人教版九年级数学上册《知识解读•题型专练》专题06正多边形和圆(3个考点6大类型)(题型专练)(原卷版+解析)

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专题06 正多边形和圆（3个考点6大类型）【题型1 正多边形与圆求角度】【题型2正多边形与圆求线段长度】【题型3正多边形与圆求半径】【题型4正多边形与圆求面积】【题型5正多边形与圆求周长】【题型6正多边形与直角坐标系综合】【题型1 正多边形与圆求角度】1．（2022秋•仙居县期末）如图，正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，连接AC，AF，则∠CAF的度数为（　　）A．15° B．18° C．22.5° D．30°2．（2023•湖里区校级模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，∠ACF的度数为（　　）A．30° B．35° C．20° D．25°3．（2023•泗水县三模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°4．（2023•三明模拟）正八边形的中心角的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）A．36° B．45° C．60° D．75°6．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B，C重合），则∠BPC的度数是（　　）A．120° B．130° C．135° D．150°7．（2023•海淀区校级四模）如图，AB是⊙O内接正五边形的一条边，点P在优弧AB上，则∠APB的度数为 　　°．8．（2023•修文县模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在AE上，则∠CPB的度数为 　　．9．（2023•上杭县模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 　　．10．（2023•鼓楼区校级三模）如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是　　．【题型2正多边形与圆求线段长度】11．（2023春•罗定市校级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（　　）A． B．3 C．6 D．12．（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（　　）A．2 B．4 C．4.5 D．513．（2022秋•易县期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（　　）A．4 B．8 C． D．14．（2022秋•柘城县期中）一个圆的半径为2，则该圆的内接正方形的边长为（　　）A． B．2 C． D．215．（2023•尤溪县校级模拟）已知正六边形的半径是2，则这个正六边形的边长是　　．16．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中，⊙O经过点E，且与AB，BC相切．若⊙O的半径为4，则正六边形的边长为 　 　．17．（2023•绥化模拟）如图，在正五边形ABCDE中，若边长AB＝2，则AC的长为 　　．​18．（2023•南关区一模）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线AC上一点，阴影部分的面积和为，则正六边形的边长是 　　．【题型3正多边形与圆求半径】19．（2022•博白县校级一模）边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（　　）A．1 B．2 C． D．20．（2022秋•浙江月考）如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若边心距，则⊙O的半径为（　　）A． B．2 C．1 D．421．（2022秋•昌平区期末）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（　　）A． B． C．3 D．22．（2023春•宿豫区期末）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为 　 　cm．​23．（2023•湟中区校级开学）已知一个正六边形的边心距2cm，则该正六边形的半径为 　　cm．24．（2022秋•城西区校级期末）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为 　　cm．【题型4正多边形与圆求面积】25．（2023•南岗区校级模拟）已知正六边形的半径为．则此正六边形的面积为（　　）A． B． C．3 D．426．（2023•梧州二模）剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆，正八边形等图形设计成的剪纸作品，已知圆的半径是2，此作品的阴影部分面积是（　　）A． B．π C．2π D．4π27．（2023•阜城县校级模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（　　）A．3 B．4 C． D．228．（2023•迁安市二模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边△BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为（　　）A．15 B．12 C．8 D．629．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（　　）A．1：2：3 B．2：2：4 C．1：2：4 D．2：3：530．（2022秋•裕华区校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝，则正六边形的面积为（　　）A．6 B． C． D．831．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（　　）A．6 B． C． D．832．（2022秋•襄汾县月考）如图，⊙O为正方形ABCD的外接圆，若BC＝2，则⊙O的面积为（　　）A．2π B．3π C．4π D．8π33．（2023•榆阳区一模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为 　6　．【题型5正多边形与圆求周长】34．（2021秋•卫辉市期末）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边心距的长度为，那么正六边形ABCDEF的周长为（　　）A．2 B．6 C．12 D．635．