2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰二中高一（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰二中高一（上）第一次月考数学试卷，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．{﹣1，0}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．D．
3．（5分）已知集合A＝{0，2a+1，a2+3a+1}，若﹣1∈A，则实数a＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣1或﹣2
4．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＜0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
5．（5分）在R上定义运算：x*y＝x（1﹣y）．若关于x的不等式x*（x﹣1）≥0的解集是集合{x|a+1≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围（ ）
A．a＜﹣1B．a＜﹣2C．a≤﹣1D．a≥﹣1
6．（5分）设p：a＞1＞b，q：ab+1＜a+b，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
B．（a＞0，b＞0）
C．（a＞0，b＞0）
D．（a＞0，b＞0）
8．（5分）已知a＞b＞0，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．M∩∁UN＝∅B．M∪∁UN＝U
C．∁UM∪∁UN＝∁UMD．∁UM∩∁UN＝∁UM
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．若“a＜b”是“a＜c”的必要条件，则b≥c
B．“A∪B＝A”是“B⊆A”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是“”
D．若命题“∀x∈[1，3），m＞x”为真命题，则m≥3
（多选）11．（5分）已知不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．a2＝4b
B．
C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0
D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4
（多选）12．（5分）已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中元素ai（i＝1，2，3，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”下列结论中正确的有（ ）
A．集合不是“完美集”
B．若a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，则a1、a2至少有一个大于2
C．n＝2的“完美集”个数无限
D．若ai∈N*，则“完美集”A有且只有一个，且n＝3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，若M＝{1，3，5，7，9}，N＝{2，3，5}，则M﹣N＝ ．
14．（5分）已知是|x﹣a|＜2的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）李老师在黑板上写下一个等式，请同学们在两个括号内各填写一个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”．小郭同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字 ．
16．（5分）已知集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和（如A＝{2，3，5}，可求得和为：2•（﹣1）2+3•（﹣1）3+5•（﹣1）5＝﹣6），则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，把解答过程写在答愿卡相应位置上.
17．（10分）已知非空集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|﹣2≤x≤5}．
（1）若a＝3，求（∁RP）∩Q；
（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）设集合A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}．
（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
（2）若∅⫋（A∩B）且A∩C＝∅，求实数a的值．
19．（12分）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见．例如．已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜了．
（1）请将这一事实表示为一个不等式．并证明这个不等式成立：
（2）利用（1）中的结论证明：若 a，b，c为三角形的三边长，则 ．
20．（12分）设f（x）＝mx2﹣2mx﹣4．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若m＝1且x∈（1，+∞），求y＝的最大值及对应的x的值．
21．（12分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3（a∈R），
（1）若b＝﹣a﹣3，求不等式y＞﹣4x+2的解集．
（2）若x＝1时，y＝4，且b＞﹣1，a＞0，求的最小值．
22．（12分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为36000cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设EF＝xcm．
（1）当x＝100cm时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰二中高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答愿卡上.
