人教版九年级数学上册《知识解读•题型专练》第02讲中心对称与中心对称图形(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版+解析)

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第02讲 中心对称与中心对称图形掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。知识点1 中心对称（两个图形）1.概念把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。作图步骤：连接原图形上所有的特殊点和对称中心。将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点2 点坐标对称1.关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）【题型1 中心对称图形】【典例1】（2023•淮北一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【变式1-1】（2022秋•铁锋区期末）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线 C．心形线 D．笛卡尔叶形线【变式1-2】（2022秋•河东区期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【变式1-3】（2022秋•文登区期末）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【题型2 中心对称的性质】【典例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点（0，﹣1）成中心对称．已知点B的坐标为（﹣2，2），则点B1的坐标是（　　）A．（2，﹣2） B．（1，﹣3） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）【变式2-1】（2022春•镇江月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）【变式2-2】（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是（　　）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）【变式2-3】（2021秋•黔西南州期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 　 　．【典例3】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）A．4 B． C． D．【变式3-1】（2022秋•厦门期末）如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 　 　．【变式3-3】（2022•南京模拟）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝4，则DE＝　 　． 【典例4】（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式（　　）A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C． D．y＝3x﹣6【变式4-1】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（　　）A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．【变式4-2】（2022秋•汇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点B的坐标为（﹣4，2），直线l：y＝﹣x+b恰好将▱OABC的面积平分，则b的值为 　 　．【典例5】（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE，FD∥BE．【变式5-1】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．【变式5-2】（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．（1）填空：E是线段CD的 　　，点A与点F关于点 　　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　　三角形．（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．【题型3 点坐标的对称】【典例6】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（　　）A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2【变式6-1】（2022秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（　　）A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1【变式6-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）【变式6-3】（2022秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（　　）A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【题型4 图案设计】【典例7】（2022秋•章贡区期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，﹣4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）填空：C点的坐标是 　 　，△ABC的面积是 　 　；（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？　 ．（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．【变式7-2】（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 　 　．（2）△A1B1C1的面积为 　 　．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 　 　．【变式7-3】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点A坐标为（1，﹣3）．（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）画△ABC关于点O对称的△A2B2C2；（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　． 1．（2023•辽宁）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（2023•大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．3．（2023•凉山州）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（　　）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）4．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣125．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下列结论错误的是（　　）A．OE∥AB B．四边形ABCD是中心对称图形 C．△EOD的周长等于3cm D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形6．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　　．7．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝　　．1．（2023•利川市一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（2023春•晋江市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023春•南阳期末）平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）4．（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（　　）A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞15．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′6．（2023•玉林一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形7．（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）A．4 B． C． D．8．（2023•乾安县三模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　）A．3 B．4 C．7 D．119．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 　9　．10．（2023春•玄武区期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　 　．11．（2022秋•北辰区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 　　．12．（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．13．（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．14．（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 　 　．（2）△A1B1C1的面积为 　　．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 　 　．15．（2023春•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．16．（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE，FD∥BE．第02讲 中心对称与中心对称图形掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。知识点1 中心对称（两个图形）1.