高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第三章第07讲第3章函数的概念与性质章末题型大总结(学生版+解析)

这是一份高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第三章第07讲第3章函数的概念与性质章末题型大总结(学生版+解析)，共80页。
第07讲 第三章 函数的概念与性质 章末题型大总结 题型01求函数的定义域【典例1】（23-24高一上·广东惠州·期中）函数定义域为 ．【典例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ．【典例3】（23-24高一上·四川·阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为 .【变式1】（23-24高一上·江苏·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·天津北辰·期中）设函数，则的定义域为 ．【变式3】（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域(1)(2)(3)题型02求函数的值域 【典例1】（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ．【典例2】（2024高一·全国）函数的值域是 ．【典例3】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若，，求函数的值域 .【变式3】（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ．题型03求函数解析式 【典例1】（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数是一次函数，满足，则 .【典例2】（23-24高一上·辽宁·期中）已知为二次函数，且，．(1)求的解析式：(2)若，试求的最小值．【典例3】（23-24高一上·宁夏银川·期中）分别求满足下列条件的的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求函数的解析式；【变式1】（23-24高一上·四川泸州·期中）已知，则函数的解析式为 【变式2】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知二次函数满足．(1)求的解析式；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．【变式3】（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知函数满足．(1)求的解析式；(2)判断的奇偶性，并说明理由．【变式4】（23-24高一上·贵州·阶段练习）（1）已知，求函数的解析式.（2）已知函数满足，求函数的解析式.题型04分段函数 【典例1】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ）A．2 B．3 C． D．5【典例2】（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数是减函数，则的取值范围是（   ）A． B．C． D．【典例3】（2024·全国·模拟预测）若函数的值域为，则的一个值为 ．【变式1】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知为奇函数，则（    ）A．0 B．1 C．-1 D．2【变式2】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ．【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 .题型05函数图象 【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ）A．    B．  C． D．  【典例2】（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ）A．   B．  C．   D．  【典例3】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象.A． B． C． D．【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高三下·天津·阶段练习）函数的图象是下列的（    ）A． B．C． D．【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）结合函数的的图象，写出该函数的一条性质： ．题型06函数单调性 【典例1】（2024高一·全国）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）．A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ．【典例3】（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.【典例4】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)讨论函数在上的单调性，并加以证明．【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且．(1)求实数a的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义加以证明.【变式3】（23-24高一上·天津宁河·期末）已知函数，且.(1)求实数m的值；(2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增.(3)若，求值域.题型07函数奇偶性 【典例1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ）A．19 B． C．1 D．【典例2】（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ）A． B． C． D．【典例3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 .【典例4】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求时，函数的解析式；(2)若函数的最小值为2，求实数的取值.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数为奇函数，则（    ）A． B． C．1 D．2【变式2】（多选）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ）A． B．0 C．1 D．2【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ．题型08单调性和奇偶性综合 【典例1】（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【典例3】（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的实数的取值范围是（   ）A．