苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.42 相似三角形与旋转综合专题（巩固篇）（专项练习）（附答案）

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专题6.42 相似三角形与旋转综合专题（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ）A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与△ACE全等或相似的三角形有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中相似三角形的对数是（    ）．A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．如图， 一副三角板， ， 顶点重合， 将绕其顶点旋转， 在旋转过程中， 以下4个位置， 不存在相似三角形的是 (     ).A． B．C． D．7．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　）A．一定相似 B．当E是AC中点时相似C．不一定相似 D．无法判断二、填空题8．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°），则BD长___cm．9．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC中,AB=6，BC=7,AC=5,△是△ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另一个转似三角形△（点分别与A、B对应）的边的长为_____．10．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．11．如图，在中，，，，先将绕着顶点顺时针旋转，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到（点的对应点分别是点），联结，如果和相似，那么的长是__________．12．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=_____时，△OMN与△BCO相似．13．如图，已知△ABC为等边三角形，点E为△ABC内部一点，△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，且A、D、E三点在同一直线上，AD与BC交于点F，则以下结论中：①△BED为等边三角形；②△BED与△ABC的相似比始终不变；③△BDE∽△ADB；④当∠BAE＝45°时， 其中正确的有_____（填写序号即可）．三、解答题14．综合与实践﹣﹣旋转中的数学问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个矩形为对象，研究相似矩形旋转中的问题：已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，它们各自对角线的交点重合于点O，连接AA′，CC′．请你帮他们解决下列问题：观察发现：（1）如图1，若A′B′∥AB，则AA′与CC′的数量关系是______；操作探究：（2）将图1中的矩形ABCD保持不动，矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α（0°＜α≤90°），如图2，在矩形A′B′C′D′旋转的过程中，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；操作计算：（3）如图3，在（2）的条件下，当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时，若AB=6，BC=8，A′B′=3，求AA′的长．15．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）　 　；②AC＝　 　；DE＝　 　．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．16．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对加以证明.(2)求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围.17．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．18．将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．(1)如图，若∠BAC=α=60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；(2)如图，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．19．在中, ,,,点是斜边的中点,以点为顶点作,射线、分别交边、于点、.特例分析：（1）如图1，若，不添加辅助线，图1中所有与相似的三角形为 ， ；操作探究：（2）将（1）中的从图1的位置开始绕点按逆时针方向旋转，得到，如图2，当射线，分别交边、于点、时，求的值；拓展延伸：（3）如图3，中，，，，点是斜边的中点，以点为顶点作，射线、分别交边、的延长线于点、，则的值为 .（用含、的代数式表示，直接回答即可）20．在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．21．把正方形纸板按如图①方式放置在正方形纸板上，顶点G在对角线，并把正方形绕顶点A沿逆时针方向旋转，旋转角为a． （1）如图②，当时，请直接写出线段与的数量关系和位置关系．（2）如图③，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明，若发生改变，请举例说明．（3）如图④，将图①、图③中的两个正方形都改为相似矩形，其他条件不变，设，当时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若发生改变，请写出改变后的新结论，并给出证明．22．如图（1），平行四边形ABCD中，∠B＝45°，连接AC，AC＝AB＝5cm；△ABC不动，将△ACD绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜135°），旋转后点C的对应点为点E，点D的对应点为点F，AF、AE（或它们的延长线）交直线BC于点H、G，如图（2）．