数学必修 第一册3.3 幂函数课后练习题

这是一份数学必修 第一册3.3 幂函数课后练习题，共58页。试卷主要包含了定义，幂函数的特征，拓展等内容，欢迎下载使用。


知识点01一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
【即学即练1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
2、五个幂函数的性质
3、拓展：
①，当时，在单调递增；
②，当时，在单调递减.
【即学即练2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
题型01判断函数是否为幂函数
【典例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【典例2】（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【变式2】（多选）（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列函数为幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
题型02求幂函数的值
【典例1】（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 .
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A．B．2C．4D．
【变式2】（23-24高一下·广西·开学考试）已知是幂函数，则 .
题型03求幂函数的解析式
【典例1】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（ ）
A．0B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 .
【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 .
【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ．
题型04根据函数是幂函数求参数
【典例1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 .
【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【变式2】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ．
题型05求幂函数的定义域
【典例1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【典例2】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（22-23高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ．
题型06求幂函数的值域
【典例1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 .
【典例2】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
【变式1】（2024高一·上海·专题练习）求函数的定义域、值域，并判断其单调性
【变式2】（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足：
①在区间上单调递增；
②对任意的，都有.
求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.
题型07幂函数的图象的判断及应用
【典例1】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）

A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【变式1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接）
题型08幂函数过定点问题
【典例1】（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ．
【典例2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若幂函数的图象经过点，则 ．
【变式1】（23-24高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ．
题型09幂函数的奇偶性
【典例1】（23-24高二上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 .
【典例3】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.
(1)求实数的值；
(2)若不等式成立，求实数的取值范围.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 .
【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 （只要写一个即可）
【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值．
题型10根据幂函数的单调性求参数
【典例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ．
【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ）
A．2或B．C．2D．或
【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）幂函数在上单调递增，则 ．
题型11根据幂函数的单调性解不等式
【典例1】（23-24高一下·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 .
【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 .
【典例3】（23-24高一上·云南大理·期末）已知幂函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 .
【变式2】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
8．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
9．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高一上·全国·期中）下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数的定义域为，且，则实数的值为
3．（23-24高一上·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.
(1)求的解析式；
(2)在时，解不等式；
(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
C新定义题型
1．（23-24高一上·安徽六安·期末）安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是 .
2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
课程标准
学习目标
①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；
②掌握常见幂函数的图像；
③利用幂函数的单调性比较指数式大小。
④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解
通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在单调递增
在上单调递增
在单调递增
在上单调递减
在上单调递减
定点
第05讲 3.3幂函数

知识点01一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
2、幂函数的特征
①中前的系数为“1”
②中的底数是单个的自变量“”
③中是常数
【即学即练1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.
【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意；
B：函数为二次函数，故B不符合题意；
C：函数为二次函数，故C不符合题意；
D：函数为幂函数，故D符合题意.
故选：D
知识点02：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
2、五个幂函数的性质
3、拓展：
①，当时，在单调递增；
②，当时，在单调递减.
【即学即练2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)；
(2)且.
【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得.
（2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式.
【详解】（1）由是幂函数，得，解得或，
由的图象与坐标轴无交点，得，则，
所以的解析式是.
（2）显然函数是偶函数，且在上单调递减，
不等式，
因此，解得且，
所以原不等式的解集为且.
题型01判断函数是否为幂函数
【典例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由幂函数的定义即可求解.
【详解】由于幂函数的一般表达式为：；
逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.
故选：C.
【典例2】（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案.
【详解】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为，
是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项错误；
是幂函数，选项B正确；
是幂函数，选项C正确；
不是幂函数，选项错误；
故选：BC.
【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】利用幂函数定义直接判断作答.
【详解】函数是幂函数，
函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B
【变式2】（多选）（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列函数为幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据幂函数定义求解.
【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数，不是幂函数.
故选：BD
题型02求幂函数的值
【典例1】（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出.
【详解】设，由，得，
，则.
故选：D
【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 .
【答案】16
【分析】设，根据
【详解】设，由可得可得.
故，则.
故答案为：16
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得，
所以，所以.