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．{﹣1，0}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【答案】A
【分析】先求∁RB，然后由交集运算可得．
【解答】解：因为，
所以，
所以A∩（∁RB）＝{﹣1，0}．
故选：A．
【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，是基础题．
2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．D．
【考点】等式与不等式的性质．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，分别判断即可求出．
【解答】解：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，＜，即＜，a2＞b2，因此A，B，C正确．
对于D：∵0＞a﹣b＞a，∴＞，即＞，因此D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知集合A＝{0，2a+1，a2+3a+1}，若﹣1∈A，则实数a＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣1或﹣2
【考点】元素与集合关系的判断．
【答案】B
【分析】由已知可得2a+1＝﹣1或a2+3a+1＝﹣1，求出a，然后根据集合元素的性质，确定a的值．
【解答】解：因为集合A＝{0，2a+1，a2+3a+1}，
若﹣1∈A，则2a+1＝﹣1或a2+3a+1＝﹣1，解得a＝﹣1或﹣2，
当a＝﹣1时，集合A＝{0，﹣1，﹣1}与集合元素的互异性矛盾，故a≠﹣1，
当a＝﹣2时，集合A＝{0，﹣3，﹣1}成立，
故a＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于基础题．
4．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＜0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
【考点】一元二次不等式及其应用．
【答案】D
【分析】由已知不等式的解集与一元二次根的关系求得a，b，再代入所求不等式后解之即得．
【解答】解：不等式ax2﹣5x+b＜0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则方程ax2﹣5x+b＝0的两根为﹣2和3，
所以，解得，
不等式bx2﹣5x+a＜0为﹣30x2﹣5x+5＜0，
即6x2+x﹣1＞0，
解得：或，
即不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了“三个二次”的关系，属于基础题．
5．（5分）在R上定义运算：x*y＝x（1﹣y）．若关于x的不等式x*（x﹣1）≥0的解集是集合{x|a+1≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围（ ）
A．a＜﹣1B．a＜﹣2C．a≤﹣1D．a≥﹣1
【考点】其他不等式的解法；子集与真子集．
【答案】C
【分析】根据新运算的定义解不等式，再根据集合间的关系可得参数范围．
【解答】解：由已知得x*（x﹣1）＝x[1﹣（x﹣1）]＝2x﹣x2≥0，
解得0≤x≤2，即不等式的解集为{x|0≤x≤2}，
又{x|0≤x≤2}是{x|a+1≤x≤2}的子集，
所以a+1≤0，解得a≤﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解法及其运用，考查集合思想以及运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）设p：a＞1＞b，q：ab+1＜a+b，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件．
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可．
【解答】解：若a＞1＞b，则a﹣1＞0，b﹣1＜0，所以（a﹣1）（b﹣1）＜0，
所以ab+1＜a+b，所以p是q的充分条件；
若ab+1＜a+b，不妨取，不满足a＞1＞b，
所以p不是q的必要条件，故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
7．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
B．（a＞0，b＞0）
C．（a＞0，b＞0）
D．（a＞0，b＞0）
【考点】基本不等式及其应用．
【答案】D
【分析】由图形可知用a、b表示出OF、OC，在Rt△OCF中由勾股定理可求CF，根据OF≤CF即可得出结论．
【解答】解：由图形可知：OF＝AB＝（a+b），OC＝（a+b）﹣b＝（a﹣b），
在Rt△OCF中，由勾股定理可得：
CF＝＝，
因为OF≤CF，
所以 （a+b）≤（a、b＞0）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．
8．（5分）已知a＞b＞0，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【考点】基本不等式及其应用．
【答案】D
【分析】a＞b＞0，变形为＝++，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：a＞b＞0，则＝++
≥+2＝3，
当且仅当，即a＝，b＝时取等号．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．M∩∁UN＝∅B．M∪∁UN＝U
C．∁UM∪∁UN＝∁UMD．∁UM∩∁UN＝∁UM
【考点】Venn图表示交并补混合运算；交、并、补集的混合运算．
【答案】BD
【分析】由Venn图可知，N⫋M，再利用集合间的基本运算求解即可．
【解答】解：由Venn图可知，N⫋M，
∴M∩∁UN≠∅，故A错误，
M∪∁UN＝U，故B正确，
∁UM∪∁UN＝∁UN，故C错误，
∁UM∩∁UN＝∁UM，故D正确，
故选：BD．
【点评】本题主要考查了Venn图的应用，考查了集合间的基本运算，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．若“a＜b”是“a＜c”的必要条件，则b≥c
B．“A∪B＝A”是“B⊆A”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是“”
D．若命题“∀x∈[1，3），m＞x”为真命题，则m≥3
【考点】命题的真假判断与应用；充分条件与必要条件；全称量词和全称量词命题．
【答案】AD
【分析】直接利用不等式的性质，充分条件和必要条件，恒成立问题，命题的否定的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若“a＜b”是“a＜c”的必要条件，则b≥c，故A正确；
对于B：“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分必要条件，故B错误；
对于C：命题“”的否定是“”，故C错误；
对于D：若命题“∀x∈[1，3），m＞x”为真命题，则m≥xmax，则m≥3，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，充分条件和必要条件，恒成立问题，命题的否定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．a2＝4b