（1）如图（2），找出图中与△AGC相似的三角形（不添加字母），并证明；（2）在旋转过程中，当△AGH是等腰三角形时，求CG的长．23．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕着点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由．（2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由．（3）如图4，在等边△ABC中，D是三角形内部一点，且AD＝，BD＝2，DC＝，求△ABC的面积．24．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．参考答案1．A【分析】根据已知条件可得出，，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似．解：由已知条件可得，，∵，∴，∵，∴，继而可得出，∴．故选：A．【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．2．C【分析】先证明△ACE≌△BCD，得∠CAE＝∠CEF＝45°，再证明△ACE∽△ECF，最后证明△ACE∽△ADF，便可得结论．解：∵将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CE＝CD，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；∴∠CAE＝∠B＝45°，∵CE＝CD，∠DCE＝90°∴∠CEF＝45°∵∠ACE＝∠ECF，∴△ACE∽△ECF；∵∠FAD＝∠FEC＝45°，∠AFD＝∠EFC，∴∠ADF＝∠ACE，∵∠DAF＝∠CAE＝45°，∴△ACE∽△ADF，综上，图中与△ACE全等或相似的三角形有3个．故选：C．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，图形复杂，要善于观察，不重不漏地找出符合条件的三角形．3．B【分析】根据旋转的性质得到，，利用三角形内角和得到，则可判断；根据相似的性质得，而，则可判断；由于，，，所以，于是可判断．解：如图，∵把绕点A旋转得到，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴故选B．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题．4．D【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．解：根据题意得：BC=B′C，AB=A′B′，AC=A′C，∠B=∠B′，∠A=∠A′=30°，∠ACB=∠A′CB′=90°∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠B=60°∴BB′=BC=B′C，∠B=∠BCB′=∠BB′C=60°∴∠B′CA=30°，∠ACA′=60°，A′B′∥BC∴∠B′FC=∠B′FA=90°∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C∽△A′CF∽△CFB′∴有4个故选D．【点拨】考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．5．C【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．解：由题意得：，，，，，∵∠A=30°，∠ACB=90°∴∠B=60°∵∴是等边三角形∴∴，∠，∴∥BC∵∠ACB=90°∴∴与相似的三角形有、△ABC、、所以有4个故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．6．D【分析】根据一副三角板，得到△ABC中，有一个角为60°，一个角为30°；△ADE为等腰直角三角形；再依据两个角对应相等的两个三角形相似解答即可．解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B，∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意；∵∠ACF=∠E，∴BC∥DE，∴∠AFC=∠D，∴△ACF∽△AED，故B不符合题意；∵∠APC和∠DPE是对顶角，∴∠APC=∠DPE，∵∠C=∠E=90°，∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意；∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数，∴不存在相似三角形．故选D．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．7．A【分析】略解：连结OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵点O为AB的中点，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△△CAB．故选A．【点拨】略8．2【分析】已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．解：将△ABC作旋转相似变换A（，90°），则cm，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．故答案为：2．【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转相似是解题的关键．9．.试题分析：先根据条件证明△ABC∽△A1B1C就可以求出A1C中，再证明△ABC∽△A2B2C就可以求出结论．解：∵△ABC∽△A1B1C，∴AC:A1C＝BC:B1C．∵AB=6，BC=7，AC=5，∴5:A1C＝7:5，∴A1C=25:7．∵△ABC∽△A2B2C，∴BC:B2C＝AB:A2B2，∴＝，∴A2B2=．故答案为．考点：1.旋转的性质；2.相似三角形的判定与性质．10．△ABD∽△AEF(或△ABD∽△DCF或△DCF∽△AEF或△ADE∽△ABC)分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C，且∠BAD=∠CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽AEF．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．【点拨】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．11．3-5【分析】由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C=A′H，AC=AH=2，设A′C=A′H=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题．解：由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵cosB==，AB=6，∴BC=4，AC==2，∵∠A′AH=∠A′AC，∠AHA′=∠ACA′=90°，AA′=AA′，∴△AA′H≌△AA′C（AAS），∴A′C=A′H，AC=AH=2，设A′C=A′H=x，在Rt△A′BH中，（4-x）2=x2+（6-2）2，∴x=3-5，∴A′C=3-5，故答案为3-5．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．或【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出=，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD==3，CE=，∵△OMN∽△BOC，∴，即，∴OM=MN=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴=，即，解得：OM=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．13．①【分析】根据旋转的性质得到∠DBE＝60°，BE＝BD，推出△BED是等边三角形；故①正确；根据等边三角形的性质得到AB＝BC，BE＝BD，推出△BED与△ABC的相似比随着BE的变化而变化，故②错误；根据相似三角形的判定定理得到△BDE与△ADB不相似；故③错误；解直角三角形得到，故④错误．解：∵△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，∴∠DBE＝60°，BE＝BD，∴△BED是等边三角形；故①正确；∴△ABC与△EBD是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∵△BED∽△ABC，∴，∴△BED与△ABC的相似比随着BE的变化而变化，故②错误；∵△BDE是等边三角形，而△ADB不是等边三角形，∴△BDE与△ADB不相似；故③错误；∵∠BAE＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠ADC＝180°﹣15°﹣105°＝60°，过F作FH⊥CD与H，∴CH＝HF，设CH＝HF＝x，∴DH＝x，DF＝x，∴CD＝CH+DH＝x+x，∴，故④错误.故答案是：①．【点拨】考查了相似三角形的判定性质、等边三角形的性质、解直角三角形和旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．（1）AA′=CC′；（2）成立，证明见分析；（3）AA′=【分析】（1）连接AC、A′C′，根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上，根据矩形的性质得到OA=OC，OA′=OC′，得到答案；（2）连接AC、A′C′，证明△A′OA≌△C′OC，根据全等三角形的性质证明；（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，根据相似多边形的性质求出B′C′，根据勾股定理计算即可．解：（1）AA′=CC′，理由如下：连接AC、A′C′，∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∠CAB=∠C′A′B′，∵A′B′∥AB，∴点A、A′、C′、C在同一条直线上，由矩形的性质可知，OA=OC，OA′=OC′，∴AA′=CC′，故答案为AA′=CC′；（2）（1）中的结论还成立，AA′=CC′，理由如下：连接AC、A′C′，则AC、A′C′都经过点O，由旋转的性质可知，∠A′OA=∠C′OC，∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是矩形，∴OA=OC，OA′=OC′，在△A′OA和△C′OC中，，∴△A′OA≌△C′OC，∴AA′=CC′；（3）连接AC，过C作CE⊥AB′，交AB′的延长线于E，∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，∴，即，解得，B′C′=4，∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°，∴四边形B′ECC′为矩形，∴EC=B′C′=4，在Rt△ABC中，AC==10，在Rt△AEC中，AE==2，∴AA′+B′E=2﹣3，又AA′=CC′=B′E，∴AA′=．【点拨】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、矩形的性质是解题的关键．15．（1）①相似；②；；（2）△ADB∽△AEC；（3）4+或4﹣．【分析】(1)①根据相似三角形的判定定理解答；②根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质列出比例式，求出AC；(2)根据旋转变换的性质得到∠BAD＝∠CAE，根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；(3)根据勾股定理求出BD，分两种情况计算即可．解：（1）①∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，故答案为相似；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝90°，∴DE＝＝，∵△ABC∽△ADE，∴ ，即，解得，AC＝，故答案为；；（2）△ADB∽△AEC，理由如下：由旋转变换的性质可知，∠BAD＝∠CAE，由（1）得，，又∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC；（3）如图2，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∵点B、D、E在同一条直线上，∴BE＝BD+DE＝4+，如图3，BE＝BD﹣DE＝4﹣，综上所述，将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，线段BE的长为4+ 或4﹣．