故选：C
【变式2】（23-24高一下·广西·开学考试）已知是幂函数，则 .
【答案】4
【分析】利用幂函数解析式的特点及函数值的定义即可求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为,
故.
故答案为：.
题型03求幂函数的解析式
【典例1】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】把给定点的坐标代入幂函数解析式求解即得.
【详解】幂函数的图象过点，则，即，解得，
故选：C
【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用幂函数过的点求出的解析式，再利用单调性解不等式即可.
【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得，
所以函数的解析式为；
显然函数在上单调递减，且，
于是不等式为：，解得，即或，
所以不等式的解集为.
故答案为：；
【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 .
【答案】
【分析】设，再代入求解即可.
【详解】设，由图像过点可得，解得.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ．
【答案】
【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出解析式.
【详解】设幂函数为，将点代入得，解得.
所以．
故答案为：
题型04根据函数是幂函数求参数
【典例1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式组），解得即可.
【详解】因为幂函数在上是减函数，
所以，解得.
故选：A
【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 .
【答案】
【分析】结合幂函数定义与单调递增性质计算即可得.
【详解】由函数为幂函数且在内单调递增，
所以，解得.
故答案为：.
【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【详解】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得.
故选：A.
【变式2】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可.
【详解】由题意知，，解得或.
故答案为：或.
题型05求幂函数的定义域
【典例1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案.
【详解】①的定义域为，不符合.
②的定义域为，符合.
③的定义域为，不符合.
④的定义域为，符合.
⑤的定义域为，不符合.
所以符合的是②④.
故选：C
【典例2】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知得，求解即可.
【详解】由已知得，解得且，所以的定义域为.
故选：B
【变式1】（22-23高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.
【详解】，定义域为，故A错误；
，定义域为，故B错误；
，定义域为，故C正确；
，定义域为，故D错误，
故选：C.
【变式2】（23-24高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ．
【答案】.
【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由幂函数，可得，解得，即，
则满足，即幂函数的定义域为.
故答案为：.
题型06求幂函数的值域
【典例1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】
结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为.
【详解】
由幂函数性质可知在上单调递增，
又易知为偶函数，
所以当时，可知在上单调递减，
可得.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
【答案】，
【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域.
【详解】因为在上为增函数，所以，解得，
又，所以，或．
又因为，所以是偶函数，所以为偶数．
当时，满足题意；当时，不满足题意，
所以，
又因为在上递增，所以，，
故时，的值域是．
【变式1】（2024高一·上海·专题练习）求函数的定义域、值域，并判断其单调性
【答案】答案见解析
【分析】将指数变形为，判断其正负，奇偶数，再判断函数的性质.
【详解】因为,，必为奇数，且大于0，所以定义域为，值域为，并且在上为增函数.
【变式2】（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足：
①在区间上单调递增；
②对任意的，都有.
求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.
【答案】，值域为
【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域.
【详解】因幂函数在区间为增函数，
则，即，
解得：，
又因，所以或，
当时，为偶函数，不满足；
当时，为奇函数，满足；
故，
当时，，
即函数的值域.
题型07幂函数的图象的判断及应用
【典例1】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）

A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，
且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；
当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，
是曲线；综上所述幂函数，，，，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.
故选：D.
【变式1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【详解】由题意结合图象可知.
故选：B.
【变式2】（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接）
【答案】
【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解.
【详解】对于，由其图象可知，例如；
对于，由其图象可知，例如；
对于，由其图象可知，例如；
所以.
故答案为：.
题型08幂函数过定点问题
【典例1】（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ．
【答案】
【分析】利用求得正确答案.
【详解】当时，，
所以定点为.
故答案为：
【典例2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质和定义可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
【变式1】（23-24高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据，即可知恒过定点.
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ．
【答案】
【分析】由幂函数的图象过，将代入，可求出答案.
【详解】幂函数的图象过，
将代入，可得，
所以函数的图象过定点.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数图象过定点问题，注意利用幂函数过定点的性质，属于基础题.
题型09幂函数的奇偶性
【典例1】（23-24高二上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别根据幂函数的性质判断即可.