B． C． D．【典例4】（23-24高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【变式1】（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一上·福建厦门·期末）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ）A． B．C． D．题型09函数模型【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·河南·期中）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米．(1)求y关于x的函数；(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？【典例3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）(1)求出的值，并将表示为的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）C．已知则存在实数a，使得D．已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值在上的取值范围是（m是常数），则称函数具有性质M．(1)当时，函数是否具有性质M？若具有，求出区间；若不具有，说明理由；(2)若定义在上的函数具有性质M，求m的取值范围．（本题中函数的单调性不必给出证明）【典例3】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）对于函数，记，，，…，，其中.(1)若函数是一次函数，且，求的最小值；(2)若，且，求；(3)设函数（），记，，若，证明：.【变式1】（23-24高一下·上海·开学考试）给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题：①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）；②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（    ）A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题【典例2】（2024高一·全国）已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（    ）．A．或 B．或C．或 D．或【典例3】（23-24高一下·全国·课后作业）讨论函数，画出它的图象，并观察其性质.【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【变式2】（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3】（多选）（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ）A． B． C．0 D．8题型13分类讨论的思想 【典例1】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ．【典例2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，满足.(1)求值；(2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围；(3)设当时，函数的最小值为，求的解析式.【变式1】（23-24高一上·贵州贵阳·期末）已知函数，若，则该函数的零点为 ．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．【变式2】（2024高一上·上海·专题练习）已知函数．(1)在区间上为增函数，求实数的取值范围；(2)是否存在实数使函数恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．第07讲 第三章 函数的概念与性质 章末题型大总结 题型01求函数的定义域【典例1】（23-24高一上·广东惠州·期中）函数定义域为 ．【答案】【分析】根据二次根式和分式的意义可得.【详解】要使有意义，则，解得，所以定义域为，故答案为：.【典例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ．【答案】【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为0求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以要使函数有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【典例3】（23-24高一上·四川·阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为 .【答案】【分析】根据抽象函数的定义域求的定义域即可.【详解】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，则函数中，所以，即的定义域为.故答案为：.【变式1】（23-24高一上·江苏·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为，又因为，即，所以函数的定义域为，故选：A.【变式2】（23-24高一上·天津北辰·期中）设函数，则的定义域为 ．【答案】【分析】确定函数的定义域为，再根据抽象函数的定义域计算得到答案.【详解】函数的定义域满足：，故，的定义域满足：，解得，故定义域为.故答案为：【变式3】（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合.【详解】（1）要使分式有意义，则，由任意，恒成立，故函数的定义域为；（2）要使式子各部分有意义，则，解得，且.故的定义域为；（3）要使分式有意义，则，当时，，则在恒有意义；当时，，则，无意义；综上可知，的定义域为.题型02求函数的值域 【典例1】（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ．【答案】2【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可.【详解】令，则原函数化为函数函数图像如下：  由对勾函数性质得在上单调递增，所以当时，函数取最小值故答案为：2【典例2】（2024高一·全国）函数的值域是 ．【答案】【分析】利用换元法，设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域；也可以设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域.【详解】法一：由题且，令，则，且，∴且.故函数的值域是.法二：由题且，令，则，，且，∴且.故函数的值域是.故答案为：.【典例3】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则，解得，综上，.故选：C.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）求函数的值域【答案】【分析】设，换元可得，结合二次函数性质求其值域即可.