苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.21 相似三角形的性质（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.21 相似三角形的性质（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（       ） A．＝＝ B．＝C．＝＝ D．＝2．已知△ A'B'C'，和A'D'是它们的对应中线，若，A'D'=6，则与△A'B'C'的周长比是（       ）A． B． C． D．3．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(   ) A． B．C． D．4．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（       ）A． B． C． D．5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝(     )A．2：5 B．3：5 C．5：2 D．5：36．如图△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED＝∠C，设AD＝x，AE＝y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（0≤x≤4） B．y＝x（0＜x≤4）C．y＝x（0≤x≤4） D．y＝x（0＜x≤4）7．如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEHF是矩形，若，，则BD的长为（       ） A． B． C．8 D．8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（       ）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：19．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(       )A． B． C． D．10．如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．12．如图，△ABC∽△CBD，AB=9，BD=25，则BC=______．13．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于_______．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 15．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是___．16．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则______．17．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量某建筑物的高度，已知标杆BE高1.5米，测得AB=1.8米，AC＝9米，则建筑物CD的高是 _____米．18．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．动点P从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动．两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当运动时间t＝_____s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．三、解答题19．如图，在中，C，D分别是上的点．若．(1) 求证：；(2) 求的长．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1) 求证：△AEF∽△CBF；(2) 若BE⊥AC，求AE：ED．21．如图，为了测量平静的河面的宽度，在离河岸点3.2米远的点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、N共线，点、、共线，若、、均垂直与河面，求河宽是多少米？22．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 23．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE． 24．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标． 参考答案1．A【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，∴＝＝，故选：A．【点拨】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．2．A【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比即可得出结果．解：∵△ABC~△A'B'C'，对应中线，AD=10，A'D'=6，∴△ABC与△ A'B'C'相似比为5:3，∴△ABC与△ A'B'C'的周长比5:3，故选：A．【点拨】题目主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．3．A【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC•AD．故选：A．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键．4．D【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项．解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，，所以三边之比为．A、三角形的三边分别为，，4，三边之比为，故本选项不符合；B、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项不符合；C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为，故本选项不符合；D、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项符合．故选：D．【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ．5．A【分析】由条件可证明△DEF∽△BAF，结合面积比可求得相似比，可求得答案．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DEAB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．D【分析】根据两角对应相等，两个三角形相似，易证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AC＝4，AB＝5，AD＝x，AE＝y，∴＝，∴y＝x，∵0＜CD≤4，∴y＝x（0＜x≤4）．故选：D．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键7．A【分析】连接GH，可证得△EFH~△CBF，从而得到，再证得四边形ABHG是平行四边形，可得EF=GH=AB=5，从而得到，再证明△ABE≌△CDF，可得，即可求解．解：如图，连接GH，在矩形GEHF中，∠EHF=90°，EF=GH，∵CF⊥BD，∴∠EHF=∠BFC=90°，∵点H是BC的中点，∴FH=BH=CH=4，∴∠FBH=∠BFH，∴△EFH~△CBF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AG∥BH，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵点G、H分别为AD、BC的中点，∴AG=BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴EF=GH=AB=5，∴，解得：，∴，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴，∴．故选：A【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．解：如图：由题意可知，，， ∴，而，∴四边形DCBM为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．9．B【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．解：连接AE∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE∴当DE最短时，即当 时，DE有最小值∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形∴ ∴DE的最小值是2故答案为：B．【点拨】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．10．C【分析】根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可．解：由题意，得与是位似图形，∴与是相似图形，故①②正确；∵，，，∴与的相似比为，∴与的周长比为，与的面积比为，故③正确，④错误，故选C．【点拨】本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的性质及位似图形与相似图形的关系．11．2：3##【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，∴它们对应高线的比为2：3，故答案为：2：3．【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键．12．15【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．解：∵△ABC∽△CBD，∴，即， AB=9，BD=25，，，故答案为：15【点拨】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．13．2：3【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=2BD，∴，∴DE：BC=2：3，故答案为：2：3．【点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系．14．【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点，∴OA=10，∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，∴点B的坐标为；故答案为．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．，2，．【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案．解：如图所示：△ABC∽△DEF，DF＝，ED＝2，EF＝．故答案为，2，．【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，正确运用勾股定理进行计算是解题关键．16．2【分析】垂直平分，得出，利用，在中利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似比求得的长度，进而求得的长度．解：设，则垂直平分在中，又∵E是中点∴解得又∵故答案为：2．【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．17．7.5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，即可求解．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5米，AB＝1.8米，AC＝9米，∴，解得，DC＝7.5，即建筑物CD的高是7.5米，故答案为：7.5．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．18．【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC两种情况，列出比例式，计算即可．解：由题意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，则AQ＝（9﹣t）cm，∵当t=6÷2=3∴0≤t≤3∵∠PAQ＝∠BAC，∴当＝时，△APQ∽△ABC，∴＝，解得：t＝，当＝时，△AQP∽△ABC，∴＝，解得：t＝，∵3，故舍去综上所述：当t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，故答案为：．【点拨】解此类题的关键是在运动中寻找相似图形，当运动的时间为t时，要用t来表示相关线段的长度，得出与变量有关的比例式，从而得到函数关系．解题时注意数形结合，考虑全面，做好分类讨论．19．(1)见分析(2)AB＝8【分析】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算与的值，得到，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．(1)证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴，，∴，即，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；(2)解：∵△ABP∽△DCP，∴，即，∴AB＝8．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．(1)见分析(2)1：3【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE．(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；(2)设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴，即，∴AE=x，∴DE=AD-AE=，∴AE：DE==1：3．【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．河宽为12米【分析】连接，根据题意可得出四边形为矩形，由可求得，便可解决问题．解：如图，连接，∵点、、共线，、均垂直与河面，且，，∴四边形为矩形，∴，∴，∴，∵、、均垂直与河面，∴，∵，∴；∴，∵，，∴，∴，∴（米）．答：河宽是米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．（1）见分析   （2）【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解:：∵△BEF∽△CFG∴∴ ．【点拨】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．23．（1）见分析；（2）CE=.【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．解：∵D，E是AC，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，∴∠ABF=∠DGF，∵F为AD中点，∴AF=DF，在△ABF和△DGF中，∴△ABF≌△DGF（AAS），∴AB=GD；（2）∵AB=2，∴CD=2，DE=1，∴GE=3，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵CG=EG，∴∠GEC=∠GCE，∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∴△GEC∽△CBA，设CE=x，则BC=2x，∴，即，解得：，（负值舍去）∴CE=.【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．24．作图见分析，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论．解：点的坐标为，，，，．如图，当时，，即，，，；当时，，即，解得，，；当时，，即，解得，；综上所述，点坐标为：或或．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．