（2022•定州市二模）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（　　）A．6 B．6 C．6 D．936．（2023春•青羊区校级期末）一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是　　 ．37．（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于，则⊙O的周长等于 　 　．38．（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 　　cm．39．（2022•新城区模拟）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为 　 　．【题型6正多边形与直角坐标系综合】40．（2023•二七区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（　　）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，1） D．（1，）41．（2023•浉河区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x轴上，点F在y轴上，将正六边形ABCDEF沿x轴正方向每次以一个单位长度无滑动滚动，若AB＝1，在第2023次滚动后，点F的坐标为（　　）A． B．（） C． D．42．（2022秋•泗洪县期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，顶点C2022的坐标是（　　）A． B． C．（1，﹣2） D．43．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（　　）A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）44．（2023•缙云县二模）如图，正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，若点A的坐标为（1，0），则点D的坐标为 　 ．专题06 正多边形和圆（3个考点6大类型）【题型1 正多边形与圆求角度】【题型2正多边形与圆求线段长度】【题型3正多边形与圆求半径】【题型4正多边形与圆求面积】【题型5正多边形与圆求周长】【题型6正多边形与直角坐标系综合】【题型1 正多边形与圆求角度】1．（2022秋•仙居县期末）如图，正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，连接AC，AF，则∠CAF的度数为（　　）A．15° B．18° C．22.5° D．30°【答案】B【解答】解：如图，连接AD，∵正五边形ABCDE中，∴AB＝AE＝BC＝DE，∠B＝∠E，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，∵F为CD边中点，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B＝∠BCD＝＝108°，BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠ACF＝∠BCD﹣∠BCA＝72°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝18°，故选：B．2．（2023•湖里区校级模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，∠ACF的度数为（　　）A．30° B．35° C．20° D．25°【答案】A【解答】解：∵正六边形ABCDEF，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE＝＝120°，∵AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝＝30°，∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，由对称轴可知，∠AFC＝∠EFC＝∠AFE＝60°，∴∠ACF＝90°﹣60°＝30°，故选：A．3．（2023•泗水县三模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴，故选：C．4．（2023•三明模拟）正八边形的中心角的度数是（　　）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【解答】解：正八边形的中心角的度数＝360°÷8＝45°，故选：B．5．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）A．36° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴．故选：C．6．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B，C重合），则∠BPC的度数是（　　）A．120° B．130° C．135° D．150°【答案】C【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠BAD＝45°，∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形，∴∠BPC+∠BAC＝180°，∴∠BPC＝180°﹣45°＝135°，故选：C．7．（2023•海淀区校级四模）如图，AB是⊙O内接正五边形的一条边，点P在优弧AB上，则∠APB的度数为 　36　°．【答案】36．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵AB是⊙O内接正五边形的一条边，∴＝72°，∴∠APB＝∠AOB＝36°，故答案为：36．8．（2023•修文县模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在AE上，则∠CPB的度数为 　36°　．【答案】36°．【解答】解：如图，连接OB，OC．∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠BOC＝＝72°，∴∠CPB＝∠BOC＝36°．故答案为：36°．9．（2023•上杭县模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 　144°　．【答案】144°．【解答】解：在正五边形ABCED中，∠BAE＝∠AED＝108°，∵EG∥BF，∴∠AEG＝∠BAE＝108°，∴∠DEG＝360°﹣108°﹣108°＝144°．故答案为：144°．10．