北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题4.2.2相似三角形的判定(能力提升)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》专题4.2.2相似三角形的判定(能力提升)(原卷版+解析)，共29页。
专题4.2.2 相似三角形的判定（能力提升）（原卷版）一、选择题。1．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．2．（2021•肇源县模拟）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022•中山市一模）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D．44．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝5．（2021秋•双牌县期末）如图所示：∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝（　　） A． B． C．3 D．66．（2021•汉中模拟）如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　） A． B．2 C．3 D．27．（2021秋•头屯河区期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：58．（2021春•北碚区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，DE：EA＝3：2，连接CE交BD于点F，则△DEF的面积与△BCF的面积之比是（　　） A．2：5 B．3：5 C．4：25 D．9：259．（2021秋•莲池区校级期中）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个10．（2021•龙湖区二模）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④二、填空题。11．（2021秋•船营区校级期末）已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需　 　 条件（只添一种即可）．12．（2021秋•临泽县校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：　 　，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可） 13．（2021秋•永年区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似． 14．（2021秋•高港区期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　 　时，△BPQ与△BAC相似． 15．（2022春•东城区期中）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．（1）如图1，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝ 　；（2）如图2，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝　 　（用n的代数式表示）． 16．（2022春•思明区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是 　 　．（请填写正确的序号）17．（2022春•台江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过 　 　秒后，△PBQ与△ABC相似．18．（2022春•磐安县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6cm，AB＝8cm，AD⊥BC于D，与BD等长的线段EF在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动（运动前EF与BD重合），过E，F分别作BC的垂线交直角边于P，Q两点，设EF运动的时间为x（s）．（1）线段EF运动过程中，四边形PEFQ成为矩形时x的值 　 　；（2）以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时x的值 　 　． 三、解答题。19．（2021秋•邗江区月考）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝　 　，BC＝　 　；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．20．（2021秋•禅城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长． 21．（2021秋•冷水滩区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长． 22．（2021秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 23．（2022•汉阳区校级模拟）如图，已知△ABC中，D、G分别是边BC、AC上的点，连AD、BG相交于点E，BE＝BD．过点C作AD的平行线与BG的延长线交于点F，＝，＝．（1）求的值；（2）若BC＝FC，求证：AB＝BF；（3）若AB＝AD，直接写出＝　 　． 24．（2021•姑苏区校级二模）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长． 25．（2021秋•秦安县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？ 26．（2021春•招远市期末）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长．专题4.2.2 相似三角形的判定（能力提升）（解析版）一、选择题。1．（2021秋•滦州市期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【答案】D。【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；故选：D．2．（2021•肇源县模拟）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C。【解答】解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，当△PDA∽△CPB时，＝，即＝，解得：x＝1或x＝6，当△PDA∽△PCB时，＝，即＝，解得：x＝，则这样的点P共有3个，故选：C．3．（2022•中山市一模）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D．4【答案】C。【解答】解：∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故选：C．4．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C。【解答】解：∵∠BAC＝∠D，，∴△ABC∽△DEA．故选：C．5．（2021秋•双牌县期末）如图所示：∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝（　　） A． B． C．3 D．6【答案】B。