概念把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。作图步骤：连接原图形上所有的特殊点和对称中心。将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点2 点坐标对称1.关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）【题型1 中心对称图形】【典例1】（2023•淮北一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、C、D选项旋转180度不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故选：B．【变式1-1】（2022秋•铁锋区期末）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线 C．心形线 D．笛卡尔叶形线【答案】B【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．【变式1-2】（2022秋•河东区期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：选项A、B、C中的三个图形都不是中心对称图形，选项D的图形是中心对称图形．故选：D．【变式1-3】（2022秋•文登区期末）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【题型2 中心对称的性质】【典例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点（0，﹣1）成中心对称．已知点B的坐标为（﹣2，2），则点B1的坐标是（　　）A．（2，﹣2） B．（1，﹣3） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于点（0，﹣1）成中心对称，B的坐标为（﹣2，2），B1B为对应点，∴B1的坐标为（2，﹣4），故选：D．【变式2-1】（2022春•镇江月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，＝1，＝0，∴点P的坐标为（1，0）．设点C（x，y），∵A（3，3），∴＝1，＝0，∴x＝﹣1，y＝﹣3．∴C（﹣1，﹣3）．故选：B．【变式2-2】（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是（　　）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）【答案】A【解答】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．观察图形可知，E（3，﹣1）．故选：A．【变式2-3】（2021秋•黔西南州期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 　 　．【答案】3个【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，故①②③正确，故答案为：3个．【典例3】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故选：A．【变式3-1】（2022秋•厦门期末）如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　．【答案】6【解答】解：在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则由勾股定理知：BC＝＝＝6．∵D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，∴△ADE与△CDB关于点O成中心对称，∴AE＝BC＝6．故答案为：6．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 　 　．【答案】5.5【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO与△FCO中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴S阴影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×22＝5.5，故答案为：5.5．【变式3-3】（2022•南京模拟）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝4，则DE＝　 　． 【答案】4【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴CA＝CD，CB＝CE，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE，∵AB＝4，∴DE＝4，故答案为：4．【典例4】（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式（　　）A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C． D．y＝3x﹣6【答案】A【解答】解：∵点B的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE的函数解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x﹣2．故选：A．【变式4-1】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（　　）A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．【答案】C【解答】解：∵点B的坐标为（8，6），∴平行四边形的中心坐标为（4，3），设直线l的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（2，0），（4，3）代入，可得，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣3．故选：C【变式4-2】（2022秋•汇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点B的坐标为（﹣4，2），直线l：y＝﹣x+b恰好将▱OABC的面积平分，则b的值为 　 　．【答案】﹣2【解答】解：如图，连接OB．∵B（﹣4，2），∴OB的中点D（﹣2，1），∵直线y＝﹣x+平分四边形ABCO的面积，∴直线y＝﹣+b经过点D，∴1＝3+b，∴b＝﹣2，故答案为：﹣2【典例5】（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE，FD∥BE．【解答】证明：连接BF、DE，∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称，∴OB＝OD，OA＝OC．∵AF＝CE，∴OF＝OE．∴四边形BEDF是平行四边形，∴FD＝BE，FD∥BE．【变式5-1】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．（1）直接写出图中所有相等的线段．（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称∴△A′BD≌△ACD，∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．（2）∵AD＝A'D，∴AA'＝2AD，∵AC＝A'B，AC＝3，∴A'B＝3，在△AA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．∴1＜AD＜4．【变式5-2】（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．（1）填空：E是线段CD的 　中点　，点A与点F关于点 　E　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　等腰　三角形．（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．【解答】解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，∴E是线段CD的中点，DE＝EC，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DCF，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AE＝FE，AD＝CF，∴点A与点F关于点E成中心对称，∵AB＝AD+BC，∴AB＝BF，则△ABF是等腰三角形．故答案为：中点，E，等腰；（2）∵△ADE≌△FCE，∴△ADE与△FCE面积相等，∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，∵四边形ABCD的面积为12，∴△ABF的面积为12．【题型3 点坐标的对称】【典例6】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（　　）A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2【答案】B【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，∴m＝﹣3，n＝﹣2，故选：B．【变式6-1】（2022秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（　　）A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1【答案】B【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，∴解得．故选：B．【变式6-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（2，4），故选：B．【变式6-3】（2022秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（　　）A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【答案】D【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，∴a＜0，b＞0，又∵|a|＝1，|b|＝2，∴a＝﹣1，b＝2，∴点M（﹣1，2），∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．故选：D．【题型4 图案设计】【典例7】（2022秋•章贡区期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，﹣4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）填空：C点的坐标是 　 　，△ABC的面积是 　 　；（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？　 ．（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意点C坐标为（1，﹣1），如图1．