（2023•鼓楼区校级三模）如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是　12°　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠ABG＝＝108°，∠ABC＝＝120°，∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°，故答案为：12°．【题型2正多边形与圆求线段长度】11．（2023春•罗定市校级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（　　）​A． B．3 C．6 D．【答案】C【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于12π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝6，即正六边形的边长为6，故选：C．12．（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（　　）A．2 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，故选：B．13．（2022秋•易县期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（　　）A．4 B．8 C． D．【答案】D【解答】解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．14．（2022秋•柘城县期中）一个圆的半径为2，则该圆的内接正方形的边长为（　　）A． B．2 C． D．2【答案】D【解答】解：如图所示：⊙O的半径为2，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC＝2×2＝4，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝16，解得：AB＝2，即⊙O的内接正方形的边长等于2．故选：D．15．（2023•尤溪县校级模拟）已知正六边形的半径是2，则这个正六边形的边长是　2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，AB为⊙O内接正六边形的一边；则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB＝OA＝2．故答案为：2．16．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中，⊙O经过点E，且与AB，BC相切．若⊙O的半径为4，则正六边形的边长为 　4+2　．​【答案】4+2，【解答】解：连接OB、OM、ON，如图：∵⊙O与AB，BC相切．∴OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，又∵OB＝OB，∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），∴OB所在直线是正六边形的一条对称轴，在正六边形ABCDEF中，∠ABC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB＝30°，∵OM＝4，∴MB＝4，OB＝8，∵圆的对称轴是直径所在的直线，且经过点E，∴O、B、E三点共线，∴BE＝8+4，根据正六边形的性质可得BC＝BE＝4+2，故答案为：4+2，17．（2023•绥化模拟）如图，在正五边形ABCDE中，若边长AB＝2，则AC的长为 　+1　．​【答案】+1．【解答】解：如图，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝108°，AB＝BC＝CD＝2，∴∠BCA＝∠BAC＝＝36°，∴∠ABF＝108°﹣36°＝72°，∵∠AFB＝∠CBD+∠BCA＝36°+36°＝72°，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝2，∵∠BCF＝∠ACB，∠BAC∠CBF，∴△BCF∽△ACB，∴＝，即＝，解得CF＝﹣1（取正值），∴AC＝CF+AF＝﹣1+2＝+1，故答案为：+1．18．（2023•南关区一模）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线AC上一点，阴影部分的面积和为，则正六边形的边长是 　6　．【答案】6．【解答】解：如图所示，连接FD，过E作EM⊥FD于M，设正六边形ABCDEF的边长为a，依题意可知，AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠FED＝∠AFE＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝30°，∠AFD＝90°，∴，四边形ACDF是矩形，∴，∴，∵阴影部分的面积和为，即，∴，解得：a＝6或a＝﹣4（舍去），故答案为：6．【题型3正多边形与圆求半径】19．（2022•博白县校级一模）边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（　　）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解答】解：连接MB，MC，则MC＝MB，BC＝2，∠BMC＝90°，在Rt△BMC中，MC＝．故选：C．20．（2022秋•浙江月考）如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若边心距，则⊙O的半径为（　　）A． B．2 C．1 D．4【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝＝60°，∵OD＝OC，∴△DOC是等边三角形，∴∠HCO＝60°，DC＝OD＝OC，∵OH⊥DC，∴∠OHC＝90°，∵边心距，∴CH＝1．∴OC＝2，故选：B．21．（2022秋•昌平区期末）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（　　）A． B． C．3 D．【答案】C【解答】解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB＝＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，故选：C．22．（2023春•宿豫区期末）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为 　　cm．​【答案】．【解答】解：设圆的半径为xcm，由题意得πx2＝12．∴x＝，故答案为：．23．（2023•湟中区校级开学）已知一个正六边形的边心距2cm，则该正六边形的半径为 　　cm．【答案】．【解答】解：连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OH⊥BC，∴∠BOH＝∠COH＝30°，∴OB＝＝＝（cm），故答案为：．24．