【解答】解：∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠BCD∴△ABC∽△CBD∴BC：BD＝AB：BC∴BC：BD＝（AD+BD）：BC即BC：4＝（2+4）：BC∴BC＝2，故选：B．6．（2021•汉中模拟）如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　） A． B．2 C．3 D．2【答案】D。【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠D＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠DEA+∠CEF＝90°，∴∠DAE＝∠CEF，∴tan∠DAE＝tan∠CEF，即，∵E，F分别为CD，BC的中点，∴DE＝CE，CF＝BC＝1，∴DE2＝AD•CF＝2×1＝2，∴DE＝（﹣舍去），∴DC＝2DE＝2，在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AC＝＝2．故选：D．7．（2021秋•头屯河区期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5【答案】A。【解答】解：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△COA，∴，∵S△DOE：S△COA＝1：9，∴，∴，∴，∴S△BDE与S△CDE的比是1：2，故选：A．8．（2021春•北碚区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，DE：EA＝3：2，连接CE交BD于点F，则△DEF的面积与△BCF的面积之比是（　　） A．2：5 B．3：5 C．4：25 D．9：25【答案】D。【解答】解：设DE＝3k，EA＝2k，则AD＝5k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5k，AD∥BC，∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠CBF，∴△DEF∽△BCF，∴，故选：D．9．（2021秋•莲池区校级期中）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【答案】A。【解答】解：∵∠D＝90°．AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，∴∠D＝∠C＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△PBC，则DP：BC＝AD：PC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵Δ＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A． 10．（2021•龙湖区二模）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④【答案】B。【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴OF＝OC，∴∠OCF＝∠OFC，∴∠OFC＝∠DAP，∵∠DAP+∠AMD＝90°，∴∠GFM+∠AMD＝90°，∴∠FGM＝90°，∴AH⊥EF．③正确．∵AD∥BH，∴∠DAP＝∠H，∵∠DAP＝∠PCM，∴∠PCM＝∠H，∵∠CPM＝∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴＝，∴PC2＝PM•PH，根据对称性可知：PA＝PC，∴PA2＝PM•PH．④错误．∵四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，∵AC＝2，∴PC的最小值为1，∴EF的最小值为1；故选：B． 二、填空题。11．（2021秋•船营区校级期末）已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需　∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或　条件（只添一种即可）．【答案】∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或。【解答】解：∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或．12．（2021秋•临泽县校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可） 【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）。【解答】解：添加∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．13．（2021秋•永年区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　3或3　时，△ACB与△ADC相似． 【答案】3或3。【解答】解：∵AD＝2，CD＝，∴AC＝＝．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．故答案为：3或3．14．（2021秋•高港区期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　或6　时，△BPQ与△BAC相似． 【答案】或6。【解答】解：∵AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，∴BP＝3．当△BPQ∽△BAC时，则，∴，解得：BQ＝6；当△BPQ∽△BCA时，则，∴，解得：BQ＝，综上所述：当BQ＝或6时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：或6．15．（2022春•东城区期中）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．（1）如图1，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝　8　；（2）如图2，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝　4n　（用n的代数式表示）． 【答案】（1）8； （2）4n。【解答】解：如图1、2，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，∵∠FOH＝90°，∴∠MFE＝∠NGH，又∵∠EMF＝∠HNG＝90°，∴△EFM∽△HNG，∴＝，（1）图1，GN＝2FM，∴GH＝2EF＝2×4＝8，（2）图2，GN＝nFM，∴GH＝nEF＝4n．故答案为：（1）8； （2）4n．16．（2022春•思明区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是 　①③④　．（请填写正确的序号）【答案】①③④。【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，故①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵OA＝OC，AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，∴S△ACD＝4S△AOG，∵S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故答案为：①③④． 17．（2022春•台江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过 　3或　秒后，△PBQ与△ABC相似．