B．
C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0
D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4
【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其应用．
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，即方程x2+ax+b＝0有两个相等的根x＝d，
必有Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b，A正确；
对于B，由A的结论，a2＝4b，则a2+＝a2+≥4，当且仅当a2＝2时等号成立，B正确；
对于C，若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），即方程x2+ax﹣b＝0的两个根为x1、x2，则有x1x2＝﹣b＝﹣＜0，C错误；
对于D，若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），即方程x2+ax+b＝c的两个根为x1、x2，
若|x1﹣x2|＝4，则有（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝16，解可得c＝4，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及一元二次方程与一元二次不等式的综合应用，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），如果A中元素ai（i＝1，2，3，…，n）满足a1+a2+…+an＝a1×a2×…×an，就称A为“完美集”下列结论中正确的有（ ）
A．集合不是“完美集”
B．若a1、a2是两个不同的正数，且{a1，a2}是“完美集”，则a1、a2至少有一个大于2
C．n＝2的“完美集”个数无限
D．若ai∈N*，则“完美集”A有且只有一个，且n＝3
【考点】数列的应用．
【答案】BCD
【分析】根据已知中“完美集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．
【解答】解：对于A，（﹣1﹣）+（﹣1+）＝﹣2，（﹣1﹣）（﹣1+）＝﹣2，集合{﹣1﹣，﹣1+}是“完美集”，故A错误；
对于B，若a1、a2是两个不同的正数，且{a1、a2}是“完美集”，
则设a1+a2＝a1a2＝t，根据根和系数的关系a1和a2相当于x2﹣tx+1＝0的两根，所以Δ＝t2﹣4t＞0，解得t＞4或t＜0，
由于t为正数，t＝a1a2＞4，
所以a1、a2至少有一个大于2，故B正确；
对于C，二元“完美集”有无穷多个，根据选项B一元二次方程根和系数的关系a1和a2相当于x2﹣tx+1＝0的两根，所以Δ＝t2﹣4t＞0，解得t＞4或t＜0，
所以有无穷多个，故C正确；
对于D，不妨设A中a1＜a2＜…＜an，
由a1×a2×…×an＝a1+a2+…+an＜nan，得a1×a2×…×an＜n，
当n＝2时，即有a1＜2，∴a1＝1，于是1+a2＝a2，a2无解，即不存在满足条件的完美集”，
当n＝3时，a1a2＜3，故只能a1＝l，a2＝2，求得a3＝3，于是“完美集”A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a1×a2×…×an﹣1≥1×2×3×..×（n﹣1），即有n＞1×2×3×．…．×（n﹣1），
事实上，1×2×3×．…．×（n﹣1）≥（n﹣1）（n﹣2）＝n2﹣3n+2＝（n﹣2）2﹣2+n＞n，矛盾，
当n≥4时不存在完美集A，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题是新定义题型，考查数列的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，若M＝{1，3，5，7，9}，N＝{2，3，5}，则M﹣N＝ {1，7，9} ．
【考点】元素与集合关系的判断．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用新定义，求出M﹣N即可．
【解答】解：因为定义M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，若M＝{1，3，5，7，9}，N＝{2，3，5}，
所以M﹣N＝{1，7，9}．
故答案为：{1，7，9}．
【点评】本题是新定义题目，考查学生分析问题解决问题的能力．
14．（5分）已知是|x﹣a|＜2的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 （1，4] ．
【考点】充分条件与必要条件．
【答案】（1，4]．
【分析】先求出两个不等式的解集，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可．
【解答】解：由可得，0，
解得2＜x≤3，
由|x﹣a|＜2可得，a﹣2＜x＜a+2，
因为是|x﹣a|＜2的充分非必要条件，
所以{x|2＜x≤3}⫋{x|a﹣2＜x＜a+2}，
所以，解得1＜a≤4，
即实数a的取值范围是（1，4]．
故答案为：（1，4]．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
15．（5分）李老师在黑板上写下一个等式，请同学们在两个括号内各填写一个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”．小郭同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字 3 ．
【考点】进行简单的合情推理．
【答案】3．
【分析】根据题意，利用基本不等式，结合“1的代换”加以解答，可得答案．
【解答】解：设第一个括号填x，第二个括号填y，则，
所以x+y＝，
当且仅当y＝2x且，
即x＝3，y＝6时等号成立，即前一个括号内填上数字3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，属于基础题．
16．（5分）已知集合M＝{1，2，3，4，5，6，7}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以（﹣1）k再求和（如A＝{2，3，5}，可求得和为：2•（﹣1）2+3•（﹣1）3+5•（﹣1）5＝﹣6），则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是 ﹣256 ．
【考点】进行简单的合情推理．
【答案】见试题解答内容
【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得：这些和的总和是26（﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7）＝﹣256，得解．
【解答】解：因为元素1，2，3，4，5，6，7在集合M的所有非空子集中分别出现26次，
则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是26（﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7）＝﹣256，
故答案为：﹣256．
【点评】本题考查了集合的子集及进行简单的合情推理，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，把解答过程写在答愿卡相应位置上.