（2022秋•城西区校级期末）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为 　2　cm．【答案】2．【解答】解：如图所示：连接BO，由题意可得，OD⊥BC，OD＝cm，∠OBD＝30°，故BO＝2DO＝2（cm）．故答案为：2．【题型4正多边形与圆求面积】25．（2023•南岗区校级模拟）已知正六边形的半径为．则此正六边形的面积为（　　）A． B． C．3 D．4【答案】C【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形．∵OC＝OA•sinA＝×＝，则S△OAB＝AB•OC＝××＝，则正六边形的面积为6×＝3．故选：C．26．（2023•梧州二模）剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆，正八边形等图形设计成的剪纸作品，已知圆的半径是2，此作品的阴影部分面积是（　　）A． B．π C．2π D．4π【答案】C【解答】解：由圆及正八边形的对称性可得：图中阴影部分的面积等于圆面积的一半，所以此作品的阴影部分面积是；故选：C．27．（2023•阜城县校级模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（　　）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【解答】解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，则四边形A′E′DB是矩形，∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′＝120°，∴∠F′A′E′＝30°，∴F′H＝1，A′H＝，∴A′E′＝2，∵将它沿AB方向平移1个单位，∴A′B＝1，∴阴影部分A′BCDE′F′的面积＝S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD＝2××2×1+1×2＝4，故选：B．28．（2023•迁安市二模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边△BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为（　　）A．15 B．12 C．8 D．6【答案】A【解答】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，∵ABCDEF正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，∵△BDG是等边三角形，∴BG＝DG＝BD又CG＝CG，∴△BCG≌△DCG（SSS），∵∠GBC＝∠DBC＝30°，∴△GBC≌△DBC（SAS），∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝3，∴S△AEF＝3，设CH＝x，则BC＝CG＝2x，，∴，∴，即，∴，∴，∴五边形ABDEF的面积为：3+12＝15．故选：A．29．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（　　）A．1：2：3 B．2：2：4 C．1：2：4 D．2：3：5【答案】A【解答】解：如图，连接AD，CF交BE于点O，CF，AE交于点P，∵正六边形，∴△AOF≌△EOF≌△DOE≌△DOC≌BOC≌AOB（SSS），∵△AEF和△AEO是等腰三角形，FO分别是∠AFE和∠AOE的角分线，∴FO⊥AE，AP＝EP（三线合一），∴Rt△APF≌Rt△EPF≌Rt△EPO≌Rt△APO（HL），∴S△AEF＝S△AOE＝S四边形AOEF＝S△AOF，∴S△AFE＝S△AOE＝S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S△DOE，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为1：2：3，故选：A．30．（2022秋•裕华区校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝，则正六边形的面积为（　　）A．6 B． C． D．8【答案】C【解答】解：如图，连接OB、OA．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOA＝60°，OB＝OA，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∠AOH＝∠AOB＝30°，∵OH＝，∴AH＝OH＝1，∴AB＝2，∴S△AOB＝AB•OH＝，∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6，∴故选：C．31．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（　　）A．6 B． C． D．8【答案】C【解答】解：∵正方形面积是2，∴其边长为：，如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，∵正八边形的每个内角为180°﹣＝135°，∴∠AEF＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE＝EF•sin45°＝×＝1，∴AB＝+1×2＝+2．∴正八边形的面积为：S正方形ABCD﹣4S△AEF＝＝，∴非阴影部分面积是S正八边形﹣S正方形＝﹣2＝2+．故选：C．32．（2022秋•襄汾县月考）如图，⊙O为正方形ABCD的外接圆，若BC＝2，则⊙O的面积为（　　）A．2π B．3π C．4π D．8π【答案】A【解答】解：由题意，△ABC是等腰直角三角形，∵BC＝2，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，∴AC＝BC＝2，∴OA＝AC＝，∴⊙O的面积＝OA2π＝2π．故选：A．33．（2023•榆阳区一模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为 　6　．【答案】6．【解答】解：如图，连接OA、OB，由题意可得：∠AOB＝360÷6＝60°，∵OA＝OB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴AB＝2，过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝1，在Rt△AOM中，OM＝＝，∴S△AOB＝，∴⊙O的面积约为：6S△AOB＝6．故答案为：6．【题型5正多边形与圆求周长】34．（2021秋•卫辉市期末）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边心距的长度为，那么正六边形ABCDEF的周长为（　　）A．2 B．6 C．12 D．