【详解】函数，定义域为，令，所以，所以，函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线，所以时，函数取最大值，最大值为，故函数的值域为【变式2】（23-24高一上·北京·期中）若，，求函数的值域 .【答案】【解析】将代入，得到的解析式，然后利用换元法求出值域．【详解】要使函数成立，则，即，将函数代入得：，令，则，所以，又或，故函数的值域为.故答案为：.【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单，可先将的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；（2）采用换元法，令，计算的值域即的取值范围，然后计算的值域【变式3】（23-24高一·江苏·假期作业）已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ．【答案】 5 5【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立.【详解】由,得,由，得若，则,即,由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9,故有，解得.当时,也符合题意,∴.故答案为：5；5.题型03求函数解析式 【典例1】（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数是一次函数，满足，则 .【答案】或【分析】设，根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得.【详解】设，则，所以，解得或，所以或.故答案为：或【典例2】（23-24高一上·辽宁·期中）已知为二次函数，且，．(1)求的解析式：(2)若，试求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据求出，由得到，求出、，即可求出解析式；（2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.【详解】（1）设，∵，∴．又∵，∴，解得，∴．（2）由（1）知，，则对称轴为，开口向上，若，则在上是增函数，；若，即，则在上是减函数，；若，即，则．综上可得．【典例3】（23-24高一上·宁夏银川·期中）分别求满足下列条件的的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求函数的解析式；【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用配凑法求出解析式即得.（2）根据给定条件，利用方程组的方法求解即得的解析式.【详解】（1）依题意，，所以.（2）由，得，于是，消去得，所以函数的解析式为.【变式1】（23-24高一上·四川泸州·期中）已知，则函数的解析式为 【答案】【分析】用换元法求解．【详解】设，则，，所以，所以，故答案为：．【变式2】（23-24高一上·山东泰安·期中）已知二次函数满足．(1)求的解析式；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法，设，结合题中条件，即可求出的解析式；（2）参变分离后，不等式化为，求得的最大值即可.【详解】（1）设二次函数，因为，所以，化为，所以，所以（2）若对于，恒成立，即，恒成立，又，故当时，，故的取值范围为【变式3】（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知函数满足．(1)求的解析式；(2)判断的奇偶性，并说明理由．【答案】(1)(2)为奇函数，理由见解析【分析】（1）利用换元法即可求得函数解析式;（2）利用奇偶性定义判断函数奇偶性即可.【详解】（1）因为，令，则，则，所以.（2）为奇函数，理由如下：因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数.【变式4】（23-24高一上·贵州·阶段练习）（1）已知，求函数的解析式.（2）已知函数满足，求函数的解析式.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用换元法或配凑法运算即可得解.（2）利用方程组法运算即可得解.【详解】（1）解法一（换元法）：令, 则，则有，所以函数的解析式为.解法二（配凑法）：. 因为，所以函数的解析式为.注：未写范围扣2分.（2）解：因为     ①所以     ②联立①②式消去可解得：.题型04分段函数 【典例1】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ）A．2 B．3 C． D．5【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】依题意，，所以.故选：A【典例2】（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数是减函数，则的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】由条件可知，,故选：C.【典例3】（2024·全国·模拟预测）若函数的值域为，则的一个值为 ．【答案】1（答案不唯一）【分析】分，两种情况分类讨论可求得的取值范围．【详解】当时，．若，则当时，，要使的值域为，需，即，与矛盾．若，则当时，．若的值域为，则，即或，可取的一个值为1，答案不唯一，满足或的数都可以．故答案为：1(答案不唯一)．【变式1】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知为奇函数，则（    ）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】A【分析】根据奇函数的定义建立方程，解得参数，根据分段函数的解析式，可得答案.【详解】由题意可知，不妨设，则，即，.故选:A.【变式2】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ．【答案】【分析】分，和进行不等式求解.【详解】当时，，，得，所以；当时，，，得，所以；当时，，，得，所以无解；综上所述，不等式的解集为.故答案为：【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 .【答案】【分析】分别利用二次函数及一次函数性质限定出两段函数中参数的取值范围，再由单调性比较出两函数端点处的取值大小即可求得结果.【详解】根据题意可知函数在上单调递增，且函数在上单调递增；又函数在上是增函数，需满足，解得；所以的取值范围是.故答案为：.题型05函数图象 【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）函数的图象可能是（    ）A．    B．  C． D．  【答案】C【分析】根据的定义域即可判断.【详解】由于，得，所以的定义域是，由此排除ABD选项，所以正确的选项为C.故选：C.【典例2】（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】C【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像.