2024-2025学年江西省景德镇乐平中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省景德镇乐平中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(4,−2),b=(x−1,2)，若a⊥b，则x=( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
2.麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山.在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名.山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁.小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=18米，则麒麟阁的高度CD约为(参考数据： 2≈1.414， 3=1.732)( )
A. 20.6米B. 22.6米C. 24.6米D. 26.6米
3.如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′= 2，那么原三角形ABO面积是( )
A. 22
B. 1
C. 2
D. 2 2
4.对于不同直线a，b，c以及平面α，下列说法中正确的是( )
A. 如果a/​/α，b/​/α，则a/​/bB. 如果a/​/b，a⊥α，则b⊥α
C. 如果a⊥α，a⊥b，则b/​/αD. 如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB和AA1上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为( )
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角C1−AB−D的平面角等于( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，则该四棱锥外接球的体积为( )
A. 24π
B. 2 6π
C. 20π
D. 8 6π
8.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AA1=3AM，A1D1=3D1N，点Q在正方体的面BCC1B1内，且A1Q/​/平面C1MN，则线段A1Q长度的最小值为( )
A. 10
B. 3
C. 3 62
D. 382
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=cs2x−2 3sinxcsx，则下列命题正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)的图象关于x=π3对称
C. f(x)在区间[−2π3,−π6]上单调递减
D. 将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y=2sin2x的图象重合
10.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=2 3S，下列选项正确的是( )
A. A=π3
B. 若b=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4)
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 3
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，则下列结论中错误的是( )
A. AC//A1F
B. EF/​/平面ABCD
C. 三棱锥A−BEF的体积为定值
D. △AEF的面积与△BEF的面积相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ).据此公式，复数[2(csπ4+isinπ4)]3的虚部为______．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点．
①EF//AC1；
②A1F与BD所成角为90°；
③A1E⊥平面ADF；
④A1F与平面ABCD所成角的正弦值为2 23．
其中所有正确说法的序号是______．
14.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF/​/AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=32.则该几何体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知m=( 3sinx,csx),n=(csx,−csx)，函数f(x)=m⋅n+12．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[π4,5π12]时，求f(x)的值域．
16.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，过点A分别作AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求证：EF⊥PB．
17.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，且asinB= 3bcsA．
(1)求角A；
(2)若a= 21,b=4，求出c边并求出△ABC的面积
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为 PD、BC的中点，面PAB∩面PCD=l．
(1)证明：l/​/AB；
(2)证明：EF/​/平面PAB．
(3)在线段PD上是否存在一点G，使FG//面ABE？若存在，求出PGGD的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
如图，在平面五边形ABCDE中，AB= 5，BC=CD=1，∠BCD=∠CDE=2π3，BE=2 3，△ABE的面积为 6.现将五边形ABCDE沿BE向内进行翻折，得到四棱锥A−BCDE．

(1)求线段DE的长度；
(2)求四棱锥A−BCDE的体积的最大值；
(3)当二面角A−BE−C的大小为135°时，求直线AC与平面BCDE所成的角的正切值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为向量a=(4,−2),b=(x−1,2)，且a⊥b，
所以a⋅b=4(x−1)+(−2)×2=0，解得x=2．
故选：D．