【点拨】考查的是相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．(1)，；证明见分析；(2)，或.【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；（2）由（1）知，，，则有，因为相似三角形的对应边成比例，所以，再把已知数据代入求解即可．解：(1)，，∵，∴又∴.(2)由(1)可知，，则有.∴又∵是等腰直角三角形，且，∴，又，，∴，即，或.【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键．17．（1）见分析，（2）能，△ECN∽△MEN，见分析.【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠BME＝∠NEC，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，可得，又由BE=EC，即可得，然后由∠ECN=∠MEN=45°，证得△ECN∽△MEN．解：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE＝45°，∴∠BME+∠MEB＝135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°∴∠NEC+∠MEB＝135°∴∠BME＝∠NEC，而∠B＝∠C＝45°，∴△BEM∽△CNE．（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．又∵BE＝EC，∴，在△ECN与△MEN中有，又∠ECN＝∠MEN＝45°，∴△ECN∽△MEN．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．(1)①证明见分析；②证明见分析；(2)△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；【分析】(1)①由旋转得出△ABC与△ADE全等，得到AE=AC，由∠EAC=α=60°，证明△AEC为等边三角形，推出∠ACE=∠BAC=60°即可证明结论； ②由△ABC与△ADE全等，得到∠AED=∠ACB，由对顶角相等，证明△ADE与△FDC相似，推出对应边的比相等，再由∠ADF=∠EDC即可证明结论； (2)由△ABC与△ADE全等，得到∠AED=∠ACB，再由对顶角相等证出△AGE与△FGC相似；由△AGE与△FGC相似，推出△AGF与△EGC对应边的比相等，由对顶角相等即可推出△AGF与△EGC相似．解：(1)①∵△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC=AE，∵∠EAC=α=60°．∴△AEC为等边三角形，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴AB∥EC；②∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB，又∵∠ADE=∠FDC，∴△ADE∽△FDC，∴=，∴=，又∵∠ADF=∠EDC，∴△DAF∽△DEC；(2)①∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB，又∵∠AGE=∠FGC，∴△AGE∽△FGC；②∵△AGE∽△FGC，∴=，∴=，又∵∠AGF=∠EGC，△AGF∽△EGC；综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，相似的判定等，解答本题的关键是要熟练掌握相似的判定方法．19．解：（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据预备定理以及相似三角形的性质，即可得到结论；（2）由旋转可知: ,且证得∽，利用（1）中的结论可求得答案；（3）构造辅助线，易证得，利用上述的方法，可求得结论.解：（1），∴∵，，∴，∴∵点是斜边的中点,，，∴，∴故答案是：，，（2）由（1）得，∽∴∵点是斜边的中点∴∵∴同理可得由旋转可知: ,且∴∽∴(3) 作DPBC于P，作DQAC于Q，如图，∵DPBC，，点是斜边的中点，∴，∴，∵DQAC，，点是斜边的中点，∴，∴，∵DPBC，DQAC，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，构造恰当的辅助线是正确解答本题的关键.20．（1）①，；②仍然成立，证明见分析；（2），理由见分析．【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE， ∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，由①得： 设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a， 点F是BD的中点，则DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°， ∴AC∥BT∥，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，∴BD与GT互相平分， ∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF＝FT，由旋转可得； 是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝BE．（2）结论：BE＝．理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，∵AT＝TB，∴CT⊥AB， ∴AT＝，∴AB＝，∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴AE＝AD＝FT，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．21．（1）DE=BF且DE⊥BF；（2）不变，理由见分析；（3）数量关系发生改变，变为，位置关系不变，理由见分析【分析】（1）可直接由题意证得△AED≌△AFB，从而得到DE=BF，再延长BF，与DE相交，根据全等的性质即可证明；（2）和（1）证明过程一样的思路即可判断；（3）利用相似三角形的性质进行推理，首先根据题意确定，可确定△AED∽△AFB，从而运用相似三角形的性质得出数量关系，对于位置关系的推理，如前两个问一样的思路证明即可．