吉林省长春市五十二中赫行实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份吉林省长春市五十二中赫行实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简及分母有理化的运算逐一判断即可求解．
【详解】解：A、，则A选项错误，故不符合题意；
B、，则B选项错误，故不符合题意；
C、是最简二次根式，则C选项正确，故符合题意；
D、，则D选项错误，故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简及分母有理化，最简二次根式的概念，熟练掌握其化简方法及分母有理化的运算法则是解题的关键．
2. 下列计算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则进行计算，逐项判断即可．
【详解】解：A、 3与不同类二次根式，不能合并，故错误，符合题意；
B、 ，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算．
3. 如图，，，，，则的值为（ ）
A. 5B. 7.5C. 2.5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算．
【详解】解：，
，
，，，
，
故选：A．
4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A. 2026B. 2025C. 2023D. 2022
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 0.95米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．过点N作于点H，则的长为车门底边上点N到车身的距离，根据三角函数作答即可．
【详解】解：过点N作于点H，则的长为车门底边上点N到车身的距离，
在中，米，，
∴米，
故选：A．
6. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】先根据位似图形性质得到，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方计算即可解答．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∴
∵的面积为3，
∴的面积为27．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似的面积比等于位似比的平方是解答本题的关键．
7. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，由为的中点可知，进一步得出，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形
，，
为的中点，
点为圆心，长为半径的圆弧经过点
中，
故选：C．
8. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，，若四边形的面积为6，，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据，即可求解，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：设点，
轴，
，，
，
，
，
．轴，
轴，
点，
，
，
，
解得：．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
故答案：．
【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键．
10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
11. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；
根据公式计算即可．
【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有种等可能性，黑色棋子，有种等可能性，
∴摸到黑色棋子的概率是，
故答案为：
12. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cs∠AOB的值是_____．
【答案】
【解析】
【详解】连接AB，


∴△AOB是等腰直角三角形,即


故答案为
13. 如图中，点是中点，连接交于点，若的面积为，则的面积为 _____
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由四边形是平行四边形，易证得，又由点是中点，面积为，即可根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得的面积，继而求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
点是的中点，
，
，
的面积是，
，
，
，
，
故答案为：
14. 如图，在矩形中，是AD边的中点，于点F，于G．连接．下列四个结论中正确的有_________．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质与判定；根据矩形的性质得到，，，证明，则可对①进行判断；通过证明，进而证明得到，证明四边形是平行四边形，得到，同理可证明，可对②进行判断；证明垂直平分CF，得到，则，可对③进行判断；设的面积为，则，，进而可得，则，据此可对④判断．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，故①正确；
，，
，
∴，
，
∵是AD边的中点，
AD，
；
如图所示，延长交于H，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理可证明，
∴，即，故②正确；
∵
垂直平分CF，
，
∴，故③正确；
设的面积为，则，
，
∴，
∴
∴，
∴，
．故④正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加法即可得．
【详解】解：原式
．
16. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
【答案】x1=﹣6，x2=2
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，
∴x+6=0或x﹣2=0，
∴x1=﹣6，x2=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、以及概率公式，根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意可画树状图如下：
由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种，
小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为．
18. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长．
【答案】截去正方形的边长为10厘米．
【解析】
【分析】设截去正方形的边长为x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x），现在要求长方体的底面积为：800平方厘米，令二者相等求出x的值即可．
【详解】设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，
所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）=800，
即：x2﹣50x+400=0，
解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）．
答：截去正方形的边长为10厘米．
19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）的面积为________．
（2）图①中，画出的中线AD；
（3）图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1．
【答案】（1）4 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用的面积等于矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可求解；
（2）根据矩形的性质对角线相互平分即可得到的中点，连接即可；
（3）根据相似三角形判定与性质，中线平分面积的方法作图即可求解．
【小问1详解】
解：
故答案为：4．
【小问2详解】
解：如图所示

根据网格特点，四边形为矩形，连接交于点
即为的中线
故如图所示即为所求：
【小问3详解】
解：如图所示，
根据网格的特点，，
又，
，
故如图所示即为所求：
20. 图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，通过计算说明该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）
【答案】该消防车能实施有效救援
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，当，时，过点C作于F，过点A作于点M，则四边形是矩形，可得，，求出，解得到，则，据此可得答案．
【详解】解：当，时，过点C作于F，过点A作于点M，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴该消防车能实施有效救援．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【答案】（1）见解析（2）6
【解析】
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
．
在与中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
由（1）知，
，
．
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简?
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，．
那么便有：，
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，由于，，即，．
．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）；
（2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下．
①
②
③
④
在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______．
模型应用2：
（3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）．
【答案】（1）；（2），，；；（3）
【解析】
【分析】（1）理解题干中问题解决的解题步骤，结合完全平方公式，以及二次根式的混合运算，即可解题；
（2）与（1）解题思想类似，写出该题解题步骤，再根据步骤判断其解题过程错误的地方，以及给出正确答案，即可解题；
（3）先利用勾股定理表示出，再利用平方差公式将其化为，最后用类似于前面2问的解题思路求解，即可解题．
【详解】解：（1），
，，
即，，
；
（2）①
②
③
④
在上述化简过程中，第1步不应该为除而是加，第步完全平方公式运用错误，第步二次根式化简错误，最后化简的正确结果为．
故答案为：，，；．
（3），，，
根据勾股定理可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，平方差公式，勾股定理，解题的关键在于理解题干中的化简步骤．
23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】（1）请根据相似三角形的判定定理的相关内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】：
（2）如图②，在中，垂直于的平分线于点E，且交边于点D，点F为的中点．若，，则的长为_____________．
（3）如图③，在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结．点H为的中点，连结．设的长度为m．则m的最大值为_____________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据角和线段比例关系证即可得证结论；
（2）根据证，得出，求出，根据F是的中点得出即可求解；
（3）如图③中，延长到T，使，连接．由三角形的中位线定理可知，求出的取值范围即可解决问题．
【详解】解：（1）∵点D、E分别是与的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，；
（2）∵平分，于点E，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点F是的中点，
∴，
故答案为：；
（3）如图③中，延长到T，使，连接．
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴m的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理的证明以及应用，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）．
（2）当点M与点C重合时，求t的值．
（3）设与重叠部分图形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式．
（4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）t的值为或3
【解析】
【分析】（1）由已知图形变换易证；再由相似三角形性质可得，由此即可解答；
（2）当点于点重合，即AP+MP=AC，由勾股定理求出AC，即可得出方程求解；
（3）分两种情况讨论，①当M在线段AC上时，即，此时，②当M在线段AC延长线上时，即，此时；
（4）因为点H是PM中点，若，则①过的中点，②过的中点，画出图形分情况解答即可．
【详解】解：（1）∵，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）当点于点重合，由勾股定理得：，
，
解得：；
（3），，，
斜边上的高为，
①当M在线段AC上时，即，此时，
②当M在线段AC延长线上时，即，此时， ，
，
又∵，
，
，
综上所述，；
（4）因为点H是QM中点，若，则①过的中点，②过的中点，
①当过的中点E，如解图（1），则，
为的中点，为的中点，
∴，
∵
，
∴，
又∵
∴，
解得：，
②当过的中点D时，如解图（2）：
为的中点，为的中点，
∴
又，
∴
点与点重合，又因为，
∴，
．
【点睛】此题考查了三角形综合题，关键是正确画出图形，根据直角三角形、相似三角形的性质求线段长．猜想：如图．在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明．