苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.27 用相似三角形解决问题（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.27 用相似三角形解决问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．在如图所示的肉眼成像的示意图中，可能没有蕴含下列哪项初中数学知识（    ）A．平行线的性质 B．相似三角形的判定C．位似图形 D．旋转2．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）A．5 B．6 C．7 D．83．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为16米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（    ）A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米4．如图，已知零件的外径为，现用个交叉卡钳（两条尺长和相等，）测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度（    ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．如图，小明从路灯下A处，向前走了5米到达D处，在D处发现自己在地面上的影子长是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是（    ）米．A．4.6 B．5.6 C．7.5 D．8.56．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（    ）A．4 B．3 C．3.2 D．3.47．如图，一直角边长为4cm的等腰直角三角板在灯光照射下形成投影，该三角板与其投影的相似比为2∶3．则投影三角形的面积为（    ）A．36 B．18 C．16 D．208．数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度（如图），点为沙坑底面所在圆的圆心，为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点看到坑底（甲同学的视线起点与点，点三点共线），为了求得圆锥形坑的深度（圆锥的高），该同学列出了如下表达式，其中不正确的是（    ）A． B． C． D．9．如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，则C、D两点间的距离是（   ）A．0.9m B．1.2m C．1.5m D．2.5m10．如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（    ）A．36 B．42 C．48 D．54二、填空题11．如图，AB是斜靠在墙的长梯，梯脚B距墙角1.5m，梯上点D距墙1m，BD长为1.2m则梯子的长为________m．12．如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是______．13．中国教育家孔子周游列国年，其中年居卫卫国即现在的濮阳，龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度顶端到水平地面的距离，在雕像旁边的水平地面上处放了一面镜子平面镜的厚度忽略不计，组长小丽沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端，此时测得米，米，小丽的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度______米．14．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．15．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 _____米．16．如图所示，在阳光下，某一时刻大树AB的影子的顶端落在墙DE上的C点，同一时刻1.2m的标杆影长为3m．已知CD＝2m，BD＝6m，则大树的高度为______m．17．如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处，其影长CE＝1m，若他沿AC方向走3m到达点F处，此时他的影长是 _____m．（图中CD，FG均表示小明身高）18．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米则球拍击球的高度h为_________米．三、解答题19．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？20．如图，己知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？21．一个阳光明媚的午后，小丽和小明准备测量千金塔的高度（塔的顶部A不易到达，底部B可以到达），他们所带的测量工具有：①可调节高度的标杆、②皮尺、③自制三角板（角度未知）．请你用学过的知识设计一种测量塔高的方案．(1) 你所选用的测量工具是______；（填序号）(2) 画出测量示意图，并用a、b、c等字母表示出测量数据；（不要求写操作步骤）(3) 结合测量数据，用含a、b、c等字母的式子表示出千金塔的高度AB．22．如意塔，也称火炬塔，是咸阳地标性建筑，位于成阳市秦都区双照镇北塬大道奥体中心东侧的双照湖，建筑形态典雅端庄，落落大方，与体育场形成“天圆地方”的文化寓意．数学实践小组为了测量该塔的高度（塔的底部可以到达，顶部不能到达），准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5米的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案，回答下列问题(1) 在你设计的方案中，选用的测量工具是______；（填具的序号）(2) 在图中画出你的测量方案示意图，你需要测得示意图中的哪些数据（用a、b、c等表示测得线段的长度，用、等表示测得角的度数，无需写出测量过程），并用所测数据表示出该塔的高．23．小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度，如图，相邻两盏路灯AC，BD的高度相等．某天晚上，小颍站在E点处，此时她身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，这时，小林测得米，已如米，小颖身高米，小华身高米，AC、BD、ME、NF均与地面垂直，请根据以上数据计算路灯的高度．（结果精确到0.1米）24．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F，求旗杆AB的高度．参考答案1．D【分析】根据位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念判断即可．【详解】解：∵两棵树是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，∴这两个图形是位似图形，∴本题蕴含了平行线的性质、相似三角形的判定、位似图形，没有蕴含旋转，故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的判定、平行线的性质、旋转的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．2．B【分析】利用中心投影，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，证明，然后利用相似比可求出CD的长．【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，根据题意得：，∴，∵，A，B．∴PE=2，AB=3，ME=1，∴PM=1，∴，即，解得：CD=6，．故选：B【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．3．B【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【详解】解：由题意可知，即，∴楼高=12（米）．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．4．A【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝12mm，∴AB＝24mm，∴零件的厚度为mm．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的内孔直径AB是解答本题的关键．5．B【分析】根据相似三角形对应边成比例可解．【详解】解：∵AD=5，DE=2，∴AE=7，∵AB⊥AE，CD⊥AE，∴△ABE∽△DCE，∴ ，∴（米）．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．6．B【分析】由题意知：，得出对应边成比例即可得出．【详解】解：由题意知：，则，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出是解决问题的关键．