根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵∠DAC=30°，∠DBC=45°，
∴∠ADB=15°，
在△ABD中，∵ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，
∴18sin15∘=BDsin30∘，BD=18sin30°sin15∘=18sin30°sin(45∘−30∘)=18×12 6− 24=9( 6+ 2)，
在Rt△BCD中，∵sin∠CBD=CDBD，
∴CD= 22×9( 6+ 2)=9( 3+1)≈24.6．
故选：C．
由题意得到∠ADB=15°，在△ABD中利用正弦定理得到BD，在Rt△BCD中，利用sin∠CBD=CDBD即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，在△A′B′O′中，∠A′O′B′=45°，A′B′⊥O′B′，由O′A′= 2，得A′B′=O′B′=1，
因此△A′B′O′的面积S△A′B′O′=12×1×1=12，
所以原三角形ABO面积是S△ABO=2 2S△A′B′O′= 2．
故选：C．
根据题意，求出直观图△A′B′O′的面积，再利用直观图与原图形面积关系求出结果．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB/​/平面A1B1C1D1，BC/​/平面A1B1C1D1，但AB⊥BC，故A错误；
对于B，由线面垂直的判定定理，
知，如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，故B正确；‌
对于C，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB⊥平面BB1C1C，AB⊥BB1，但BB1⊂平面BB1C1C，故C错误；
对于D，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，
AB⊥BC，BC⊥CD，但A B//C D，故D错误．
故选：B．
根据线线、线面平行和垂直有关定理，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得EF//BA1，故异面直线EF与BD所成角即为∠DBA1，
而△DBA1是等边三角形，故∠DBA1=60°．
故选：B．
由异面直线所成角的概念求解．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二面角的平面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1−AB−D的平面角的大小．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
AB=0,1,0，AC1=−1,1,1，
设平面ABC1的法向量n=x,y,z，
则n⋅AB=y=0n⋅AC1=−x+y+z=0 ，
取x=1，得n=1,0,1，
平面ABD的法向量m=0,0,1，
设二面角C1−AB−D的平面角为θ，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=1 2= 22，
∴θ=45°，
∴二面角C1−AB−D的平面角等于45°，
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：根据几何体结构特征，将几何体补形为长方体ABCD−PB1C1D1，
显然四棱锥P−ABCD的外接球即为长方体ABCD−PB1C1D1的外接球，
所以外接球球心在PC中点处，
又PC= AB2+AD2+PA2=2 6，故外接球半径R= 6，
所以V=43πR3=8 6π．
故选：D．
根据几何体结构特征补形为长方体得外接球球心在PC中点处，求出PC即可得球的半径，进而由球的体积公式V=43πR3即可得解．
本题考查了四棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：在B1B，B1C1上取点E，F，使得BB1=3EB1，B1C1=3B1F，
分别连结EF，BC1，AD1，
因为A1D1=3D1N，可得A1N//C1F，且A1N=C1F，
所以四边形A1FC1N为平行四边形，所以C1N//A1F，
由BB1=3EB1且B1C1=3B1F，可得EF/​/BC1，
又由AA1=3AM且A1D1=3D1N，所以MN/​/AD1，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可得AD1/​/BC1，所以EF/​/MN
因为A1F⊄平面C1MN，且C1N⊂平面C1MN，
所以A1F/​/平面C1MN，
同理可证EF/​/平面C1MN，
又因为A1F∩EF=F，且A1F，EF⊂平面A1EF，
所以平面A1EF/​/平面C1MN，
因此点Q的轨迹为线段EF，
在等腰三角形A1EF中，A1F=A1E= 10,EF= 2，
可得底边EF上的高为 A1F2−(EF2)2= 382，此即为A1Q长度的最小值．
故选：D．
在B1B，B1C1上取点E，F，使得BB1=3EB1，B1C1=3B1F，证得平面A1EF/​/平面C1MN，得到点Q的轨迹为线段EF，在等腰三角形A1EF中，求得底边EF上的高，即可求解．
本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：f(x)=cs2x−2 3sinxcsx=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)．
A：函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
B：f(π3)=2cs(2×π3+π3)=2csπ=−2，为f(x)的最小值，故B正确；
C：由−2π3≤x≤−π6，得−π≤2x+π3≤0，所以函数f(x)在[−2π3,−π6]上单调递增，故C错误；
D：将函数f(x)图象向左平移5π12个单位长度，
得y=2cs[2(x+5π12)+π3]=2cs(2x+7π6)=−2sin(2x+2π3)图象，
与函数y=2sin2x的图象不重合，故D错误；
故选：AB．
根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得f(x)=2cs(2x+π3)，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式a2+b2≥2ab的应用，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．
根据AB⋅AC=2 3S即可得出bccsA= 3bcsinA，从而求出tanA= 33，然后即可得出A=π6；可得出bsinA