高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第一章第07讲第1章集合与常用逻辑用语章末题型大总结(学生版+解析)

这是一份高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第一章第07讲第1章集合与常用逻辑用语章末题型大总结(学生版+解析)，共57页。
第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结 题型01元素（集合）与集合【典例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列表示正确的个数是（    ）（1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ）A． B． C． D．【变式2】（多选）（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知集合，则下列关系正确的是（    ）A． B． C．⫋A D．⫋A【变式3】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 .题型02集合中元素的三个特性 【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【典例2】（23-24高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ．【变式1】（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ）A． B．1 C． D．【变式2】（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）设集合，集合，若，则 .【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合，则集合中的元素个数为 .题型03集合的表示方法综合 【典例1】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，则集合用列举法表示为 .【典例2】（23-24高一·全国·随堂练习）选择适当的方法表示下列集合：(1)对于一元二次函数，当时，所有x的取值组成的集合；(2)一元二次函数的所有函数值组成的集合；(3)抛物线上的所有点组成的集合；(4)在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合．【变式1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，用列举法可以表示为 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，试用列举法表示集合 .【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；(2)所有被3除余1的整数组成的集合；(3)使有意义的实数x组成的集合．(4)方程的解集．题型04子集（真子集）及其应用【典例1】（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ．【典例2】（19-20高二·广西防城港·期中）设集合，B＝．若，求实数a的取值范围 【变式1】（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ．【变式2】（23-24高一上·宁夏中卫·期中）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 .【变式3】（23-24高一上·福建福州·开学考试）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，则x的值为 .【变式4】（23-24高一·全国·单元测试）已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为 .题型05交集、并集、补集运算 【典例1】（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·广东江门·期中）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）A．或 B．或C． D．【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知集合，则（    ）A． B． C． D．题型06交集、并集、补集应用【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合(1)全集，求;(2)若，求实数a的取值范围．【典例2】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，集合(1)求集合､.(2)若集合，且，求实数的取值范围.【变式1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 .【变式2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知集合，.(1)若，求集合；(2)若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围.【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.题型07充分性与必要性的判断【典例1】（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【典例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，那么p的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C．或 D．【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型08根据充分性与必要性求参数【典例1】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合.(1)若，求；(2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围.【典例2】（23-24高一上·湖北咸宁·期末）设全集，集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【变式2】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.题型11等价转换思想【典例1】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合,．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【典例2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，．(1)若，求；(2)若，求的取值集合．【变式1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）已知集合，集合.(1)求；(2)若集合，，求实数a的取值范围.【变式2】（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，且题型13新定义题【典例1】（2024·北京·三模）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”:①；②；③，且中的最小元素大于中的最小元素；④，必有.(1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知是“无和划分”（）.①证明:对于任意，都有；②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于.【典例2】（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．【变式1】（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.(1)若，直接写出所有满足条件的集合；(2)若，且对任意，都有，求的最大值；(3)若且对任意，都有，求的最大值.题型14易错题型（容易忽略）【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，若，则实数组成的集合为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设集合，且，则实数的取值范围 ．【变式1】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值组成的集合是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，，若，则实数t的取值范围为 ．第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结题型01元素（集合）与集合【典例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解.【详解】当时，分别取，，，分别为，，；当时，分别取，，，分别为，，；当时，分别取，，，分别为，，，故，所有元素之和为.故选：B.