解：（1）当时，在△AED与△AFB中，∴△AED≌△AFB，∴DE=BF，∠EDA=∠FBA，如图，延长BF与DE交于P点，又∵∠DFP=∠BFA，∴∠BAF=∠DPF=90°，即：BP⊥DE，∴DE=BF且DE⊥BF；（2）当时，（1）中结论不改变，理由如下：如图所示，连接DE，BF，并延长相交于Q点，∵∠EAF=∠DAB=90°，∴∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF，即：∠EAD=∠FAB，在△AED与△AFB中，∴△AED≌△AFB，∴DE=BF，∠EDA=∠FBA，∴∠BAD=∠DQB=90°，即：BQ⊥DQ，∴DE=BF且DE⊥BF，不改变；（3）数量关系发生改变，位置关系不改变，理由如下：如图，连接DE，BF，并延长BF与DE交于M点，∵∠EAF=∠DAB=90°，∴∠EAF-∠DAF=∠DAB-∠DAF，即：∠EAD=∠FAB，又∵两个矩形为相似矩形，∴，即：，∴△AED∽△AFB，∴，∠EDA=∠FBA，即：，∵BM与AD相交，∴∠BAD=∠DMB=90°，即：BM⊥DM，∴此时DE与BF的数量关系发生改变，变为，位置关系不改变．【点拨】本题主要考查旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，还涉及到矩形和正方形的性质，熟练掌握基本性质，推理出全等或相似三角形是解题关键．22．（1）△HGA和△HAB与△AGC相似，证明见分析；（2）CG＝5或或．【分析】（1）根据∠B＝45°，AC＝AB，四边形ABCD是平行四边形的条件得出，∠CAD＝∠CDA＝45°，利用旋转的性质可得∠EAF＝∠CAD＝45°，易证得△AGC∽△HGA，从而得到∠GAC＝∠H的结论，从而证明△AGC∽△HAB；（2）分类讨论：①当CGBC时；当GCBC时；当GCBC时，当三角形AGH时等腰三角形时，用数形结合的思想求解即可.解：（1）△HGA和△HAB与△AGC相似，证明：∵∠B＝45°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD＝∠CDA＝45°，∵△AEF由△ACD旋转得到，∴∠EAF＝∠CAD＝45°，∴∠ACB＝∠EAF＝45°，∵∠AGC＝∠AGH，∴△AGC∽△HGA，∴∠GAC＝∠H，∵∠B＝∠ACG＝45°，∴△AGC∽△HAB，（2）①当CGBC时，则有∠GAC＝∠H＜∠HAG，∴AC＜CH，∵AG＜AC，∴AG＜CH＜GH，∵AH＞AG，AH＞GH，∴△AGH不可能是等腰三角形，②当GCBC时，G为BC的中点，H与C重合，∴△AGH是等腰三角形，此时GC，③当GCBC时，由（1）△AGC∽△HGA，∴若△AGH是等腰三角形只可能存在AG＝AH，若AG＝AH，则AC＝GC，此时GC＝5，如图，当CG＝BC时，此时B，E，G重合，∠AGH＝∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰三角形，∴CG，综上所述：CG＝5或或．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，用数形结合的思想是解题的关键.23．（1）全等，理由见分析；（2）DC⊥BE，DC＝BE，理由见分析；（3）【分析】（1）根据“相似等腰组”与全等三角形的判定定理即可证明△ABD≌△ACE；（2）根据“相似等腰组”与全等三角形的判定定理证明△ABE≌△ACD，得到DC＝BE，再根据三角形的内角和得到∠EAC+∠DCB＝90°，证明DC⊥BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，证明△ADE是等边三角形，再得到∠CED＝90°，求出∠AEC＝150°，故∠CEF=30°过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，在Rt△CEF中，CF＝CE＝1，EF＝，再利用在Rt△ACF中，求出AC，利用等边三角形的面积公式即可求解．解：（1）全等，理由如下：∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠EAD﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），（2）DC⊥BE，DC＝BE，理由如下：∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAE＝∠BAC+∠EAC，∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠EBC+∠DCB＝90°，∴DC⊥BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝2，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝，∠AED＝60°，∵DE2+CE2＝3+4＝7，CD2＝7，∴DE2+CE2＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝150°，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，故∠CEF=30°∴CF＝CE＝1，EF＝=，在Rt△ACF中，AC＝，∴S△ABC＝AC2＝．【点拨】此题主要考查全等三角形与等腰三角形的判定与性质证，解题的关键熟知勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及等边三角形的性质．24．(1)(2)①；②，解答过程见分析(3)或【分析】（1）证、是的中位线，得，，即可得出答案；（2）①过点作于点，于点，先证，得出，再根据（1）所得结论即可得出答案；②过点作于点，于点，证，，推出，，同①得，则，即可得出结论；（3）分和两种情况分别求解可得．（1）解：，，，，，点是的中点，、是的中位线，，，，故答案为：3；（2）①过点作于点，于点，如图2所示：则，四边形是矩形，，即，，，即，，，，同（1）得：，，故答案为：3；②过点作于点，于点，如图3所示：，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，与①同理得：，；（3）如图所示：在中，由勾股定理得：，，与相似分两种情况：①，则，即，整理得：，，；②，则，即，整理得：，，；综上所述，当或时，与相似；故答案为：或．【点拨】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．