江苏省扬州大学附属中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习二（9月）数学试题（解析版）

这是一份江苏省扬州大学附属中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习二（9月）数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解.
【详解】由，解得，
，又，
.
故选：B.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定判断各选项.
【详解】，”的否定为，.
故选：C.
3. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中直线和平面的位置关系的判定定理和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若，，则或，故A错误；
对B：如下图所示，直线，，则垂直于平面内的任意一条直线，
则的位置关系是任意的，故B错误.
对C：若，，则，故C正确；
对D： 若，，则，的位置关系是任意的，故D错误；
故选：C.
4. 已知函数y=fx的部分图象如图所示，则y=fx的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据为奇函数，且、逐项判断即可.
【详解】由图象可知：为奇函数，且、，
对于A：，不符合；
对于B：定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，不符合；
对于C：定义域为，不满足，不符合.
故选：D.
5. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式与二倍角公式即可求解
【详解】
，
故选：B
6. 已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，构造新的函数，应用导数求函数的最值即可.
【详解】由，知定义域为，
设切点为，，，
所以，故切点为，代入直线方程，
则，
，
令，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
故的最小值为1.
故选：B
7. 将函数图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
8. 若函数有两个极值点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由导数结合极值点得方程有两个不同的正根，从而结合韦达定理得，再将韦达定理代入计算得，进而得解.
【详解】由题，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的正根，
所以，，，所以①，
所以
，
又，所以即得，
所以或（舍去）②，
所以由①②得.
故选：A.
【点睛】思路点睛：先由极值点与导数的关系结合韦达定理初步求出的值，再由韦达定理结合不等式计算即可求解.
二、多选题
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. 为偶函数D. 在区间的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确.
【详解】由题意得，
由图象可得，
又，所以，
由五点法可得，
所以.
A：由以上解析可得，故A正确；
B：由以上解析可得，故B错误；
C：，故C正确；
D：当时，，
所以最小值为，故D正确；
故选：ACD.
10. 如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得.
【详解】选项A：
如图连接交于，连接，
由题意可知为的中点，又为的中点，故，
又平面，平面，故平面，故A正确；
选项B：由题意为等边三角形，为的中点，
故,
又棱柱为直三棱柱，故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正确；
选项C：
如图建立空间直角坐标系，则，，，
因，故A3,0,0，
所以，，
设异面直线与所成角为，则
故C错误；
选项D：由题意平面的一个法向量为，
，，，
设平面的法向量为，则
，即，设，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，则，
故，
故，故D正确，
故选：ABD
11. 已知函数和有相同的极大值，若存在，使得成立，则（ ）
A.
B.
C. 当时，
D. 若的根记为，，的根记为，，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数研究的单调性、极值，根据与的极大值相同求得，结合函数的图象、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴在处取得极大值，
，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，故，解得，故A正确；
作出函数图象如下图所示，若，则，故B错误；
由图象可知，当时，，，∴，C正确；
对于D，若时，则，，，
则有，∴，
可得，同理可得，
∴，故D正确.
故选：ACD
【点睛】求解函数极值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间；（5）根据函数的单调区间求得函数的极值.
三、填空题
12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式求出答案.
【详解】根据题意得到，
故.
故答案为：
13. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积是________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算得解.
【详解】依题意，圆台的高，
所以圆台的体积为.
故答案为：
14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，
因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：.
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式．
因为，所以，化简得，即，亦即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．
下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在与中，由正弦定理得．
在中，由正弦定理得．
所以，由正弦定理得，即，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．
由，得，即，从而．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；
方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.
小问1详解】
.
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
【小问2详解】
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则， .
由，得，又，
所以，则，
故
.
故的值为.
16. 已知定义域是R的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，进而求解；
（2）利用导数得到的单调性，利用单调性和奇偶性将原不等式变形为在上恒成立，最后利用分离参数求最值即可求解.
【小问1详解】
因为是定义域为的奇函数，
所以，
解得，此时，
故，
所以是定义域为的奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，则对任意时恒成立，
所以在上单调递增，因为是上的奇函数，
所以等价于，
又上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为时，；时，；
所以；
所以.
17. 如图，且且且，平面，．
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先证四边形为菱形，得，然后利用线面垂直的性质定理和判定定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明面，最后利用线面垂直的性质定理即可证；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，先设，表示出，再求出平面的法向量，最后利用线面角的向量公式代入使得直线与平面所成的角的正弦值为，求出即可得出答案.
【小问1详解】
因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以.
因为平面，平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以.
【小问2详解】
由平面，平面，则，，
又，故以为原点，以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
于是，，设平面的法向量为，
则，，令，得，
假设线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为.
设，，
则直线与平面所成的角的正弦值，
解得：.
所以线段上存在点，且时,使得直线与平面所成的角的正弦值为.
18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C的值；
（2）若，求周长的最大值；
（3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得；
（2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值；
（3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围.
【小问1详解】
由和正弦定理，三角形面积公式可得，，
因，故得，，
由余弦定理，，因，则；
【小问2详解】
由余弦定理，，即，
整理得，，当且仅当时等号成立，即，
于是，，即当时，周长的最大值为；
【小问3详解】
由可得，
由正弦定理，，即得，，,
则
,
由为锐角三角形可得，，解得，，
则，由正弦函数的图象知，，故得，
即面积的取值范围为.
【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解.
19. 已知函数，其中e是自然对数的底数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与直线相切，
①求实数a的值；
②当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增.
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）求导，对分情况讨论，可得函数的单调性.
（2）①求导，根据导数的几何意义列方程，再根据函数的单调性解方程.
②根据的最值情况可知时，不等式恒成立，再构造，分和，讨论的单调性，研究是否成立.
【小问1详解】
因为，所以.
若，由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
若，则在上恒成立，所以在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增.
【小问2详解】
①设切点坐标为，则，
消去得：.
设，则.
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以恒成立，且仅当时取“”.
所以，所以.
②由①得：，，
所以在上单调递增.所以，.
当时，，，，所以，恒成立；
当时，设，.
则，.
若，则，.
所以在上单调递增，且，
所以上恒成立，即在上恒成立.
若，设，，
则，当时，，
所以在上单调递增.
又，，
所以，使得，
所以在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
所以当时，，即，此时不成立.
综上可知：当时，，恒成立.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．