湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义逐项判断即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查知识点是识别中心对称图形以及轴对称图形，掌握中心对称图形以及轴对称图形的特征是解此题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项等知识逐项分析即可．
【详解】A.，故错误；
B.，正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选B．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
3. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O外
C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O上或在⊙O外
【答案】C
【解析】
【分析】求出的长，再跟r作比较即可判断.
【详解】∵点P的坐标是（4，3）,
,
∴点P在⊙O上.
故选：C
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系.若,则点P在⊙O外；若, 则点P在⊙O上；若，则点P在⊙O内.熟练掌握判断方法是解题的关键.
4. 如图，在⊙O中，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质可得，再利用圆周角定理可以得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上B. 与x轴有两个重合的交点
C. 对称轴是直线D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数表达式即可判断；
【详解】解：∵，
∴顶点坐标，对称轴，
∵，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，
∴A、B、C正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键．
6. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A. 35元B. 45元C. 55元D. 65元
【答案】D
【解析】
【分析】设所获得的利润为W，根据利润=（售价-进价）×数量，列出W关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设所获得的利润为W，
由题意得，
∵，
∴当时，W有最大值1225，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意列出利润关于售价的二次函数．
7. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【详解】解：当y=14时，，
解得，，
∴A（，14），C（，14），
∴AC=．
故选：C．
【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：

则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
9. 已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）

A. ﹣1＜x＜4B. ﹣1＜x＜3C. x＜﹣1或x＞4D. x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．其中，正确结论的个数是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】抛物线有两个交点，＞0，①正确；抛物线开口、对称轴和y轴的交点可以判断出a＞0，b＜0，c＜0，②正确；③中没有b，可以用对称轴，即b=-2a，替换掉b，把x=-2代入函数，可得8a+c＞0；③正确；④中a的系数为9，可以考虑到把x=3代入后得到，其对应的y值小于0，故④正确；考虑到⑤中出现两个平方，且系数都为1，把x=±1代入后相乘可得到（a+b+c）（a+b-c）=＞0，所以⑤正确．
【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，又对称轴x＝﹣＝1，即，b＝﹣2a，所以8a+c＞0，故③正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，因此④正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，也就是（a+c）2＞b2，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④
故选：C．
【点睛】本题考查了由二次函数的图像来确认系数的正负性及大小关系，这类题是中考的热点题，考生应多多总结．
二．填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）
11. 某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按计入总成绩，则他的总成绩为_________分．
【答案】79
【解析】
【分析】根据加权平均数，则该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值，即可求得答案．
【详解】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×+80×+90×=79（分），
故答案为：79．
【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
12. 在二次函数y=x2-2x-3中，当0≦x≦3时，y的最大值是_______
【答案】6
【解析】
【分析】先找到二次函数的对称轴，根据距离对称轴的距离可判断y的大小．
【详解】解：∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴二次函数的对称轴是x=1，
在x=1的右侧，y随着x的增大而增大，
∴当x=3时，y最大=6．
故答案为6．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟悉掌握是关键.
13. 将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的表达式为_____．
【答案】y＝3x2
【解析】
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后解析式．
【详解】解：∵将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2+2）2+1﹣1，即y＝3x2，
故答案为：y＝3x2．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，掌握平移规律是解题关键．
14. 如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
【详解】作DF⊥BC于F，
设DE为x，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝x，
∴×AB×DE＋×BC×DF＝27，即4x＋5x＝27，
解得，x＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15. 如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 _____．
【答案】50
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可．
【详解】解：是的直径，
，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16. 在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，根据垂径定理可求出PD的长，进而求出CD的长即可.
【详解】连接OD，
∵直径AB＝4，OD为半径，
∴OD=2，
∵弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴PD= =，CD=2PD，
∴CD=2，
故答案为2
【点睛】本题考查垂径定理，垂直于弦的直径，平分弦并平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握垂径定理是解题关键.
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19每小题6分，第20、21题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂，二次根式的化简、绝对值、负指数幂进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查零指数幂，二次根式的化简、绝对值、负指数幂，正确计算是解题的关键．
18. 先化简：，再取一个你认为合理的x值，代入求原式的值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】先化简分式，再代入合适的值求解即可；
【详解】解：原式
，
当时，原式．
说明：x除不能取外，取其它值均可．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．

（1）以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出，写出点的坐标；
（2）求面积
【答案】（1）图见解析，点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出，进而即可得；
（2）用A、B、C三点所在矩形面积减去以矩形三个顶点为直角的三角形面积即为所求；
【小问1详解】
解：如图，即为所求，点的坐标为；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查图形的旋转，正确理解题意是解题的关键．
20. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）110°
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出≌，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在和中，
∵，
∴≌．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得≌，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．
21. 如图，已知抛物线经过点和点两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（1，-4）；
（2）（-2，5）或（4，5）
【解析】
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（２）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．
【小问1详解】
∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3=，
∴顶点坐标为（1，-4）；
【小问2详解】
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x2-2x-3=5，解得：x1=-2，x2=4，
此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
②当y=-5时，x2-2x-3=-5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握有关知识点是解题的关键．
22. 某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）利润最大为4400元．
【解析】
【分析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元”即可列方程组求解；
（2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利润不少于4100元”即可列不等式组求解.
【详解】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台，
根据题意得：，
解得：24≤m≤26，
因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，
从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台，
②电脑箱：25台，液晶显示器：25台；
③电脑箱：26台，液晶显示器：24台．
∴方案一的利润：24×10+26×160=4400，
方案二的利润：25×10+25×160=4250，
方案三的利润：26×10+24×160=4100，
∴方案一的利润最大为4400元．
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元．
【点睛】考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握.
23. 如图，是的直径，是的中点，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）首先延长交于点，由垂径定理可证得，又由是的中点，易证得，继而可证得；
（2）由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．
【小问1详解】
证明：延长交于点，
，
∴，
，
是的中点，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，，
，
在中，，
的半径为．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．
24. 综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
（2）当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；直线BC的解析式为；直线AC的解析式为
（2）
（3）存在，点坐标为或
【解析】
【分析】（1）分别求出、、的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍；
（3）先求，，当、为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，，再将点代入直线的解析式中求出的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，，再将点代入直线的解析式中求出的值，即可求．
【小问1详解】
当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
【小问2详解】
，
抛物线的对称轴为直线，
，
平移后的直线解析式为，
，
，，，
是以为斜边的直角三角形，
，
解得或（舍；
【小问3详解】
存在点，使以点，，，为顶点四边形是菱形，理由如下：
当时，解得，
，，
当、为邻边时，与为菱形的对角线，
，
轴，
，，
，
解得，
；
当为菱形的对角线时，，
，，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直线平移的性质，勾股定理，菱形的性质是解题的关键．
25. 如图，抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的总经过定点．

（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设与x轴相交于两点，当是以为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）P的纵坐标为：或
【解析】
【分析】（1）抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，可得抛物线的一般式为：，则，进而即可求解；
（2）设，的半径即可证明；
（3）设，，作于H， ，故，由，则当时， ，即可求解；
小问1详解】
解：∵抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，
∴抛物线的一般式为：，
∴，
解得：，
∵图象开口向上，
∴，
∴抛物线解析式为：，
故，；
小问2详解】
设，的半径，
化简得：，
∴点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
【小问3详解】
设，
∵，
作于H，
则，
又∵，
则，
故，
∴，
又∵，
∴
当时， ，
解得：，则；
综上所述，P的纵坐标为：或．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用、圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．