【详解】  因为，可得函数的大致图像如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像.故选：C【典例3】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象.A． B． C． D．【答案】C【分析】由图②的图象都为线段，即的自变量形式必须为非正，形式为，然后把此函数图象绕x轴翻转180°即可．【详解】由图②的图象为两条线段，所以的自变量无论取何值，总体必须为非正，所以其形式为，再将此函数图象绕x轴翻转180°，即，此时，得到图②的形状.故选：C【变式1】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）函数的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可.【详解】，结合图形可知C适合题意.故选：C.【变式2】（23-24高三下·天津·阶段练习）函数的图象是下列的（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域可排除B；求出的奇偶可排除C，D.【详解】因为函数的定义域为，解得：，故B错误.，则函数为奇函数，故C，D错误；故选：A.【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）结合函数的的图象，写出该函数的一条性质： ．【答案】其图象关于直线轴对称（答案不唯一）【分析】结合函数解析式，在坐标系中画出函数图象，可以写出函数的对称性.【详解】利用翻折变换，可得函数的图象如图所示，显然其图象关于直线轴对称．（答案不唯一）故答案为：其图象关于直线轴对称（答案不唯一）题型06函数单调性 【典例1】（2024高一·全国）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数单调性的定义和偶函数的性质求解即可.【详解】因为对任意的，且，都有，所以由函数单调性的定义可知在上单调递减，所以，又是偶函数，，所以，故选：A【典例2】（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ．【答案】【分析】根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可.【详解】由题设，显然在上递增，要使函数在区间上是严格增函数，则，即.故答案为：【典例3】（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.【答案】(1)(2)在区间上为严格增函数，证明见解析【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则有，解得，又由，解得，所以，定义域为，且，所以；（2）在区间上为严格增函数．证明如下：设任意，则，由，得，即，，，所以，即，故在区间上为严格增函数．【典例4】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)讨论函数在上的单调性，并加以证明．【答案】(1)为奇函数，理由见解析(2)当时，单调递减，当时，单调递增，理由见解析【分析】（1）求出定义域，计算出，得到答案；（2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.【详解】（1）为奇函数，理由如下：的定义域为R，又，故为奇函数；（2）当时，单调递减，当时，单调递增，，且，则，因为，且，所以，当时，，即，故单调递减，当时，，即，故单调递增，【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性与单调性得：，解不等式即可.【详解】因为为奇函数，且，所以；又在区间上单调递增，所以，有，即，解得.故选：D【变式2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且．(1)求实数a的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义加以证明.【答案】(1)(2)奇函数；证明见解析(3)函数在上为单调递增函数；证明见解析【分析】（1）代入可直接求出；（2）利用奇函数的定义证明即可；（3）利用单调性的定义证明即可，具体为在定义域上取，代入函数解析式作差后通分即可证明.【详解】（1）因为函数且，所以.（2）函数为奇函数，证明如下：因为，，且函数定义域为，所以，故函数为奇函数.（3）函数在上为单调递增函数，证明如下：任取，且令，，因为，所以，故函数在上为单调递增函数.【变式3】（23-24高一上·天津宁河·期末）已知函数，且.(1)求实数m的值；(2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增.(3)若，求值域.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由，代入函数解析式，求实数m的值；（2）定义法证明的单调性； （3）由函数单调性求区间内函数的值域.【详解】（1）由，得；（2）由（1）可知，，任取，则，，，有，即，所以在区间上单调递增.（3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，，，，所以时，值域为.题型07函数奇偶性 【典例1】（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ）A．19 B． C．1 D．【答案】D【分析】利用奇函数的性质即可求解.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以.故选：D.【典例2】（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，得到，显然，由图象关于轴对称，得到，解得，所以，满足要求，得到.故选：A.【典例3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足，可得，联立方程组，解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii) 若，在单调递增，满足题意；(iii) 若，则对称轴恒成立；综上可得，，即实数的取值范围为.故答案为：.【典例4】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求时，函数的解析式；(2)若函数的最小值为2，求实数的取值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，得到，再利用函数是定义在上的奇函数求解；（2）易得，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：设，则，因为当时，，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以；（2）函数，其对称轴方程为，当时，，解得，成立；当时，，解得，不成立；当时，，解得，不成立；故a的值为.【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数为奇函数，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意，由奇函数的定义即可得到，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，解得，可知，所以，故选：A.