高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5.1 全称量词与存在量词学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5.1 全称量词与存在量词学案设计，共41页。学案主要包含了即学即练1等内容，欢迎下载使用。

知识点01：全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点02：存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【即学即练1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语
题型01 判断全称命题与特称命题
【典例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．所有正方形都是矩形B．，使
C．至少有一个实数，使D．，使
【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
【变式1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对任意非正数c，若，则
C．有些菱形不是平行四边形
D．对任意实数x，不等式恒成立
【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
(1)实数都能写成小数；
(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；
(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；
(4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数．
题型02全称命题与特称命题的否定
【典例1】（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【典例2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024高二下·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型03 全称命题、特称命题与充分（必要）条件
【典例1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
【典例2】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，．
(1)时，求
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围.
是 .
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若，方程恒有解，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围为
【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）若命题“，”为假命题，求的取值范围．
题型08 方法二：变量分离法
【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
10．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（23-24高一上·吉林·阶段练习）命题“”的否定是 .
12．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题，命题q：.
(1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由.
14．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知命题p：，，命题q：，使得
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.
B能力提升
1．（23-24高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
C新定义题型
1．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ）
A．①②都是真命题B．①是真命题②是假命题
C．①是假命题②是真命题D．①②都是假命题
2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 .
①具有性质；
②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则.课程标准
学习目标
①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法.
②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求
1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求.
2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题.
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
第05讲 1.5全称量词与存在量词
知识点01：全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点02：存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【即学即练1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语
题型01 判断全称命题与特称命题
【典例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．所有正方形都是矩形B．，使
C．至少有一个实数，使D．，使
【答案】C
【分析】先判断量词，然后判断命题真假即可.
【详解】A.所有正方形都是矩形为全称量词命题，故A错误；
B.，使为存在量词命题，，方程无解，该命题为假命题，故B错误；
C.至少有一个实数，使为存在量词命题，当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确；
D. ，使为存在量词命题，无解，故D错误；
故选：C
【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
【答案】(1)全称量词命题
(2)存在量词命题
(3)全称量词命题
(4)全称量词命题
【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可
【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题；
（2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题；
（3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题；
（4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题.
【变式1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对任意非正数c，若，则
C．有些菱形不是平行四边形
D．对任意实数x，不等式恒成立
【答案】ABD
【分析】ABD选项，为全称量词命题，且可推出为真命题；C选项为存在量词命题，错误.
【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确；
B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确；
C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误；
D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题，
因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确.
故选：ABD
【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
(1)实数都能写成小数；
(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；
(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；
(4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数．
【答案】(1)不是
(2)是；“有些”
(3)是；“存在”
(4)是；“存在”
【分析】根据存在量词命题的判断即可得到答案.
【详解】（1）不是
（2）是；存在量词是“有些”；
（3）是；存在量词是“存在”；
（4）是；存在量词是“存在”.
题型02全称命题与特称命题的否定
【典例1】（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可.
【详解】全称量词命题：，它的否定为：.
所以命题“”的否定是“”.
故选：D.
【典例2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：D
【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题的否定是.
故选：C
【变式2】（2024高二下·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.
【详解】命题“，”的否定为“，”，
故选：C.
题型03 全称命题、特称命题与充分（必要）条件
【典例1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）由，根据，分类求参数即可；
（2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或，
进而可得时的取值范围.
【详解】（1）若，满足，此时，即，
当时，要使，则，即，即，
综上实数的取值范围为或.
（2）命题：“，使得”是真命题，等价于，
若时，
当，满足，此时，即，
当时，，
若，则满足或，
即或，
综上若，得或，
则当时，即实数的取值范围是.
【典例2】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
（2）由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，

故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，的取值范围是.
【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解；
（2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立，
可得，解得，所以实数的取值集合为.
（2）解：由“”是“”的充分条件，可得，
因为，，
当时，可得，解得，此时满足；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.或
【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，．
(1)时，求
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别化简集合，再求并集即可；
（2）转化为，讨论B是否为空集列不等式组求解.
【详解】（1）
时，=，
故=；
（2）若命题：“，”是真命题，则，
若，
若，解得，
综上得.
【变式3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解.
（2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，
所以实数a的取值范围是.
（2）命题“，则”是真命题，所以.
当时，，解得；
当时，，解得，所以.
综上所述，实数a的取值范围是.
【变式4】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据充分不必要条件与集合的等价关系可知，A是B的真子集，即可解出；
（2）根据题意可知B是A的子集，即可解出.
【详解】（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
则，等号不能同时取到，
所以；
（2）命题“，则”是真命题，所以，
因为，则，又，
所以.
题型04 根据全称命题的真假求参数
【典例1】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案．
【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，
则方程有实数根，即．
故选：A．
【典例2】（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据命题为真得到，解得答案.
【详解】命题“”是真命题，则，解得.
故答案为：.
【典例3】（2024高一·江苏·专题练习），恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意可得，结合恒成立问题分析求解.
【详解】因为，则，
令，则，
若，恒成立，则，解得，
所以m的取值范围为．
【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求命题对应的取值范围，再判断.
【详解】由，即在恒成立，
，开口向上，对称轴为，则其最大值为，
则，则它的一个充分条件，范围应该比较它小，A选项满足.