【详解】对于A．的定义域,，为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B．，定义域为，且为偶函数，其图象关于轴对称,在区间上是严格减函数，符合题意；
对于C．，定义域为，且为奇函数，且在递增，不符合题意；
对于D．，在区间上是严格减函数，且为奇函数，不符合题意．
故选：B．
【典例2】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的奇函数性质和单调性的性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以当幂函数为奇函数时，或；
而幂函数又在上单调递增知，所以，
故答案为：
【典例3】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.
(1)求实数的值；
(2)若不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；
（2）根据的定义域以及单调性分析求解.
【详解】（1）因为函数是幂函数，
则，即，解得或1，
又因为函数关于轴对称，
当时，则为偶函数，满足题意；
当时，则为奇函数，不满足题意；
综上所述：实数的值为.
（2）函数，则函数在定义域内单调递减，
由可得:，解得，
所以实数的取值范围为.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 .
【答案】
【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解.
【详解】因为幂函数在上递减，所以，
又幂函数为奇函数，所以.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 （只要写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件得到可取负奇数，进而可得答案.
【详解】幂函数是奇函数，可取为奇数，
在上单调递减，可取为负数，
故可取负奇数.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值．
【答案】
【分析】根据题意，利用幂函数的性质，求得，再结合的图象关于y轴对称，进而确定实数的值.
【详解】由幂函数在区间上是严格增函数，
可得，即，
解得且，即，
当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；
当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意；
当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意，
综上可得，实数的值为.
题型10根据幂函数的单调性求参数
【典例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案.
【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数，
所以函数在上单调递减，
所以，即，解得，
又因为，所以或或，
当或时，，此时为奇函数，不满足题意；
当时，，此时为偶函数，满足题意；
所以.
故选：B
【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ．
【答案】2
【分析】先根据幂函数的定义列方程求的值，再验证是否满足题意.
【详解】由幂函数的解析式可得，即，解得或，
当时，在上是减函数，不符合题意；
当时，在上是增函数，符合题意.
综上可知，.
故答案为：2.
【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（ ）
A．2或B．C．2D．或
【答案】B
【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值.
【详解】由题意可知，，解得：或，
当时，，函数在上是减函数，成立，
当时，，函数在上是增函数，不成立，
所以.
故选：B
【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）幂函数在上单调递增，则 ．
【答案】
【分析】
利用幂函数的定义及性质列式计算即得.
【详解】由幂函数在上单调递增，得，所以.
故答案为：
题型11根据幂函数的单调性解不等式
【典例1】（23-24高一下·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由幂函数定义求出，结合函数单调性和定义域去“”即可求解.
【详解】因为为幂函数，所以，则，
故的定义域为，且在定义域上为增函数，
所以由，可得，解得，故a的取值范围为.
故答案为：.
【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求的值，再利用奇偶性与单调性即可求解取值范围.
【详解】由幂函数的图象过点得，解得，
则，定义域为.
由可得为偶函数，
又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减.
于是等价于，解得或.
所以的取值范围是.
故答案为：.
【典例3】（23-24高一上·云南大理·期末）已知幂函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的概念求解即可；
（2）由的单调性，进行分类讨论即可得出答案.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，即，所以，
解得：
（2）由（1）知，的定义域为，
所以在上单调递减，
当，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
故实数的取值范围为：.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知求出幂函数的解析式，得出单调性后求解不等式．
【详解】由已知，所以，
又是正整数，故解得，即，函数定义域是，
易知是增函数，
所以由得，
解得，
故答案为：．
【变式2】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式；
（2）根据的单调性求解不等式.
【详解】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以解得，
所以实数的取值范围是.
【变式3】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减.
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得.
（2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为幂函数，所以，
即，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以，即，
则（舍去），所以.
（2）因为，，则，
因为在上单调递增，所以，则，
所以实数的取值范围为.