6【答案】C【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴∠AOG＝∠BOG＝∠AOB＝30°，AG＝BG，∴AO＝2AG，在Rt△AOG中，OG＝，AO2＝OG2+AG2，∴（2AG）2＝AG2+（）2，∴AD＝1，∴AB＝2，∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12，故选：C．35．（2022•定州市二模）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（　　）A．6 B．6 C．6 D．9【答案】D【解答】解：分别过正六边形的顶点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，则∠EAM＝∠NBF＝30°，EF＝AB＝2，∵AM＝BN＝2＝1，∴EM＝FN＝1＝，∴MN＝++2＝3，∴△PMN的周长3×3＝9，故选：D．36．（2023春•青羊区校级期末）一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是　16　．【答案】16．【解答】解：∵正多边形的每个内角为135°，∴每个外角是180°﹣135°＝45°，∵多边形的边数为：360÷45＝8，则这个多边形是八边形，∴这个多边形的周长＝2×8＝16，故答案为：16．37．（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于，则⊙O的周长等于 　12π　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，∵圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG，∴∠COG＝＝30°，在Rt△COG中，∵sin∠COG＝，∴OC＝＝＝6，∴⊙O的周长为2×π×6＝12π．故答案为：12π．38．（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 　12　cm．【答案】12．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝2cm，∴正六边形ABCDEF的周长为12cm．故答案为：12．39．（2022•新城区模拟）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为 　2+6　．【答案】2+6．【解答】解：∵正六边形ABCDEF，∴∠B＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，∴∠ADC＝∠ADE＝∠CDE＝60°，在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，∴AD＝2CD＝4，AC＝CD＝2，∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝2+2+4＝2+6，故答案为：2+6．【题型6正多边形与直角坐标系综合】40．（2023•二七区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（　　）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，1） D．（1，）【答案】C【解答】解：正六边形 ABCDEF 边长为2，中心与原点0重合，AB∥x轴，∴AP＝1，AO＝2．∠OPA＝90°，：OP﹣＝＝．第1次旋转结束时，点A的坐标为（．﹣1）；第2次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（﹣，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1.），∵4次一个循环，∴2023÷4＝505.....3．第2023次旋转结束时，点A的坐标为（﹣，1）．故选：C．41．（2023•浉河区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x轴上，点F在y轴上，将正六边形ABCDEF沿x轴正方向每次以一个单位长度无滑动滚动，若AB＝1，在第2023次滚动后，点F的坐标为（　　）A． B．（） C． D．【答案】A【解答】解：2023÷6＝337……1，∴在第2023次滚动后，点F的位置与现在的点E的位置一样，连接AE，过点F作FH⊥AE于H，∵EF＝AF＝1，∠AFE＝120°，∴∠EAF＝30°，EH＝AH，∴∠EAB＝90°，∴FH＝AF＝，AH＝，∴AE＝2AH＝，∴E（，），第2023次滚动后，点F的坐标为：（，），故选：A．42．（2022秋•泗洪县期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OAnBn∁nDnEn，当n＝2022时，顶点C2022的坐标是（　　）A． B． C．（1，﹣2） D．【答案】D【解答】解：∵正六边形OABCDE，∴每个内角的度数为，即∠AOE＝120°，∴正六边形OABCDE的一个外角为60°，即AO与x轴正半轴的夹角为60°，如图所示，未旋转时，连接EC，正六边形OABCDE的边长为1，∠D＝120°，过点D作DG⊥CE于点G，∴E（﹣1，0），在Rt△CDG中，根据勾股定理得，，∴，∴，连接OC，∵tan∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，当正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转45°，∴360°÷45°＝8，即旋转8次，线段OC回到起始位置，∴当n＝2022时，2022÷8＝252⋯⋯6，即旋转252次后，又旋转了6个45°，即OC回到起始位置后又旋转了45°×6＝270°，如图所示也就是线段OC绕点O逆时针旋转了90°．如图2所示：∴OB2022＝，B2022C2022＝1，∴C2022（﹣，﹣1）即当n＝2022时，顶点C2022的坐标是，故选：D．43．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（　　）A．（1，0） B．（2，0） C． D．（3，0）【答案】B【解答】解：连接OB，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝DO，∵AB＝2，∴AO＝AB＝2，∴DO＝2，∴点D的坐标为：（2，0），故选：B．44．（2023•缙云县二模）如图，正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，若点A的坐标为（1，0），则点D的坐标为 　　．【答案】．【解答】解：连接AD，BD，∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵ABCDEF是正六边形，∴，∠DBA＝90°，∠AFO＝30°，∠AOF＝90°，∴AF＝2OA＝2，∴AB＝2，∴AD＝2AB＝4，∴，∴点，故答案为：．