故选：A
【变式2】（23-24高一上·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知：对，恒成立，根据恒成立问题结合一次函数列式求解.
【详解】由题意可知：对，恒成立，
则，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
题型05 根据特称命题的真假求参数
【典例1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据命题的否定为真，转为最值求解即可.
【详解】，
是假命题，则其否定恒成立为真，
又
故，
故选：B
【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“使不等式”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】依题意可得“使不等式”为真命题，将原不等式整理成关于的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论
【详解】解：因为命题“使不等式”为假命题，则其否定 “使不等式”为真命题，
所以不等式，可化为，
当，即时，恒成立，合题意．
当时，要使不等式恒成立，需即，解得．
综上可得的取值范围为．
【点睛】本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
【变式1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）命题是假命题，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据原命题与它的否定的真值相反性质将命题转化为真命题，再分类考虑即得.
【详解】由命题是假命题可知：命题是真命题，
即有：①当时，不等式恒成立；
②当时，须使
解得：
综上所述,可知的范围是
故选：D.
【变式2】（多选）（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【详解】由题意，存在，使得，即，
当时，即时，的最小值为，故；
所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
【变式3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合．
(1)若，求实数的值；
(2)若命题为真命题，求实数的值．
【答案】(1)4
(2)0
【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案；
（2）根据两个方程有公共解可求实数的值．
【详解】（1）因为，所以，解得；
（2）因为命题为真命题，
所以方程组有公共解，解得，
当时，经检验知，符合题意.
题型06 简单的恒成立与有解问题
【典例1】（23-24高一上·四川绵阳·期中）命题：“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，即可求解.
【详解】由命题：为真命题，则满足，解得.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案.
【详解】不等式在上恒成立，则，解得.
故答案为：
【变式1】（2024·海南·模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为，即可求解.
【详解】因为，使得，又因为，所以，
所以实数的取值范围为．
故选：B.
【变式2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】BCD
【分析】
将条件转化为对应方程有根问题，分和两种情况，进行求解即可．
【详解】
命题：，，为真命题，
即有根，
当时，成立，
当时，需满足，解得且，
的取值范围为，
故选：BCD．
【变式3】（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】取得到，恒成立，得到答案.
【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题.
故答案为：
题型07 方法一:判别法
【典例1】（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据得到答案.
【详解】，，为真命题，故，
解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若，方程恒有解，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】当时，；当时，得，即恒成立，再根据判别式小于等于可得结果.
【详解】当时，方程恒有解，所以；
当时，∵方程恒有解，
∴恒成立，即恒成立.
又是一个关于的一元二次不等式，
∴，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】依题意可得为真命题，再结合判别式法，即可求解．
【详解】因为是假命题，则为真命题，
故，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）若命题“，”为假命题，求的取值范围．
【答案】（1）.
【分析】（1）由题意“，”为真命题，进而有，即可求参数范围.
【详解】（1）命题“，”为假命题，
命题的否定“，”为真命题，
，即，解得，
实数的取值范围是.
题型08 方法二：变量分离法
【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求．
【详解】因为命题“”为假命题，
所以“”为真命题，
所以，
所以当时，，
根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，
所以，
故选：A.
【典例2】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据已知条件，将原题转化为函数恒成立问题，结合参变量分离法求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出合适的选项．
【详解】若命题“，”为真命题，则，
且，，
所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是或，
故选：CD.
【变式1】（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可.
【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立，
即，因，故有：在上恒成立，
设，因，故得：，则，即得：，
依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项.
故选：ACD.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据要写条件，利用存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以，的否定为，，
故选：D
2．（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.
【详解】命题 “”的否定是“”，
故选：A.
3．（2024高一上·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【分析】
存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】
因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，
故选：A
4．（2024高三·全国·专题练习）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．¬p：∀x∈A，2x∉B
B．¬p：∀x∉A，2x∉B
C．¬p：∀x∉A，2x∈B
D．¬p：∃x∈A，2x∉B
【答案】D
【解析】略
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.
故选：D
6．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特称命题的真假计算参数即可.
【详解】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解，
所以.
故选：D
7．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据存在性的定义，结合反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以由，
因为，所以，
因为p是真命题，
所以，
故选：C
8．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可.
【详解】因为“，”是真命题，所以，解得.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题，为假命题，则，.
当时满足题意；当时，有，解得.
综上有
故选：ABC
10．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由全称命题为真命题求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若命题“，”是真命题，则，
因为，，，
所以，原命题为真命题的一个充分不必要条件是BC选项.
1．（23-24高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解.
【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且．
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，
又，所以 ，解得．
（2）因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
C新定义题型
1．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ）
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 .
①具有性质；
②若集合具有性质，则；
③集合具有性质，若，则.
【答案】①②③
【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解.
【详解】因为，所以
，
根据集合具有性质的定义，对于任意，
若，则或，或，
若，取，则；
若，取，则；
若，取，则；
若有一个为负数，则或，
若，则取，则；
若，则取，则；
故①正确；
对于任意，存在，使得
取，存在使得，所以，
不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确；
③假设，令，则存在使得，
同②得中必有一个数为，
若，则，于是，矛盾，
若，则，于是，也矛盾，
所以，又由②得，所以，所以，故③正确，
故真命题是①②③正确.
故答案为：①②③.
【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可.课程标准
学习目标
①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法.
②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求
1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求.
2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题.
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有