【变式2】（多选）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可.【详解】因为函数是奇函数，则不等式，可变形为，因为函数在上单调递增，则不等式成立，则，解得，1，2符合题意，故选：CD.【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则 ．【答案】6【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出.【详解】解：令，，所以为奇函数，所以，所以，所以，所以．故答案为：6.题型08单调性和奇偶性综合 【典例1】（23-24高一下·山东淄博·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意可得在上单调递增，根据奇偶性和单调性可得不等式的解集.【详解】不妨令，则，因为，所以，即，所以在上单调递增，又为定义在上的奇函数，则，则在上单调递增，又，所以，①当时，不等式等价于，等价于，等价于，等价于，解得，②当时，不等式等价于，等价于，等价于，等价于，解得，综上可得，不等式的解集为.故选：C【典例2】（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得.【详解】把代入可得：，易得：，则，显然函数的定义域为R，由知为偶函数.且，由，因故，即，故函数在上为增函数.由，将两边平方整理可得：，解得：或.故选：C.【典例3】（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的实数的取值范围是（   ）A．B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，由此求得正确答案.【详解】依题意，偶函数在区间上单调递增，则由得，即或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：A【典例4】（23-24高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【答案】【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可.【详解】因为是定义域为上的偶函数，成立，所以，，则，又因为在上严格减函数，所以，平方得，解得，所以.故答案为：【变式1】（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可.【详解】因为是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减.易得，所以由得;由得，故不等式的解集是.故选:D.【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和单调性分两种情况，解不等式，求出答案.【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，所以当或时，；当时，，因为，所以或，所以或，解得或，则不等式的解集是．故选：A．【变式3】（23-24高一上·福建厦门·期末）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集.【详解】不妨设，，故在上单调递增，因为为定义在上的奇函数，所以，故定义域为，且，故为偶函数，因为，所以，，所以，解得或.故选：A题型09函数模型【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意设，代入求解，然后计算出的体重，确定选项.【详解】根据题意设，当，,则，当，则，所以故选：D【典例2】（23-24高一上·河南·期中）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米．(1)求y关于x的函数；(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？【答案】(1)(2)判断在其定义域单调递减;证明见解析(3)设计展牌的长为6和宽为2【分析】（1）注意函数的定义域即可；（2）利用定义法证明单调性即可；（3）利用基本不等式求解即可.【详解】（1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：，，其中,,故即.（2）判断在其定义域单调递减，任取则，因为所以，所以在其定义域单调递减.（3）展牌的周长即.当且仅当，时，等号成立.此时.所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16.【典例3】（23-24高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）(1)求出的值，并将表示为的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？【答案】(1)，(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.【详解】（1）由题知，时，，于是，，解得.所以，.根据题意，即所以（2）当且仅当，即时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象.【详解】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m，则，且，由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.故选：A【变式2】（23-24高三上·上海静安·阶段练习）在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为.(1)当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？(2)当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？【答案】(1)6秒(2)，【分析】（1）由题意可知：，分和两种情况解不等式即可；（2）根据题意结合单调性可得当时，，且在内恒成立，分析求解即可.【详解】（1）当时，则，由题意可知：，若，则，解得；若，则，解得；综上所述：，所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为（秒）.（2）令，解得，可得，因为在上单调递增，由题意可得：当时，，解得；且在内恒成立，则，解得；综上所述：，.【变式3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．(1)求利润函数及利润函数的最大值；(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．【答案】(1)利润函数，最大值为（元）(2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意知，，易得的对称轴为，所以当或时，取得最大值为（元）．所以利润函数，最大值为（元）；（2）依题意，得（元）.当且仅当时等号成立，即时，等号成立．所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．