S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2＝4．故答案为：（1，﹣1），4（2）如图2，∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C＝AC，B1C＝BC，∴四边形AB1A1B是平行四边形，∵AC＝BC，∴A1A＝B1B，∴平行四边形AB1A1B是矩形，故答案为：矩形；（3）存在．由（1）知S△ABC＝4，则S四边形ABOP＝8．同（1）中的方法得S△ABO＝16﹣4﹣4﹣2＝6；当P在x轴负半轴时，S△APO＝2，高为4，那么底边长为1，所以P（﹣1，0）；当P在y轴负半轴时，S△APO＝2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，﹣2）；而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；故点P的坐标为（﹣1，0），（0，﹣2）．【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；【变式7-2】（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 　 　．（2）△A1B1C1的面积为 　 　．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 　 　．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案为：（2，2）．（2）△A1B1C1的面积为：××＝2.5故答案为：2.5．（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【变式7-3】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点A坐标为（1，﹣3）．（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）画△ABC关于点O对称的△A2B2C2；（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　． 【答案】（1）略（2）略 （3）（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．【解答】解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）点D的坐标为 （3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．故答案为：（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）． 1．（2023•辽宁）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．2．（2023•大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．3．（2023•凉山州）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（　　）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）【答案】D【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．故选：D．4．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12【答案】D【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得a＝﹣6，b＝2，∴ab＝﹣12．故选：D．5．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下列结论错误的是（　　）A．OE∥AB B．四边形ABCD是中心对称图形 C．△EOD的周长等于3cm D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AB，∴A选项结论正确，不符合题意；∵四边形ABCD是中心对称图形，∴B选项结论正确，不符合题意；∵△ABD的周长为12cm，∴△EOD的周长等于6cm，∴C选项结论错误，符合题意；若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形，是轴对称图形，∴D选项结论正确，不符合题意；故选：C．6．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　1　．【答案】1．【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1．故答案为：1．7．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得m﹣2＝﹣5，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．1．（2023•利川市一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：A．2．（2023春•晋江市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；矩形是轴对称图形，是中心对称图形；菱形是轴对称图形，是中心对称图形；正方形是轴对称图形，是中心对称图形，故选：C．3．（2023春•南阳期末）平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）【答案】D【解答】解：∵点P（﹣4，3），∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：D．4．（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（　　）A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞1【答案】B【解答】解：点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，则，解得：a＜﹣．故选：B．5．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）A．OC＝OC′ B．OA＝OA′ C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′【答案】D【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．故选：D．6．（2023•玉林一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形【答案】A【解答】解：画图如下，，由图可知最后会与原有矩形重合，∴四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，故选：A．7．（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故选：A．8．（2023•乾安县三模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　）A．3 B．4 C．7 D．11【答案】C【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，∴5＜AB＜11，故选：C．9．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 　9　．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．10．（2023春•玄武区期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　（4，1）　．【答案】（4，1）．【解答】解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，∴△A′EC≌△ADC（AAS），∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，∵OD＝3，OC＝1，∴CD＝2，∴CE＝2，∴OE＝1，∴点A′的坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）．11．（2022秋•北辰区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 　12　．【答案】12．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6，∵B与B'关于A中心对称，∴BB′＝2AB＝12．故答案为：12．12．（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，有三种思路：13．（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．【答案】见试题解答内容【解答】解：如答图所示．作法：①连接AP并延长至C，使PC＝PA．②连接BP并延长至D，使PD＝PB．③连接BC、CD、DA．四边形ABCD即为所求．14．（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 　（2，2）　．（2）△A1B1C1的面积为 　2.5　．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 　（0，﹣1）　．【答案】（1）（2，2）．（2）2.5．（3）（0，﹣1）．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案为：（2，2）．（2）△A1B1C1的面积为：××＝2.5故答案为：2.5．（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．15．（2023春•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．【答案】（1）A1（﹣2，2），B1（﹣2，﹣2）；（2）（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．【解答】解：（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），如图，（2）设P点坐标为（t，0），OA＝＝2，当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．16．（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．求证：FD＝BE，FD∥BE．【答案】证明见解析．【解答】证明：连接BF、DE，∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称，∴OB＝OD，OA＝OC．∵AF＝CE，∴OF＝OE．∴四边形BEDF是平行四边形，∴FD＝BE，FD∥BE．