7．B【分析】根据三角形面积的比等于相似比平方列式进行计算即可得解．【详解】解： 由题可知直角三角形的面积为，设投影三角形的面积为，三角形面积的比等于相似比平方，，解得．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决问题的关键是正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．D【分析】根据已知条件先证明，根据相似三角形的性质，进行判断即可．【详解】解：∵点O为沙坑底面所在圆的圆心，S为其顶点，∴，∵甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，∴，∴，∵视线起点C与点A，点S三点共线，∴，∴，∴，即，，，故ABC正确，不符合题意；无法判断，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据题目中的已知条件得出，是解题的关键．9．B【分析】直接根据相似三角形对应高的比等于相似比，求解即可．【详解】解：连接CD,∵ABCD，∴△AOB∽△DOC，∴解得．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．10．C【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD，从而得出边长之比，得到，进而求出正方形的边长．【详解】解：设正方形零件的边长为x在正方形EFGH中，EF∥BC，EH∥AD∴∠AEF=∠ABC，∠EAF=∠BAC；∠BHE=∠BDA，∠B=∠B∴△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD∴∴∴ 解得：x＝48即：正方形零件的边长为48；故选：C．【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．3.6【分析】根据DEBC，进而得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例可得AB的长．【详解】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，即：，∴AB＝m．故答案为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟悉相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．12．7.2【分析】如图，，，，先证明∽，然后利用相似比可计算出．【详解】解：如图，，，， ，∽，，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的对应边的比相等，以及在同一时刻物高与影长的比相等的原理解决．13．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：由题意，，∽，，，，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型．14．30【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．【详解】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB．∴，∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，∴，∴AB=30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形△OCD∽△OAB．15．14【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论．【详解】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°，∴△ACB∽△AEM，∴，∴，∴EM=12.5，∵四边形ADNE是矩形，∴AD=EN=1.5米，∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）．故旗杆MN的高度为14米，故答案为：14．【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．16．4.4【分析】过点C作交AB于点F，由此可知CF＝BD＝6m，BF＝CD＝2m，再根据题意可得，即可求出AF的长，从而可求出大树高．【详解】如图：过点C作交AB于点F， 由作图结合题意易知四边形BDCF为矩形，∴CF＝BD＝6m，BF＝CD＝2m，∵同一时刻1.2m的标杆影长为3m，∴，即，解得：AF＝2.4．∴大树高AB＝AF＋BF＝2.4＋2＝4.4m．故答案为：4.4．【点睛】此题考查了相似三角形的实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答．17．2【分析】根据题意得到AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，得到CD∥AB，GF∥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，∵AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，∴CD∥AB，GF∥AB，∴△EDC∽△EBA，△MGF∽△MBA，∴，，代入数据：∴，，解得：AB=7.2，FM＝2，∴此时他的影长是2m，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，属于基础题，读懂题意，计算过程中细心即可．18．1.4【分析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性质求解．【详解】解：如图，∵DB//EC，∴△ADB∽△AEC，∴，即0.8×（4+3）=4h，∴h=1.4 (m)．故答案为1.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解答此题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．19．m【分析】利用同一时刻不同物体的物高与影长的比相等，求出影长为2.4m的树高，再加上墙上的影高即为所求．【详解】解：设影长为2.4m的树高为m：由题意得：，解得：，∴树高为：m．【点睛】本题考查利用物高和影长比求物高．熟练掌握同一时刻，不同物体的物高与影长的比值相等是解题的关键．20．（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．【详解】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm，∵DE∥BC，∴，∴，∴；（2）．作边上的高，交于点M．由，得，解得．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴．设正方形的边长为，则，解得．∵，∴（1）的情形下正方形的面积大．【点睛】本题考查相似三角形的应用、正方形的面积等知识，解题的关键是根据相似三角形的性质列出方程解决问题，学会转化的思想思考问题．21．(1)①②(2)见解析(3)千金塔的高度AB为点【分析】（1）根据题意选用①②，即可；（2）根据题意，画出测量示意图，测得标杆CD的高为a，DE＝b，BD＝c，即可求解；（3）证明，可得，即可求解．（1）解∶ 所选用的测量工具是①②．故答案为：①②（2）测量示意图如图所示：测得标杆CD的高为a，DE＝b，BD＝c．（3）解：根据测量过程得：，，∴，∴，即，∴，即千金塔的高度AB为点．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．22．(1)②③(2)米【分析】（1）方法不唯一，选皮尺测量长度，选标杆利用影长物高成比例即可（2）利用②③先画图，利用平行线，得出，利用相似三角形性质得出，然后测量出DE与BD即可．（1）解：②③．故答案为：②③．（2）解：测量方案示意图如图．测量数据：米，米，米，∵CD⊥BE，AB⊥BE，∴DE∥AB，∴，，∴，∴， ∵米，米，米，∴，∴（米），即该塔的高为米．【点睛】本题考查相似三角形在测量中应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．23．6.8米【分析】根据证明△AME∽△BAD，△BNF∽△BCA，列出比例式即可求解．【详解】解：设AE＝x，则BF＝20−10.2−x，∵MEBD，∴△AME∽△ADB，∴，即，∴x＝，∵NFAC，∴△BNF∽△BCA，∴，即，∴x＝9.8−，∴＝9.8−，∴BD≈6.8，答：路灯的高度为6.8米．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24．旗杆的高度为米【分析】根据题意先求得的长，根据相似三角形的性质可求得的长，进而即可求得的高度．解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，，CG∥BF∴四边形，是矩形（米）（米）即解得（米）（米）答：旗杆的高度为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．