17．（10分）已知非空集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|﹣2≤x≤5}．
（1）若a＝3，求（∁RP）∩Q；
（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分条件与必要条件；交、并、补集的混合运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将a＝3代入集合求解，利用集合间的关系可求（∁RP）∩Q；
（2）利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数a的取值范围．
【解答】解：已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|﹣2≤x≤5}．
（1）当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x＜4，或x＞7}
又Q＝{x|﹣2≤x≤5}，
（∁RP）∩Q＝{x|﹣2≤x＜4}；
（2）因为“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
又Q＝{x|﹣2≤x≤5}，P≠∅，
所以，
所以0≤a≤2；
当a＝0时，P＝{1}是Q的真子集；当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}也满足是Q的真子集，
综上所述：{a|0≤a≤2}．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
18．（12分）设集合A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}．
（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
（2）若∅⫋（A∩B）且A∩C＝∅，求实数a的值．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；集合的相等．
【答案】（1）5；
（2）﹣3．
【分析】（1）首先求出集合B，依题意可得A＝B，从而得到2，3是方程x2﹣ax+a2﹣19＝0的两个根，利用韦达定理计算可得；
（2）首先求出集合C，依题意可得A∩B≠∅，又A∩C＝∅，所以2∈A，即可求出a的值，再检验即可．
【解答】解：（1）由题可得B＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，由A∩B＝A∪B，得A＝B．
从而2，3是方程x2﹣ax+a2﹣19＝0的两个根，即，解得a＝5．
（2）因为B＝{2，3}，C＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}．
因为∅⫋（A∩B），所以A∩B≠∅，又A∩C＝∅，所以2∈A，
即4﹣2a+a2﹣19＝0，a2﹣2a﹣15＝0，解得a＝5或a＝﹣3．
当a＝5时，A＝{2，3}，则A∩C≠∅，不符合题意；
当a＝﹣3时，A＝{﹣5，2}，则∅⫋A∩B＝{2}且A∩C＝∅，故a＝﹣3符合题意，
综上，实数a的值为﹣3．
【点评】本题考查集合的交集和并集的运算，以及性质，考查运算能力，属于中档题．
19．（12分）不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见．例如．已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜了．
（1）请将这一事实表示为一个不等式．并证明这个不等式成立：
（2）利用（1）中的结论证明：若 a，b，c为三角形的三边长，则 ．
【考点】不等式的证明．
【答案】（1），证明过程见解答；
（2）证明过程见解答；
【分析】（1）糖水变甜了得出不等式，作差法比较大小即可；
（2）根据三角形两边之和大于第三边，再结合（1）中不等式放缩即可证明．
【解答】解：（1）糖水变甜了得出不等式．
证明：．
∵b＞a＞0，∴a﹣b＜0，b＞0，
∵m＞0，∴b+m＞0，
∴，∴．
（2）证明：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则有a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
由（1）已证不等式，可得，
将以上不等式左右两边分别相加，
得，
∴．
【点评】本题考查了作差法比较代数式的大小和由不等式的性质证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
20．（12分）设f（x）＝mx2﹣2mx﹣4．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若m＝1且x∈（1，+∞），求y＝的最大值及对应的x的值．
【考点】函数恒成立问题．
【答案】最大值为，对应的x的值为1+．
【分析】（1）分类讨论，结合根的判别式，即可求实数m的取值范围；
（2）先化简，借助基本不等式即可求出．
【解答】解：（1）由已知，mx2﹣2mx﹣4＜0对于一切实数x恒成立，
当m＝0时，﹣4＜0恒成立，
当m≠0时，只需，解得﹣4＜m＜0．
故m的取值范围是（﹣4，0]；
（2）当m＝1时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，
∴f（x）+2x+6＝2x2﹣2x﹣4+2x+6＝x2+2，
∴y＝＝＝＝≤＝＝＝，
当且仅当x＝1+时取等号，
故y＝的最大值为，对应的x的值为1+．
【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（12分）设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3（a∈R），
（1）若b＝﹣a﹣3，求不等式y＞﹣4x+2的解集．
（2）若x＝1时，y＝4，且b＞﹣1，a＞0，求的最小值．
【考点】一元二次不等式及其应用；基本不等式及其应用．
【答案】（1）当a＜0时，；当a＝0时，{x|x＜1}；当0＜a＜1时，；当a＝1时，{x|x≠1}；当a＞1时，．
（2）．
【分析】（1）不等式y＞﹣4x+2可化为，（x﹣1）（ax﹣1）＞0，再分a＝0，a＜0和a＞0三种情况讨论，分别求不等式的解集即可；
（2）利用基本不等式求解．
【解答】解：（1）因为b＝﹣a﹣3，
所以不等式f（x）＞﹣4x+2，可化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，