题型12根据幂函数的单调性比较大小
【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
故选：C．
【典例2】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象不经过原点．
(1)求的值；
(2)若，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据幂函数的定义以及性质进行求解；
（2）分成，两种情况，再结合幂函数的单调性得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或．
当时，的图象不经过原点，符合题意，
当时，的图象经过原点，不符合题意，
所以．
（2）由（1）得，易得在上单调递减．
当时，由，可得．
因为在上为减函数，所以．
当时，，由，可得．
因为，且在上为减函数，
所以．
综上，．
【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小.
【详解】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
故选：D.
【变式2】（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小.
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解；
（2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解.
（2）（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数，
因为，所以.
（2）解：由幂函数的定义域为，
且在为单调递减函数，又由，
所以函数为奇函数，所以在为递减函数，
又因为，所以.
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可.
【详解】对于A，为偶函数，不符合题意；
对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意；
对于C，为偶函数，不符合题意；
对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意．
故选：B．
2．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，
所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，
在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.
故选：D
3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（ ）
A．B．3C．1或D．或3
【答案】A
【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案.
【详解】令，解得或，
当时，，图象经过坐标原点，不合要求，
当时，，图象不经过坐标原点，满足要求.
故选：A
4．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）当时，函数为减函数的m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质以及一元二次不等式的解法求解.
【详解】当时，因为函数在为减函数，
所以，解得；
当时，因为函数在为减函数，
所以函数在为增函数，
所以，解得或（舍）；
综上m的取值范围为，
故选：C.
5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断出函数的奇偶性，再判断出函数为下凸函数，得到答案.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除AB，
因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误.
故选：C
6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】把的取值逐个代入检验可得答案.
【详解】当时，若恒成立，则，即，
由于，所以恒成立，此时符合题意；
当时，若恒成立，则，即，
由于，所以恒成立，此时符合题意；
当时，若恒成立，则，即，
由于，所以不成立，此时不符合题意；
当时，若，则，不满足，不合题意.
故选：C
7．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是减函数，则，即，
所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
8．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
二、多选题
9．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，且，
所以为的奇函数，符合题意；
对于C中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的奇函数，符合题意；
对于D中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意.
故选：ABC.
10．（22-23高一上·全国·期中）下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由题意得函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，知函数是偶函数，
由，都有，知在上单调递增，
所以在上单调递减.
对于A：不满足为偶函数，故A错误；
对于B:，符合题意，故B正确；
对于C：不满足为偶函数，故C错误；
对于D:符合题意.
故选：BD.
三、填空题
11．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数的定义域为，且，则实数的值为
【答案】1
【分析】利用函数的定义域求出的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得.
【详解】由函数的定义域为，得，解得，
而，则，由，得函数为偶函数，因此，
所以实数的值为1.
故答案为：1
12．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 .
【答案】
【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出m值.
【详解】依题意，，解得或，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
当时，函数是奇函数，符合题意，
所以.
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)为奇函数，理由见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案；
（2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案.
【详解】（1）依题意可得，
解得，所以；
（2）为奇函数．
理由如下：
的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数．
14．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称．
(1)求的值及函数的解析式；
(2)设函数，求在区间上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得；
（2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为为幂函数，
所以，解得或，
当时，，函数图象关于轴对称，符合题意；
当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意；
综上可得，.
（2）因为，，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，
即在区间上的值域为.
B能力提升
1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则，解得.
故选：C．
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用题给条件求得m的值，再利用一元二次不等式解法即可求得实数a的取值范围.
又，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解.
C新定义题型
1．（23-24高一上·安徽六安·期末）安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，，
则，即，
由，得，即，
又因为函数在上单调递增，因此，
所以函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且，
由及，得，
因此或，
对于，可得：
当，即时，的最小值为（1），
所以，解得；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍；
当，即时，的最小值为（2），
所以，解得（舍．
综上，的值为．
（3），，则在，上单调递减，
因为是“佳”函数，
所以，
令，，
则，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，代入，
得，
因为，所以，得，
令，，，
所以，该函数在，上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.
课程标准
学习目标
①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；
②掌握常见幂函数的图像；
③利用幂函数的单调性比较指数式大小。
④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解
通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在单调递增
在上单调递增
在单调递增
在上单调递减
在上单调递减
定点