【答案】3或。【解答】解：设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP＝xcm，PB＝（12﹣2x）（cm），BQ＝4xcm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得x＝3；当时，△PBQ∽△CBA，即，解得x＝．即经过3秒或秒后，△PBQ与△ABC相似．故答案为：3或．18．（2022春•磐安县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6cm，AB＝8cm，AD⊥BC于D，与BD等长的线段EF在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动（运动前EF与BD重合），过E，F分别作BC的垂线交直角边于P，Q两点，设EF运动的时间为x（s）．（1）线段EF运动过程中，四边形PEFQ成为矩形时x的值 　　；（2）以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时x的值 　　． 【答案】。【解答】解：（1）当四边形PEFQ是矩形时，有PE＝QF，由已知得PE＝x，与求PE类似可求出QF＝（﹣x），∴x＝（﹣x），解得x＝，∴当x＝时，四边形PEFQ是矩形．故答案为：．（2）当∠APQ＝∠B时，△APQ∽△ABC，且四边形PEFQ是矩形，此时x＝，当∠APQ＝∠C时，由三角形面积公式得：×AC×AB＝×BC×AD，AC＝6，AB＝8，BC＝10，∴AD＝，在Rt△ADB中，AB＝8，AD＝，由勾股定理得：BD＝，∴EF＝BD＝，∴CF＝10﹣x﹣＝﹣x，cos∠C＝＝，CQ＝CF＝（﹣x）＝6﹣x，∴AQ＝6﹣（6﹣x）＝x，∵△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，解得 x＝，∴当x＝或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．故答案为：．三、解答题。19．（2021秋•邗江区月考）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝　135°　，BC＝　2　；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，BC＝＝＝2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠ABC＝∠DEF．∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝∴＝＝，＝＝．∴△ABC∽△DEF．20．（2021秋•禅城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠C+∠B＝180°，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∵∠AFE＝∠B．∴∠AFD＝∠C，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝7，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴DE＝＝＝10，由（1）可知△ADF∽△DEC，∴，∴，∴AF＝．21．（2021秋•冷水滩区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB＝∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠B＝∠DAC，∵∠D＝∠EFB，∴△EFB∽△CDA；（2）∵△EFB∽△CDA，∴，∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，∴BE＝16．22．（2021秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠APC＝∠ABC+∠BAP∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP且∠APD＝∠B∴∠DPC＝∠BAP且∠ABC＝∠ACB∴△BAP∽△CPD（2）∵△ABP∽△PCD∴即∵PD∥AB∴即∴∴∴BP＝23．（2022•汉阳区校级模拟）如图，已知△ABC中，D、G分别是边BC、AC上的点，连AD、BG相交于点E，BE＝BD．过点C作AD的平行线与BG的延长线交于点F，＝，＝．（1）求的值；（2）若BC＝FC，求证：AB＝BF；（3）若AB＝AD，直接写出＝　　． 【解答】（1）解：∵DE∥CF，∴△BDE∽△BCF，∴＝＝，∵BD＝2CD，∴＝＝＝，设DE＝2a，则CF＝3a，∵＝．∴EA＝3a，∵AE∥CF，∴＝＝＝＝1，∴BE＝2EF＝4GF，∴＝＝；（2）证明：作BH⊥DE，如图：∵BD＝BE，∴DH＝EH＝a，∵DE∥CF，∴BC＝BF＝CF＝3 a，∴BE＝2 a，∵＝＝，＝＝，∴＝，而∠BEH＝∠AEG，∴△BEH∽△AEG，∴∠BHE＝∠AGE＝90°，由（1）得AG＝CG，∴BG垂直平分AC，∴BA＝BC，∴AB＝BF；（3）解：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED＝∠ABD，而∠BDE＝∠ADB，∴△DBE∽△DAB，∴BD：DA＝DE：BD，即BD：5a＝2a：BD，∴BD＝a，∴BC＝a，∴＝＝．故答案为 ． 24．（2021•姑苏区校级二模）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长． 【解答】证明：（1）∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD；（2）∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴EC＝4，∵AE＝EF，∠AED＝90°，∴AD＝DF，又∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠FDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，∴DG＝EG，∵DG2＝DC2+GC2，∴（4﹣GC）2＝4+GC2，∴GC＝．25．（2021秋•秦安县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？ 【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，＝，即＝，解得t＝4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，＝，即＝，解得t＝．综上所述，当t＝4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．26．（2021春•招远市期末）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长．【解答】解：探究：∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝．又∵AO＝3，∴OD＝AO＝，∴AD＝AO+OD＝4．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4．应用：过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝．∵BO：OD＝1：3，∴＝＝．∵AO＝3，∴EO＝，∴AE＝4．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝4，∴AB＝2BE＝8．