【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列表示正确的个数是（    ）（1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、交集、子集等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】空集没有元素，所以正确，也即（1）正确；空集是任何集合的子集，所以正确，也即（2）正确；由解得，所以，所以（3）错误；若，即是的子集，所以，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知正确，也即（5）正确.所以正确的个数是.故选：A【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④.【详解】①正确；②空集不含任何元素，故错误；③因为空集是任何集合的子集，故正确；④因为，为点的集合，故，故错误.所以正确的个数为2.故选：B【变式2】（多选）（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知集合，则下列关系正确的是（    ）A． B． C．⫋A D．⫋A【答案】ABC【分析】利用元素与集合的关系判断选项ABD；利用集合间关系判断选项C.【详解】集合A中含有元素0，，选项A 判断正确；集合A中含有元素，，选项B 判断正确；集合A是二元素非空集合，⫋，选项C判断正确；0是元素不是集合，选项D判断错误.故选：ABC【变式3】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 .【答案】【分析】分别求出集合，，由且，从而可求解.【详解】由题意得，，因为且，所以，故的取值范围是.故答案为：.题型02集合中元素的三个特性 【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由题得可将中元素分组为,,,再根据题意得出是求的非空真子集个数即可.【详解】由题得, 若元素，则,可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在,故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合，又,故本题相当于求集合的非空真子集个数.即个.故选：C【典例2】（23-24高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为，显然，故，则；此时两集合分别是，则，解得或.当时，不满足互异性，故舍去；当时，满足题意.所以故答案为：.【变式1】（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ）A． B．1 C． D．【答案】CD【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】，因为，所以，则有：若，解得或，当时，，，不符合集合元素的互异性；当时，，，不符合集合元素的互异性；若，解得或，当时，，，不符合集合元素的互异性；当时，，，符合题意；若，解得或，当时，，，不符合集合元素的互异性；当时，，，符合题意；综上所述：或.故选：CD.【变式2】（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）设集合，集合，若，则 .【答案】【分析】根据交集的概念，结合集合中元素的互异性可得.【详解】因为，，，所以，，，，，当时，，集合满足题意，当时，或（舍去），此时，不满足题意，综上，故答案为：2【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合，则集合中的元素个数为 .【答案】【分析】求出分式不等式的解集，利用列举法写出集合中的元素即可求解.【详解】由可知，且，解得，则，即集合中的元素个数为，故答案为：.题型03集合的表示方法综合 【典例1】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，则集合用列举法表示为 .【答案】【分析】根据题中已知条件对的正负进行分类讨论即可得出结果.【详解】由可得或，当时，若，则，若，则；当时，若，则，若，则；根据集合元素的互异性可知，列举法表示为.故答案为：【典例2】（23-24高一·全国·随堂练习）选择适当的方法表示下列集合：(1)对于一元二次函数，当时，所有x的取值组成的集合；(2)一元二次函数的所有函数值组成的集合；(3)抛物线上的所有点组成的集合；(4)在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据题意，分别用列举法或描述法表述即可．【详解】（1）对于一元二次函数，当时，所有x的取值组成的集合为．（2）一元二次函数的所有函数值组成的集合为；（3）抛物线上的所有点组成的集合为；（4）由题可，故若，则，若，则，若，则，所以，在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合为．【变式1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，用列举法可以表示为 【答案】【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可.【详解】根据集合中的可知可以取；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；即符合题意的的值可以取，对应的值依次是，所以可得集合列举法可以表示为.故答案为：【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，试用列举法表示集合 .【答案】【分析】根据，可得可取，分布求出对应的，即可得解.【详解】解：因为，所以可取，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故答案为：.【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；(2)所有被3除余1的整数组成的集合；(3)使有意义的实数x组成的集合．(4)方程的解集．【答案】(1)(2)(3)且(4)【分析】（1）根据点的特点得出解集；（2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集；（3）解不等式即可；（4）解方程得出解集.【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为．（2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为．（3）要使有意义．则．解得且．∴使有意义的实数x组成的集合为且．（4）由，解得．∴方程的解集为．题型04子集（真子集）及其应用【典例1】（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可.【详解】因为由于所以可以分为三种情况：①当为空集时，，解得；②当不为空集时，当时，，此时，满足题意.当时，，有韦达定理得，此时无解，综上：故实数的取值范围是.故答案为：【典例2】（19-20高二·广西防城港·期中）设集合，B＝．若，求实数a的取值范围 【答案】或【分析】分类讨论，、、四种情况讨论，再求并集即可.【详解】因为，所以或或或，当时，方程无实根，所以，解得； 当时，方程有两个相等的实根，所以 ，解得：；当时，方程有两个相等的实根，所以 ，此时无解；当时，方程有两个不相等的实根，所以，解得：；综上所述：或，【点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系，分类讨论的思想，属于中档题.【变式1】（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ．【答案】【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值.【详解】因为，所以或，或，又由集合中元素的互异性可知且且，且，综上.故答案为：.【变式2】（23-24高一上·宁夏中卫·期中）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 .【答案】或【分析】求出集合的取值范围，根据，可得到集合的范围，从而确定实数a的取值范围，要注意考虑为空集的情况【详解】由题可得，集合，当时，，满足；当时，，若，则，且，即综上可得，实数a的取值范围是或故答案为：或【变式3】（23-24高一上·福建福州·开学考试）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，则x的值为 .【答案】1或.【分析】解方程+x2+3x﹣4=0，即得或，检验即得解.【详解】因为{0}A，所以+x2+3x﹣4=0，所以或.当时，7a+1+3﹣4=0，所以，集合A=，满足题意；当时，或,集合A=，满足题意.故答案为：1或.【变式4】（23-24高一·全国·单元测试）已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为 .【答案】【分析】求出集合A，根据B⊆A，分B＝∅或B≠∅两种情况进行讨论，列不等式组，即可求出m的范围.【详解】A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}＝{x|－1≤x≤6}.∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m