
∴．
∵，
∴．
即．
∵是非负整数，
∴或．
【点睛】考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 在中，，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
（1）求证：；
（2）连接CD，若，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）CD=3
【解析】
【分析】（1）连接BE，根据三角形内角和定理，得∠ABC＝180°−∠ACB−∠A＝60°，根据线段垂直平分线的性质，由DE是线段AB的垂直平分线，得AE＝BE，根据含有30°角的直角三角形的性质，得CE＝BE，进而解决此题；
（2）连接CD、BE，根据角平分线的性质，由∠DBE＝∠CBE，ED⊥AB，EC⊥BC，得，根据等边三角形的判定，由BD＝BC和∠ABC＝60°，得△BDC是等边三角形，推断出CD＝BC，欲求CD，需求BC，再根据勾股定理，进而解决此题．
【小问1详解】
证明：如图，连接BE，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°−∠ACB−∠A＝60°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC−∠ABE＝30°，
又∵在Rt△CBE中，∠EBC＝30°，
∴CE＝BE，
∴CE＝AE，
即AE＝2CE．
【小问2详解】
解：如图，连接CD、BE，
由（1）知，∠DBE＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
又∵∠DBE＝∠CBE，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴，
∵在Rt△BDE和Rt△BCE中，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴BD＝BC，
由（1）知∠ABC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴CD＝BC，
在Rt△EBC中，∠BCA＝90°，∠EBC＝30°，
∴CE＝BE，
∴BE＝2CE＝，
∵△EBC是直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、含有30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含有30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定是解决本题的关键．
20. 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BC＝BD，求四边形BDFC的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）62
【解析】
【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据BC＝BD，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
【详解】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
∵CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）∵BC＝3，BC＝BD，
∴BC＝BD=3
在Rt△ABD中，
由勾股定理得，AB2，
由（1）得四边形BDFC是平行四边形
∴BC=DF=3
所以，四边形BDFC的面积＝3×26；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形是解题的关键，
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
（2）求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
（3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
【答案】（1）2，；
（2）有最大值，相应的的值为；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质确定代数式的最值；
（2）先提出负号，再变形，最后确定最值；
（3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围．
【小问1详解】
解：∵代数式
∴代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：
，
∵
∴，
∴代数式有最大值，相应的的值为；
【小问3详解】
解：∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
是中最长的边，
∴．
答：取值范围为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
22. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件
【解析】
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可；
（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；
（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可．
【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．
根据题意，得，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）根据题意，得，
解得：，
∵m为整数，
∴m可取5、6、7，
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为W万元，则，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，（万元），
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为（万元），
降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，
设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，
则：，
由题意，a，b均为非负整数，
∴满足条件的解为：或，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一次函数的性质是解题关键．
六、解答题（本大题12分）
23. 如图，中，，，将绕顶点A逆时针旋转得到．设旋转角度为度，AD交BC于点F，DE分别交BC、AC于点G、H．试探究以下问题：
（1）当_______时，为直角三角形；
（2）当且为等腰三角形时，求BF的值；
（3）连接BD，是否存在角，使得四边形ABDH为平行四边形?如果存在，直接写出的大小：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）60°或90°
（2）BF的值为或
（3）不存在；理由见解析
【解析】
【分析】（1）分两种情况：①当∠AFB＝90°时；由角的互余关系即可求出结果；②当∠BAF＝90°时，即α＝90°；
（2）分两种情况：①当AD＝DH时，作FN⊥AB于N，设FN＝x，则BF＝2x，，AN＝FN＝x，根据题意得出方程，解方程即可得出结果；
②当AH＝DH时，∠DAH＝∠D＝30°，由勾股定理即可求出BF；
（3）若四边形ABDH为平行四边形，则，得出α＝∠D＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ADB≠∠DAH，得出BD与AH不平行，即可得出结论．
【小问1详解】
解：分两种情况：
①当∠AFB＝90°时，α＝90°−∠B＝60°；
②当∠BAF＝90°时，即α＝90°；
综上分析可知，当α＝60°或90°时，△ABF为直角三角形．
故答案为：60°或90°．
【小问2详解】
解：分两种情况：
①当AD＝DH时，∠DAC＝∠AHD＝（180°−30°）＝75°，
∵，，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∴∠BAD＝∠BAC-∠DAC=45°，
∵∠FNA=90°，
∴∠NFA=90°-45°=45°，
∴∠BAD=∠NFA，
∴AN=NF，
作FN⊥AB于N，如图所示：
设FN＝x，则BF＝2x，，
AN＝FN＝x，
则，
解得：，
∴；
②当AH＝DH时，∠DAH＝∠D＝30°，
∴∠BAF＝120°−30°＝90°，
设AF=x，则BF=2x，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
综上分析可知，当△ADH为等腰三角形时，BF的值为或．
【小问3详解】
解：不存在，理由如下：
若四边形ABDH为平行四边形，则，
∴α＝∠D＝30°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝75°，
∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠DAH＝90°，∠ADB≠∠DAH，
∴BD与AH不平行，
∴四边形ABDH不是平行四边形；
∴不存在角α，使得四边形ABDH为平行四边形．
【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论才能得出结果．