当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1，
当a＜0时，，原不等式，
若a＞0，原不等式，
此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，
当a＝1时，不等式的解为x≠1，
当a＞1时，，不等式或x＞1，
当0＜a＜1时，，不等式或，
综上所述，不等式的解集为：当a＜0时，；当a＝0时，{x|x＜1}；当0＜a＜1时，；当a＝1时，{x|x≠1}；当a＞1时，．
（2）由已知得f（1）＝4，a+（b+1）＝4，
又a＞0，b＞﹣1，所以b+1＞0，
则，
当且仅当，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
22．（12分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为36000cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设EF＝xcm．
（1）当x＝100cm时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入x＝100cm，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案．
【解答】解：（1）设阴影部分直角三角形的高为ycm，所以阴影部分的面积：，
所以xy＝12000，即：x＝100cm，y＝120cm，
由图像知：AD＝y+20＝140cm，AB＝3x+50＝350cm，
∴．
（2）由（1）知：xy＝12000，x＞0，y＞0，
则＝49000，当且仅当6x＝5y，即x＝100cm，y＝120cm，
即AB＝350cm，AD＝140cm，
综上，选择长宽分别为350cm，140cm的海报纸．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；
（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．
题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立…（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．
【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．集合的相等
【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
3．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
4．子集与真子集
【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
5．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
6．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
7．Venn图表示交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．
Venn图表示N∩（∁UM）为：．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】
如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（ ）
解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，
故阴影部分表示的集合是∁R（M∪N）＝[0，8]．
8．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
9．全称量词和全称量词命题
【知识点的认识】
全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
全称命题
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
【解题方法点拨】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
10．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
11．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
12．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
13．其他不等式的解法
【知识点的认识】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【解题方法点拨】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝lga（x﹣1），g（x）＝lga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 lga（x﹣1）≥lga（3﹣x），
∴当a＞1时，有，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．
【命题方向】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．
14．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
15．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，
∴mx2+mx+m＜1，
∴∀x∈R，m＜恒成立，
∵x2+x+1＝（x+）2+≥，
∴0＜≤，
∴m≤0．
16．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
17．数列的应用
【知识点的认识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
18．进行简单的合情推理
【知识点的认识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
19．不等式的证明
【知识点的认识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）
（1）找出两类事物之间相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．