题型10抽象函数问题 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（    ）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；法一：令，可得，进而可求，判断B；法二：令，可求，判断B；法一：由B可得，可判断CD；法二  令，可得，判断CD.【详解】 A：令，得，即，所以或．当时，不恒成立，故，A错误．B：解法一  令，得，又，所以，故，B错误．解法二  令，得，又，所以，B错误．C：解法一  由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．解法二  令，得，又，所以，所以，结合选项得C错误，D正确．综上可知，选D．故选：D.【典例2】（多选）（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且，则（    ）A． B．为奇函数C．不存在零点 D．【答案】ACD【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，令，可得，因为，所以，所以A正确；对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合，所以函数不是奇函数，所以B不正确；对于C中，由，令，可得，即，解得或，所以函数没有零点，所以C正确；对于D中，由，令，可得，所以，即，所以D正确.故选：ACD．【典例3】（多选）（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论错误的是（   ）A． B．C．为奇函数 D．的图象关于中心对称【答案】ACD【分析】利用赋值法、函数的奇偶性和对称性，逐项判断即可.【详解】对于选项A，令得，解得或，令，得，由的值域为，所以时，，不合题意，所以，A说法错误；对于选项B，令得，所以或，令，得，即，由的值域为，所以，令得，所以或，由的值域为，所以，B说法正确；对于选项C，令得，因为，所以，所以为偶函数，C说法错误；对于选项D，若图象关于中心对称，则，由于定义域为，值域为，若，则必有，与题设矛盾，故D说法错误；故选：ACD【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解.【详解】令，得，所以；令，，得，又，所以；令，得；令，，得.故选：D.【变式2】（多选）（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（    ）A． B．是偶函数C． D．的图象关于对称【答案】BCD【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.【详解】因为，，令可得，解得或，又当时，恒成立，所以，故A错误；令，，则，即，所以为偶函数，故B正确；令，，则，所以，令，，则，所以，故C正确；令可得，令，可得，又，所以，即，所以，所以的图象关于对称，故D正确.故选：BCD【变式3】（多选）（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则A． B．是奇函数（    ）C．是奇函数 D．恒成立【答案】ACD【分析】采用赋值法逐项分析，取，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取，若存在，则，可判断D.【详解】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确；取，则，所以，即B错误；因为，所以，所以，即C正确；取，已知函数在上单调递增，则，又，若存在，则，所以，即D正确.故选：ACD.题型11新定义题【典例1】（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（    ）A．已知，且，则B．已知，若，则对任意，都有C．已知则存在实数a，使得D．已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得【答案】D【分析】根据函数新定义，对于A，就分类讨论即得；对于B，利用具体函数验证法排除；对于C，运用反证法思路，结合二次函数图象排除；对于D，对于存在性命题，只需列举一种情况说明正确即得.【详解】对于A，，当时，，故得；当时，，故得，即，故A错误；对于B，取，则，满足，，但对于任意，不能保证恒成立，故B错误；对于C，假设存在实数，使得，若，则，矛盾；若，即时，，矛盾；若，则，矛盾；若，则，矛盾,若，则，矛盾.故C错误；对于D，对任意的实数，只要满足是的子集，就有,于是，,故D正确.故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数新定义的应用，属于难题.对于函数新定义选择题型，必须准确把握定义要求，根据信息利用具体函数排除法，反证法，分类讨论法以及数形结合法一一判断选项即可.【典例2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值在上的取值范围是（m是常数），则称函数具有性质M．(1)当时，函数是否具有性质M？若具有，求出区间；若不具有，说明理由；(2)若定义在上的函数具有性质M，求m的取值范围．（本题中函数的单调性不必给出证明）【答案】(1)在区间上具有性质M(2)．【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，根据题意，解得即可;（2）分为和两种情况，，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不相等的实根，构造函数结合函数性质求出参数范围.【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上函数值的取值范围是，若函数具有性质M，应有因为，所以，故时，函数在区间上具有性质M．（2），①当时，在上单调递减，∴，即，两式相除，得，整理得，∵与矛盾，∴当时，不合题意．②当时，在上单调递增，∴，即所以方程在上有两个不相等的实根，即在上有两个不相等的实根，令，∵在上单调递增，在上单调递减，且，，∴由图可知，实数m的取值范围是．【典例3】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）对于函数，记，，，…，，其中.(1)若函数是一次函数，且，求的最小值；(2)若，且，求；(3)设函数（），记，，若，证明：.【答案】(1)0(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，结合基本不等式，可得答案；（2）根据题意，整理递推公式，可得答案；（3）根据二次函数的性质，利用递推公式，整理不等关系，可得答案.【详解】（1）设，，，又因为，所以，所以，所以，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为0．（2）因为，易知，所以，又．（3）因为，即无解，所以若，则，即，所以，即，所以时，无解，同理若，即，所以时，无解，综上．【变式1】（23-24高一下·上海·开学考试）给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题：①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）；②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（    ）A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题C．