北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》 专题4.2.2 相似三角形的判定（知识解读）

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专题4.2.2 相似三角形的判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.考点2 相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.【典例分析】【考点1 相似三角形的概念】【典例1】如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组．【变式1】如图，在中，、是中线，它们相交于点F，，交于点G．（1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；（2）求与的比．【考点2 三边对应成比例，两三角形相似】【典例2】如图，已知．求证：．【变式2】如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：．【考点3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例3】（2021秋•广南县期末）在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1．求证：△ABC∽△EDC．【变式3-1】（2021秋•文山市期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．【变式3-2】（2020秋•潜江月考）如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；（1）求AE的长．（2）求证：△ADE∽△DFE．【变式3-3】（2021秋•信丰县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．（1）求CD的长；（2）求证：△CDE∽△BDC．【考点4 两角对应相等，两三角形相似】【典例4】（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．【变式4-1】（2021秋•任丘市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°，求证：△ABD∽△DCE．【变式4-2】（2022•东西湖区模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD•DE＝BE•CD．求证：△BCD∽△BDE．【变式4-3】（2021秋•槐荫区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．【考点5 动点中的相似判定】【典例5】（2021秋•青龙县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【变式5-1】（2021秋•将乐县期中）如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为（ 　　，　　），点N的坐标为（ 　　，　　）；（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．【变式5-2】（2021秋•天宁区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？【变式5-3】（2021秋•历下区期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？ 专题4.2.2 相似三角形的判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.考点2 相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.【典例分析】【考点1 相似三角形的概念】【典例1】如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组．【答案】3【解答】解：∵，∴△DEA∽△FGA∽△BCA，∴一共有3组相似三角形，故答案为：3．【变式1】如图，在中，、是中线，它们相交于点F，，交于点G．（1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；（2）求与的比．【解答】解：（1），理由：∵，∴，又∵，∴；（2）∵、是的中线，，∴为的中位线，，∴．∵，∴，∴，∴．【考点2 三边对应成比例，两三角形相似】【典例2】如图，已知．求证：．【解答】证明：，在中， ， ,在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,．【变式2】如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：．【解答】解：，，分别是的三边，，的中点，、、为的中位线，，．【考点3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例3】（2021秋•广南县期末）在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1．求证：△ABC∽△EDC．【解答】证明：∵BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1，∴CD＝AC﹣AD＝4﹣1＝3，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△EDC．【变式3-1】（2021秋•文山市期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝4，∵AC＝8，CE＝5，∴AE＝3，∴，，∴，∵∠EAD＝∠BAC，∴△AED∽△ABC．【变式3-2】（2020秋•潜江月考）如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；（1）求AE的长．（2）求证：△ADE∽△DFE．【解答】（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C+∠CFD+∠CDF＝180°，∠EDF+∠ADE+∠CDF＝180°，∴∠ADE＝∠CFD，∵∠C＝∠A，∴△ADE∽△CFD，∴，∵CF＝4，CD＝AD＝6，∴，∴AE＝9．（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，∴，∵△ADE∽△CFD，∴，∴，∵∠A＝∠EDF，∴△ADE∽△DFE．【变式3-3】（2021秋•信丰县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．（1）求CD的长；（2）求证：△CDE∽△BDC．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，∴AC＝＝12；∴AE＝AC﹣CE＝9，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴，∴CD＝＝＝2，（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝＝3，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴DE＝，∴BD＝4，∵，，∴，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC【考点4 两角对应相等，两三角形相似】【典例4】（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．【解答】解：∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∵∠DEC＝∠B，∴∠ADB＝∠DEC，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，∴∠ADC＝∠AED，∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．【变式4-1】（2021秋•任丘市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°，求证：△ABD∽△DCE．【解答】证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∵∠ADE＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【变式4-2】（2022•东西湖区模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD•DE＝BE•CD．求证：△BCD∽△BDE．【解答】证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BED＝90°，∵BD•DE＝BE•CD，∴，∴△BCD∽△BDE．【变式4-3】（2021秋•槐荫区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，∴∠DFC＝∠B，∴△DCF∽△CEB．【考点5 动点中的相似判定】【典例5】（2021秋•青龙县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【解答】解：∵BC＝8cm，AC：AB＝3：5，∠C＝90°，∴AC＝6cm，AB＝10cm，设经过t秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，CP＝3t，CQ＝6﹣t，（1）若△QPC∽△ABC，则：，即：，∴t＝；（2）若△PQC∽△ABC，则：，即：，∴t＝1.2．秒后，P是定点，和点B重合，点Q向点C移动的过程中，没有相似的可能．所以，经过秒或1.2秒时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．【变式5-1】（2021秋•将乐县期中）如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为（ 　　，　　），点N的坐标为（ 　　，　　）；（2）当t为何值时，△MON与△AOB相似．【解答】解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10﹣t）cm，∴N（0，2t），M（10﹣t，0）；故答案为：10﹣t，0，0，2t；（2）∵∠MON＝∠AOB＝90°，当＝时，△MON∽△AOB，即＝，解得t＝5；当＝时，△MON∽△BOA，即＝，解得t＝2，∴当t＝5或2时，△MON与△AOB相似．【变式5-2】（2021秋•天宁区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？【解答】解：∵AO＝6厘米，BO＝8厘米，∴AB＝＝＝10（厘米），∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t厘米，AP＝（10﹣t）厘米，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝，综上所述，t＝时，△APQ与△AOB相似．【变式5-3】（2021秋•历下区期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5cm2；（2）当t为何值时，△QAP与△ABC相似？【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6﹣t）cm，依题意得：×2t（6﹣t）＝5，整理得：t2﹣6t+5＝0，解得：t1＝1，t2＝5．答：当t为1或5时，△QAP的面积等于5cm2；（2）∵AP＝2tcm，DQ＝tcm，AB＝12cm，AD＝6cm，∴AQ＝（6﹣t）cm，∵∠A＝∠A，∴①当＝时，△AQP∽△BCA，∴＝，解得：t＝3；②当时，△AQP∽△BAC，∴＝，解得：t＝1.2．∴当t＝3或1.2时，△APQ与△ABC相似．