①真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题【答案】A【分析】根据定义可得都有，利用递推关系可证都有，可证命题①；对于命题②，将看成自变量每次增量为，共增了次，也可以看成自变量每次增量为，共增了次，从两方面计算，即可证明.【详解】对命题①：对于集合使，则，而是“封闭”函数，则，即都有，对于集合使，则，而所以即，故一定是“封闭”函数，所以①是真命题；对命题②：对于任意，我们估计的范围.一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则；另一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则.由此可得，即，即一定是“关联”的，所以②为真命题.故选：A【变式2】（多选）（23-24高一上·安徽宣城·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的结论中正确的是（    ）A．在上是单调递增函数 B．是奇函数C．是周期函数 D．的值域是【答案】ACD【分析】首先使得，从而，进一步有，由此可判断C；结合周期性可判断ADB三个选项.【详解】因为使得，所以此时，，所以，所以是周期为1的周期函数，故C正确；对于D，我们只需考虑在上的值域即可，此时，故D正确；对于A，因为在上单调递增，而是周期为1的周期函数，所以在上是单调递增函数，故A正确；对于B，因为是周期为1的周期函数，所以，即不是奇函数，故B错误.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：关键是首先得出使得，进一步得出是周期为1的周期函数，由此即可顺利得解.【变式3】（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；(2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；(3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可；（2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可；（3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可.【详解】（1）对任意的，且，.显然有，所以函数是函数在上的“L函数”；（2）因为函数是函数在上的“L函数”，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，化简得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，解得；（3）对于，不妨设，（i）当时，因为函数是函数在上的“L函数”，所以.此时成立；（ii）当时，由得，因为，函数是函数在上的“函数，所以，此时也成立，综上，恒成立.【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可.题型12数形结合的思想【典例1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解.【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且，所以当时，；当时，，所以；当时，，所以，函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到，作出函数在上的图象，如图所示．由图可知不等式在上的解集为．故选：B．【典例2】（2024高一·全国）已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（    ）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】根据已知条件作出函数的大致图象，结合函数图象即可求解不等式的解集.【详解】因为是奇函数，所以，因为在内是减函数，且是奇函数，所以在内是减函数，作出函数的大致图象如图所示不等式等价于或，结合的图象，解得或，即或，所以的解集是或.故选：D.【典例3】（23-24高一下·全国·课后作业）讨论函数，画出它的图象，并观察其性质.【答案】答案见解析【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，观察图象即可得到周期性等.【详解】函数是指一个数减去不超过这个数的最大整数.由于，所以，它的图象如图：观察图，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变.这种变化是重复进行的，所以该函数变化也是一种周期变化，故函数为定义域为R且周期为1的函数，值域为，在区间上为增函数，这个函数是物理中很有用的锯齿波函数.【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对任意的，都有，得在上单调递减，由函数是定义在上的奇函数得，，在上单调递减，画出的简图，即可求解．【详解】对任意的，都有，所以在上单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，，，所以在上单调递减，则可画出的简图，如图所示，  所以，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，，此时，无解；所以的取值范围是，故答案为：.【典例2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，满足.(1)求值；(2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围；(3)设当时，函数的最小值为，求的解析式.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解；（3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数满足，则，解得.（2）由（1）可知：，若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，则在上恒成立，即在上恒成立，则，解得或（舍去），当时，开口向上，要想成立，则要，解得，故，综上，实数的取值范围为.故答案为：；【变式2】（2024高一上·上海·专题练习）已知函数．(1)在区间上为增函数，求实数的取值范围；(2)是否存在实数使函数恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，转化为恒成立，得到，求得，分和，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由函数，要使得函数为上的增函数，则满足，解得，所以实数的取值范围为.（2）解：令，要使得函数恒成立，则恒成立，只需，可得，当时，，符合题意；当时，当时，恒成立，只需在时，恒成立，i)当时，在上单调递增，则，所以；ii) 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，可得，所以，综上可得，实数的取值范围为.